材料力學(xué)課件：平面彎曲桿件的變形與剛度計(jì)算

1§7–1撓曲線的概念§7–2撓曲線的近似微分方程§7–3積分法求梁的變形§7–4疊加法求梁的變形§7–5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)§7–6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁

平面彎曲桿件的變形與剛度計(jì)算2吊車(chē)大梁車(chē)床主軸變形過(guò)大導(dǎo)致吊車(chē)產(chǎn)生劇烈的震動(dòng)吊車(chē)大梁變形過(guò)大導(dǎo)致加工零件的不合格車(chē)床主軸平面彎曲變形的工程實(shí)例37-1撓曲線的概念

撓度和轉(zhuǎn)角撓度曲線－梁彎曲變形后，軸線變?yōu)檫B續(xù)、光滑的曲線，稱之為撓度曲線（簡(jiǎn)稱撓曲線）。

梁彎曲變形后橫截面產(chǎn)生兩種位移－橫截面形心的線位移w；－橫截面的角位移θ。小變形

形心沿軸線方向位移不計(jì)4梁的變形描述撓度－橫截面形心沿垂直于初始軸線方向的線位移

w。－沿w坐標(biāo)正向?yàn)檎?，反之為?fù)。－單位：m或mm。轉(zhuǎn)角－橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度

θ。－撓曲線某點(diǎn)斜率為正，轉(zhuǎn)角為正。－單位：rad。轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系小變形撓曲線方程撓度轉(zhuǎn)角5梁的變形與位移思考：圖a和圖b所示兩梁的長(zhǎng)度、材料、橫截面形狀和尺寸均相同，試分析它們的變形和位移是否相同。解：如圖所示兩梁的受力相同，彎矩圖相同，則兩梁各相應(yīng)微段的變形相同。即撓曲線形狀相同。兩梁的支承條件不同，則撓曲線位置不同。即兩梁各相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角互不相同。6§7–1撓曲線的概念§7–2撓曲線的近似微分方程§7–3積分法求梁的變形§7–4疊加法求梁的變形§7–5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)§7–6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁第7章平面彎曲桿件的變形與剛度計(jì)算7小變形wxM>0wxM<07-2撓曲線的近似微分方程－撓曲線近似微分方程－梁中性層曲率計(jì)算公式非線性8§7–1撓曲線的概念§7–2撓曲線的近似微分方程§7–3積分法求梁的變形§7–4疊加法求梁的變形§7–5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)§7–6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁第7章平面彎曲桿件的變形與剛度計(jì)算97-3積分法求梁的變形積分撓曲線微分方程分段

集中力作用處

集中力偶作用處積分

分布力間斷處－截面C處分段

彎曲剛度突變處10積分積分常數(shù)的確定

位移邊界條件

光滑連續(xù)性條件－支座處的約束條件。－相鄰梁段的交界截面具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角。積分11例7-1用積分法求以下圖示梁變形時(shí)，積分常數(shù)有幾個(gè)？寫(xiě)出確定積分常數(shù)的條件；并畫(huà)出撓曲線的近似形狀。xwFl(a)(b)lACal/2DBxwMe12xwFl(a)

(a)圖，積分常數(shù)有2個(gè)，確定積分常數(shù)的條件為：AB

解：梁AB彎矩為負(fù)，撓曲線上凸，大致形狀如圖。13(b)

(b)圖，積分常數(shù)有6個(gè)，確定積分常數(shù)的條件為：lACal/2DBxwMe梁段AD彎矩為正，撓曲線下凸，梁段DB彎矩為負(fù)，撓曲線上凸，梁段BC彎矩為零，梁不變形，撓曲線為直線。各段大致形狀如圖。－彎矩和邊界條件決定撓曲線的最終結(jié)果14例7-2

求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程

寫(xiě)出微分方程并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：Flxw15

寫(xiě)出撓曲線方程并畫(huà)出曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xwFl－均位于自由端16例7-3

簡(jiǎn)支梁如圖。已知EI為常數(shù)，試求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并確定最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。解：

建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程xw17

寫(xiě)出撓曲線微分方程并積分18

確定積分常數(shù)

撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程D點(diǎn)處連續(xù)性條件位移邊界條件19

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角可能在A或B端。20最大撓度

最大撓度發(fā)生在AD段。21討論若集中荷載F越靠近支座B，即b值很小，b2≈0，則－對(duì)于簡(jiǎn)支梁，只要其撓曲線上沒(méi)有拐點(diǎn)，就可以用跨度中點(diǎn)截面處的撓度來(lái)代替梁的最大撓度，而不會(huì)引起很大的誤差。22

①適用于小變形、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。

②積分常數(shù)由撓曲線的變形協(xié)調(diào)條件（邊界條件、連續(xù)性條件）確定。

③積分遍及全梁，須正確分段列出撓曲線微分方程。分段原則：

彎矩方程須分段列出處；

抗彎剛度突變處；

梁的中間鉸處；

④優(yōu)點(diǎn)：求彎曲變形基本方法，適用各種載荷下平面彎曲；

缺點(diǎn)：計(jì)算指定截面變形較繁

疊加法或能量法積分法的特點(diǎn)23§7–1撓曲線的概念§7–2撓曲線的近似微分方程§7–3積分法求梁的變形§7–4疊加法求梁的變形§7–5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)§7–6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁第7章平面彎曲桿件的變形與剛度計(jì)算24疊加原理—小變形、材料線彈性條件下，多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形,等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的相應(yīng)變形的代數(shù)和。7-4

疊加法求梁的變形簡(jiǎn)單載荷下各種靜定梁的變形表（見(jiàn)表7-1）疊加法載荷疊加結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）25解：

載荷分解如圖

查梁的變形表

疊加例7-4圖示簡(jiǎn)支梁，承受均布荷載q及集中力偶m=ql2作用。已知梁的彎曲剛度EI為常數(shù)，試用疊加法求梁跨中截面C處的撓度和右端支座B處的轉(zhuǎn)角。26練習(xí)按疊加原理求截面A的轉(zhuǎn)角和截面C的撓度。解：

載荷分解如圖

由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，

查簡(jiǎn)單載荷引起的變形qqFF=+AAABBB

Caa27qqFF=+AAABBB

Caa

疊加28解：

載荷分解如圖

查梁的變形表例7-5求圖示梁截面C的撓度和兩端截面的轉(zhuǎn)角，已知梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。29

疊加30結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）疊加法-

基本思路－研究梁的前一段變形時(shí)，暫將其后各段梁視為剛體，這段剛體將隨前段梁末端截面產(chǎn)生一個(gè)剛體位移；

－研究梁的后一段變形時(shí)，將前段梁變形后的撓曲線剛化，再將后段梁的變形疊加在前段梁引起的剛體位移上。結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法)原理說(shuō)明=+FL1L2ABCBCFL2w1w2等價(jià)等價(jià)xwxwwFL1L2ABC剛化AC段FL1L2ABC剛化BC段FL1L2ABCMxw32

例7-6如圖所示，主梁AB和副梁BD在B處用鉸鏈連接而成，在梁的右端D處作用有集中力F。已知梁的彎曲剛度EI為常數(shù)，試用疊加法求梁右端D截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

解：逐段剛化法求解

視副梁BD為剛體由副梁BD的平衡條件，可知鉸鏈B處約束力，

分析主梁AB的變形33分析主梁AB變形引起副梁BD的位移

將變形后的主梁AB剛化，分析副梁BD的變形34剛化CD段，將力F等效平移至C點(diǎn)，分析BC段變形剛化變形后的BC段，分析CD段變形35

疊加36

解：逐段剛化法求解

視CB段為剛體將力F等效平移至C點(diǎn)，分析AC段變形

練習(xí)試求階梯懸臂梁自由端B截面的轉(zhuǎn)角和撓度。37分析AC段變形引起的CB段的位移

將變形后的AC段剛化38

疊加39§7–1撓曲線的概念§7–2撓曲線的近似微分方程§7–3積分法求梁的變形§7–4疊加法求梁的變形§7–5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)§7–6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁第7章平面彎曲桿件的變形與剛度計(jì)算40梁的剛度條件7-5

梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)－許用撓跨比土建:機(jī)械:－許用轉(zhuǎn)角機(jī)械:41依剛度條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

校核剛度；

設(shè)計(jì)截面尺寸；

設(shè)計(jì)載荷。通常，梁的設(shè)計(jì)先按強(qiáng)度條件選擇截面，再進(jìn)行剛度校核。

42例7-7由NO.40a工字鋼制成的吊車(chē)大梁如圖。已知起吊最大重量FP=30kN，梁跨度l=10m，材料的許用應(yīng)力[]=140MPa，彈性模量E=200GPa，梁的許用撓跨比[w/l]=1/500。考慮梁自重，試校核梁的強(qiáng)度與剛度。43解：當(dāng)起吊重物在梁中央C截面時(shí)，梁的彎矩和撓度均為最大值。計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖。查型鋼表，NO.40a工字鋼參數(shù)：44

校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件45

校核梁的剛度由梁的剛度條件

該梁滿足強(qiáng)度和剛度要求。46L=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB練習(xí)下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[w]=0.00001m,B點(diǎn)的[

]=0.001rad,試校核此桿的剛度。=+P1=1kNABDC+=P2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM47P2BCa=++圖1圖2圖3解：

逐段剛化，查表求簡(jiǎn)單載荷變形。L=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf48P2BCa=++圖1圖2圖3L=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf

疊加求復(fù)雜載荷下的變形49

校核剛度

該梁滿足剛度要求。50梁的合理剛度設(shè)計(jì)

提高梁的剛度梁的彎曲變形和剛度與梁的受力、支承條件、跨度長(zhǎng)短及梁的彎曲剛度EI有關(guān)。－梁跨度的合理選?。侠戆才帕旱募s束與加載方式－合理選擇截面形狀－合理選擇材料51（1）適當(dāng)減小梁的跨度，可以有效地減小梁的彎曲變形，顯著地提高梁的剛度。如：受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁，其最大撓度與跨度的4次方成正比，若跨度縮短10%，最大撓度相應(yīng)減小34.4%。提高梁的彎曲剛度的措施（2）合理安排梁的約束與加載方式，可以顯著降低梁內(nèi)的最大彎矩，減小梁的變形。

－集中荷載盡量靠近支座

－將集中荷載分散

－簡(jiǎn)支梁兩端支座內(nèi)移525354（3）合理選擇截面形狀－用較小的面積，獲得較大的慣性矩；－工字形、槽形、T形截面等都比面積相等的矩形截面有更大的慣性矩；－要考慮提高全長(zhǎng)或較長(zhǎng)范圍內(nèi)的截面慣性矩。（4）合理選擇材料－選擇彈性模量高的材料，可以有效地減小梁的彎曲變形，顯著地提高梁的剛度。－在設(shè)計(jì)中，當(dāng)選用普通鋼材已能滿足強(qiáng)度要求時(shí)，若只是為了進(jìn)一步提高梁的剛度而改用優(yōu)質(zhì)鋼材，不但不經(jīng)濟(jì)，而且也達(dá)不到預(yù)期效果。55§7–1撓曲線的概念§7–2撓曲線的近似微分方程§7–3積分法求梁的變形§7–4疊加法求梁的變形§7–5梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)§7–6用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁第7章平面彎曲桿件的變形與剛度計(jì)算567-6

用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁超靜定梁—梁的支座約束力數(shù)目超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)目，僅憑靜力平衡方程不能確定全部未知約束力。多余約束—多余維持平衡所必需的約束。多余約束力—對(duì)應(yīng)多余約束的約束反力。超靜定次數(shù)—等于多余約束力的數(shù)目。57要點(diǎn)：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程聯(lián)立求解。解法1：舉例－靜定基受力、變形需與原結(jié)構(gòu)等效。

多余約束用約束力替代－解除多余約束支座B，用約束力FB替代，得靜定基，如圖。58

幾何方程--變形協(xié)調(diào)方程+qlFBAB=FBABqAB

物理方程--變形與力的關(guān)系

補(bǔ)充方程