人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重點壓軸題專練：解一元二次方程

專題21.1解一元二次方程

?思想方法

換元法：是數(shù)學(xué)中的重要方法之一，它往往和消元的思想聯(lián)系在一起。換元的實質(zhì)就是“轉(zhuǎn)化”

的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換。換元的基本方法有：整體換元、局部換

元、均值換元、三角換元等。換元法的一般步驟為：設(shè)元(或構(gòu)造元)、換元、求解、回代和檢驗

?知識點總結(jié)

一、直接開平方法解一元二次方程

根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.

直接降次解一元二次方程的步驟：①將方程化為/=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0,m^0)的形式；

②直接開平方化為兩個一元一次方程；③解兩個一元一次方程得到原方程的解.

二、配方法解一元二次方程

將一元二次方程配成(久+租)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方

法.

用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為。/+法+。=0(￡14())的形式；②方程兩邊同除以

二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方

法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

三、公式法解一元二次方程

當(dāng)爐一4ac>0時，方程a/++c=0(a豐0)通過配方，其實數(shù)根可寫為x=遠(yuǎn)的形式，這

個式子叫做一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的求根公式，把各項系數(shù)的值直接代入這個公式，這種解

一元二次方程的方法叫做公式法.

四、因式分解法概念

當(dāng)一個一元二次方程的一邊是0,另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次

方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

?典例分析

【典例1】閱讀材料，并解答問題：數(shù)學(xué)運算中有一種非常重要的思想一“換元法”.它的本質(zhì)是將一個冗長

的、前后具有相同形式的式子用一個字母來代替，將其化為我們所熟悉的形式.例如：為解方程(--1)2一

5(，—1)+4=0,我們將/—1看成一個整體，然后設(shè)/—l=y,則原方程化為y2—5y+4=o,

2

/.(y-l)(y-4)=0,解得為-1,y2-4.當(dāng)y=1時，/一i=1，；.％=+72；當(dāng)y=4時，x-1=4,

'.x=+V5.綜上所述：%!=V2,x2—x3=V5,x4=—VS.

請利用以上方法解下面方程：

(1)%4-2%2-8=0；

(2)(x2+37-9(x2+3)+20=0；

(3)---=3.

2x3x-l

【思路點撥】

2

(1)設(shè)/=y,則y2—2y—8=0,解得力=4,y2——2,根據(jù)y=%>0,得出％2=4,求解即可；

(2)設(shè)久2+3=y,則y2-9y+20=0,解得：=4,y2=5,分別求解當(dāng)y=4時，和當(dāng)y=5時，方程

%2+3=y的解即可；

(3)設(shè)等=y,則y—2=3,求解y1=4,%=-1,分別求解當(dāng)y=4時和當(dāng)y=1時方程等=y的解

即可.

【解題過程】

(1)解：%4-2%2-8=0,

設(shè)久2=y,

y2—2y—8=0,

(y-4)(y+2)=0,

y—4=0或y+2=0,

解得：7i=4,y2=-2,

\*y=X2>0,

.*.y=4,

.*.x2=4,

解得：=2,x2=-2.

(2)解：(%2+3)2-9(%2+3)+20=0,

設(shè)久2+3=y,

y2—9y+20=0,

(y-4)(y-5)=0,

y—4=0或y—5=0,

解得：yi=4,y2=5,

當(dāng)y=4時，%2+3=4,解得：x=±1,

當(dāng)y=5時，x2+3=5,解得：x=±V2,

-

綜上：%1=1,冷=一1，%3=V2,X4=V2.

(3)解：--—=3,

2x3x-l

'幾3%—1

設(shè)W=y，

4

y——=3Q,

y

y2—3y—4=0,

(y-4)(y+1)=0,

y—4=0或y+1=0,

=4,%=-1，

經(jīng)檢驗，=4,y2=—1,是方程y—，=3的解,

當(dāng)y=4時，-=4,

2x

解得：X=-i,

經(jīng)檢驗，x=—'是方程宇=4的解；

52x

當(dāng)y=l時，—=1,

J2x

解得：X=lf

經(jīng)檢驗，久=1是方程宇=1的解；

2x

H：——~,%2=1,

?學(xué)霸必刷

1.(2023上?山東荷澤?九年級?？茧A段練習(xí))解方程:

(1)2t2-61+3=0(用配方法)

(2)3(x—5)2=2(5—x)(用因式分解法)

(3)2x2-4%-1=0(公式法)

2.(2023上?四川成都?九年級華西中學(xué)校聯(lián)考期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?

(1)2(x-I)2-18=0

(2)9x2-12x-1=0

(3)x2+Sx—6

(4)3x(2x-5)=4x-10

3.(2023上?遼寧鞍山?九年級校聯(lián)考階段練習(xí))按要求解方程.

(1)2(x-3)2=%2-9(因式分解法)

(2)2x2-V3x-3=0(公式法)

4.(2023上?湖南衡陽?九年級階段練習(xí))解方程

(1)(%—1)(%+2)=4；

(3)2(x-3)(x+4)=x2-10.

5.（2023上?黑龍江綏化?九年級?？计谥校┙夥匠?/p>

(1)%2—3%—1=0

(2)x(2x+3)=4%+6

(3)(x-2)2-7(%-2)=18

(4)(2x+3尸—x2—6x+9

6.(2023上?甘肅天水?九年級?？茧A段練習(xí))運用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

(1)(x-3)2=25；

(2)%2-%-1=0；

(3)x2-6x+8=0；

(4)(x2—x)2—5(x2—x)+6—0

7.(2023上?湖北武漢?九年級校考階段練習(xí))用適當(dāng)方法解下列方程

(1)x2+4x-12=0

(2)x2-3x+2=0

(3)x(x—1)=x

(4)x2-3x+1=0

(5)(4X+1)2=(5X+2)2

(6)(2x+l)2+3(2x+1)+2=0.

8.(2023下?八年級課時練習(xí))解方程(x-2)(%+l)(x+4)(久+7)=19.

9.（2023下?湖南長沙?八年級校聯(lián)考競賽）解方程組：＜—=z.

—=x

V1+Z

10.(2023上?全國?九年級專題練習(xí))解下列方程:

(1)2(x2-7%)2-21(%2-7%)+10=0；

(2)(2%2+3%產(chǎn)-4(2/+3%)-5=0.

11.（2024.全國.九年級競賽）解方程10

3

12.（2023上?湖北宜昌?八年級?？计谀┙夥匠?+3L春=%

13.（2023下?江蘇揚州?八年級?？茧A段練習(xí)）解方程:

(1)X-216_X+2

x+2X2-4X-2

(2)(久+4)2-5(%+4)=0.

14.（2023上?上海青浦?八年級?？计谀┙夥匠?

(1)Vx+7-V8-x=2；

x2—2x—3%—3

(3)2x2―3M2/—1+1=0

15.（2023下?安徽六安?八年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解答下列問題

（1）①方程/-2x+l=0的解為；

②方程M2一3萬+2=0的解為；

③方程比2-4x+3=0的解為；

（2）根據(jù)以上方程特征及解的特征猜想：方程/-9x+8=0的解為,并用配方法解方程進(jìn)行驗證;

（3）根據(jù)以上探究得出一般結(jié)論：關(guān)于X的方程刀2-（1+血）刀+772=0的解為.

16.（2023上?山西運城?九年級統(tǒng)考期中）讀材料：各類方程的解法

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為％=a的形式.求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為

兩個一元一次方程來解.求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解.各類方程的解法不盡相同，把未知轉(zhuǎn)

化為己知.用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如/+/—2x=0,可以通過因式分解

把它轉(zhuǎn)化為久（/+%—2）=0,解方程x=0和尤2+%-2=0,可得方程/+x2-2x=0的解.

2

（1）問題：方程/+x-2x=0的解是%-0,久2=，x3-；

（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程倔不=x的解.

17.(2023上?江蘇揚州?九年級?？计谀?閱讀下列材料：為解方程--%2-6=0可將方程變形為(7)2一

x2-2=y,(%2)2=y2,y2yi=

6=0然后設(shè)％則原方程化為一丫一6=0①，解①得力=-2,y2=3.當(dāng)-2

2=2±8；1=—

時，/=一2無意義，舍去；當(dāng)了3時，x=3,解得汽=.??原方程的解為汽=遮，x2V3；

上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問

題轉(zhuǎn)化成簡單的問題.

利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：

(1)(%2—2%)2—5%2+10%+6=0；

(2)3M+15%+242+5X+1=2.

18.(2023上?江蘇?九年級統(tǒng)考期中)閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：

解方程：%2+|%|-2=0.

解：??,第2=|%|2,

八方程即為：|%|2+|%|—2=0,

設(shè)團(tuán)=3原方程轉(zhuǎn)化為：/+1—2=0

解得，匕=1,t2=-2,

當(dāng)S=1時，即|%|=1,.,?/=1,x2=—1；

當(dāng)力2=—2時，即|%|=-2,不成立.

1=

???綜上所述，原方程的解是久1,%2=

以上解方程的過程中，將其中|%|作為一個整體設(shè)成一個新未知數(shù)3從而將原方程化為關(guān)于t的一元二次方

程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”(“元”即未知數(shù)).

(1)已知方程：%2+4-2%---1=0,若設(shè)久+工=小，則利用“換元法”可將原方程化為關(guān)于小的方程

XX

是;

(2)仿照上述方法，解方程：--I-+1-5=0.

XVX

19.(2024?全國?八年級競賽)閱讀下列材料：在解一元二次方程時，可通過因式分解，將一元二次方程轉(zhuǎn)

換為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程得到原方程的兩個解.例如：%2-3%+2=0,將方程

左邊因式分解得：(久一1)(%—2)=0,貝卜—1=0或久一2=0,解得久1=1,?2=2.根據(jù)以上材料，解答

下列問題：

(1)解方程：x2-4x+3=0；

(2)解方程：(占丫+4?三一5=0.

\X/X

20.(2023上?甘肅天水?九年級校聯(lián)考階段練習(xí))閱讀下列材料：方程：/_6/+5=。是一個一元四次

方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：

設(shè)久2=yf那么久4_丫2,于是原方程可變?yōu)闀?一6y+5=0,

解這個方程得：丫1=1，=5.

當(dāng)y=l時，x2=1,.*.x=±1；當(dāng)y=5時，x2=5,x=+V5

所以原方程有四個根：=1,x2——1,x3=V5,x4=—V5.

在這個過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

(1)利用換元法解方程(一一x)2-4(%2-%)-12=0得到方程的解為.

(2)若(％2+y2+1)(%2+y2+3)=8,求％2+y2的值.

(3)利用換元法解方程：?+殼=2.

2xxz-4

專題21.1解一元二次方程

?思想方法

換元法：是數(shù)學(xué)中的重要方法之一，它往往和消元的思想聯(lián)系在一起。換元的實質(zhì)就是“轉(zhuǎn)化”

的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換。換元的基本方法有：整體換元、局部換

元、均值換元、三角換元等。換元法的一般步驟為：設(shè)元(或構(gòu)造元)、換元、求解、回代和檢驗

?知識點總結(jié)

一、直接開平方法解一元二次方程

根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.

直接降次解一元二次方程的步驟：①將方程化為/=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0,m^0)的形式；

②直接開平方化為兩個一元一次方程；③解兩個一元一次方程得到原方程的解.

二、配方法解一元二次方程

將一元二次方程配成(X+M)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方

法.

用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為32+法+。=0缶#())的形式；②方程兩邊同除以

二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方

法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

三、公式法解一元二次方程

當(dāng)一4ac>。時，方程a/+6%+c=0(a豐0)通過配方，其實數(shù)根可寫為久=-"’2一"空的形式，這

個式子叫做一元二次方程a/+法+。=0(aH0)的求根公式，把各項系數(shù)的值直接代入這個公式，這種解

一元二次方程的方法叫做公式法.

四、因式分解法概念

當(dāng)一個一元二次方程的一邊是0,另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次

方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

?典例分析

【典例1】閱讀材料，并解答問題：數(shù)學(xué)運算中有一種非常重要的思想一“換元法”.它的本質(zhì)是將一個冗長

的、前后具有相同形式的式子用一個字母來代替，將其化為我們所熟悉的形式.例如：為解方程(/-1)2-

5(X2-1)+4=0,我們將/一1看成一個整體，然后設(shè)/—l=y,則原方程化為y2-5y+4=0,

22

/.(y—l)(y—4)=0,解得月=1,y2=4.當(dāng)y=1時，x—1=1,'.x=±V2；當(dāng)y=4時，x—1=4,

.".%=±V5.綜上所述：久i=>/2,x2=-V2,x3=V5>x4=—V5.

請利用以上方法解下面方程：

(1)x4-2x2-8=0；

22

(2)(x+3)-9(%2+3)+20=0；

(3)---=3.

2x3x-l

【思路點撥】

(1)設(shè)第2=y,則y2—2y-8=0,解得yi=4,、2=—2,根據(jù)y=/>。，得出％2=4,求解即可；

(2)設(shè)/+3=y,則y2—9y+20=0,解得：yi=4,y2=5,分別求解當(dāng)y=4時，和當(dāng)y=5時，方程

%2+3=y的解即可；

(3)設(shè)等=y,則y—，=3,求解為=4,力=一1,分別求解當(dāng)y=4時和當(dāng)y=1時方程等=y的解

即可.

【解題過程】

(1)解：X4-2X2-8=0,

設(shè)久2=y,

y2—2y—8=0,

(y-4)(y+2)=0,

y—4=0或y+2=0,

解得：yi=4,y2=-2,

Vy=x2>0,

??y=4，

,?.％2—4,

解得：%】=2,x2=-2.

(2)解:(%2+3)2-9(%2+3)+20=0,

設(shè)久2+3=y,

y2—9y+20=0,

(y-4)(y-5)=0,

y—4=0或y—5=0,

解得：yi=4fy2=5,

當(dāng)y=4時，/+3=4,解得：x=±1,

當(dāng)y=5時，x2+3=5,解得：%=±V2,

HIX]—1,%2=—1,%3=^21^4=—^2.

(3)解：---=3,

2x3x-l

—

設(shè)'rt3工%^1=

4

y——=3Q,

y

y2—3y—4=0,

(y-4)(y+1)=0,

y—4=0或y+1=0,

yi=4,%=t，

經(jīng)檢驗，=4,=—1，是方程y—~-3的解,

當(dāng)y=4時，工i=4,

解得：x=

經(jīng)檢驗，久=一!是方程宇=4的解；

52x

當(dāng)y=l時，等=1,

解得：％=1,

經(jīng)檢驗，％=1是方程竽=1的解；

2x

上：——=L

?學(xué)霸必刷

1.（2023上?山東荷澤?九年級?？茧A段練習(xí)）解方程:

(1)2t2—61+3=0(用配方法)

（2）3（%-=2（5-K）（用因式分解法）

(3)2x2-4%-1=0(公式法)

【思路點撥】

本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題關(guān)犍.

（1）利用配方法解一元二次方程即可得;

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得;

（3）利用公式法解一元二次方程即可得.

【解題過程】

(1)解：2t2-6t+3=0,

2t之—6t———3,

/一3t=-|

t2-3t+|=-|+j,BP(t-|)=|

”T，

"海，

3+V3〃3-V3

tl=—<t2=—

(2)解：3(x-5尸=2(5-%),

3(x—5尸+2(%-5)=0,

(x-5)[3(x-5)+2]=0,即(x—5)(3x-13)=0,

%—5=0或3%—13=0,

r13

久1=5,%2=—?

(3)解：方程2/一4x—1=0中的a=2,b=-4,c=-1,

所以方程根的判別式為A=-4ac=24>0,

所以方程的解為X=土碧絲=芋，

即/=等久2=^-

2.(2023上?四川成都?九年級華西中學(xué)校聯(lián)考期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

(1)2(久一—18=0

(2)9x2-12x-1=0

(3)%2+5%=6

(4)3x(2%-5)=4x-10

【思路點撥】

本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟.

(1)用直接開平方法求解即可；

(2)用公式法求解即可；

(3)用因式分解法求解即可；

(4)用因式分解法求解即可.

【解題過程】

(1)解：2(x—l)2—18=0,

2(x-I)2=18,

(%-I)2=9,

x—1=±3,

%i=4,%2=-2;

(2)解：9x2-12x-1=0,

a=9,b=-12,c=-1,

???△=b2-4ac=(-12)2-4x9x(-1)=180>0,

-b±y/b2-4ac_12±6A/5

解得:

(3)解：%2+5%=6,

%2+5x-6=0,

(%—1)(%+6)=0,

%—l=0,x+6=0,

X]=1,x2=—6；

(4)解：3x(2%-5)=4x-10,

3x(2x-5)=2(2%—5),

3x(2%-5)-2(2%-5)=0,

(3x-2)(2x-5)=0,

3x—2=0,2x—5=0,

3.(2023上?遼寧鞍山?九年級校聯(lián)考階段練習(xí))按要求解方程.

(1)2(%-3)2=%2-9(因式分解法)

(2)2x2-V3x-3=0(公式法)

【思路點撥】

本題主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平方差公式先因式分解，移項，之后提取公因式0-3),利用因式分解法求解即可求得答案;

(2)利用公式法求解即可求得答案.

【解題過程】

(1)解：2(x-3)2=x2-9

2(%—3尸=(%—3)(%+3)

2(x—3尸—(x-3)(久+3)=0

(%-3)[2(x-3)-(%+3)]=0

(x-3)(x-9)=0

x—3=?；騲—9=0

解得Xi=3或尤2=9；

(2)解：2/一信一3=0

a=2,b=-43,c=—3,

V3±J(-V3)2-4X2X(-3)b±30

x=2X2=4

V3-3V3V373+3^3/TT

—,XQ---v3.

Xi1—42z4

4.(2023上?湖南衡陽?九年級階段練習(xí))解方程

(1)(%-1)(%+2)=4；

(3)2(x—3)(x+4)=%?—10.

【思路點撥】

本題考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解決問題的關(guān)鍵.

(1)方程整理為/+》—6=0,運用因式分解法解一元二次方程即可;

(2)方程整理為/+2x+1=15,利用配方法解一元二次方程即可.

【解題過程】

(1)解：—1)(%+2)=4,即/+乂-2=4,

.".X2+x—6—0,即(x+3)(x—2)=0,

.*.x+3=0或x—2=0,

??X]=-3,%2=2；

(2)解：V2(x-3)(x+4)=x2-10,即/+2%+1=15,

(%+I)2=15,

x+1=+V15,即x=+V15—1,

4-V15—1,犯=—V15—1.

5.(2023上?黑龍江綏化?九年級?？计谥?解方程

(1)%2—3%-1=0

(2)x(2x+3)=4x+6

(3)(x-2/一7(久一2)=18

(4)(2久+3/=x2—6x+9

【思路點撥】

(1)利用公式法解一元二次方程即可得；

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得；

(3)利用換元法和因式分解法解一元二次方程即可得；

(4)利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【解題過程】

(1)解：方程/-3力-1=0中的(1=1,匕=-3,?=-1,

則方程根的判別式為△=-(-3)士=咚1,

所以方程的解為/=手，%2=書I

(2)解：x(2x+3)=4%+6,

x(2x+3)=2(2%+3),

x(2x+3)—2(2%+3)=0,

(2%+3)(%-2)=0,

2%+3=0或％—2=0,

x——|或％=2,

所以方程的解為/=一|,X2=2.

(3)解：(%-2)2-7(x-2)=18,

設(shè)％—2=y,貝！Jy2-7y=18,

y2—7y-18=0,

(y+2)(y-9)=0,

y+2=0或y—9=0,

y=-2或y=9,

x—2=-2或%—2=9,

x=0或X=11,

所以方程的解為=0,x2=11.

(4)解：(2%+3)2=x2—6x+9,

(2%+3)2=(%—3產(chǎn)

(2%+3)2—(x—3)2=0,

(2%+3+%—3)(2%+3—x4~3)=0,

3x(x+6)=0,

x=0或％=—6,

所以方程的解為%1=0,x2=—6.

6.(2023上?甘肅天水?九年級校考階段練習(xí))運用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

(1)(%-3)2=25；

(2)x2—x—1=0；

(3)%2—6%+8=0；

(4)(%2—x~)2—5(x2—x)+6=0

【思路點撥】

(1)利用直接開平方法解方程即可;

(2)利用公式法解方程即可；

(3)利用配方法解方程即可；

(4)利用換元法解方程即可；

【解題過程】

(1)解：(x-3)2=25

%—3=5或x—3=—5,

解得：%!=8,x2=—2；

(2)解：%2-x-1-0

a=1,b=—1,c=—1,

b2-4ac=(-1)2-4x1x(-1)=5>0,

...方程有兩個不相等的實數(shù)根，

._-b±Vfc2-4ac_-(-1)±V5_1±V5

??X=——f

2a2x12

&774B1+V5l—VS

解得：%1=-2~f%2=_2一；

(3)%2—6%+8=0

%2—6%=—8

x2-6x4-9=-84-9

(x-3)2=1

x—3=1或%—3=—1,

解得：%1=4,x2=2；

(4)(%2—%)2—5(%2—x)+6=0

解：設(shè)y=則原方程為：y2-5y+6=0,

(y-2)(y-3)=0,

解得yi=2,丫2=3,

當(dāng)y=2時，%2-%=2,解得：%1=-1/g=2；

2

當(dāng)y=3時，x—x=3,解得：x3=i+尸,必——^―

7.(2023上?湖北武漢?九年級?？茧A段練習(xí))用適當(dāng)方法解下列方程

(1)x2+4%-12=0

(2)x2-3%+2=0

(3)x(x—1)=x

(4)%2—3%+1=0

(5)(4%+1)2=(5%+2)2

(6)(2%+I)2+3(2無+1)+2=0.

【思路點撥】

(1)利用因式分解法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可；

(3)先移項，然后提取公因式x,再利用因式分解法求解即可；

(4)利用公式法求解即可；

(5)先移項，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解求解即可；

(6)令2x+l=t,則原方程可化為產(chǎn)+3t+2=0,求出t的值，進(jìn)而可得出x的值.

【解題過程】

(1)x2+4x-12=0

(x—2)(%+6)=0

x-2=0或久+6=0

=2,x2——6；

(2)x2-3%+2=0

(%—2)(%—1)=0

x—2—?；?—1=0

=2,%2=1；

(3)%(%—1)=%

x(x—1)—x=0

x(x-2)=0

x=0或x-2=0

X]—0?%2=2；

(4)%2—3%+1=0

*.*a=1,b=—3,c=1,

???A=(-3)2-4xlxl=5>0,

?3±V5

??X—,

2

?3+V53—V5

'X2=

(5)(4%+l)2=(5x+2)2

(4x+I)2-(5x+2)2=0

(4x+1+5%+2)(4%+1—5%-2)=0

(9x+3)(-x-l)=0

-3(3x+l)(x+1)=0

3x+1=0或x+1=0

i

Xi=---%2=-1；

(6)(2x+l)2+3(2%+1)+2=0

令2x+1=3則原方程可化為產(chǎn)+3t+2=0

(t+l)(t+2)=0

t+1=0或t+2=0

ti=-1?t2=-2

則2%+1=-1,2盯+1=-2

解得久1=—1,%2=—|-

8.(2023下?八年級課時練習(xí))解方程(x—2)(x+l)(x+4)Q+7)=19.

【思路點撥】

把方程左邊第一個因式與第四個因式相乘，第二個因式與第三個因式相乘，得(/+5%-14)(x2+5尤+4)=

19,然后設(shè)y=(/+5xT4);(/+5x+4)=-+5%_5,解得y的值，最后解得尤的值.

【解題過程】

解：把方程左邊第一個因式與第四個因式相乘，第二個因式與第三個因式相乘，得

(/+5x-14)(/+5尤+4)=19.

設(shè)了=(X2+5X-14)；(X2+5X+4)=/+5%_5,①

則(y-9)(y+9)=19,

即/-81=19.

解得y1，2=±10'將"、刃的值代入①式得,

x*2+5x—5=10或久2+5x-5=-10,

—5+，85-5—^85-5+\^5-5-V5

解得X1=

2，久2-2，“3—2，%4-2

-=y

1+x,

9.（2023下?湖南長沙?八年級校聯(lián)考競賽）解方程組:L=z.

1+y

—=X

<l+z

【思路點撥】

利用代入消元法先求出一個未知數(shù)的值，再依次求其他未知數(shù)的值即可.

【解題過程】

解：把書=制弋入±=y得：、=案

把囁=z代入y=累得:

2+y

y=2y+3

去分母得：2y2+3y=2+y

整理得：y2+y-1-0

解得y=1|空

當(dāng)y=21盧時1-1+V51_一1+6

ZX

1+y21+z2

當(dāng)曠二三更時i-l-Vs1-1-V5

Z：—=-----,X

1+y21+z2

'-l+Vs(-1-V5

x=----X=----

22

-1-V5

方程組的解為:y=3或,V=-----.

：272

-l+Vs-1-V5

z=----[z=k

-2

10.（2023上?全國?九年級專題練習(xí)）解下列方程:

(1)2(7-7x)2-21(/-7%)+10=0；

(2)(2x2+3x)2_4(2/+3x)-5=0.

【思路點撥】

（1）利用換元法，先設(shè)/-7x=a,然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到。的值，然后即可得到該

方程的解;

(2)利用換元法，先設(shè)2/+3久=心然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到〃的值，然后即可得到

該方程的解

【解題過程】

(1)解：2(x2-7x)2-21(x2-7%)+10=0

設(shè)式2—7%=a,

貝I」2a2-21a+10=0

(2a—1)(。—10)—0

???2a—1=0或a—10=0,

解得，的=0.5,a2=10,

?.x2-7x=0.5或％2—7%=10,

：.2x2-14%-1=0或久2-7x-10=0,

Z7+V517-V517+V897-V89

角A7牛3倚B，Xl=---,X2=---，X3=--一，x4=——；

(2)解：(2%2+3%)2-4(2久2+3%)-5=0

設(shè)2/+3x=a,

則小—4a—5=0

(a—5)(a+1)=0,

???a-5=0或a+1=0,

解得，的=5,a2=-1,

???2x2+3%=5或2/+3%=-1,

???2x2+3%—5=0或2/+3%+1=0,

解得，=-2.5，x2=1，%3=—0.5，x4=-1.

11.（2024.全國?九年級競賽）解方程厚+代號=當(dāng).

X2+27x-23

【思路點撥】

本題考查了解含有二次根式的方程即無理方程；運用換元法解方程是本題的最大特點；根據(jù)方程的特點,

令y=晟，轉(zhuǎn)化為解分式方程，求得y的值，最后即可求解.

【解題過程】

'X2+21

解：令y=J晟,貝如NO.一,

x-2y

原方程化為：y+?=孩，

整理得：3y2-10y+3=0,

解得：71=p=3;

經(jīng)檢驗得，乃=/%=3是方程丫+?=/的解；

當(dāng)y=!時，即后=2

平方并整理得：%2-9%+10=0,

解得：X1=4,&=5；

x-21

顯然兩個解均滿足方程

X2+23

當(dāng)y=3時,

平方并整理得：9x2-x+20=0,

由于△=(-1)2-4x9X20<0,

???一元二次方程無解,

因而層1=3也無解;

綜上，原方程的解為：%!=4,x2=5.

12.（2。23上?湖北宜昌?八年級?？计谀┙夥匠?+3"-春=9.

【思路點撥】

將，+3%一上?=9化為r+3%-7-忌三-2=0,設(shè)a=/+3x-7,則原方程可化為a，

2=0,解得的=3,。2=-1,即：尢2+3X一7=3或/+3萬一7=-1,分別求解即可得到結(jié)果.

【解題過程】

3

解:x2+3%—=9,

X2+3X-7

3

+3x—9—=0

X2+3X-7

*+3久-7---2=。

設(shè)a=/+3%—7,則原方程可化為a---2=0,

a

化間得：次—2a—3=0

(ci-3)(ci+1)=0

??Q1=3,。2=-1f

即：%2+3%-7=3或％2+3%-7=-1

解之得：=2,x2——5,或%3=3；^^,%4=3,

經(jīng)檢驗，=2,%2=-5,第3=帶亙，%4=三場都是原方程得解，

3

則原方程得解為：%1=2,%2=-5，%3=—3；后,x4=""^.

13.(2023下?江蘇揚州?八年級?？茧A段練習(xí))解方程：

/1\X—216%+2

(1)--------;-=.

x+2X2-4x-2

(2)(x+4乃一5(久+4)=0.

【思路點撥】

本題主要考查了解分式方程，解一元二次方程：

(1)按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程，然后檢驗即可;

(2)利用因式分解法解方程即可.

【解題過程】

(1)解：^-4^=—

x+2X2-4X-2

去分母得：(%-2)2-16=(%+2)2,

去括號得：%2—4%+4—16=%2+4%+4,

移項得：%2—4%—%2—4x=4+16—4,

合并同類項得：-8%=16,

系數(shù)化為1得：%=—2,

檢驗，當(dāng)％=-2時，%+2=0,

.,?%=-2是原方程的增根，

?,?原方程無解；

(2)解：(%+4)2—5(%+4)=0

(%+4)(%+4—5)=0

%+4=0或％+4—5=0

解得第1=-4,x2—1.

14.(2023上.上海青浦.八年級?？计谀?解方程:

(1)7x+2-V8—x=2；

(3)2/-372好-1+1=0

【思路點撥】

(1)移項后兩邊平方得出x+2=4+4V^V+8—x,求出％-5=2折/，再方程兩邊平方得出/一

10%+25=4(8-%),求出x,再進(jìn)行檢驗即可；

(2)觀察可得最簡公分母是(％-3)(x+1),方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解;

(3)令t=V2x2-1,貝l|2/-1-3A/2X2-1+2=0,代入原方程，得產(chǎn)—3t+2=0,所以=2,t2=1，

然后分兩種情況分別解方程即可.

【解題過程】

(1)VXT2-=2

解：移項得，VXT2=2+V8^x,

兩邊平方得，久+2=4+4我=V+8-x,

合并同類項得，2萬-10=4我"，

%—5=2V8—x,

兩邊平方得，%2-10%+25=4(8-x),

整理得，x2—6%-7=0,

：.[x+1)(%-7)=0,

解得：Xt=-1,尤2=7,

經(jīng)檢驗，￡1=-1,不是原方程的解，

.?.原方程的解為：%=7.

⑵』E=i

解：方程兩邊同時乘以(％—3)(%+1)得，2%—(%+1)=%2—2%—3

整理得，%2-3x-2=0,

_3±V32-4xlX(-2)_3±V17

解得,X==

經(jīng)檢驗，%1=白"，第2=3嚴(yán)時，(%—3)(%+1)H0,

.?.原方程的根為：/=手，&=手.

(3)2x2-372x2-1+i=o

解：2/-1-372x2-1+2=0

令t=72x2一1,代入原方程得，t2-3t+2=0,

(t-2)(t—1)—0,

解得：tj=2,t2=1)

當(dāng)G=2時，V2x2—1-2,即：2x2—1=4,

?75ATS4BV1OV10

..公=5，解得：X1=--，X2=—,

當(dāng)t2=1時，72x2—1—1,即：2x2—1=1,

2

.".X=1,解得：x3=-1,x4=1,

經(jīng)檢驗Xl，久2,久3,應(yīng)都為原方程的解

??.原方程的解為：X]=—?，犯=手，x3——1,x4—1.

15.(2023下?安徽六安?八年級校考階段練習(xí))根據(jù)要求解答下列問題

(1)①方程/-2x+l=0的解為；

②方程%2-3%+2=0的解為；

③方程7-4x+3=0的解為；

(2)根據(jù)以上方程特征及解的特征猜想：方程/-9x+8=0的解為,并用配方法解方程進(jìn)行驗證;

(3)根據(jù)以上探究得出一般結(jié)論：關(guān)于x的方程/一(1+6)尤+m=0的解為.

【思路點撥】

(1)利用因式分解法解各方程即可；

(2)利用配方法解方程峭9%+8=0可判斷猜想結(jié)論的正確；

(3)根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可完成此間.

【解題過程】

⑴解：①"2計1=0,

2

(X-1)=0,

解得%1=%2=1，

即方程%2?2%+1=0的解為％i=%2=l；

②/?3%+2=0,

(x-1)(x-2)=0,

解得%1=1,久2=2，

即方程/-3%+2=0的角星為打=1,不=2;

③工2-4%+3=0,

(x-1)(%-3)=0,

解得%1=1,冷=3,

即方程7?4%+3=0的解為汽1=1,%2=3,

故答案為：①％1=久2=1；②％1=1，%2=2；③%1=1,%2=3；

(2)解：X2-9%+&=-8+(g)，

/9、249

2-2

；.久1=1,冷=8；

故答案為：無1=1,X2=8;

(3)解：x2-(l+m)x+m=0,

(x-1)(x-m)=0,

=m

%1=1，x2-

故答案為：%i=l,x2=m.

16.(2023上?山西運城?九年級統(tǒng)考期中)讀材料：各類方程的解法

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為尤=。的形式.求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為

兩個一元一次方程來解.求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解.各類方程的解法不盡相同，把未知轉(zhuǎn)

化為已知.用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如/+久2-2%=0,可以通過因式分解

2

把它轉(zhuǎn)化為+%_2)=0,解方程x=0和/+x_2=0,可得方程/+x-2x=0的解.

2

(1)問題：方程/+X-2x-0的解是X1=0,x2=，x3=；

(2)拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程不^=X的解.

【思路點撥】

本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵.

(1)利用因式分解法解方程/+%—2=0即可得；

(2)方程兩邊平方可得4x+5=/,利用因式分解法可得方程的解，再代入檢驗即可得.

【解題過程】

(1)解：由題意可知，解方程％=0和/+%一2=0,可得方程/+%2-2%=0的解，

%2+%—2=0,

(%+2)(%—1)=0,

x+2=0或％—1=0,

x=-2或久=1,

即第2=—2,%3=1，

故答案為：-2,1.

(2)解：V4x+5=%,

方程兩邊平方，得4%+5=%2,即/一4%-5=0,

(x—5)(x4-1)=0,

x—5=0或久+1=0,

x=5或/=—1,

經(jīng)檢驗，當(dāng)％=5時，左邊=，4x5+5=5=右邊,則％=5是原方程的解，

當(dāng)久=一1時，左邊=J4x(-1)+5=1W右邊,貝卜=一1不是原方程的解，

所以方程的解為％=5.

17.(2023上?江蘇揚州?九年級?？计谀?閱讀下列材料：為解方程/-_6=0可將方程變形為(7)2一

2

%-6=0然后設(shè)％2=y,則(％2)2=y2,原方程化為y2-y一6=0①，解①得=一2,y2=3.當(dāng)yi=-2

2

時，/=一2無意義，舍去；當(dāng)丫2=3時，x=3,解得％=±75；.??原方程的解為%1=遮，x2=—V3；

上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成