平面向量及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專題09平面向量及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

「［向量：既有方向又有大小的量

《零向量：長度為1個(gè)單位長度的向量）

O知識(shí)點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念平行（共線）向量：方向相同或相反的向量|題型01平面向量的概念辨析|

《相反向量：長度相等且方向相反的向量

三角形法則：首尾相接

向量加法平行四邊形法則:共起點(diǎn)

運(yùn)算律|題型01向量的線性運(yùn)算|

。知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算

向量減法I--1幾何意義：a-6=a+（-A）

平向量數(shù)乘運(yùn)算律：結(jié)合律、第一配律、第二分配律

面

向量共線定理：非零向量。與碘線o存在唯——個(gè)實(shí)數(shù)從使得6=加

向

Yo知識(shí)點(diǎn)三向必定理與基本定理）~c^雌定理）題型01向量共線及其應(yīng)用

量題型02基底的概念及判斷

、-------------------------------------------/L「平面向量基本定理：如臬“是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，

題型03用已知基底表示向量

及

那么對于平面內(nèi)任一向量。，有且僅有一對實(shí)數(shù)否，九，使。=4回+也62

其

應(yīng)向量的夾角同起點(diǎn)、0*e?180°

定義：?-d=|fl||6|cose題型01向量數(shù)量積的計(jì)算

用

Z向量的數(shù)量積題型02向量垂直的相關(guān)問題

O知識(shí)點(diǎn)四平面向量的數(shù)量積--------幾--何意義數(shù)量積。?播于I。巨碼方向上的投影網(wǎng)cose的乘積題型03向量模長的相關(guān)問題

題型04向量夾角的相關(guān)問題

向量數(shù)量積的性質(zhì)

題^05投影向量及其應(yīng)用

向量數(shù)量積的運(yùn)算律I交換律、分配律、數(shù)乘結(jié)合律

一向量0=(xiyl),b=(X2y2))

T加法：t+b=(xi+x2M+。^)

一向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示、卜

a-b=(xi-x2^v-y2)■'

J數(shù)乘：片“例

向量平行的坐標(biāo)表示）~~（XD,2-X說=0）

知識(shí)點(diǎn)五平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題型01平面向郵坐后示及運(yùn)算

O題型02線段定比分點(diǎn)的應(yīng)用

KL：模長的坐標(biāo)：口=衍）

匚向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

匚［模長的不等關(guān)系：路+“力￡+H）＞j

口承盤點(diǎn)?置；層升上

知識(shí)點(diǎn)1向量的有關(guān)概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、零向量：長度為0的向量，記作"

3、單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量.

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：。與任一向量平行.

5、相等向量：長度相等且方向相同的向量.

6、相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識(shí)點(diǎn)2向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

aa結(jié)哈"律(a+Z?)+c=a+S+。)

三角形法則平行四邊形法則

求Z與方的相反向量

減法ci—b=a+(—b)

工的和的運(yùn)算幾堤義

|研=4〃，

結(jié)合律：4（向=（2//）a；

求實(shí)數(shù)4與向量2的當(dāng)％>0時(shí)，花與Z的方向相同；

數(shù)乘第一分配律：（％+"）〃=4a+；

積的運(yùn)算當(dāng)力<0時(shí)，泥與Z的方向相反；

第二分配律：+=Aa+Ab

當(dāng)7=0時(shí)，2a=0

知識(shí)點(diǎn)3向量共線定理與基本定理

1、向量共線定理：如果￡則￡〃石，反之，如果2〃石且石片6,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)2,使14.

2、三點(diǎn)共線定理：平面內(nèi)三點(diǎn)A、B,C三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)4〃，使反=4函+〃礪，

其中4+〃=1,O為平面內(nèi)一點(diǎn)。2

3、平面向量基本定理

（1）定義：如果,可是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量Z，有且只有一對

實(shí)數(shù)4,4,使2=44+%]

（2）基底：若4,不共線，我們把忖，可叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

（3）對平面向量基本定理的理解

①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底.同一非零向量在不同基底下的分解

式是不同的.

②基底給定時(shí)，分解形式唯一.4,4是被24,最唯一確定的數(shù)值.

③冢益是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，

則當(dāng)Z與[共線時(shí)，4=0；當(dāng)Z與公共線時(shí)，4=。；當(dāng)時(shí)，4=4=0.

④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量.

知識(shí)點(diǎn)4平面向量的數(shù)量積

1、向量的夾角

1iUULiULWi11

（1）定義：已知兩個(gè)非零向量。和b,作。A=a,OB=b,則/A08就是向量。與b的夾角.

（2）范圍：設(shè)。是向量;與方的夾角，則0”先180。.

（3）共線與垂直：若6=0。，則。與方同向；若9=180。，則，與力反向；若6=90。，則:與力垂直.

2、平面向量的數(shù)量積

⑴定義：己知兩個(gè)非零向量。與力，它們的夾角為0,則數(shù)量即Jocose叫做，與，的數(shù)量積（或內(nèi)積），

記作口力，即=|a||Xcos6,規(guī)定零向量與任一■向量的數(shù)量積為。，即0，a=0.

（2）幾何意義：數(shù)量積二）等于。的長度而與，在。的方向上的投影13cos6的乘積.

【注意】⑴數(shù)量積。?）也等于，的長度|b|與:在方方向上的投影。cos。的乘積，這兩個(gè)投影是不同的.

II

（2）.在方方向上的投影也可以寫成牛?，投影是一個(gè)數(shù)量，可正可負(fù)可為0,取決于9角的范圍.

蚓

3、向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)，，，是兩個(gè)非零向量，；是單位向量，a是。與;的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì):

rrrr.I.T,巴

（1）e-a=a-e=\a\\e\cosa=回cosa.

iiii

（2）aA.ba-b=Q.

?[J*j*rrAiriYr

（3）a，匕同向=|a|M；a，b反向=a./?=—|〃||可?

特別地"』「二2或3田?

（4）若e為q,卜的夾角，貝hose=

4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律

ii11

（1）a-b=b-a（交換律）.

rr/r八

（2）Aa-b=A[a-b\=a-A\b\（結(jié)合律）.

/itxrrrrr

（3）\a+byc=a-c+b'C（分配律）.

【注意】對于實(shí)數(shù)。，b,。有（a/）?c=a?（Ac）,但對于向量Q,b,c而言，（〃"）?（:二〃?（/??（?）不一

定成立，即不滿足向量結(jié)合律.這是因?yàn)椋―）；表示一個(gè)與c共線的向量，而二加"表示一個(gè)與a共線

的向量，而:與二不一定共線，所以（；?、）；==（%；）不一定成立.

知識(shí)點(diǎn)5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示

（1）已知：=&,%）[=（%,%）,則蒜1a+盯%+為），3=&一孫%一%）.

結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

（2）若〃=（x,y）,則幾6^（4%,幾?。?；

結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

2、向量平行坐標(biāo)表不：已知〃=（%,%）工=（九2，%），則向量〉Z?（Z?W。）共線的充要條件是玉%-%2%=。

3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知非零向量〃=（%，X）,b=（x2,y2）,。與匕的夾角為夕

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模a=舊+y；

11

cos*,=+產(chǎn)

夾角cos0=

\a\\b\Jx；+y；.Jr；+

，的充要條件

a-b=0X/2+X%=0

rr

a-b與＜）的關(guān)系|觸|第期玉%2+X%<+y；)(%+yl)

■點(diǎn)突破?看分?中特

重難點(diǎn)01平面向量最值或范圍問題

1、定義法：①利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；②運(yùn)用基本不等式求其

最值問題；③得出結(jié)論。

2、坐標(biāo)法：①根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；③運(yùn)

用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。

3、基底法：①利用基底轉(zhuǎn)化向量；②根據(jù)向量運(yùn)算化簡目標(biāo)；③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不

等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；

4、幾何意義法：①結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)；②利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；③結(jié)

合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍。

類型1數(shù)量積的最值或范圍

【典例1】（2024?四川成都?三模）在矩形ABCD中，AB=5,AO=4,點(diǎn)E滿足2衣=3麗，在平面ABC。

中，動(dòng)點(diǎn)尸滿足萬.麗=0，則由?衣的最大值為（）

A.741+4B.741-6C.25/13+4D.2713-6

TTTT

【典例2】（2024.江西鷹潭.二模）在Rt^ABC中，角A,&C所對應(yīng)的邊為°,4c,A=—,C=-,c=2,P

62

是“LBC外接圓上一點(diǎn),則京.（玄+網(wǎng)的最大值是（

A.4B.2+A/IOC.3D.1+M

類型2模長的最值或范圍

【典例1】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知向量。=,根eR,3=（0,2）,則忖+q的最小值為.

【典例2】（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABC。中A=45。,A3=1,AD=C，若

1?=荏+彳而（xeR）,則網(wǎng)的最小值為（）

A.±B.也C.1D.J2

22

類型3向量夾角的最值或范圍

【典例1】（2024?廣東江門.二模）設(shè)向量35=（l,x）,9=（2,x）,則cos〈次，麗〉的最小值為.

【典例2］（23-24高三上.山東荷澤?階段練習(xí)）已知向量7B，滿足同=1同=4,若對任意模為2的向量入

均有"日+怛回W20T,則向量Z,石的夾角的取值范圍為.

類型4線性系數(shù)的最值或范圍

―.1__.

【典例1】（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）（多選）在AA6C中，。為邊AC上一點(diǎn)且滿足若P為邊

8。上一點(diǎn)，且滿足而=彳荏+〃正，2,〃為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A,九月的最小值為1B.2"的最大值為二

12

C.；+；的最大值為12D.%1的最小值為4

【典例2］（23-24高三下?安徽?階段練習(xí)）已知正方形ABC。的邊長為2,中心為。，四個(gè)半圓的圓心均為

正方形A3CD各邊的中點(diǎn)（如圖），若尸在BC上，且麗=2而+〃而，則幾+〃的最大值為.

D

重難點(diǎn)02運(yùn)用向量表示三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心

1、常見重心向量式：設(shè)。是A48C的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)

@OA+OB+OC=0

②麗=|+PB+PC)

③若刀=4(屈+而)或而=瓦？+；1(近+前)，2e[0,+oo),貝”一定經(jīng)過三角形的重心

④若方=M禹+同嬴)或加=，(禹+舊金｝%e[0,+8)則P一定經(jīng)過三角形的重心

2、常見垂心向量式：。是AABC的垂心，則有以下結(jié)論：

①初-OB=~OB-OC^OC-OA

?\0A\2+|BC|2=\0B\2+|CX|2=|西2+|函2

③動(dòng)點(diǎn)P滿足而=++Ae(0,+?>),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過A4BC的垂心

\\AB\cosB\AC\cosC/

3、常用外心向量式：。是A4BC的外心，

①I西=\0B\=\0C\Q市2=Q^2=反2

②畫+0B)-XB=(OB+0C)-BC=(ol+0C)-XC=0

③動(dòng)點(diǎn)P滿足加="產(chǎn)+幾止0+V),4e(0,+8),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過44BC的外心.

2\(\A4B\cosB\AC\cosCJ

④若(市+而)?通=(OB+0C)-BC=(OC+0A)-CA=0,貝I]。是AABC的外心.

4、常見內(nèi)心向量式：P是44BC的內(nèi)心，

①國麗+\BC\PA.+\CA\PB=0(或a刀+b~PB+cPC=0)

其中a,b,c分另lj是△力BC的三邊BC、AC,AB的長，

②布=%(需j+嗇)A[0,+a>),貝”一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心。

___AD__.R]D/\

【典例l】(2024?四川南充三模)已知點(diǎn)尸在AASC所在平面內(nèi)，若可?(-^-=^)=麗?(=^--)=0,

|AC|\AB\\BC\\BA\

則點(diǎn)尸是AABC的()

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

【典例2](23-24高三上?全國?專題練習(xí))已知G,O,反在AABC所在平面內(nèi)，滿足麗+麗+太=6,

\OA\^OB\^OC\,AHBH=BHCH=CHAH，則點(diǎn)G,O,”依次為AABC的()

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心、內(nèi)心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

重難點(diǎn)03奔馳定理及其應(yīng)用

1、奔馳定理：。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且久+y?礪+z?反=6,

則SABOC：SACOA：SAAOB-x-.y.z

2、證明過程：已知。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，RBOC,\COA,AAOB的面積分別為叢，SB,Sc,

求證：SA-OA+SB-'OB+Sc-OC=0.

延長。4與8C邊相交于點(diǎn)。，

則―_SA/BD_SRBOD_S'ABD-S'BOD_￡c

DCS&ACDSXCODSLACD-SLCODSB

OD=—OB+—OC^-OB+~^0C,

BCBCSB+SCSB+SC

??￡￡_SBOD_S—OD_S—OD+SCOD_S.

0ASSS+S

BOACOABOACOASB+SC

：.~0D=--^-OA,

SB+SC

--^-OA=-^-OB+~^0C,

SB+SCSB+SCSB+SC

所以叢-OA+SB-OB+Sc-OC=0.

(3)奔馳定理推論：x-~OA+y-~OB+z-~OC=0,則

①S&BOC：S^COA：SAAOB=\x\-lyl:\z\

?S&BOC_IxIS”oc__IyIS^OB_|Z

SRABClx+y+zl9S^ABClx+y+zl9S?ABC\x+y+z

由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.

（4）對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向

量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案。

【典例1］（23-24高三上?江西新余?期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向

量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具

體內(nèi)容是：已知M是AASC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AAMC,AAMB的面積分別為鼠，SB,Sc,且

SA-MA+SBMB+SCMC=O.以下命題正確的有（）

A.若%：Sc=1:1:1,則M為AABC的重心

B.若M為MBC的內(nèi)心，則2C.癥+AC.礪+AH就=0

C.若M為&4BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0^則tan/B4C:tan/ABC:tanN3C4=3:4:5

D.若/54C=45。，ZABC=6O°,M為AABC的外心，則梟：S-:S0=石:2:1

【典例2］（23-24高三上.河北保定.階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)?/p>

這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC

內(nèi)一點(diǎn)，ABOC,AAOC,AAQ?的面積分別為%SB，S一則邑?函+SB?幅+”?玄="設(shè)。是

內(nèi)一點(diǎn)，dBC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,ABOC,^AOC,AA03的面積分別為梟，SB,Sc,若

30A+40B+50C=0＞則以下命題正確的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.。有可能是AABC的重心

C.若。為AABC的外心，則sinA:sinZ?:sinC=3:4:5

D.若。為dBC的內(nèi)心，則AASC為直角三角形

重難點(diǎn)04極化恒等式及其應(yīng)用

1、極化恒等式：力=；（+弓+叫］

2、平行四邊形模式：平行四邊形48CD,。是對角線交點(diǎn).則?前＞=5|4。2—

3、三角形模式：在△ABC中，設(shè)。為BC的中點(diǎn)，則屈?/=|AD|2一|8。匕

【典例1］（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形

的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，。為=；（|z42T近『），我們稱為極化恒等式.

已知在AABC中，M是2C中點(diǎn)，AM=3,BC=10,則通.衣=（）

C.-8D.8

【典例2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）四邊形A5CD中，〃是AB上的點(diǎn)，MA=MB=MC=MD=\,

ZCMD=90°，若N是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，NA-NB的取值范圍是.

法技巧?逆劣學(xué)霸

一、解決向量概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)

1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

2、共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量.

4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談.

5、非零向量￡與言的關(guān)系：言是￡方向上的單位向量，因此單位向量言與￡方向相同.

\a\\a\\a\

6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能.但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小.

7、在解決向量的概念問題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向

量是否也滿足條件.

【典例11（2023?湖南長沙?一模）（多選）下列說法不正確的是（）

A.若aUb，則Z與石的方向相同或者相反

ab

B.若￡,另為非零向量，且同二時(shí)，則Z與B共線

C.若al1b，則存在唯一的實(shí)數(shù)X使得a=Xb

D.若不反是兩個(gè)單位向量，且|e1-e2|=l,貝！||^+￡>2|=72

【典例2】（2023高三?全國?專題練習(xí)）（多選）下列命題正確的是（）

A.若ZE都是單位向量，則2=反

B.“同=忖”是“2=廠的必要不充分條件

C.若￡石都為非零向量，則使=+券=0成立的條件是￡與B反向共線

\a\\b\

D.若￡=石，方則2

二、平面向量共線定理的應(yīng)用

1、證明向量共線：若存在實(shí)數(shù)%,使2=",則Z與非零向量方共線；

2、證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)讓使?jié)駮?huì)與北有公共點(diǎn)A,則A,B,C三點(diǎn)共線；

3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值

【典例1】（2024?浙江.模擬預(yù)測）已知向量不，馬是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且費(fèi)=4+23，

BC=-3e1+2e2,礪=34一6可，貝！J（）

A.A、B、C三點(diǎn)共線B.A、B、。三點(diǎn)共線

C.A、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、。三點(diǎn)共線

【典例2】（2024高三.全國?專題練習(xí)）在AABC中，M,N分別是邊2C,AC的中點(diǎn)，線段AM,BN交于點(diǎn)

D,則學(xué)47■~）的值為（）

三、平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路

1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的

形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

【典例1】（2024?山西呂梁?三模）已知等邊的邊長為1,點(diǎn)2E分別為的中點(diǎn)，若赤=3麗，

則說=（）

1—.5.1—■3—?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1uun3u?

C.-AB+AC-AB+-AC

222

【典例2］（23-24高三下?黑龍江大慶?階段練習(xí)）四邊形ABC。中，AB=tDC，且羽=2近+〃麗，若

四、平面向量數(shù)量積的求解方法

1、定義法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：當(dāng)己知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，即。包=|。啊cos.

（2）適用范圍：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。

2、基底法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表

示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級的運(yùn)算律和定義求解。

（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采

用“基底法”求解。

3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積

（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，

即若a=（玉，乂），b=（x2,y2）＞則。2=不%2+弘%；

（2）適用范圍：①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。

[典例1]（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測）已知向量,=-1+了，B=2：+3],（1，了分別為正交單位向量），則商.5=

（）

A.-1B.1C.6D.-5

【典例2】（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）已知邊長為1的正方形A8CD,點(diǎn)、E,尸分別是BC,C。的中點(diǎn)，則

AEEF=（）

五、解決有關(guān)垂直問題

1111I

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：①〃_]_%=〃?%=（）；②若a=（/%），b=（%2，%），則

11

a-Lb<^x1x2+y1y2=0.

【典例1】（2024.全國.高考真題）已知向量亍=（0,1）石=（2,%）,若石，（方-4日）,貝”=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【典例2】（2024?西藏.模擬預(yù)測）已知向量￡=卜0$,fe=^cos^tz+^,sin^+^^.若

（25+5）1（5+%^）,則實(shí)數(shù)X的值是（）

A.—2B.—C.-D.2

22

六、求向量模的常用方法

1、定義法:利用。|=以及。土獷』「±2荽+臚，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；

2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；

3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余

弦定理等方法求解.

【典例1】（2024.山東荷澤.二模）已知向量￡=（—2,1）萬=（3/），且歸+同=歸-5],則1的值是（）

32

A.-6B.——C.-D.6

23

【典例2】（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）已知向量B滿足1"1=2,出|=3,05―5）=—1,則|2萬—司=（）

A.5B.V5C.6D.8

七、平面向量的夾角問題

求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟：

第一步，由坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；

第二步，分別求出這兩個(gè)向量的模；

11

八a-bxx9+UKi

第三步，根據(jù)公式==.昔r_求出這兩個(gè)向量夾角的余弦值,其中a=G，x），

\a\\b\｛總+y；7芯+￡

1

b=（x2,y2）；

第四步，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍［0,刈及其夾角的余弦值，求出兩個(gè)向量的夾角.

【典例1】（2024.江蘇泰州.模擬預(yù)測）若1（2,0）,同=1,忖-司=石，貝算與的夾角為（）

71―兀一兀一5兀

A.-B.-C.-D.—

6326

【典例2】（2024.河北?模擬預(yù)測）平面四邊形ABCZ）中，點(diǎn)E、P分別為AD，8c的中點(diǎn)，

\CD\^2\AB\=8,\EF\=5,則cos（麗阿=（）

八、投影向量及其應(yīng)用

r1I1I1

7r人r

^Q

UULU1Iuuunrrr一b

干f-

?l-

設(shè)向量44是向量。在向量匕上的投影向量，則有44=1aIcos<4,>>?77bgF

^a^

【典例1】（2024?山東青島?二模）已知向量百=（—1,2）,^=（-3,1）,則才在5上的投影向量為（）

A.(一3/1)B.(--1,1)3710回、

C.?io'7o"

［典例2］（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，函=（1,若），點(diǎn)8在直線x+6y-2=o上,

則加在市上的投影向量為（）

A.(1,73)B.(1,3)

混笏錯(cuò)?睢盤在轉(zhuǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)1平面向量的概念模糊，尤其是零向量

點(diǎn)撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反

向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。

【典例1](23-24高三上?全國?專題練習(xí))(多選)下列說法中正確的是()

A,零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個(gè)非零向量不一定