解三角形的最值和范圍問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)12解三角形的最值和范圍問題【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】...............................................2

【題型2三角形邊長(zhǎng)的最值或范圍問題】........................................................3

【題型3三角形周長(zhǎng)的最值或范圍問題】........................................................4

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】.....................................5

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】......................................................6

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】......................................................7

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）】......................................................8

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】..........................................................9

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】.................................................10

?命題規(guī)律

1、解三角形的最值和范圍問題

解三角形中的最值或范圍問題，通常涉及與邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或

與角度有關(guān)的范圍問題，一直是高考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，主

要是利用三角函數(shù)、正余弦定理、三角形面積公式、基本不等式等工具研究三角形問題，解決此類問題的

關(guān)鍵是建立起角與邊的數(shù)量關(guān)系.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形中的最值和范圍問題】

1.三角形中的最值（范圍）問題的常見解題方法：

（1）利用正、余弦定理結(jié)合三角形中的不等關(guān)系求最值（范圍）；

（2）利用基本不等式求最值（范圍）；

（3）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）；

（4）轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值（范圍）；

（5）坐標(biāo)法求最值（范圍）.

2.三角形中的最值（范圍）問題的解題策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或面積的最值（范圍）問題的核心，要牢牢掌握并靈活運(yùn)

用.解題時(shí)要結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、輔助角公式、基本不等式等研究

其最值（范圍）.

（2）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）問題的解題策略

三角形中最值（范圍）問題，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理邊化角，利

用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍.

（3）坐標(biāo)法求最值（范圍）求最值（范圍）問題的解題策略

“坐標(biāo)法”也是解決三角形最值問題的一種重要方法.解題時(shí)，要充分利用題設(shè)條件中所提供的特殊邊

角關(guān)系，建立合適的直角坐標(biāo)系，正確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將所要求的目標(biāo)式表示出來并合理化簡(jiǎn)，再結(jié)

合三角函數(shù)、基本不等式等知識(shí)求其最值.

?舉一反三

【題型1三角形、四邊形面積的最值或范圍問題】

【例1】(2024?河北石家莊?三模)在△ABC中，角4B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,c=4,ab=9.

⑴若sinC=I，求sin力?sinB的值；

(2)求△力BC面積的最大值.

【變式1-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))記銳角三角形48C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcos力=遮―

acosB,2asinC=V3.

⑴求4

(2)求4ABC面積的取值范圍.

【變式1-2](2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面內(nèi)，四邊形4BCD滿足。點(diǎn)在AC的兩側(cè)，48=1,8C=2,

△ACD為正三角形，設(shè)41BC=a.

(1)當(dāng)&=

(2)當(dāng)a變化時(shí)，求四邊形力BCD面積的最大值.

【變式1-3]（2024?上海?三模）已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且V^a=2csinA.

⑴求sinC的值；

（2）若c=3,求△力BC面積S的最大值.

【題型2三角形邊長(zhǎng)的最值或范圍問題】

【例2】（2024?四川?三模）在△ABC中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足2csinBcosA=b（sinAcosB+

cosAsinB).

(1)求4

（2）若△4BC的面積為16%，。為AC的中點(diǎn)，求8。的最小值.

【變式2-1】（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別記為a,b,c,且tanA=半%

cosC+smH

⑴若求C的大小.

(2)若a=2,求6+c的取值范圍.

【變式2-2X2024?廣東廣州三模）在銳角△ABC中，內(nèi)角4,2,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且c=bsin?+acosB.

⑴求/;

(2)若。是邊BC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且乙求案的取值范圍.

DL)

【變式2-3](2024?江西鷹潭?二模)△4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足上哼=嗎.

cos/COSO

(1)求證：A+2B=］；

(2)求產(chǎn)的最小值.

【題型3三角形周長(zhǎng)的最值或范圍問題】

【例3】(2024?安徽淮北?二模)記△力BC的內(nèi)角C的對(duì)邊分別為a,瓦c,已知c-6=ZcsiH夕

(1)試判斷△ABC的形狀；

(2)若c=l,求△4BC周長(zhǎng)的最大值.

【變式3-1](2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè))已知在△力BC中，。為2C邊的中點(diǎn)，且AD=通.

(1)若△力BC的面積為2,cos^ADC=y,求B；

(2)若2爐+AC2=18,求44BC的周長(zhǎng)的最大值.

【變式3-2］（2024?云南曲靖?二模）在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且acosC+gcsin4=6+c.

（1）求角B的取值范圍；

（2）已知△4BC內(nèi)切圓的半徑等于李，求^4BC周長(zhǎng)的取值范圍.

【變式3-3］（2024?湖南常德?一模）已知△ABC的內(nèi)角45C的對(duì)邊分別是a,b,c,且」J=2b.

cost

⑴判斷△ABC的形狀；

（2）若44BC的外接圓半徑為虎，求aA8C周長(zhǎng)的最大值.

【題型4三角形的角（角的三角函數(shù)值）的最值或范圍問題】

【例4】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,瓦c.若a=V5,b=2,則8+C

的取值范圍是（）

A?6羽B(yǎng).停,n）

C?加）D.（得

【變式4-1］（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）在中，角48、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若看+親=另,

則tan/二的最小值為（）

tanc

1?21

A.4B.-C.-D.-

【變式4-2］（2024?陜西寶雞?二模）中，。為邊的中點(diǎn)，AD=1.

BDC

（1）若△4BC的面積為2百，且=求sinC的值;

（2）若BC=4,求cosNBAC的取值范圍.

【變式4-3]（2024?北京石景山?一模）在銳角△A8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2bsin力一百a=0.

（1）求角B的大小;

（2）求cos力+cosC的取值范圍.

【題型5利用基本不等式求最值（范圍）】

【例5】（2024?山西太原?三模）已知△ABC中，A=120°,D是BC的中點(diǎn)，且4D=1,則△力BC面積

的最大值（）

A.V3B.2V3C.ID.2

【變式5-1]（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,hc,且a=V^,BC邊上中

線力。長(zhǎng)為1,則be最大值為（）

A.-B.-C.V3D.2V3

42

【變式5-2]（2024?安徽合肥?二模）記△力BC的內(nèi)角45C的對(duì)邊分別為a,瓦c,已知0=2,^^+二^+

tanAtanB

—丁=1.則△ABC面積的最大值為（）

tanAtanB

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2V3

【變式5-3]（2024?浙江臺(tái)州?二模）在△力BC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosC=2ccosA,

則等的最大值為（）

A.V3B.-C.—D.3

22

【題型6轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值（范圍）】

【例6】（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè)）在△力BC中，內(nèi)角/,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,置塔押誓=行

cos^B—cos^A

（1）求角A的大小;

（2）若△4BC為銳角三角形，點(diǎn)/為△ABC的垂心，力F=6,求CF+BF的取值范圍.

【變式6-1]（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知△力BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,（c-gb）sinC=（a—

b)(sinA+sinB).

⑴求力;

（2）若△ABC為銳角三角形，且b=6,求△力BC的周長(zhǎng)I的取值范圍.

【變式6-2]（2024?河北衡水?一模）在△力BC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,三角形面積為S,若D

為4C邊上一點(diǎn)，滿足力B_L=2,且a2=—竽S+abcosC.

⑴求角B；

⑵求方+方的取值范圍.

【變式6-3]（2024?福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形A8CD中，ADAB=B=\且△4BC的外接圓

26

半徑為4.

C

D

(1)若BC=4a,AD=2V2,求△4CD的面積;

(2)若D=g,求BC—力。的最大值.

【題型7轉(zhuǎn)化為其他函數(shù)求最值(范圍)】

【例7】(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))設(shè)銳角△4BC的三個(gè)內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,hc,且c=2,B=2C,

則a+6的取值范圍為()

A.(2,10)B.(2+2V2,10)C.(2+2企,4+2次)D.(4+273,10)

【變式7-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知△ABC是銳角三角形，內(nèi)角4,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.若

a2-b2=be,則-也的取值范圍是()

a+c

A.(y,y)B.(2-V3,1)C.(2-V3,V2-1)D.(V2+l,V3+2)

【變式7-2](2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知△力BC為銳角三角形，其內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

cosB=cos2A

(1)求3的取值范圍；

(2)若a=l,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【變式7-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知△力BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為

22

入c_b-c+16

ctfbfcf3△4BC=,tanrc.

(1)求a的值；

(2)若D為線段BC上一點(diǎn)且滿足BD=1,。力平分/84(7,求△4BC的面積的取值范圍.

【題型8“坐標(biāo)法”求最值（范圍）】

【例8】（23-24高一下?四川宜賓?期末）如圖，在平面四邊形A8CD中，力B1BC,乙BCD=60°,/.ADC=150°,

BE=3EC,C￡>=等，BE=時(shí),若點(diǎn)尸為邊4D上的動(dòng)點(diǎn)，則麗?麗的最小值為（）

1531

A.1B.—C.—D.2

1632

【變式8-1］（2023?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）已知平行四邊形ABCD中，^ADC=60°,E,F分別為邊AB,BC

的中點(diǎn)，若屁?而=13,則四邊形4BCD面積的最大值為（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【變式8-2］（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在等腰△力BC中，角C所對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c,B=C=Ra=2同

6

尸是△ABC外接圓上一點(diǎn)，則刀?麗+麗?玩+配?園的取值范圍是（）

A.[-3,23]B.[-1,33]C.[-2,30]D.[-4,20]

【變式8-3］（2024?江西南昌?三模）如圖，在扇形0/8中，半徑。4=4,乙4。8=90。，C在半徑。8上,

。在半徑。/上，E是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）,則平行四邊形3CDE的周長(zhǎng)的取值范圍是（）

B.(8V2,12]

D.(4,8?

【題型9與平面向量有關(guān)的最值（范圍）問題】

【例9】（2023?河南開封?三模）已知久、器為單位向量，|瓦-石|=g，非零向量,滿足位-2名|=1,則

|西-目的最小值為（）

A.V7B.V7-1C.V3D.V3-1

【變式9-1]（23-24高三上?北京通州?期末）在菱形力BCD中，力B==6（T,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD

上一點(diǎn)（不與C,D重合），DE與4F交于G,則萬?說的取值范圍是（）

A.（0,|）B.（0彳）C.（0,2）D.（0,3）

【變式9-2]（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）己知平行四邊形48CD中，AB=2,BC=4,8=攀，若以。為

圓心的圓與對(duì)角線8。相切，尸是圓C上的一點(diǎn)，則前?（麗一方）的最小值是（）

A.8-2V3B.4+2V3C.12-4V3D.6+2百

【變式9-3]（2023?福建廈門二模）在4力。3中，已知|云|=V2,\AB\=12AOB=45。,若加=AOA+fiOB,

且4+2〃=2,//￡[0,1],則市在而上的投影向量為泥（方為與而同向的單位向量），則加的取值范圍是

（）

A?卜切B.即C.（一力D.（?,!]

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角43,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,bcosA=1+cosB,

則邊6的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

2.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC角力、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c滿足衛(wèi)=也警，則角B的

a-csmB

最大值為（）

A.-B.-C.-D.—

6433

3.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測(cè)）已知在同一平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)42,C滿足|朋=2端-尚21,則麻+園

的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,刀C.[0,V3]D.[0,2碼

4.（2024洞南?三模）在△ABC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若，7+々=2,則tan力+tanC

的最小值是（）

A.-B.-C.2V3D.4

33

5.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）在銳角△ABC中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足子=（A若a=2日,

b+c

則廣+02的取值范圍為（）

A.（12,24]B.（20,24]C.[12,24]D.[20,24]

6.（2024?江西?二模）在△力BC中，若sin力=2cosBcosC,則cos2B+cos2c的取值范圍為（）

7.（2024?全國(guó)?二模）在△48C中，內(nèi)角B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,2acosA=bcosC+ccosB,

且a=4sin力，則△NBC周長(zhǎng)的最大值為（）

A.4V2B.6V2C.4V3D.6V3

8.（2024?陜西咸陽?三模）為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府

在市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”O(jiān)PQ中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道04B,已

知扇形的半徑0P=3,圓心角NPOQ=],4是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，B是半徑0Q上的動(dòng)點(diǎn)，AB//OP,則△OAB

面積的最大值為（）

Q

二、多選題

9.（2024?江蘇南京?二模）已知△4BC內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,。為△2BC的重心，cosA=5

AO=2,貝！I（）

A.AO^-AB+-ACB.AB-AC<3

33

C.△力BC的面積的最大值為3聲D.a的最小值為2遍

10.（2024?湖南?二模）在△力BC中，角所對(duì)的邊分別為a,hc,且c=b（2cos4+1）,則下列結(jié)論正

確的有（）

A.A=2B

B.若a=gb,則△ABC為直角三角形

C.若△ABC為銳角三角形，上—-、的最小值為1

tanBtanA

D.若△ABC為銳角三角形，則擲取值范圍為停，竽）

11.（2024?河北邯鄲?三模）已知△2BC的三個(gè)內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,面積為苧④+c?-的,

則下列說法正確的是（）

A.cosAcosC的取值范圍是

B.若。為邊力C的中點(diǎn)，且BD=1,則△ABC的面積的最大值為日

C.若△ABC是銳角三角形，則/的取值范圍是（｝,2）

D.若角B的平分線BE與邊47相交于點(diǎn)E,且BE