解答題：空間向量與立體幾何（7大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

解答題：空間向量與立體幾何

題型4空間點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離求解

題型1空間異面直線(xiàn)夾角的求解

題型5空間幾何體的體積求解

空間向量與

題型2空間直線(xiàn)與平面夾角的求解

題型6空間幾何體的翻折問(wèn)題

題型3空間平面與平面夾角的求解

題型7空間動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題的探究

題型一：空間異面直線(xiàn)夾角的求解

龍塞》大題典例

（23-24高三上?河北衡水?月考）如圖，在四棱錐P-ABC。中，24,平面ABCD,底面ABC。是平行四邊

（1）求證：3D工平面PAC；

（2）若APAB是等腰三角形，求異面直線(xiàn)尸3與AC所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）如.

4

【解析】（1）因?yàn)榈酌鍭5C?是平行四邊形，且△河是等邊三角形，

所以四邊形A2CD是菱形，則有BOLAC,

又上4,平面AB。，BDu平面ABCD,所以B4_LBD,

又PAp|AC=A,E4u平面PAC,ACu平面PAC,所以2平面PAC；

（2）設(shè)ACCW=O,

是等腰三角形，

PA=AB^2,AO=OC=y/3,

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)OB,OC分別為X軸，y軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

如圖，

則網(wǎng)0,-石,2）,A（0,-6,0）,B（l,0,0）,C（0,V3,0）,

所以聞=（1,萬(wàn)一2）,AC=（0,273,0）,

設(shè)尸B與AC所成角為6,

畫(huà)困="。+百X2A+（-2）X0|=6=也

所以cose一同網(wǎng)J12+陰2+（_2『xg（2南+022^X2且4

即PB與AC所成角的余弦值為國(guó).

4

龍A期希指導(dǎo).

1、求異面直線(xiàn)所成角一般步驟：

（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條成為相交直線(xiàn).

（2）證明：證明所作的角是異面直線(xiàn)所成的角.

（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成角。的取值范圍是10,叁，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異

面直線(xiàn)所成的角.

2、可通過(guò)多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：

（1）直接平移法（可利用圖中已有的平行線(xiàn)）；

（2）中位線(xiàn)平移法；

（3）補(bǔ)形平移法（在己知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線(xiàn)）.

3、異面直線(xiàn)所成角：若雇％分別為直線(xiàn)A/2的方向向量，。為直線(xiàn)的夾角，則

cos6=cos<"I，%>1=

龍麓》變式訓(xùn)練

1.(24-25高三上?江西南昌?開(kāi)學(xué)考試)如圖，圓錐尸。的軸截面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，C是02的

2兀

中點(diǎn)，。是底面圓周上一*點(diǎn)，DOC—

(1)求。C的值;

(2)求異面直線(xiàn)PA與DC所成角的余弦值.

【答案】⑴歷喈

2兀

【解析】（1）AOCD中，OD=2,OC=1,ZDOC=-

根據(jù)余弦定理，DC=OD2+OC2-2OD-OC-cosy=>/7.

(2)如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，為y軸和z軸,

過(guò)點(diǎn)。作QCO3為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

尸（0,0,2—）,A（0,-2,0）,C（0,l,0）,D（V3,-l,0）,

PA=（0,-2,-2>/3）,DC=（->/3,2,0）,

一7

所以異面直線(xiàn)以與DC所成角的余弦值為史.

7

2.（24-25高三上?上海?期中）如圖，在直三棱柱ABC-A瓦G中，AB1AC,AB=AC=AAi=l.

（2）求直線(xiàn)42與AG所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；

【解析】（1）由題知明，面ABC,又ABu面ABC,所以AAJAB,

又AB1AC,A41nAe=A,9,ACu面ACC0,所以AB,面AC￡A，

又4Cu面ACGA，所以ABLA。，

又AC=AA=1,所以四邊形ACGA是正方形，得到ACLAG，

又ABcAG=A,AB,AC,u面ABC」所以AC,平面ABC「

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳5=AC=例=1,

則A(0,0,1),A(0,0,0),5(1,0,0),G(0,1,1),

uuu_____1k

得到A3=(l,0,T),AQ=(0,1,1),

I-.-.IAC]11

設(shè)直線(xiàn)AB與AG所成角為0,

題型二：空間直線(xiàn)與平面夾角的求解

大題典例

（24-25高三上?江蘇南京?期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,PALPD,ABrAD,

PA=PD,AB=2,AD—8，AC—CD—5,

（1）求證：平面PCD_L平面

（2）求直線(xiàn)尸8與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；Q）手

【解析】（1）因?yàn)槠矫妗↙D，平面ABC。，且平面RtDc平面=

且M_LAD,ABu平面ABCD,

所以AB_L平面PAD,

因?yàn)镻Du平面PAD,所以AB_LPD,

又PD1.PA,且PAp|A3=A,PA,ABu平面PAB,

所以RD_L平面上4B,

又PDu平面PAD,所以平面PCDJL平面P4B；

又因?yàn)樗?尸￡>,所以尸OLAD,則4。=尸。=4,

因?yàn)锳C=CD=5,所以CO2.AD,則。。二辦。?..=3,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以反，0A,而所在直線(xiàn)為x,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系。-孫z,

則4（0,4,0）,5（2,4,0）,C（3,0,0）,D（0,-4,0）,P（0,0,4）,

定=（3,0,-4）,麗=（OT,Y）,方=（2,4,T）,

設(shè)為=（x,y,z）是平面PCD的一個(gè)法向量，

n-PC=0{3x-4z=0

貝葉——，得,“C，

n-PD=0[-4y-4z=0

令z=3,則x=4,y=-3,所以為=（4,一3,3）,

設(shè)PB與平面PCD所成的角為

所以PB與平面尸CD所成的角的正弦值為小臣.

51

龍A犀；去揖號(hào).

1、垂線(xiàn)法求線(xiàn)面角（也稱(chēng)直接法）：

（1）先確定斜線(xiàn)與平面，找到線(xiàn)面的交點(diǎn)B為斜足；找線(xiàn)在面外的一點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A向平面a做垂線(xiàn)，確

定垂足O；

（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線(xiàn)AB在面a上的投影；投影BO與斜線(xiàn)AB之間的夾角為線(xiàn)面角；

（3）把投影BO與斜線(xiàn)AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

3、公式法求線(xiàn)面角（也稱(chēng)等體積法）：

用等體積法，求出斜線(xiàn)PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。

公式為：sin。=%其中。是斜線(xiàn)與平面所成的角，％是垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，1是斜線(xiàn)段的長(zhǎng)。

方法：已知平面夕內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S,它在平面a內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，

平面a和平面廣所成的二面角的大小為。，貝Deos。=2雪這個(gè)方法對(duì)于無(wú)棱二面角的求解很簡(jiǎn)便。

4、直線(xiàn)與平面所成角：設(shè)）是直線(xiàn)/的方向向量，足是平面a的法向量，直線(xiàn)與平面的夾角為4則

.八|-----In,-n

sin0=cos<%,%>=2.

蘢變》變式訓(xùn)練

1.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?月考）在三棱柱ABC-A4G中，AB,==B1C=5,Afi=4,AC=6,

AB±BC,。為AC中點(diǎn).

⑴求證：BQ,平面ABC；

（2）求直線(xiàn)B,C,與平面ABB}\所成角的正弦值.

【答案】（D證明見(jiàn)解析；Q）母

【解析】（1）連接80,

因?yàn)锳BL3C,。為AC中點(diǎn)，所以AD=C￡>=B￡)=LAC=3,

2

因?yàn)锳耳=AC=5,所以用。八AC,所以40=^52-32=4,

又BB[=5,所以88；=52=25=32+42=B￡>2+CB；,所以用

又BDcAC=D,8D,ACu平面ABC,所以BQ_L平面ABC；

（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BCBA所在直線(xiàn)為x,y,

過(guò)8作DBX的平行線(xiàn)為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳BJ_3C,所以3C=j6?—42=2百，

則5（0,0,0）,A（0,4,0）,4（技2,4）,C（2底0,0）,

則函=（0,4,0）,甌=（石,2,4）,BC=（2底0,0）,

設(shè)平面ABB^的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

ri'BA=4y=0

令x=4括，則y=0,z=-5,

n-BBx=+2y+4z=0

所以平面ABBM的一個(gè)法向量為"=（46,0,-5）,

又BC//BG，所以和=交=（2石,0,0）,

設(shè)直線(xiàn)BC與平面ABBtAt所成的角為。,

40_4721

則sin0=

帖卜舊I2氐J80+25-21

所以直線(xiàn)4G與平面AB片4所成角的正弦值為勺巨.

2.（24-25高三上?云南大理?月考）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，側(cè)棱底

L—.2—■

面A2CD,尸1）=。）=2,8。=2近,/81）。=45。.點(diǎn)￡是棱尸（7的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為棱PB上的一點(diǎn)，且臺(tái)尸二^^5.

（1）求證：平面尸3cl_L平面PCD；

（2）求直線(xiàn)DC與平面DEF所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）正.

3

【解析】（1）在△3CZ）中，BC2=BD2+CDT-2BDCD-cosZBDC=4,即3c=2,

又BD=20CD=BC=2,則有8c?十⑺？二臺(tái)。、即臺(tái)。，。。，

因?yàn)镻D_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以BD_L3C,

又CDcPD=D,CD,PDu平面PCD,所以BC_L平面尸CD,

因?yàn)?Cu平面尸BC,所以平面PBC_L平面PCD

（2）由（1）可知，DA1DC,DA^DP,DCLDP,

故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

X

依題意得，3(2,2,0),C(0,2,0),7)(0,0,0),P(0,0,2),磯0,1,1),

__.9__k

設(shè)點(diǎn)廠(chǎng)(a,b,c),由P,F,8三點(diǎn)共線(xiàn)，則有麗麗，

又麗X-c),BP=(-2-2,2),

(a-2,Z?-2,c)=|(-2,-2,2),解得a=；,b=4,c=g,故

設(shè)平面￡)￡下的法向量為記=(%,y,z),=DE=(0,1,1),

224

n-DF=Q—x+—y+—z=0

由＜一，得<333

n-DE=0y+z=0

取平面DEb的一個(gè)法向量力=(1,1,T),

設(shè)直線(xiàn)DC與平面OE廠(chǎng)所成角為。，則配=(0,2,0),n=(l,l,-l),

所以比?而=0xl+2xl+0x(-l)=2,1明=2,同=逐,

故如6=向值成|=湛=￡，

所以直線(xiàn)。C與平面DEP所成角的正弦值為YL

3

題型三：空間平面與平面夾角的求解

(24-25高三上?湖北?期中)如圖，球。的半徑為R,A,B,C為球面上三點(diǎn)，若三角形ABC為直角三角形,

其中ACL3C.延長(zhǎng)AO與球。的表面交于點(diǎn)￡).

(1)求證：平面ABC；

(2)若直線(xiàn)DA,DC與平面ABC所成的角分別為:g,試求二面角C-AD-Z?的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）等.

【解析】（1）因?yàn)锳D是球的直徑，所以鉆_L8￡>,AC，CD.

因?yàn)锳CLBCCOnBCuC,C￡?,8Cu平面BCD,所以AC，平面BCD,

因?yàn)锽Du平面BCD,所以AC工BD,

因?yàn)锳FcAC=A,AB,ACu平面ABC,所以班>1平面ABC.

（2）因?yàn)橹本€(xiàn)D4,OC與平面ABC所成的角分別為:《，所以NZMB=；,/DC2=W.

4343

不妨令氏=正，則4￡>=26,48=8。=而,8。=0,4。=2,

由題設(shè)，易知AC_L8C,AC_L8￡>,3C_L3￡>,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB,6所在直線(xiàn)為羽y軸，過(guò)點(diǎn)C作2。的平行線(xiàn)為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,2,0）,3（應(yīng),O,O）,C（O,O,O）,O（0,O,#）.

所以m=（0,2,0）,前=（&,0,"）,麗=卜0,2,0）,麗=（0,0,n）,

設(shè)平面AC￡）的法向量為%=（占,％,%），平面ABD法向量為石=（尤2，%*2）,

n,-CA=2y=0一/廠(chǎng)、

由2—2L，取向=一1,得4=6,0,-1,

M1-CD=V2X1+A/6Z1=0、'

,BA.——尤2+2%=0

取力=1得元=（0,1,01

-BD=y[6z2=0

則回R時(shí)N=,扇聞=訪(fǎng)屈=三72易知sin。=巫.

設(shè)二面角C-AD-3的平面角為。,n[l

2

蘢龍》舞;去揖號(hào).

1、幾何法

（1）定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線(xiàn)法）：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于

棱的射線(xiàn).

（2）三垂線(xiàn)法（面上一點(diǎn)雙垂線(xiàn)法）：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線(xiàn)，再由垂足向棱作垂

線(xiàn)得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線(xiàn)與斜足和垂足的連線(xiàn)所夾的角，即為二面角的平面角

（3）垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）：過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成

的角就是二面角的平面角。

（4）射影面積法求二面角cosq=

2、向量法：若勺,巧分別為平面名，的法向量，。為平面。，尸的夾角，貝ijcos6=kos<〃],"2>|=

龍麓》變式訓(xùn)練

1.（24-25高三上?福建南平?期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)8在平面PAD上射影是△R4D的外心,

且BP=J?,PA=PO=點(diǎn),/4尸。=90。,石是棱上4的中點(diǎn)，且CD_L平面PW.

（1）證明：8E〃平面PCD；

（2）若C￡>=1,求二面角A-P3-C的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵

6

【解析】（1）分別取尸的中點(diǎn)為尸。，連接尸0,0民砂，延長(zhǎng)DC至。，使得

連接BQ,尸Q,如下圖：

P

在中，所為中位線(xiàn)，則E尸〃AD,跖=工4。=。。，

2

在RtAAPD中，由NAP￡>=90。，則。為外心，即301平面APZ),

因?yàn)镃D,平面PAD,所以BO//CD,

因?yàn)镈QIIOB,DQ=OB,所以O(shè)D=BQ,0D〃3Q,

因?yàn)镋F//BQ,EF=BQ,所以EB//EQ,

因?yàn)椤闎<Z平面尸CD,PQu平面尸CD,所以EB〃平面尸CD.

(2)在中，AP=DP,則POJ_A￡),

因?yàn)?3,平面APD,AD,POu平面AP￡),所以O(shè)BLPO,OB1AD,

以。為原點(diǎn)，分別以0Ao昆。尸所在的直線(xiàn)為尤,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖:

y

在RIAAPZ）中，AP=DP=近,貝!1AD=<AP。+DP2=2，PO=^AD=1,

在RtZkPOB中，PB=y/5,貝IOB7PB2-PO?=2，

則A（l,0,0）,尸（0,0,l）,5（0,2,0）,C（—1,1,0）,

^AP=（-l,0,l）,AB=（-l,2,0）,CP=（l,-l,l）,CB=（l,lt0）,

為,AP——x+z—0

設(shè)平面APB的法向量為為=（x,y,z）,貝葉—.,

n-AB=-x+2y=0

取x=2,則y=l,z=2,所以平面ARB的一個(gè)法向量為為=（2,1,2）；

-?

YY].「P—/7—/7-L/°—Q

設(shè)平面CPB的法向量為用=（。,4c）,貝IJ一，

m-CB=a+b=0

取a=l,貝iJb=-l,c=-2,所以平面C/歸的一個(gè)法向量為慶=。,-1,-2）；

設(shè)二面角A-PB-C的大小為6,

11|n|-|m|J4+1+4?Jl+1+46

則sin0=V1-cos20=.

2.(24-25高三上?北京?月考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為正方形，ABCD,PA=AB,

M為線(xiàn)段尸￡)的動(dòng)點(diǎn).

(1)若直線(xiàn)尸8〃平面ACM,求證：M為尸。的中點(diǎn)：

(2)求證：平面ABM_L平面PAD

(3)若平面尸AC與平面M4c夾角的余弦值為丑，求獸的值.

3MD

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)2

【解析】(1)證明：如圖所示，連接8￡),交AC于點(diǎn)。，連接M0,

因?yàn)橹本€(xiàn)尸3〃平面ACM,且平面P8OPI平面ACM=MO,PBu平面尸3￡>,

所以PB//MO,

又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以點(diǎn)。為8。的中點(diǎn)，所以“為尸。的中點(diǎn).

(2)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可得

又因?yàn)镻AL平面ABCD,且ABu平面ABCD,所以AB_LR4,

因?yàn)锳DcR4=A,且AD,P4u平面PAD,所以A5_L平面PAD,

又因?yàn)锳Bu平面ABM,所以平面ABAf_1_平面PAD.

(3)解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且24,平面ABC。，所以AB,AD,AP兩兩垂直,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A3,A2AP所在的直線(xiàn)分別為％y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示,設(shè)—=1,可得AQ0,0),3(1,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),尸(0,0,1),

貝局=(1』,。),3?=(0,。,1),麗=(0,1,-1),

^PM=APD=(0,2,-2)(0<2<1),貝U赤=赤+兩=而+/1而=(0,；1,1—/1),

n-AC=x+y=0

設(shè)平面M4c的法向量為方=(%,y,z),則

n-AM=Ay+(1-A)z=0

令y=l-2,可得x=4T,z=_4,^fl?J,n=(A-l,l-2,-2),

連接3D,由四邊形ABC。為正方形，可得3D，AC,

因?yàn)镻A_L平面ABC。，且3￡>u平面A3CD,所以3D_LB1,

又因?yàn)锳CcPA=A,且ACPAu平面PAC,所以平面PAC,

所以向量前=(-1,1,0)為平面PAC的一個(gè)法向量,

2(1-2)解得見(jiàn)二2;或4=2（舍），

V2XV322-42+23

題型四：空間點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離求解

蔻龍》大題典例

（24-25高三上?貴州貴陽(yáng)?月考）如圖，OE是正三角形ABC的一條中位線(xiàn)，AB=2,將VADE沿。E折起,

（1）證明：4A，平面ABC；

（2）若\E1CD求點(diǎn)B到平面EAtD的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）逅

3

【解析】（1）證明：因?yàn)锳E=：A8，AO=；AC,

所以

又因?yàn)锳2CAC=A，\B,ACu平面ABC,所以平面ABC.

（2）解：如圖，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

、、

1,O,Ol,B1,V3

則,0,C-1,,0.

E~2

7\2

設(shè)A(x,y,z),因?yàn)锳E=l，A0=3,

x=0,

3

y2+z2

4

\

Jf-z

所以4(0,%2),溟=JI,0.

2

7

因?yàn)锳E~LCD,所以AE.CD=0=>；+y=0=>y=—,

所以jo,一名？

，4D=

o3

設(shè)方=(%,y,Zi)_L平面，

1A/35/6x=0,

——x+——y------z=0n,

AD-m=0,263^6

所以nr,

A石?沅=o1V3A/6N

263_且

z—6'

故比=o,

7

(6)一/

又B1彳,0,OB=i,2'J

V.2J

\OB-M

所以點(diǎn)B到平面的距離為d==

m3

莪龍》期;去揖號(hào).

1、幾何法求點(diǎn)面距

（1）定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線(xiàn)，求出垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度；

（2）等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線(xiàn)距離；

（3）轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線(xiàn)上的點(diǎn)到面的距離.

2、向量法求空間距離：

（1）點(diǎn)面距：已知平面。的法向量為］,A是平面a內(nèi)的任一點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作則平面a

AP-n

的垂線(xiàn)/,交平面a于點(diǎn)。，則點(diǎn)P到平面a的距離為尸。=

H

,lAB-nl

（2）直線(xiàn)。與平面1之間的距圖：j=J------1,其中為是平面a的法向量。

1方1

ABH

（3）兩平行平面久尸之間的距離：d=JI____._?I,其中五是平面a的法向量。

\n\

蔻龍》變式訓(xùn)練

1.（24-25高三上?廣東廣州?月考）已知四棱柱ABC。-ABCR中，底面A8CD為梯形，AB//CD,AA1

平面ABCZ）,AD±AB,其中AB=441=2,AD=DC=1.N,M分別是線(xiàn)段與0和線(xiàn)段。，上的動(dòng)點(diǎn)，

且不=2前，W=ADZ^（O<A<1）.

⑴求證：RN〃平面C瓦M(jìn)；

⑵若N到平面的距離為空，求AN的長(zhǎng)度.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）巫

2

【解析】（1）

因?yàn)锳A_L平面ABCD,AD,ABu平面ABC。,

所以4A_LAr＞，AA_LA8,又

所以AB,AD,44t兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，43,4244所在直線(xiàn)分別為龍,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

因?yàn)锳B=AA=2,AD=DC=1,

則口（0,1,2）,G（1,1,2）,（2,0,2）,C（l,1,0）,￡＞（0,1,0）,

所以以瓦=（1,一1,0）,

因?yàn)槿?九場(chǎng)=2（1,-1,0）,所以N（2+l,—；l+l,2）,

所以萬(wàn)聲=（4+1,—40）,

又國(guó)=。,-1,2）,M=（0,0,2）,=X⑼=彳（0,0,2）,

所以M（0,1,2/1）,由=（—1,0,24）,

設(shè)平面的法向量為為=（x,y,z）,

n-CM=0\x-y+2z=0/、

所以＜即-+2%=。,令z=l,則"=（242X+2,1）,

萬(wàn)?西=0

所以必麗=（242幾+2,1＞（4+1,—40）=2；1（/1+1）-；1（2；1+2）=0,

所以1上取,所以RN〃平面

（2）若N到平面C與M的距離為姮，則叵=匕』,

1111\n\

XB^V=（2-1,-2+1,0）,

Jj7|2A2-2A-2A2-22+22+2|

所以答=J~/?,

11V422+4A2+82+4+1

113

整理可得12萬(wàn)—324+13=0,解得4=7或?。ㄉ崛ィ?/p>

26

所以N&q，2）,所以0Mm。=羋.

2.（24-25高三上?福建福州?月考）如圖，在直四棱柱ABCD-A8IG2中，底面四邊形ABCL（為梯形，AD//BC,

AB=AD=2,BD=272，BC=4.

⑴證明:A瓦，A，；

（2）若直線(xiàn)A3與平面BCR所成角的正弦值為逅，求直線(xiàn)BD到平面4CR的距離.

6

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；⑵巫

3

【解析】（1）因?yàn)锳B=AD=2,BD=2也,所以班＞?=AB?+AD?,

可得AB_LAD,又ABCD-4月CQi為直四棱柱，所以A4,_L平面ABCD,

因?yàn)锳Bu平面ABC。，所以44]_LAB,

且A41cA￡>=A,A4PAOu平面AnDH，

所以AB，平面ADD^,又ARu平面ADD^,

可得AB_LA2，因?yàn)锳4//AB,

所以44,AR；

（2）由（1）,以A為原點(diǎn)，AB、AD.A4所在的直線(xiàn)分別為x、外z軸的正方向建立

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)44=4（。＞0），

則A（0,0,0）,B（2,0,0），A（0,2,a），4（2,0,a）,C（2,4,0）,

AB^（2,0,0）,I^C=（2,2,-a）,BlC=（0,4,-a）,

設(shè)元=（x,y,z）為平面BjCD,的一個(gè)法向量,

n-DC=Q2x+2y-az=04

則t即令y=l,貝壯二—,x=l,

n-B^C=Q4y-az=0a

所以元

設(shè)直線(xiàn)AB與平面BCR所成角為0,

因?yàn)橹本€(xiàn)AB與平面B^DI所成角的正弦值為也,

6

ABn

sincosAB,h\

解得〃=2,n=(1,1,2),

因?yàn)槠矫嫫矫?片。1。八平面44。=42,

平面3與2。八平面=所以BD//BR,

因?yàn)閍)2平面,B]D]u平面4c￡)],

所以3?！ㄆ矫媾cCQ,所以直線(xiàn)BD到平面4c2的距離

可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面4c2的距離，^8=(0,0,-2),

B{Bn246

麗?同V1+1+4~T~

4Di

題型五：空間幾何體的體積求解

龍麓》大題典例

(23-24高三上?海南?？?月考)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABC2中，AA,=2AD=2AB=4,E,尸分別為

A4，CD的中點(diǎn).

⑴證明:瓦0AAG；

（2）求三棱錐E-8（7的體積.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）2

【解析】（1）連接用2,因?yàn)?月。2為正方形，所以AG_LBQ,

又在長(zhǎng)方體ABCD-A耳G2中，OD,±平面ABC',

且ACU平面4耳GA,故AG，DD-

又DQOB\=Di，Z）2u平面耳。R,A4u平面耳

所以4G，平面片OR,又BQu平面片DD1,故4。人aq.

（2）由DA，AG，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（2,2,0）,G（0,2,0）,￡（2,0,2）,尸（0,1,4）,

場(chǎng)=（2,0,0）,布=（0,-1,4）,EF=（-2,1,2）.

設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,則|*二:,

[2x=0-

即/八，令z=l,得〃=0,4,1）.

[~y+4z=0'7

__IEF-nl6

又麗=（―2,1,2）,則點(diǎn)E到平面B】GF的距離d==-F=.

\n\A/17

又C\F=&i,所以△用C-的面積為:與￡XGE=gx2x,

所以三棱錐E-月GF的體積為:XJ萬(wàn)X括=2.

蘢窕泳舞:去揖量.

1、處理空間幾何體體積的基本思路

（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不容易看出的高

轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；

（2）拆：將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)規(guī)則的幾何體，便于計(jì)算；

（3）拼：將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如有時(shí)將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原乘

一個(gè)四棱柱，還臺(tái)位錐，這些都是拼補(bǔ)的方法。

2、求體積的常用方法

（1）直接法：對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算；

（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)

則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算；

（3）等體積法：選擇合適的底面來(lái)求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作

為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

蘢變》變式訓(xùn)練

1.（24-25高三上?廣東深圳?月考）如圖，將長(zhǎng)方形。AAQ（及其內(nèi)部）繞。。1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中04=1,

。。=2,劣弧48的長(zhǎng)為a,A耳為圓。1的直徑，平面AO3與平面4。內(nèi)的交線(xiàn)為/.

B

（1）證明：1//OA；

（2）若平面與平面夾角的正切值為迪，求四棱錐B-OA41a的體積.

3

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）立

3

【解析】（1）法一：

?.?OA//QA，QA］U平面A-。4a平面人。田,

.?.。4〃平面4］。［5,

又?.?OAu平面A08,平面403。平面=

1//OA.

法二：

,圓面o//圓面。i,平面AQ8n圓面。?=a。，

平面圓面o=/,，。14/〃，

又???QA//OA，1//OA.

(2)法一：

以。為原點(diǎn)，OAOQ分別為y,z軸，垂直于y,z軸直線(xiàn)為X軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示,則A(。，i，2),q(0,0,2),

1.-劣弧AB的長(zhǎng)為&(0＜々＜兀)，

:.ZAOB=a,B(sina,cosa,0),

GA=(0,1,0),OXB=(sina,cosa,-2),

設(shè)平面的法向量為訪(fǎng)=(x,y,z),

[h-O^=0Jy=O

[萬(wàn)?印=0'[xsina-2z=0，

令x=2,貝Uz=sina,二元=(2,0,sina),

平面AO3的法向量為應(yīng)=(0,0,1),

設(shè)平面AOB與平面4。出夾角為。，

(、2

mi2c2-一Yi'msina

則cos夕=cosn,m=,,,,=--------—,

J為卜網(wǎng)J4+sina

1sin2a

222

e2八sin01-cos64+sina4

貝Ijtan26=——=-------------------=-今十嚴(yán)0=—―

cos0cos0sinasina

4+sin2a

即-=乎，sin。=-(負(fù)值舍去)，

sina32

即B到平面。叱距離為￡

則％-叩目=?四邊形網(wǎng)/==￥

法二:

如圖，過(guò)B作3D//AO,即平面AO3與平面的交線(xiàn)為8。,

???OO]_1_平面AOB，8Z）U平面AOB,二BD±001,

又。anOE=O,G?a，OEu平面0QE,

3￡>_L平面。?！?，2。,

??.SEO是平面AOB與平面40出夾角,

?l?AB的長(zhǎng)為盤(pán)（0<a<it）,

/.ZAOB=a,OE=sina,

tanAO,EO=絲=,

OEsina

畫(huà)24g.A/3

sina32

即B到平面。441a距離為顯,

2

3^-1.9.

3四邊形。4Aa3T-T

2.（24-25高三上?河南?開(kāi)學(xué)考試）如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面四邊形ABCD為凸四邊形，且

PD=AD=CD=4,PA=PC=AC=4夜，AB=BC.

R

⑴證明：AC1PB；

⑵已知平面APC與平面BPC夾角的余弦值為您I，求四棱錐P-ABCD的體積.

57

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)16

【解析】(1)因?yàn)镻D=AD=4,PA=40，

所以尸￡>2+AE)2=以2,所以尸￡)_LAD,

P

同理PD_LCD,XADC\CD=D,AD,CDu平面ABC。，

所以尸￡>_L平面ABCD,

因?yàn)锳Cu平面A3CZ),所以PD_LAC,

連接BD,因?yàn)锳T>=CD,AB^BC,DB=DB，

所以AADB/ACDB,所以NADB=NCDB.

又AD=CD,由等腰三角形三線(xiàn)合一，得3￡>，AC.

因?yàn)锽D,PDu平面尸3￡),所以AC_L平面,

又PBu平面PBD,所以ACJ_P3.

(2)因?yàn)锳D=CD=4,AC=4后，所以4加+=AC?,

所以ADLCD,又PD_LAD,PD1CD,故A。，CD,PD兩兩垂直，

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

DA,DC,。尸所在的直線(xiàn)分別為x軸，，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（4,0,0）,C（0,4,0）,P（0,0,4）,所以在=（0,T,4）,C4=（4,^,0）,

由（1）知DB平分/ADC,設(shè)8（a,a,0）,所以屈=（a,a-4,0）.

設(shè)平面AC尸的法向量為/=（/另,4）,貝-一,

、玩?CA=4X]-4%=0

令占=1,得％=1,4=1,所以碗=（1,1,1）,

nCP=-4%+4Z=0

設(shè)平面3cp的法向量為k=（%,%，z?）,貝卜2

n-CB=ax2+(a-4)%=0

令%=a,得多=4-a,Z[=a,所以法=（4一a,a,<7）,

設(shè)平面APC與平面BPC夾角的大小為6,

貝ljcos6=cos〈苑萬(wàn)〉=晶=|4+tz|7歷

+/+a?57

兩邊平方并化簡(jiǎn)得-15=。，解得”3或“號(hào)

因?yàn)锳D=CD=4,ADLCD,所以點(diǎn)。到AC的距離為ADsin'=2近,

4

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為凸四邊形，所以BD>2④,所以。=：不合題意，

4

即。=3,則8￡>=30，可得%邊形=

所以%棱錐尸-ABC。=§^四邊形.四,DP=§xl2x4=16.

題型六：空間幾何體的翻折問(wèn)題

蘢能