菱形的存在性問題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專題12菱形的存在性問題

一、知識(shí)導(dǎo)航

作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；

(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(3)四邊都相等的四邊形是菱形.

坐標(biāo)系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法.和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”

或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABC。是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足：

xA+xc=xB+xD

《XA-XB)。+(1A-y?。=J(1c—無B，+(《c

考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等.

即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的3個(gè)等式，

故菱形存在性問題點(diǎn)坐標(biāo)最多可以有3個(gè)未知量，與矩形相同.

因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則有3個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可細(xì)分如下兩大類題型：

(1)2個(gè)定點(diǎn)+1個(gè)半動(dòng)點(diǎn)+1個(gè)全動(dòng)點(diǎn)

(2)1個(gè)定點(diǎn)+3個(gè)半動(dòng)點(diǎn)

解決問題的方法也可有如下兩種：

思路1:先平四，再菱形

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=2+ZT(AC、80為對(duì)角線)，再結(jié)合一組鄰邊相等，得

到方程組.

思路2:先等腰，再菱形

在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，

再確定第4個(gè)點(diǎn).

1.看個(gè)例子：

如圖，在坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),8點(diǎn)坐標(biāo)為(5,4),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在平面中，求。點(diǎn)坐標(biāo)，使

得以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

八y

B

A

思路1：先平四，再菱形

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(p,q).

(1)當(dāng)A5為對(duì)角線時(shí)，由題意得：(A3和CD互相平分及AO3C)

[39

一

rm=o

1+5=m+p

<l+4=0+q,解得：｝P=-

o

2以=(機(jī)-『+)2

(m-I)+(0-5(0-4q=5

(2)當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由題意得：(AC和BD互相平分及BA=BC)

1+m=5+pm=21m=8

<1+0=4+^,解得：<p=-2或<p=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=—3

(3)當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，由題意得：

1+p=5+mm=l+2^6m-\-2^6

解得：，癡或，。=

<l+q=4+0,0=5+25-2#

y

0\/X

思路2:先等腰，再菱形

先求點(diǎn)C,點(diǎn)C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C,再

確定。點(diǎn).

（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，

C點(diǎn)坐標(biāo)為（1+2#,0）,對(duì)應(yīng)。點(diǎn)坐標(biāo)為（5+2幾,3）;

C點(diǎn)坐標(biāo)為（1-2底0）,對(duì)應(yīng)。點(diǎn)坐標(biāo)為（5-2瓜3）.

（2）當(dāng)8A=BC時(shí)，

C點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）,對(duì)應(yīng)。點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3）;

C點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,對(duì)應(yīng)。點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-3）.

（3）AC=BC時(shí)，

C點(diǎn)坐標(biāo)為。點(diǎn)坐標(biāo)為11，5）.

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以上只是兩種簡單的處理方法，對(duì)于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法.

二、典例精析

如圖，拋物線y=尤+c與無軸交于A、8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，。4=2,OC=6,連接AC和BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？

若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】

(1)拋物線：y=x2-x-6;

(2)先考慮M點(diǎn)位置，即由A、C、M三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形:

①當(dāng)CA=CM時(shí)，

即CM=CA=2-JlO,M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6—2函)、(0,-6+2函),

對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-2710)(-2,2A/10).

②當(dāng)AC=AM時(shí)，

即A九f=AC=2jiU,M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),

對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

③當(dāng)MA=MC時(shí)，

勾股定理可求得M點(diǎn)坐標(biāo)為10,-gj,

對(duì)應(yīng)N點(diǎn)坐標(biāo)為1-2,-g).

綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為卜2,-29)、［2,29)、(2,0)、J-2,-y

如下圖依次從左到右.

三、中考真題演練

1.（2023?西藏?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x2+bx+c^x軸交于A（-3,0）,B（l,0）兩點(diǎn),

（3）如圖乙，點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、。兩點(diǎn)使以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?

若存在，求出尸、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

2.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，拋物線y=-氐2+/+C交x軸于點(diǎn)A（-l,0）和8,交y軸于點(diǎn)

。（0,36），頂點(diǎn)為O.

備用圖

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)歹是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)H是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在

點(diǎn)G,使以E,F,G,H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且N￡FG=60。，如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo);

如果不存在，請(qǐng)說明理由.

3.（2023?四川雅安?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=/+6x+c過點(diǎn)A（0,2）,對(duì)稱軸是直線

x=2,

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

（3）已知點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,-1）,是否存在點(diǎn)R使以點(diǎn)A,D,E,F為頂點(diǎn)的四

邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.(2023?湖南?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aY+x+c經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)3(4,0),

且與直線=交于￡＞、E兩點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)E的右側(cè))，點(diǎn)M為直線/上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)"的橫坐標(biāo)為

(1)求拋物線的解析式.

⑶拋物線與V軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)R為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以昆C、M、R為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)

求出所有滿足條件的點(diǎn)R的坐標(biāo).

5.(2023?四川廣安?中考真題)如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)AB,交V軸于點(diǎn)C,點(diǎn)、B

的坐標(biāo)為(L0),對(duì)稱軸是直線點(diǎn)尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PMLx軸，交直線AC于點(diǎn)以，交拋物線于

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

⑶若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在V軸上是否存在點(diǎn)Q,使以〃、N、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,

請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.(2023?重慶?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*+班+2過點(diǎn)(1,3),且交x軸于點(diǎn)A(TO),