函數(shù)的方程與零點(diǎn)（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第10講函數(shù)的方程與零點(diǎn)

（6類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，已知方程求雙曲

2024年天津卷，第15題,5分

線的漸近線

2023年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2022年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍

2021年天津卷，第9題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2020年天津卷，第9題,5分函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度較高，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)的零點(diǎn)，能夠理解函數(shù)的方程，函數(shù)的零點(diǎn)與交代你的含義

2.能掌握函數(shù)圖像與性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖像解決零點(diǎn)問(wèn)題

4.理解并掌握二分法思想，會(huì)用零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般難度系數(shù)較高，通常為判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，或者已知

零點(diǎn)個(gè)數(shù)求取值范圍。

「卜?考點(diǎn)梳理，

.函數(shù)零點(diǎn)概念

1考點(diǎn)四、函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)

2.零點(diǎn)存在性定理

廠知識(shí)占一零點(diǎn)J3.零點(diǎn)存在唯一性定理考點(diǎn)五、復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)

4.函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系考點(diǎn)六、二分法的應(yīng)用

5.二次函數(shù)的零點(diǎn){

函數(shù)的方程與零點(diǎn)I

1?函數(shù)的圖像考點(diǎn)一、

函數(shù)圖像的識(shí)別

2.描點(diǎn)法作圖<考點(diǎn)二函、數(shù)的圖像變換

{3.圖象變換考點(diǎn)三、由函數(shù)圖象確定解析式

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.零點(diǎn)

1.函數(shù)零點(diǎn)概念

對(duì)函數(shù)y=/(%),把使=0的實(shí)數(shù)％叫做函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)

2.零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,加上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有/(a)/(b)<Of,那么，函數(shù)y=/(%)在

區(qū)間(。,6)內(nèi)有零點(diǎn).即存在此(口方)，使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.

3.零點(diǎn)存在唯一性定理：

如果函數(shù)y=/(久)在區(qū)間a,0上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)f(6)<0,且在［a,加上單調(diào)，那么

函數(shù)y=/(久)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn).即存在唯一的ce(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0

的根.

4.函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系

函數(shù)y=F(x)=f(x)-gQ)有零點(diǎn)

方程F(x)=f(x)-g(x)=0有實(shí)數(shù)根=>函數(shù)乃=/(%),y2=g(x)圖像有交點(diǎn)

求函數(shù)y=/(久)零點(diǎn)的方法：

①直接解方程f(%)=0；

②利用圖象求其與x軸的交點(diǎn)(交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是零點(diǎn))；

③將方程外行=0變?yōu)閮蓚€(gè)函數(shù)，通過(guò)圖象看它們的交點(diǎn)情況(同時(shí)可以知道零點(diǎn)的個(gè)數(shù))；

④可通過(guò)二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值.

5.二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)

(l)A>0,方程a/+版+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

(2)△=0,方程a/+6%+c=0有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).

(3)△<0,方程a/+bx+c=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)二.函數(shù)的圖象

1.函數(shù)的圖像

將自變量的一個(gè)值與作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值/(而)作為縱坐標(biāo)，就得到了坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，

當(dāng)自變量取遍定義域A內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)用符號(hào)表述為

{(x，y)ly=f(x)，xGA},所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)的圖象.

2.描點(diǎn)法作圖

方法步驟:

(1)確定函數(shù)的定義域；

⑵化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢(shì));

(4)描點(diǎn)連線，畫(huà)出函數(shù)的圖象.

3.圖象變換

(1)平移變換

(2)對(duì)稱(chēng)變換

g=、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)“、

①y=f(x)---------->y=-/(x)；

?-、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)f、

②y=f(x)---------->y=/-(x)

自，,、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)乙、

③y=fO)---------->y=-/(-x)；

④>=〃(a>0J!L存1)關(guān):)~'對(duì)鄧y=］o￡/a>o且分口.

(3)伸縮變換

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的L倍得y=于(a)x)(0<?<1)

①把函數(shù)y=/(x)圖象的縱坐標(biāo)不變,

w

橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的人倍得y=/(or)(o>l)

②把函數(shù)y=/(久)圖象的縱坐標(biāo)不變,

w

③把函數(shù)y=圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的w倍得y=a)f(x)(co>1)

④把函數(shù)y=/(久)圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的w倍得y=a)f{x)(0<<y<1)

(4)翻折變換

保留x軸上方圖象

①丁=f(x)將下軸下方圖象翻折上去V=，(久)1

保留y軸右邊圖象，并作其

②y=f。)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象>y=/(I久>

考點(diǎn)一、函數(shù)圖像的識(shí)別

典例引領(lǐng)

1.(2024.全國(guó).高考真題)函數(shù)f(x)=-x2+(ex-6一萬(wàn)畝%在區(qū)間［—2.8,2.8］的圖象大致為()

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/(1)>0,可排除D.

【詳解】/(—x)=—X2+(e~x—ex)sin(—x)=—x2+(ex—e-x)sinx=/(%),

又函數(shù)定義域?yàn)椋?2.8,28］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又/'(1)=-1+(e—sinl>—1+fe-sin-=-—1——>-——>0,

八'keJ\e7622e42e

故可排除D.

故選：B.

2.(2022?全國(guó)?高考真題)如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是(

-D.V=—2si—nx

x2+l

【答案】A

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】設(shè)f(x)=言，則f(l)=0,故排除B;

設(shè)/l(x)=2：；：：,當(dāng)XG(0,9時(shí)，0<COSX<1,

所以八0)=竽詈<島式1,故排除c；

設(shè)g(x)=等，則g(3)=等>0,故排除D.

故選：A.

包即

1.(2024.安徽合肥.模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(無(wú))=號(hào)等(e為自然函數(shù)的底數(shù))的圖象大致為(

【答案】A

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除B,C；再由x趨近0+,/(%)>0,排除D,即可得出答案.

【詳解】/(%)==等的定義域?yàn)椋鹸|x力0｝,

[e-xcos(—2ex)]-e2xexcos2ex_"、

/(-X)==

(e-2x-l)-e2xl-e^X一/(町，

所以/(%)為奇函數(shù)，故排除B,C；

當(dāng)％趨近e2x>1,所以e2*—1>0,ex>l,cos(2ex)>0,

所以故排除D.

故選：A.

2.(2024.山東.模擬預(yù)測(cè))函數(shù)f(x)=會(huì)表的圖象大致為()

【答案】C

【分析】求出函數(shù)f(x)的定義域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)內(nèi)函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.

【詳解】依題意，函數(shù)f(x)=蒜^的定義域?yàn)椋?eR|x?！?),

八―x)=小奈=—高=—"X)，則/(X)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B不滿(mǎn)足;

當(dāng)x6(0,1)時(shí)，ex-e-x>0,|1-%2|>0,則〃尤)>0,AD不滿(mǎn)足，C滿(mǎn)足.

故選：C

考點(diǎn)二、函數(shù)的圖像變換

典例引領(lǐng)

.

1.(2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè))要得到函數(shù)y=的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)丫=(3”的圖象()

A.向左平移1個(gè)單位B.向右平移1個(gè)單位

C.向左平移之個(gè)單位D.向右平移之個(gè)單位

【答案】D

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式說(shuō)明圖象平移過(guò)程即可.

【詳解】由y=Q)%=C)2X向右平移|個(gè)單位，則y=(}2(，告=(|)2X-1

故選：D

2.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)把函數(shù)y=log3(久-1)的圖象向右平移之個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的也

所得圖象的函數(shù)解析式是

【答案】y=log3(2x-|)

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律可得答案.

【詳解】把函數(shù)y=log3(X-1)的圖象向右平移(個(gè)單位，得函數(shù)y=log3(X--1)=log3(X-|)，再把橫

坐標(biāo)縮小為原來(lái)的點(diǎn)得到函數(shù)y=log3(2x-1)的圖象.

故答案為：y=log3(2x—|)

1.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)利用函數(shù)/(久)=2丫的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象.

(i)y=/(-%)；

⑵y=/(|%|)

(3)y=f。)-1；

(4)y=|/(x)-1|；

(5)y=-7(x)；

(6)y=f(x-1).

【答案】(1)圖象見(jiàn)詳解

(2)圖象見(jiàn)詳解

(3)圖象見(jiàn)詳解

(4)圖象見(jiàn)詳解

(5)圖象見(jiàn)詳解

(6)圖象見(jiàn)詳解

【分析】先作出函數(shù)f(x)=2%的圖象，

(1)把/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)即可得到y(tǒng)=〃-切的圖象；

(2)保留/(x)圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側(cè)的，并把y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)即可得到y(tǒng)=/(|刈)的

圖象；

(3)把/(x)圖象向下平移一個(gè)單位即可得到y(tǒng)=/(%)-1的圖象；

(4)結(jié)合(3),保留x上方部分，然后把x下方部分關(guān)于x軸翻折即可得到y(tǒng)=|/(x)-1］的圖象；

(5)把/(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)即可得到y(tǒng)=-/(x)的圖象；

(6)把/(久)的圖象向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=-1)的圖象.

【詳解】(1)把〃久)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到y(tǒng)=f(—x)的圖象，如圖，

(2)保留/'(X)圖象在y軸右邊部分，去掉y軸左側(cè)的，并把y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象,

如圖，

(3)把f(x)圖象向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=/(%)-1的圖象，如圖,

(4)結(jié)合(3),保留x上方部分，然后把x下方部分關(guān)于x軸翻折得到y(tǒng)=|f(x)-1|的圖象，如圖,

(5)把f(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)得到y(tǒng)=-〃%)的圖象，如圖,

(6)把/Xx)的圖象向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=/(%-1)的圖象，如圖,

2.(2024?遼寧.三模)己知對(duì)數(shù)函數(shù)/(?=log/，函數(shù)/(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原

來(lái)的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象恰好與函數(shù)/(久)的圖

象重合，貝Ia的值是()

A.-B.-C.—D.V3

233

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可

【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)/O)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，

所以g(x)=log—,即gO)=iogax-ioga3,

將9(%)的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式y(tǒng)=logax-loga3+2,

因?yàn)樗脠D象恰好與函數(shù)f(x)的圖象重合，

所以一loga3+2=0,

所以a?=3,又a＞。且a=#1,

解得a=V3,

故選：D

3.(2023?河北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=祟等，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A./(%)-1B.f(x)-2C./(%-2)D.f(%+2)

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析可得函數(shù)/(x)有且僅有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(0,2),結(jié)合圖象變換分析判斷.

【詳解】由題意可得：/(>)=祟筍=3-春，

因?yàn)椤╝+久)+f(a—x)=(3—谷)+(3—高)=6—2($+品)

_2a+2x+2x2x+2a

__X2。+2*+(22。+1)2力+2小

若/(a+x)+/(a-x)=6—2x袤篇黑鼻為定值,

貝眨2。+1=2,解得a=0,此時(shí)/(x)+/(—x)=4,

所以函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(0,2).

對(duì)于選項(xiàng)A：?%)-1有且僅有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(0,1),不合題意，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：f(x)-2有且僅有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(0,0),符合題意，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：2)有且僅有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(2,2),不合題意，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：f(x+2)有且僅有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(-2,2),不合題意，故D錯(cuò)誤;

故選：B.

%>0

4.(2023?新疆阿勒泰?三模)已知函數(shù)則函數(shù)/(%)=1'二；g(%)=/(-%),則函數(shù)g(%)的圖象大致是()

一，％<u,

【答案】B

【分析】由g(x)=/(-乃可知g(x)圖像與f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由/(%)的圖像即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)間(x)=/(-%)，所以g(x)圖像與/(X)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

由/O)解析式，作出/(%)的圖像如圖

從而可得g(x)圖像為B選項(xiàng).

故選：B.

考點(diǎn)三、由函數(shù)圖象確定解析式

1.(2024.內(nèi)蒙古呼和浩特.二模)函數(shù)f(x)的部分圖象大致如圖所示，則f(x)的解析式可能為()

A.f(x)=B.f(x)=ex-e~x—sinx

ex+e-x

e%+e—=

c./(%)=D./(%)=ex—e~x+sinx

【答案】A

【分析】結(jié)合圖象可知f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0,在(0,+8)上先增后減.根據(jù)函數(shù)的奇偶性和f(0)=0,結(jié)

合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由圖可知，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則/(%)為奇函數(shù)，

且f(0)=0,在(0,+8)上先增后減.

A：函數(shù)的定義域?yàn)镽，打―x)=二翼=一/(?"(0)=。，故A符合題意；

B：/(%)=ex—e~x—sinx,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

f'(x)=ex+e~x—cosx,由x>0,得e*>1,—1<cosx<1,

則f'(久)=ex+e~x-cosx>2-1>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故B不符合題意；

C:f(X)=e+e,當(dāng)X=0時(shí)，sin久=0,函數(shù)顯然沒(méi)有意義，故C不符合題意；

sinx

D：/(%)=ex—e~x4-sinx,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

/'(%)=ex+e~x+cosx,由％>0,得鏟>1,—1<cosx<1,

則f(%)=ex+e-x+cosx>2-1>0,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：A

2.(23-24高三下.天津.階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)的部分圖象如下圖所示，則/(%)的解析式可能是()

Acr、ex-ln|%|、x2+l

A-/(X)=RB.=

c.f(x)=學(xué)ND./(x)=言?cosx

7ex—ex7ex—1

【答案】A

【分析】利用排除法，根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)定義域以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.

【詳解】由題意可知：f(x)的定義域?yàn)閧x|x力0},故B錯(cuò)誤；

當(dāng)x>0,“X)先正后負(fù)，則有：

對(duì)于C：因?yàn)閑T<1<e*,尤2+2>0,貝卜-'-6*<0,

可知f(x)=W1<0,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)閑x>l,則小>0,但cosx的符號(hào)周期性變化，故D錯(cuò)誤；

鏟一1

故選：A.

即時(shí)阿L

1.(2024.上海奉賢.二模)已知函數(shù)y=/(K),其中、=產(chǎn)+1,y=g(x),其中g(shù)(x)=4sinx,則圖象如圖

所示的函數(shù)可能是().

C.y=/(x)+g(x)-1D.y=/(x)—g(x)—1

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和f(x),g(x)的奇偶性判斷.

【詳解】易知/O)=/+1是偶函數(shù)，g(x)=4sinx是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的是奇函數(shù),

A.y=h(x)=需警，定義域?yàn)镽,

x2+l

4sin(-x)

又h(-x)=一鬻=-M>),所以h(x)是奇函數(shù)，符合題意，故正確;

(-x)2+l

B.丫=華^=三三，x手kn,kEZ,不符合圖象，故錯(cuò)誤；

g{x)4sinx

C.y=/i(x)=/(x)+g(%)—1=%2+1+4sinx-1=%2+4sinx,定義域?yàn)镽,

但九(一%)W九(第),九(一無(wú))H故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；

D.y=/i(x)=/(%)—g(x)—1=x2+1—4sinx-1=x2—4sinx,定義域?yàn)镽,

但以-%)。九(%),/1(-%)。-/1(x)，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，

故選:A

2.(2024?湖南.二模)已知函數(shù)/(無(wú))的部分圖象如圖所示，則函數(shù)/(為的解析式可能為()

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.

【詳解】由圖可知，函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；

由圖可知，函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集.故排除B；

由圖可知，當(dāng)X—+8時(shí)，y—00,

而對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)X—+8時(shí)，y->0,故排除D.

故選：A.

3.(2024?廣東江門(mén)?二模)若函數(shù)f(x)的圖象與圓C:/+必=4恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則“久)的解析式可以為()

A./(x)=||x|-2|B.f(x)=x2-2|x|

C.f(x)=i|2X-2|D.f(x)=|lgx2|

【答案】D

【分析】利用絕對(duì)值函數(shù)的圖象特征，分別作出選項(xiàng)中的函數(shù)圖象，觀察即可判斷.

【詳解】作出y=I團(tuán)—21,y=|2,-2］的圖象，如圖1所示，

作出y=/一2|x|,y=|lg久2|的圖象，如圖2所示，由圖可知，f(x)=|lg久滿(mǎn)足題意.

故選：D.

考點(diǎn)四、函數(shù)零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(22-23高三上?江西鷹潭?階段練習(xí))函數(shù)/(乃=(31—27)ln(x—1)的零點(diǎn)為()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，解方程求出函數(shù)零點(diǎn)作答.

【詳解】由/O)=0,得(3、-27)ln(x-1)=0,即3%-27=0或ln(x-1)=0,解得x=3或％=2,

所以函數(shù)f(x)=(3*—27)ln(x—1)的零點(diǎn)為2,3.

故選：A

2.(2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)為/=4%則函數(shù)y=/(x)-2，+1的零點(diǎn)為()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，解指數(shù)方程即可作答.

【詳解】函數(shù)f(x)=4L由f(x)-2，+1=0,即4，-2工+1=0,整理得2/2,-2)=0,解得x=l,

所以函數(shù)y=/(x)-2，+】的零點(diǎn)為1.

故選：C

??即時(shí)檢測(cè)

1.(22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考)已知a=$方程=Ilog。久|的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

【答案】2

【分析】分別作出f(x)=。㈤和9(%)=1。的圖象，結(jié)合圖象即可得到答案.

【詳解】由a=貝。(|)”=卜ogy，

則令/'(%)=(-),g(x)=log|X,

分別作出它們的圖象如下圖所示，

由圖可知，有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程a閉=llogMl的實(shí)根個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

2.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)滿(mǎn)足/'(%+=f(久-弓)■當(dāng)％6［0,3)時(shí)，/(%)=2%3—II%2+14%,

則f(x)在［-120,120］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

【答案】161

【分析】由條件先得出函數(shù)的最小正周期為3,解方程/(x)=2x3-II%2+14%=0得x￡[0,3)上的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)，由周期即可確定在[-120,120]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)八X)滿(mǎn)足+|)=f(x

所以f(x+3)=f(x),所以f(x)的最小正周期為3,

當(dāng)%E[0,3)時(shí)，令/(%)=2x3—II%2+14%=0=>x(x—2)(2%-7)=0,

解得％=0或久=2,所以當(dāng)?shù)凇闧0,3)時(shí)，/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以"X)在[-120,120]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2X詈X2+1=161個(gè).

故答案為：161.

考點(diǎn)五、復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)

典例引領(lǐng)

]]g(—|+1,%<0

1.(23-24高三上?河北張家口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=小工,'n，則函數(shù)y=產(chǎn)(%)-3/(久)+2

R+1,久20

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】將函數(shù)y=產(chǎn)0)-3/(%)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(X)=1和f(x)=2根的個(gè)數(shù)，然后再轉(zhuǎn)化為

函數(shù)fG)與y=Ly=2圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后結(jié)合圖象判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=f2(x)-3/(%)+2=[/(%)-l][/(x)-2]的零點(diǎn)，

]]g(——)I+1,%V0

即方程"%)=1和f(x)=2的根，函數(shù)/(%)=/1V'的圖象，如下圖所示：

(-1+1,%>0

由圖可得方程/(%)=1和/(%)=2的根，共有4個(gè)根，即函數(shù)y=2/2(%)一3/(%)+1有4個(gè)零點(diǎn).

故選：C.

2.(2022高三上.河南.專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/⑺=If二%n貝的=/(/?)一1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

一[久十J.),XU,

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】畫(huà)出/(x)的大致圖象，由y=/(〃>))一1=0,逐層進(jìn)行求解，從而求得正確答案.

【詳解】作出函數(shù)/(￡)的大致圖象如圖所示，

由e*—3=1解得x=ln4,由2—(x+I)2=1解得x=—2或x=0,/(-I)=2.

令(x))-1=0,得f(f(x))=1，

得/(x)=-2或/(x)=?；?(%)=ln4,

結(jié)合圖象可知：

當(dāng)/(x)=-2時(shí)，有1個(gè)解；當(dāng)/(X)=0時(shí)有2個(gè)解；

當(dāng)/Q)=ln4時(shí)，由于l<ln4<2,所以有3個(gè)解，

故y=CO)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故選：C

即時(shí)

1.(23-24高三上?天津?期中)已知函數(shù)/(%)=/+2%+7n,/nER,若函數(shù)/(/(%))有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則

()

A.m>1B.m<0

C.0<m<1D.—1<m<0

【答案】C

【分析】由/(%)=。有解得出m<1,同時(shí)否定m=1,m<1時(shí)/(%)=0有兩根一1±V1-m,由大根等于

/(%)的最小值可得血值，然后再判斷各選項(xiàng).

【詳解】顯然f(%)=0有解，因此△=4一46N0,m<1,

若血=1,貝好(%)=/+2%+i只有一個(gè)零點(diǎn)％=一1,但此時(shí)〃%)=一1無(wú)實(shí)解，/丁(%))無(wú)零點(diǎn)，

2

所以m<1,/(x)=(x+I)+m—1,/(x)min=m-1,

由/(%)=0得1=-1±V1-m,由題意一1+y/1—m=m-1,解得TH=二二二(m=舍去),所以血=

二^時(shí)f(f(%))只有一個(gè)零點(diǎn)，它只滿(mǎn)足c,

故選：C.

2.(23-24高三上?山東濟(jì)寧?期中)已知函數(shù)/(久)=%i~，則函數(shù)y=/[/■(;<)—1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

Iin(xji-fx<nu

是().

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】

令/(%)-1=t,先求出使/(t)=。時(shí)的t的值，然后畫(huà)出函數(shù)/(%)和函數(shù)y=t+1,其中te｛0,2,功｝的圖象，

觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得答案.

【詳解】由已知/[/(%)—1]=0,

令/(%)-1=t,即f(￡)=0,

當(dāng)°時(shí)，得L=0或以=2,

當(dāng)+?=0時(shí)，明顯函數(shù)g(t)=1n(—t)+；在(—8,0)上單調(diào)遞減，且g(_l)=_1<0,g(—2)=ln2-

It<0f

|=ln2—InVe>0,g(-l)g(-2)<0,

故存在《36(—2,—1),使ln(—%)+古=0,

畫(huà)出/出=｛(卬—%-2)_+1_:2,Y久V>二f)。的圖象如下,

再畫(huà)出直線、=1+1,其中te｛ozj｝，

觀察圖象可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)，

即函數(shù)y=/[/(%)-1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.

故選：D.

3.(23-24高三上?河北?階段練習(xí))己知函數(shù)/O)=廣-I則函數(shù)g(x)=[f(x)K—九/⑺]的所有

((1~~乙)fXU,

零點(diǎn)之和為()

A.2B.3C.0D.1

【答案】D

【分析】令t=/(%),得到g(t)=t2-f⑴,令g(t)=0,可得嚴(yán)=f(t),列出方程求得t=±i，得到"%)=±1,

在結(jié)合函數(shù)的解析式，列出方程，即可得到答案.

【詳解】由函數(shù)g(x)=[T(x)]2—/[/(*)],令t=/(%),貝叼(t)

令g(t)=0,可得[2=y(t),

當(dāng)t>0時(shí)，由/=/(t),可得/=?-2)2,即—4t+4=0,解得t=l；

當(dāng)t<0時(shí)，由/=f(t),可得產(chǎn)=2t+3,即產(chǎn)―2t—3=0,解得t=-1或t=3(舍去)，

所以t=±l,即八>)=±1,

當(dāng)x>0時(shí)，令(x-27=1或(x-2/=-1(舍去)，解得x=1或％=3；

當(dāng)x<0時(shí)，令2x+3=±l,解得x=-l或x=-2,

所以函數(shù)g(x)=[/COK—/[/(切]的零點(diǎn)之和為1+3-1-2-1.

故選：D.

4.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=j>1,若函數(shù)g(%)=[f(x)]2-有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A-[-1,0)U[^,e)B.|o,?)u{e}

C-{一分40,蜘?+8)D,卜RuM)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，先判斷f(X)在(-8,1]和(1,+8)上的單調(diào)性和最值，再作出函數(shù)八%)的大致圖象，將函

數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，從而數(shù)形結(jié)合得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)％41時(shí),/'(%)=(%+l)e%,當(dāng)%€(-8,-1)時(shí)，((%)v0,

當(dāng)%時(shí),/"(%)>0,所以/(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,_a/(x)min=/(-I)=

一%當(dāng)久<0時(shí)，f(x)=xex<0.

當(dāng)%>1時(shí)尸(%)=上,當(dāng)'E(1,2)時(shí)，/'(%)<0,

當(dāng)Xe(2,+8)時(shí)，尸(X)>0,所以f(X)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，且f(x)min=/⑵=y.

4

作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，

由圖象可知，X=0是函數(shù)f(X)的零點(diǎn)，要使函數(shù)g(x)=[/(x)]2-a/O)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程[/(乃產(chǎn)-

a/(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于久支)=a有1個(gè)非零實(shí)數(shù)根.

由圖可知a=—或0<a<z或a>e,即ae{—}U(0,冷)U(e,+oo).

故選：C.

【點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題的常用解法是將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法得到結(jié)果，需要

會(huì)熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性、求最值并作出函數(shù)的大致圖象.

考點(diǎn)六、二分法的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2023高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）用二分法求函數(shù)/（久）=111（久+1）+久-1在區(qū)間（0,1）上的零點(diǎn)，要求精確度

為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于長(zhǎng)度等于1區(qū)間，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，那么經(jīng)過(guò)n（neN*）次操作后，

區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)榱郑粢缶_度為0.01時(shí)則親＜0.01,解不等式即可求出所需二分區(qū)間的最少次數(shù).

【詳解】因?yàn)殚_(kāi)區(qū)間（0,1）的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

所以經(jīng)過(guò)n（nGN*）次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)闀?huì)，

令看＜0.01,解得nN7,且neN*,

故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.

故選：C.

2.（22-23高三?全國(guó)?對(duì)口高考）函數(shù)/（久）在（1,2）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，要使零點(diǎn)的近似值滿(mǎn)足精確度為0.01,貝U對(duì)

區(qū)間（1,2）至少二等分（）

A.5次B.6次C.7次D.8次

【答案】C

【分析】根據(jù)|a-b|＜0.01以及二分法，確定至少需要的二等分的次數(shù).

【詳解】區(qū)間（1,2）的長(zhǎng)度為1,第1次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)橐?/p>

第2次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椋?；?次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤?；?次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)槊?次二

2乙2?

等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)榻竦?次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)閷?zhuān)＞0.01,

2n2°

第7次二等分，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)?＜0.01.

所以要使零點(diǎn)的近似值滿(mǎn)足精確度為0.01,則對(duì)區(qū)間（1,2）至少二等分7次.

故選：C

1.（2023?遼寧大連?一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)/Q）在殉附近

一點(diǎn)的函數(shù)值可用/（%）=/（而）+尸（而）0-沏）代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可

快速求得合適精度的方程近似解.利用這個(gè)方法，解方程/—3久+1=0,選取初始值配=也在下面四個(gè)

選項(xiàng)中最佳近似解為（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【分析】求出迭代關(guān)系為/+1=/-察=條快6%),結(jié)合式。=；逐項(xiàng)計(jì)算可得出結(jié)果.

【詳解】令f(%)=%3-3x+1,貝!)/'(%)=3%2-3,

-FQo)

令f(%)=0,即f(%o)+//(x0)(x一％o)R0,可得%?%o

f(Xk)_墟-3沖+1_2說(shuō)-1、

Xv(e

迭代關(guān)系為4+1=Xk--k-------3R一N),

2X—112x?—12X175

?。?=|,則=箸1T-=1,%="=史《0.34722,

Z3%0-§3X--33/3好-33X--372

419

故選：D.

2.(2023?廣西?模擬預(yù)測(cè))人們很早以前就開(kāi)始探索高次方程的數(shù)值求解問(wèn)題.牛頓在《流數(shù)法》一書(shū)中，

給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.這種求方程根的方法，在科學(xué)界已被廣泛采用，例如求方

程/+2/+3%+3=0的近似解，先用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，令/(%)=/+2%2+3%+3,/(-2)=-3<0,

/(-1)=1>0,得(—2,-1)上存在零點(diǎn)，取Xo=—1,牛頓用公式Xn=Xn_i—點(diǎn)用反復(fù)迭代，以馬作為

Jvxn-i)

f(x)=0的近似解，迭代兩次后計(jì)算得到的近似解為；以(-2,-1)為初始區(qū)間，用二分法計(jì)算兩次后，

以最后一個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為方程的近似解，則近似解為.

【答案】—

5o

【分析】由牛頓法公式結(jié)合二分法的定義求解即可.

【詳解】已知/(%)=%3+2x2+3%+3,貝!]((汽)=3/+4%+3.

迭代1次后，%】=；：=-=一|，

迭代2次后，尤2=一|一=_|一瓊=_:，

用二分法計(jì)算第1次，區(qū)間(—2,—1)的中點(diǎn)為—|,/(—1)=_|<0,<0,

所以近似解在(-1,—1)上；

用二分法計(jì)算第2次,區(qū)間(―|,—1)的中點(diǎn)為—1/(—￡)=U>o,/(-|)/(-；)<0,所以近似解在

(-|,一[)上，取其中點(diǎn)值—5，所求近似解為一孩.

故答案為：—

5o

3.(23-24高三下?北京?階段練習(xí))函數(shù)/(%)=ln(2x)-1的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】先判斷/O)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.

【詳解】因?yàn)?(x)的定義域?yàn)?0,+8),且y=ln(2x),y=-：在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知f(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

且/'(1)=ln2-1<0,/(2)=ln4-1>0,

所以函數(shù)/(x)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

故選：B.

IN.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.(2019高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()

【答案】C

【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在定理及二分法分析各選項(xiàng)的函數(shù)圖象，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,0上的圖象連續(xù)不斷，且/(a)"(b)<0,即函數(shù)的零點(diǎn)是

變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間(a,b)一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值.

對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A,B,D都符合條件，

而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)沒(méi)有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn).

故選：C.

2.(23-24高三下?福建廈門(mén)?強(qiáng)基計(jì)劃)/Q)=tanKsinx—sinx—tanx+1在［0,2兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】借助因式分解的方法，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解即得.

【詳解】依題意，f(x)=tanxsinx-sinx-tanx+1=(tanx—l)(sinx—1),

而工€［0,2兀］,顯然x7彳且x4因此sinx71,

由/'(X)=0，得tanx=1,解得x或％=：兀，

所以f(x)在［0,2句上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

故選：B

3.(2024陜西安康?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)fO)=Inx+x2-2的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(0,f)B.(f,l)C.(1,V2)D.(V2.2)

【答案】c

【分析】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),又尸(x)=1+2x>0,易知函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又f(l)=-l<0,f(&)=lnV^=3n2>0,所以在(1,夜)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)而，使汽通)=0.

故選：C.

4.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=cos%與y=lg|%]的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)y=cos%與y=lg|%|都是偶函數(shù)，其中cos2兀=COS4K=1,lg4兀>IglO=1>恒2兀,

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=cos%與y=lg|%]的圖象，如下圖，

kg網(wǎng)尸COSTI

?4兀、37tz?2兀、2兀4兀攵

由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故選：D

5.(23-24高三下?江西?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=sin(2a)]+9(3>0)在(0,￡)上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)和1個(gè)

36

零點(diǎn)，皤)=。，則3=()

A.-B.-C.—D.—

3366

【答案】A

【分析】由以》=0求出3的表達(dá)式，再由極值點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出3的范圍即可得解.

【詳解】當(dāng)久€(0勺時(shí)，23%+江邑哼+9,依題意，?！赐?三J解得2<3記，

633333322

由/(])=0,得3兀+(=k兀,kEN*,解得3=k—所以k=3,3=*

故選：A

x>0

6.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=[x',若關(guān)于x的方程/(*)=a恰有

I2x2+4%+1,%<0

三個(gè)實(shí)數(shù)根，貝Ua的取值范圍為.

【答案】(0,1]

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=a的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可.

【詳解】關(guān)于x的方程/(久)=a恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)y=f(x)與y=a的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,

y=/0)的圖象如圖所示，

由圖可知當(dāng)0<aWl時(shí)，兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

所以a的取值范圍為(0,1],

故答案為：(0,1]

7.(2024.河南.二模)已知函數(shù)/(久)是偶函數(shù),對(duì)任意％eR,均有/(久)=7(%+2),當(dāng)％G[0,1]時(shí),/(%)=1-%,

則函數(shù)g(x)=/(x)-log5(x+1)的零點(diǎn)有個(gè).

【答案】4

【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)y="X)的圖象與y=log5(%+1)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解.

【詳解】函數(shù)久%)是偶函數(shù)，說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，f(x)=f(x+2)說(shuō)明f(x)的周期是2,

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=/(x)的圖象與y=log5(x+1)的圖象，如圖所示：

X=/^=10g50Etl)

-3-2-y01234567%

如圖所示，共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，即g(x)=/(x)-log5(x+1)有4個(gè)零點(diǎn).

故答案為：4.

B能力提升

1.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))方程等｝+X2-4=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為()

V4-X2

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】解法一：令f(x)=碧J+%2—4,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(")的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可知

f(x)在[0,+8)上有一個(gè)零點(diǎn)，即可求解；解法二：令x=2cosa(0WxW兀)，將原方程轉(zhuǎn)化為sina-coscr=

解出方程的解即可.

【詳解】解法一：令/(>)=萼+/—4,定義域?yàn)?—2,2),

232

3(1+X)V4=X2-(1+X)-7^=(1+X)[3V4=X2+^1S1

f'M=-----------W+