廣東省清遠市2025屆高三年級上冊第一次調研考數(shù)學試題（含答案）

廣東省清遠市2025屆高三上學期第一次調研考數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若集合a={x|0<X<P1，B={%||x-I|<多1，則ans=()

133I

A.{x\-<x<-}B.{x|0<%<-}C.{x\x=-}D.0

2.已知i是虛數(shù)單位，若i-z=寧，則復數(shù)z的虛部為（）

A.4B.2C.-2D.-4

3.已知向量d=(2,3),K=(fc,-4),且五1九則k的值為()

oo

A.-6B.6C.D.|

4.函數(shù)/(%)=%+六在區(qū)間(l,+8)上的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

5.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調遞增的是()

A./(%)=—%2+3B./(%)=lg|x|C./(%)=sin%D./(%)=%3

6.設函數(shù)f（x）=ax+工在區(qū)間（2,3）上單調遞減，則正數(shù)a的取值范圍為（）

11

A.(0,勺B.(0,1]C.(2,3)D.[2,3]

7.記函數(shù)/'(久)=、1+sinx+、1—sinx,設a€百爭，甲：a€百捫;乙：f(a)=2sinp則甲是乙的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8,已知a=2e-i,6=詈c=磐,貝！1()

Igelg8

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/（無）=3sin（2x+J下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/'（久）的最小正周期是兀

B.把函數(shù)/（久）的圖象向右平移g個單位長度可得到函數(shù)g（久）=3sin2x的圖象

C.函數(shù)f(x)的圖象關于點(-^,0)中心對稱

D.函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(等，等)上單調遞增

10.現(xiàn)有一組各不相同且從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)上，當，…，》39,%40,下列說法正確的是()

A.%!，久2，x3>x39>X40的下四分位數(shù)為

B.X2,X3,-■■,比19,X20,%21的中位數(shù)為乂11

C.久1,%2,比3，%19，%20的平均數(shù)小于久21，“22，x23，…，乂39，乂40的平均數(shù)

D.2%i+3,2x2+3,2久3+3,…，2處0+3的方差是x2,x3,■■■,x39,X40的方差的4倍

11.設/(久)與其導函數(shù)/''CO的定義域均為R,g(x)=/(%),若/'(3%)=f(2-3%),g(x-2)的圖象關于x=

1對稱，g(x)在［-1,1］上單調遞減，且g(7)=3,則()

A.g(x-l)為偶函數(shù)B.9(久+1)的圖象關于原點對稱

C.g(2041)=3D.g(久)的極小值為3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.某市高三年級1萬名男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52),則身高超過180cm的男生

約有人.(參考數(shù)據(jù)：=0.682,P(/i-2(r<X</z+2d)?0.954,P(/z-3(r<

XW〃+3。)=0.997)

13.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當久20時，/(x)=x(l+x),則/(一3)=;當無<。時，

f⑺=?

14.已知函數(shù)/(久)=2sin(3x+9)(3>0,-1<<0)相鄰兩條對稱軸之間的距離為半且/(?)=V-2,貝U

/(X)在［0,2汨上的零點個數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

■2

15.(13分)在△ABC中，角力，B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosA=］,a=4,6sinB=5sinC.

4

(1)求b的值；

(2)求△ABC的面積.

16.(15分)已知每門大炮擊中目標的概率都是0.5,現(xiàn)有n門大炮同時對某一目標各射擊一次.

(1)當n=5時，求恰好擊中目標2次的概率(精確到0.01);

(2)如果使目標至少被擊中一次的概率超過80%,至少需要多少門大炮？(lg2=0.301)

17.(15分)如圖，在直四棱柱4BCD-ABiCDi中，底面4BCD為矩形，=6,AB=4,力。=2,點

E,F,G分別在棱Bq,上，&E=3,BG=|.

1

(1)若B]F=｝證明：平面4CD1〃平面EFG;

(2)若8/=1,求直線4尸與平面AC%所成角的正弦值.

18.(17分)已知函數(shù)/1(x)=爐+lx?-％+0圖象的對稱中心為(0,1).

(1)求a和6的值；

(2)若對于任意的%>0,都有/(X)+e2*-2mx2/一％+2恒成立，求實數(shù)ni的取值范圍.

19.(17分)已知橢圓C:盤+，=l(a>b>0)的離心率為亨，短軸長為2,過圓心在原點，半徑為，虧的

圓。上一動點P作橢圓C的兩條切線P4PB,切點分別為4,B,延長P力與圓交于另一點M,延長PB與圓交

于另一點N.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)假設向量&,3的夾角為。,定義：axb=\a\\b\sm0.

(i)證明：OMxON^0;

(ii)求瓦？X用的取值范圍.

參考答案

1.C

2.0

3.B

4.0

5.B

6.A

7.4

8.C

9.ACD

IQ.BCD

11.AB

12.230

13.—12；x(l—x)

14.6

15.解:⑴因為6sinB=5sinC,

所以由正弦定理可得6b=5c,所以6=

O

由余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccosA,

得16=||C2+C2-2X^XCX1,

解得c=6(負值舍去)，所以b=|X6=5.

O

■2

(2)因為cos/=0<A<7i,

4

所以sinA=V1—cos2A=/1—

所以△ABC的面積S=bcsinA=x5x6x，=15y.

LL44

16.解:⑴設5門大炮擊中目標的門數(shù)為X,則X~B(5,0.5),恰好擊中目標2次的概率為

P(X=2)=髭X0.52X(1-0.5)3?0.31.

(2)由題意,"門大炮同時對某一目標各射擊一次，

擊中0次的概率為(1-0.5)"=0.5,則至少擊中一次的概率為l-0.5n,

貝l-0.5n>80%,即7ilg0.5<lg0.2,

1-0.301

解得心黔甯=寄。?2.3,

0.301

因為吒N*,所以如果使目標至少被擊中一次的概率超過80%,至少需要3門大炮.

17.解：（1）由題得，在直四棱柱48CD-中，AAt=6,AB=4,AD=2,ArE=3,BG

1

B/=P

所以/E=JBI4=1,BiF另B?="BiG=；BiB=',

44Z4Z

所以EF〃&Q,GF//BCr,

又因為力C〃&C「ADJ/BJ

^EF//AC,GF//ADr.

又因為EFr\GF=F,ACCtAD1=A,

所以平面ACDi〃平面EFG.

(2)以。為坐標原點，DA,DC,DDi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則。式0,0,6),

4(2,0,0),C(0,4,0),F(1,4,6),

則取=(2,0,—6)，D^C=(0,4,-6).

設平面力CDi的法向量元=(x,y,z),

則(元?D1A=2%—6z=0

(n-—4y—6z=O'

o

令z=l,得％=3,y=-.

,2

又?；AF=(-1,4,6),

?.|cos<n，AF>\-?

故直線4F與平面ACDi所成角的正弦值為嚅1

18.解：(1)由/(%)=x3+bx2—%+a,可得1(%)=3%2+2bx—1,

令g(%)=/'(%)=3x2+2bx—1,

則g'(%)=6x+2b,

令g'(x)=6%+26=0,得x=

因為函數(shù)f(%)=%3+bx?一%+。圖象的對稱中心為(0,1),

因此]§一°解得。=1,b=0.

1/(0)=1

可得/(%)=x3—x+1；

(2)由(1)/(%)=%3—%+1,

對于任意的久>0,都有/(%)+e2x—2mx>%3—%+2恒成立，

即對于任意的第>0,e2x—2mx>1恒成立.

令h(%)=e2x—2mx,可得八'(％)=2e2x—2m,

令"(％)=0,即Ze2%—2m=0,BPe2x=m,

①當相40時，hf(x)>0,則九(%)在(0,+8)上單調遞增，h(x)>h(0)=1,符合題意；

②當0<m<1時，e2x=m,則％=；lnzn40,則//(%)>0,/i(x)在(0,+8)上單調遞增，/i(%)>ft(0)=

1,符合題意；

③當相>1時，e2x—m,則冗=1lnm>0,

i1

當％G(0,'lmn)時，〃(%)<0,則九(%)在(Oqlnm)上單調遞減，

11

當久e(]1口771,+8)時，〃(%)>0,則%(%)在Glnm,+8)上單調遞增，

所以/i(%)>/i(1-lnm)=elnm—2m?-1Inm=m—mlnm,

令k(jn)=m—mlnm,m>1,貝Uk'(m)=—Inm<0,

所以ZcQn)在(1,+8)上單調遞減，

所以/c(?n)<Zc(l)=1,不合題意；

綜上所述，m6(-oo,1].

19.解：(1)橢圓C：^+，=l(a〉b>0),短軸長為2,所以6=1,

離心率e=￡=丹，又爐=a2—c2,解得a=2,

a2

2

.1橢圓C的標準方程為a+y2=l.

(2)(i)證明：設PQo，y。)，

①當直線P4PB的斜率都存在時，設過P與橢圓相切的直線方程為y=一1o)+y。，

聯(lián)立直線與橢圓的方程匕:日工一龍?+/，

+4y‘-4=0

222

整理可得(1+4fc)%+8fc(y0—fcx0)x+4(y0—fcx0)—4=0,

2222

4=64fc(y0-fcx0)-4(1+4fc)[4(y0-fcx0)一旬,

2

由題意可得4=0,整理可得(4-XQ)/C+2xoyok+1-羽=0,

設直線P4PB的斜率分別為自，心，所以以矽=黑，

又亞+據(jù)=5,所以ifT)=寫=—1，

PM1PN,即MN為圓。的直徑，

sin<OM，ON>=0>

.■.OMxON^O.

②當直線P4或P8的斜率不存在時，不妨設P(2,l),

則直線PB的方程為久=2,

所以N(2,-1),M(—2,1),也滿足sin<而，ON>=0,

所以麗乂而=0.

綜上，OMxON=0-

(江)設點4(山,、1),3(*2，%)，

當直線P2的斜率存在時，設直線P4的方程為y=七(久-xj+為,

聯(lián)立直線P力與橢圓的方程『2]?(:—?)

1%/+4yz—4=0

2

消y可得(1+4幅)％2+8kl(yi-/ci%i)x+4(yr-krx^-4=0,

4=64蜉(yi—k]X])2—4(1+4之苫)[4(月——4],

由題意4=0,整理可得(4—好)蜉+23]丫也1+1—資=0,

由求根公式得自=-浮一％1丫1=X1

T1—X]4必一4yl

X

所以直線P4的方程為丫=一初Q—巧）+乃,

化簡可得%i%+4yly=4yf+就，即半+y1y=1,

經(jīng)驗證，當直線PA的斜率不存在時，直線P4的方程為1=2或久=一2也滿足華+yiy=1,

4

同理可得直線PB的方程等+y2y=1，

4

（竽+y，o=i

因為PQo