備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)真題題源解密專題13幾何圖形初步（5類重點考向）含答案及解析

專題13幾何圖形初步目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一認(rèn)識立體圖形?考向二幾何體的展開與折疊?考向三有關(guān)角的計算問題?考向四余角、補角與對頂角、鄰補角?考向五平行線的性質(zhì)與判定最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.掌握五個基本事實；2.會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義；3.理解角的概念，能比較角的大?。J(rèn)識度、分、秒，會對度、分、秒進(jìn)行簡單的換算，并會計算角的和、差；4.理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的補角相等的性質(zhì)；識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；5.理解垂線、垂線段的概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；6.理解平行線的概念；掌握平行線的性質(zhì)定理；探索并證明平行線的判定定理和性質(zhì)定理；7.了解平行于同一條直線的兩條直線平行；8.通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義．結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念．會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立；9.了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的．通過實例體會反證法的含義．該版塊內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，是非?；A(chǔ)也是非常重要的，年年都會考查，分值為8分左右，預(yù)計2023年各地中考還將出現(xiàn)，大部分地區(qū)在選填題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生能力，比如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握。?考向一認(rèn)識立體圖形1．（2023?樂山）下面幾何體中，是圓柱的為（）A． B． C． D．2．（2023?婁底）一個長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是3：2：1，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產(chǎn)生的壓強分別為PA、PB、PC（壓強的計算公式為P＝），則PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：12．（2023?巴中）如圖所示圖形中為圓柱的是（）A． B． C． D．?考向二幾何體的展開與折疊3．（2023?達(dá)州）下列圖形中，是長方體表面展開圖的是（）A． B． C． D．4．（2023?威海）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠(yuǎn)的頂點是（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點5．（2023?青島）一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）A．31 B．32 C．33 D．34?考向三有關(guān)角的計算問題6．（2022?煙臺）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°7．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝．8．（2019?煙臺）小明將一張正方形紙片按如圖所示順序折疊成紙飛機，當(dāng)機翼展開在同一平面時（機翼間無縫隙），∠AOB的度數(shù)是．?考向四余角、補角與對頂角、鄰補角解題技巧/易錯易混1.識別對頂角時，要抓住兩個關(guān)鍵要素：一是頂點，二是邊．先看兩個角是否有公共頂點，再看兩個角的兩邊是否分別互為反向延長線．兩條直線相交形成兩對對頂角．2.互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定是鄰補角；一個角的鄰補角有兩個，但一個角的補角可以有很多個9．（2023?北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（）A．36° B．44° C．54° D．63°10．（2023?河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1＝80°，∠2＝30°，則∠AOE的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．60° D．80°11．（2022?桂林）如圖，直線l1，l2相交于點O，∠1＝70°，則∠2＝°．?考向五平行線的性質(zhì)與判定12．（2023?綿陽）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1＝122°，∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．68° D．78°13．（2023?重慶）如圖，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．50° D．55°14．（2023?金華）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．130° D．135°1．（2022?自貢）如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．60° D．150°2．（2022?河北）①～④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體，若組合其中的兩個，恰是由6個小正方體構(gòu)成的長方體，則應(yīng)選擇（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④3．（2023?臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°4．（2023?河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向5．（2022?甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°6．（2023?金昌）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°7．（2023?臨沂）在同一平面內(nèi)，過直線l外一點P作l的垂線m，再過P作m的垂線n，則直線l與n的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定8．（2022?瀘州）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，點B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°9．（2022?賀州）如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的是（）A．∠1與∠2 B．∠1與∠3 C．∠2與∠3 D．∠3與∠410．（2022?臺州）如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°11．（2022?吉林）如圖，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依據(jù)可以簡單說成（）A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．同位角相等，兩直線平行12．（2021?銅仁市）直線AB、BC、CD、EG如圖所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AB∥CD B．∠EBF＝40° C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE13．（2023?內(nèi)蒙古）將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點C在FD的延長線上，且AB∥FC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°14．（2023?荊州）如圖所示的“箭頭”圖形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，則圖中∠G的度數(shù)是（）A．80° B．76° C．66° D．56°15．（2023?常州）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是（用含a的代數(shù)式表示）．16．（2023?無錫）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為．17．（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為°．18．（2022?玉林）已知：α＝60°，則α的余角是°．19．（2022?連云港）已知∠A的補角為60°，則∠A＝°．20．（2022?西藏）如圖，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡：（1）分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，作直線EF；（2）以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點G，H，再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點O，畫射線AO，交直線EF于點M．已知線段AB＝6，∠BAC＝60°，則點M到射線AC的距離為．21．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，一條公路兩次轉(zhuǎn)彎后，和原來的方向相同．第一次的拐角∠ABC是140°，第二次的拐角∠BCD是°．22．（2021?蘭州）將一副三角板如圖擺放，則∥，理由是．23．（2023?臺州）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．24．（2023?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，點E在BA的延長線上，連接CE．（1）求證：∠E＝∠ECD；（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接寫出△BCE的形狀．25．（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點E，∠BCD＝50°．求證：AE∥DC．

主題四平面幾何專題13幾何圖形初步直線的性質(zhì)1.兩條直線相交，只有一個交點；2.經(jīng)過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線；3.直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．線段的性質(zhì)兩點確定一條直線，兩點之間，線段最短，兩點間線段的長度叫兩點間的距離．線段的中點性質(zhì)若C是線段AB中點，則AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：平行和相交．垂線的性質(zhì)1.兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線；2.①經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．點到直線的距離從直線外一點向已知直線作垂線，這一點和垂足之間線段的長度叫做點到直線的距離．角有公共端點的兩條射線組成的圖形．角平分線1.定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線.2.角平分線的性質(zhì)：①若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．②角平分線上的點到角兩邊的距離相等。度、分、秒的運算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．余角和補角1.余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；2.補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角．3.性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等．方向角和方位角在描述方位角時，一般應(yīng)先說北或南，再說偏西或偏東多少度，而不說成東偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．當(dāng)方向角在45°方向上時，又常常說成東南、東北、西南、西北方向．三線八角1.直線a，b被直線l所截，構(gòu)成八個角（如圖）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是內(nèi)錯角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁內(nèi)角．2.除了基本模型外，我們還經(jīng)常會遇到稍難一些的平行線加折線模型，主要是下面兩類：做這類題型時，一般在折點處作平行線，進(jìn)而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，如上圖：對頂角1.定義：兩個角有一個公共的頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為對頂角．2.性質(zhì)：對頂角相等．但相等的角不一定是對頂角．平行線1.定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．2.平行線的判定（1）同位角相等，兩直線平行．（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．（4）平行于同一直線的兩直線互相平行．（5）垂直于同一直線的兩直線互相平行．3.平行線的性質(zhì)（1）兩直線平行，同位角相等．（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．4.平行線間的距離（1）定義：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長度，叫做這兩條平行線的距離．（2）性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等．

專題13幾何圖形初步目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一認(rèn)識立體圖形?考向二幾何體的展開與折疊?考向三有關(guān)角的計算問題?考向四余角、補角與對頂角、鄰補角?考向五平行線的性質(zhì)與判定最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.掌握五個基本事實；2.會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義；3.理解角的概念，能比較角的大?。J(rèn)識度、分、秒，會對度、分、秒進(jìn)行簡單的換算，并會計算角的和、差；4.理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(等角)的余角相等、同角(等角)的補角相等的性質(zhì)；識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；5.理解垂線、垂線段的概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；6.理解平行線的概念；掌握平行線的性質(zhì)定理；探索并證明平行線的判定定理和性質(zhì)定理；7.了解平行于同一條直線的兩條直線平行；8.通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義．結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念．會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立；9.了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的．通過實例體會反證法的含義．該版塊內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，是非?；A(chǔ)也是非常重要的，年年都會考查，分值為8分左右，預(yù)計2023年各地中考還將出現(xiàn)，大部分地區(qū)在選填題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生能力，比如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握。?考向一認(rèn)識立體圖形1．（2023?樂山）下面幾何體中，是圓柱的為（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)各個選項中的幾何體的形體特征進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：A．選項中的幾何體是圓錐體，因此選項A不符合題意；B．選項中的幾何體是球體，因此選項B不符合題意；C．選項中的幾何體是圓柱體，因此選項C符合題意；D．選項中的幾何體是四棱柱，因此選項D不符合題意；故選：C．【真題點撥】本題考查認(rèn)識立體圖形，掌握圓柱體，圓錐體，棱柱，球的形體特征是正確判斷的前提．2．（2023?婁底）一個長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是3：2：1，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產(chǎn)生的壓強分別為PA、PB、PC（壓強的計算公式為P＝），則PA：PB：PC＝（）A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1【思路點撥】根據(jù)A、B、C三個面的面積比是3：2：1，設(shè)出A、B、C三個面的面積分別是3a，2a，a，再根據(jù)壓強的計算公式為P＝表示PA＝，PB＝，PC＝，計算化簡PA：PB：PC即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)A、B、C三個面的面積分別是3a，2a，a，則PA＝，PB＝，PC＝，∴PA：PB：PC＝：：＝：：1＝：：＝2：3：6，故選：A．【真題點撥】本題以物理上的壓強為背景，考查了分?jǐn)?shù)比的化簡，通分是關(guān)鍵．2．（2023?巴中）如圖所示圖形中為圓柱的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)圓柱的特點進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】解：由圓柱的特征可知，B選項是圓柱．故選：B．【真題點撥】本題主要考查的是認(rèn)識立體圖形，認(rèn)識常見幾何圖形是解題的關(guān)鍵．?考向二幾何體的展開與折疊3．（2023?達(dá)州）下列圖形中，是長方體表面展開圖的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)長方體的展開圖得出結(jié)論即可．【規(guī)范解答】解：由題意知，圖形可以折疊成長方體，故選：C．【真題點撥】本題主要考查長方體的展開圖，熟練掌握長方體的展開圖是解題的關(guān)鍵．4．（2023?威海）如圖是一正方體的表面展開圖．將其折疊成正方體后，與頂點K距離最遠(yuǎn)的頂點是（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【思路點撥】把圖形圍成立體圖形求解．【規(guī)范解答】解：把圖形圍成立方體如圖所示：所以與頂點K距離最遠(yuǎn)的頂點是D，故選：D．【真題點撥】本題考查了平面圖形和立體圖形，掌握空間想象力是解題的關(guān)鍵．5．（2023?青島）一個不透明小立方塊的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖①所示．在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）A．31 B．32 C．33 D．34【思路點撥】根據(jù)正方體表面展開圖的特征，判斷“對面”“鄰面”上的數(shù)字，再該結(jié)合體的擺放方式得出答案．【規(guī)范解答】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，“1”與“3”，“2”與“4”，“5”與“6”是對面，因此要使圖②中幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，最右邊的那個正方體所能看到的4個面的數(shù)字為1、2、3、5，最上邊的那個正方體所能看到的5個面的數(shù)字為1、2、3、4、5，左下角的那個正方體所能看到的3個面的數(shù)字為1、2、3，所以該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為11+15+6＝32，故選：B．【真題點撥】本題考查正方體相對兩個面上的文字，掌握正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”是正確解答的前提．?考向三有關(guān)角的計算問題6．（2022?煙臺）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（）A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°【思路點撥】根據(jù)題意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠C＝75°，從而求出∠BAC的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB＝∠ABE＝40°，從而求出∠DAC的度數(shù)，即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖：由題意得：∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝40°，∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°，故選：A．【真題點撥】本題考查了方向角，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝40°．【思路點撥】根據(jù)平面鏡反射的規(guī)律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OED的度數(shù)，即可得到∠AEF＝∠OED的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°．故答案為：40°．【真題點撥】本題考查了角的計算，根據(jù)平面鏡反射的規(guī)律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED是解題的關(guān)鍵．8．（2019?煙臺）小明將一張正方形紙片按如圖所示順序折疊成紙飛機，當(dāng)機翼展開在同一平面時（機翼間無縫隙），∠AOB的度數(shù)是45°．【思路點撥】根據(jù)折疊的軸對稱性，180°的角對折3次，求出每次的角度即可；【規(guī)范解答】解：在折疊過程中角一直是軸對稱的折疊，∠AOB＝22.5°×2＝45°；故答案為45°．【真題點撥】本題考查軸對稱的性質(zhì)；能夠通過折疊理解角之間的對稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵．?考向四余角、補角與對頂角、鄰補角解題技巧/易錯易混1.識別對頂角時，要抓住兩個關(guān)鍵要素：一是頂點，二是邊．先看兩個角是否有公共頂點，再看兩個角的兩邊是否分別互為反向延長線．兩條直線相交形成兩對對頂角．2.互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定是鄰補角；一個角的鄰補角有兩個，但一個角的補角可以有很多個9．（2023?北京）如圖，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，則∠BOC的大小為（）A．36° B．44° C．54° D．63°【思路點撥】先求出∠COD的度數(shù)，然后根據(jù)∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故選：C．【真題點撥】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)角的和差首先求出∠COD的度數(shù)．10．（2023?河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，若∠1＝80°，∠2＝30°，則∠AOE的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．60° D．80°【思路點撥】由對頂角的性質(zhì)得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故選：B．【真題點撥】本題考查對頂角，關(guān)鍵是掌握對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．11．（2022?桂林）如圖，直線l1，l2相交于點O，∠1＝70°，則∠2＝70°．【思路點撥】根據(jù)對頂角的性質(zhì)解答即可．【規(guī)范解答】解：∵∠1和∠2是一對頂角，∴∠2＝∠1＝70°．故答案為：70．【真題點撥】本題主要考查了對頂角，熟練掌握對頂角相等是解答本題的關(guān)鍵．?考向五平行線的性質(zhì)與判定12．（2023?綿陽）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1＝122°，∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．68° D．78°【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的兩條折射光線平行，∴∠2＝∠3＝58°．故選：B．【真題點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”和“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．13．（2023?重慶）如圖，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．50° D．55°【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以求得∠BAC+∠1＝180°，然后根據(jù)∠1的度數(shù)和AD⊥AC，即可得到∠2的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠1＝180°，∵∠1＝55°，∴∠BAC＝125°，∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°，∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝35°，故選：A．【真題點撥】本題考查平行線的性質(zhì)、垂線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．（2023?金華）如圖，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，則∠4的度數(shù)是（）A．120° B．125° C．130° D．135°【思路點撥】由同位角相等兩直線平行得到a與b平行，再由兩直線平行同旁內(nèi)角互補，求出∠5的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等即可求出∠4的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵∠1＝∠3＝50°，∴a∥b，∴∠5+∠2＝180°，∵∠2＝50°，∴∠5＝130°，∴∠4＝∠5＝130°．故選：C．【真題點撥】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．1．（2022?自貢）如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．60° D．150°【思路點撥】根據(jù)對頂角相等可得∠2＝∠1＝30°．【規(guī)范解答】解：∵∠1＝30°，∠1與∠2是對頂角，∴∠2＝∠1＝30°．故選：A．【真題點撥】本題考查了對頂角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．2．（2022?河北）①～④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體，若組合其中的兩個，恰是由6個小正方體構(gòu)成的長方體，則應(yīng)選擇（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【思路點撥】根據(jù)組合后的幾何體是長方體且由6個小正方體構(gòu)成直接判斷即可．【規(guī)范解答】解：由題意知，組合后的幾何體是長方體且由6個小正方體構(gòu)成，∴①④符合要求，故選：D．【真題點撥】本題主要考查立體圖形的拼搭，根據(jù)組合后的幾何體形狀做出判斷是解題的關(guān)鍵．3．（2023?臨沂）如圖中用量角器測得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°【思路點撥】本題根據(jù)∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．【規(guī)范解答】解：根據(jù)∠ABC起始位置BA，另一條邊BC可得：∠ABC＝130°．故選：C．【真題點撥】本題主要考查了學(xué)生量角器的使用方法，結(jié)合∠ABC的位置進(jìn)行思考是解題關(guān)鍵．4．（2023?河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向【思路點撥】根據(jù)題意可得：∠ABC＝70°，AB∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ABC＝∠DCB＝70°，從而根據(jù)方向角的定義，即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖：由題意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，∴淇淇家位于西柏坡的北偏東70°方向，故選：D．【真題點撥】本題考查了方向角的定義，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022?甘肅）若∠A＝40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【思路點撥】根據(jù)互余兩角之和為90°計算即可．【規(guī)范解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角為：90°﹣40°＝50°，故選：A．【真題點撥】本題考查的是余角的定義，如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角．6．（2023?金昌）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻(xiàn)，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°【思路點撥】根據(jù)BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根據(jù)∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°．【規(guī)范解答】解：如圖，∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．故選：B．【真題點撥】本題主要考查了垂線和角的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂線的性質(zhì)等知識．7．（2023?臨沂）在同一平面內(nèi)，過直線l外一點P作l的垂線m，再過P作m的垂線n，則直線l與n的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能確定【思路點撥】根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵l⊥m，n⊥m，∴l(xiāng)∥n．故選：C．【真題點撥】本題考查了垂線和平行線，熟練掌握同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行是關(guān)鍵．8．（2022?瀘州）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，點B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【思路點撥】首先利用平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差關(guān)系求解．【規(guī)范解答】解：如圖所示，∵直線a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．故選：B．【真題點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行線的性質(zhì)，求出∠DAC的度數(shù)．9．（2022?賀州）如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的是（）A．∠1與∠2 B．∠1與∠3 C．∠2與∠3 D．∠3與∠4【思路點撥】同位角就是：兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角．【規(guī)范解答】解：根據(jù)同位角、鄰補角、對頂角的定義進(jìn)行判斷，A、∠1和∠2是對頂角，故A錯誤；B、∠1和∠3是同位角，故B正確；C、∠2和∠3是內(nèi)錯角，故C錯誤；D、∠3和∠4是鄰補角，故D錯誤．故選：B．【真題點撥】解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．10．（2022?臺州）如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（）A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°【思路點撥】根據(jù)平行線的判定逐項分析即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：A．由∠2＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項不符合題意；B．由∠3＝90°＝∠1，可判定兩枕木平行，故該選項不符合題意；C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，∴∠1＝∠4，∴兩條鐵軌平行，故該選項符合題意；D．由∠5＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項不符合題意；故選：C．【真題點撥】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．11．（2022?吉林）如圖，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依據(jù)可以簡單說成（）A．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．同位角相等，兩直線平行【思路點撥】由平行的判定求解．【規(guī)范解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），故選：D．【真題點撥】本題考查平行線的判定，解題關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法．12．（2021?銅仁市）直線AB、BC、CD、EG如圖所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AB∥CD B．∠EBF＝40° C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE【思路點撥】根據(jù)平行線的判定、對頂角相等及三角形的外角定理求解判斷即可得解．【規(guī)范解答】解：∵∠1＝∠2＝80°，∴AB∥CD，故A正確，不符合題意；∵∠3＝40°，∴∠EFB＝∠3＝40°，∵∠1＝∠EBF+∠EFB，∴∠EBF＝40°＝∠EFB，∴EF＝BE，故B正確，不符合題意；故D錯誤，符合題意；∵∠2是△FCG的外角，∴∠FCG+∠3＝∠2，故C正確，不符合題意；故選：D．【真題點撥】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理及三角形的外角定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023?內(nèi)蒙古）將一副直角三角板按如圖所示的方式擺放，點C在FD的延長線上，且AB∥FC，則∠CBD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【思路點撥】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝∠EDF＝45°，則∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，代入數(shù)據(jù)即可求出．【規(guī)范解答】解：∵AB∥FC，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，又∵∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC，∴∠CBD＝45°﹣30°＝15°，故選：B．【真題點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，熟悉一副直角三角板各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．（2023?荊州）如圖所示的“箭頭”圖形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，則圖中∠G的度數(shù)是（）A．80° B．76° C．66° D．56°【思路點撥】延長AB交EG于M，延長CD交FG于N，過G作GK∥AB，得到GK∥CD，推出∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性質(zhì)得到∠EMB＝33°，∠DNF＝33°，即可求出∠EGF的度數(shù)．【規(guī)范解答】解：延長AB交EG于M，延長CD交FG于N，過G作GK∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF，∴∠KGM+∠KGN＝∠EMB+∠DNF，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF，∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，∴∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝33°，同理：∠DNF＝33°，∴∠EGF＝∠EMB+∠DNF＝33°+33°＝66°．故選：C．【真題點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過作輔助線，由平行線的性質(zhì)，得到∠EGF＝∠EMB+∠DNF，由三角形外角的性質(zhì)求出∠EMB、∠DNF的度數(shù)，即可解決問題．15．（2023?常州）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是πa3（用含a的代數(shù)式表示）．【思路點撥】直接根據(jù)圓柱的體積公式計算即可．【規(guī)范解答】解：圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是πa2?a＝πa3．故答案為：πa3．【真題點撥】本題考查了認(rèn)識立體圖形，熟練掌握圓柱的體積公式是關(guān)鍵．16．（2023?無錫）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為36+2．【思路點撥】由三棱柱三個側(cè)面和上下兩個底面的特征，結(jié)合側(cè)面展開圖是一個邊長為6的正方形卡知，上下底面的正三角形的周長為6，即邊長為2，然后根據(jù)條件公式進(jìn)而求出表面積即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：依題意可知：直三棱柱的上下底面的正三角形的邊長為2，∴其2個底面積為＝2．∵側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，∴其側(cè)面積為6×6＝36，∴該直三棱柱的表面積為36+2．故答案為：36+2．【真題點撥】此題主要考查了直三棱柱側(cè)面展開圖的知識，解題時注意三棱柱的特征，找到所求的量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．17．（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為135°．【思路點撥】根據(jù)三角形外角定理進(jìn)行計算即可得出答案．【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意可得，∠BAC＝90°+45°＝135°．故答案為：135．【真題點撥】本題主要考查了角的計算，熟練掌握角的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．18．（2022?玉林）已知：α＝60°，則α的余角是30°．【思路點撥】根據(jù)如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角即可得出答案．【規(guī)范解答】解：90°﹣60°＝30°，故答案為：30．【真題點撥】本題考查了余角和補角，掌握如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角是解題的關(guān)鍵．19．（2022?連云港）已知∠A的補角為60°，則∠A＝120°．【思路點撥】根據(jù)補角的定義即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵∠A的補角為60°，∴∠A＝180°﹣60°＝120°，故答案為：120．【真題點撥】本題考查了余角和補角，掌握如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角是解題的關(guān)鍵．20．（2022?西藏）如圖，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡：（1）分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，作直線EF；（2）以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點G，H，再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點O，畫射線AO，交直線EF于點M．已知線段AB＝6，∠BAC＝60°，則點M到射線AC的距離為．【思路點撥】根據(jù)線段的垂直平分線和角平分線的作法可知：EF是線段AB的垂直平