滬教版數(shù)學(xué)初一年級上冊（全冊知識點(diǎn)考點(diǎn)梳理、重點(diǎn)題型分類鞏固練習(xí)）（基礎(chǔ)版）

滬教版初一數(shù)學(xué)上冊

知識點(diǎn)梳理

重點(diǎn)題型(?？贾R點(diǎn))鞏固練習(xí)

整式的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握單項式系數(shù)及次數(shù)的概念；

2.理解多項式的次數(shù)及多項式的項、常數(shù)項及次數(shù)的概念；

3.掌握整式的概念，會判斷一個代數(shù)式是否為整式；

4.能準(zhǔn)確而熟練地列式子表示一些數(shù)量關(guān)系.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、單項式

1.單項式的概念：如-2孫2,4,它們都是數(shù)與字母的積，像這

樣的式子叫單項式，單獨(dú)的一個數(shù)或一個字母也是單項式.

要點(diǎn)詮釋：(1)單項式包括三種類型：①數(shù)字與字母相乘或字母與字

母相乘組成的式子；②單獨(dú)的一個數(shù)；③單獨(dú)的一個字母.

(2)單項式中不能含有加減運(yùn)算，但可以含有除法運(yùn)算.如：g可

以寫成Ls/。但若分母中含有字母，如2就不是單項式，因為它無法

2m

寫成數(shù)字與字母的乘積.

2.單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù).

要點(diǎn)詮釋：(1)確定單項式的系數(shù)時，最好先將單項式寫成數(shù)與字母

的乘積的形式，再確定其系數(shù)；

(2)圓周率無是常數(shù).單項式中出現(xiàn)冗時，應(yīng)看作系數(shù)；

(3)當(dāng)一個單項式的系數(shù)是1或」時，“1”通常省略不寫；(4)單

項式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如：寫成』/

44'

3.單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項

式的次數(shù).

要點(diǎn)詮釋：單項式的次數(shù)是計算單項式中所有字母的指數(shù)和得到的，

計算時要注意以下兩點(diǎn)：

(1)沒有寫指數(shù)的字母，實際上其指數(shù)是1,計算時不能將其遺漏；

(2)不能將數(shù)字的指數(shù)一同計算.

要點(diǎn)二、多項式

1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式.

要點(diǎn)詮釋：“幾個”是指兩個或兩個以上.

2.多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常

數(shù)項.

要點(diǎn)詮釋：(1)多項式的每一項包括它前面的符號.

(2)一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：6x?-2x-7是

一個三項式.

3.多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的

次數(shù).

要點(diǎn)詮釋：(1)多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和，而是多項式中

次數(shù)最高的單項式的次數(shù).

(2)一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，

都應(yīng)寫出.

要點(diǎn)三、整式#

單項式與多項式統(tǒng)稱為整式.」一

要點(diǎn)詮釋：(1)單項式、多項式、整式這三者之間的關(guān)

系如圖所示.()

即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立.\^2^/

(2)分母中含有字母的式子一定不是整式.

【典型例題】

類型一、整式概念辨析

@1.指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整

式？

22。+b41I12c2仁2

x+y)—x)-----)1U,oxy+1,—,—mTI)2x—x—5))

3x7x+x

a1

【答案與解析】單項式有：-1,10,^mn,a1；

22

多項式有：x+,,6xy+l52x-x-5；

227

整式有:X2+y?,-x,口；。,10,6町+1,ymn,2x-x-55a.

【總結(jié)升華】-J不是整式，因為分母中含有字母；/+4+2也不

x+xa

是多項式，因為工不是單項式.

a

舉一反三：

[:整式的概念例1】

【變式】下列代數(shù)式：

①-1；②-兇;③Lb?；④。;⑤2X+L⑥f廣20+^3,其中是單項式的

3兀2x

4________________,是多項式的是__________________.

【答案】①②③，④⑥

類型二、單項式

02.指出下列代數(shù)式中的單項式，并寫出各單項式的系數(shù)和次數(shù).

44822

一""-a,2%5-^―,2y2a，3---3xlOrm5xy

mn3

【答案與解析】-汕，-a,24x4,3Wy2,,-3xlO8Zm2,,是單

4-3

項式，其中

-乎的系數(shù)是-5，次數(shù)是3；的系數(shù)是」，次數(shù)是1；24%4

的系數(shù)是2,，次數(shù)是4；

3%/產(chǎn)的系數(shù)是加，次數(shù)是4；-|為非零常數(shù)，只有數(shù)字因式，

系數(shù)是它本身，次數(shù)為0；

-3xl08W的系數(shù)仍按科學(xué)記數(shù)法表示為-3X1。8,次數(shù)是3;

-y只含有字母因數(shù)，系數(shù)是1,次數(shù)為字母指數(shù)之和為3.

【總結(jié)升華】（1）要區(qū)分?jǐn)?shù)字因數(shù)、字母因數(shù)；（2）不能見了指數(shù)就

相加，如2。4中，24的指數(shù)4不能相加，次數(shù)為4；（3）有分?jǐn)?shù)線的，

分子、分母的數(shù)字都是系數(shù)；（4）乃是常數(shù)，不能看作字母.

舉一反三：

【變式1】單項式3x2/的系數(shù)是.

【答案】3.

【變式2】下列結(jié)論正確的是（）.

A.沒有加減運(yùn)算的代數(shù)式叫做單項式.

B.單項式號的系數(shù)是3,次數(shù)是2.

C.單項式m既沒有系數(shù)，也沒有次數(shù).

D.單項式-孫2z的系數(shù)是」，次數(shù)是4.

【答案】D

類型三、多項式

@3.多項式-gYy+gx4y2—x+1,這個多項式的最高次項是什么？一

次項的系數(shù)是什么？常數(shù)項是什么？這是幾次幾項式？

【答案與解析】這個多項式中共有四項，分別為：-4y2廣陽1,

它們的次數(shù)分別為：3,6,1,0;

其中的次數(shù)是6,是最高次項，一次項-X的系數(shù)是-1,常數(shù)項

是1,它是六次四項式.

【總結(jié)升華】確定多項式的次數(shù)時，分兩步：（1）先求多項式中每一

項的次數(shù)；（2）取這些次數(shù)中的最大的數(shù)即為多項式的次數(shù).

的已知多項式一6+手—",

⑴求多項式各項的系數(shù)和次數(shù).

⑵如果多項式是七次五項式，求m的值.

【答案與解析】⑴依題意知此多項式是五項式，第一項-6孫之的系數(shù)

是-6,次數(shù)是3；第二項-7鐘力2的系數(shù)是一7,次數(shù)是3m+l;第三項33y

4

的系數(shù)是巳，次數(shù)是4;第四項-爐〉系數(shù)是」，次數(shù)3；第五項一5系數(shù)

是-5,次數(shù)是0.

⑵由多項式是七次五項式，可得―Ty2的次數(shù)是7,即3m-l+2

=7,解得m=2.

【總結(jié)升華】對于單項式-7/—丁的次數(shù)為3m+l的認(rèn)識會不太習(xí)慣,

通過適量的練習(xí)，會對用字母表示多項式的次數(shù)或系數(shù)有較深地認(rèn)

識.

舉一反三：

[:整式的概念——練習(xí)題一3】

【變式】多項式（。-4）x3一，+無_》是關(guān)于％的二次三項式，求a與b的

差的相反數(shù).

【答案】

a—4—0〃二4

解：由題意得，,c

b=2[b=2

.?.-（tz-Z?）=-（4-2）=-2.

類型四、整式的應(yīng)用

@5.用整式填空：

⑴某商場將一種商品A按標(biāo)價的9折出售（即優(yōu)惠10%）仍可獲利

10%,若商場商品A的標(biāo)價為a元，那么該商品的進(jìn)價為元

（列出式子即可，不用化簡）.

⑵甲商品的進(jìn)價為1400元，若標(biāo)價為a元，按標(biāo)價的9折出售；

乙商品的進(jìn)價是400元，若標(biāo)價為b元，按標(biāo)價的8折出售，列式表

示兩種商品的利潤率分別為甲：乙：.

【答案】（1）券（；Q）甲商品的利潤率為'Mo；'。X100%,

乙商品的利潤率為：80%Z7-400X1QQ%.

400

【解析】本例屬于實際生活問題，應(yīng)分清“進(jìn)價”、“標(biāo)價”、“利潤”、

“利潤率”、“打折”等問題，打幾折就是標(biāo)價的十分之幾.

【總結(jié)升華】解答本例需弄清以下兩個數(shù)量關(guān)系：⑴利潤=售價一進(jìn)

價;（2）利潤率=售"%價.

進(jìn)價

舉一反三：

【變式】（2014秋?棲霞市期末）對下列代數(shù)式作出解釋，其中不正確

的是（）

A.a~b：今年小明b歲，小明的爸爸a歲，小明比他爸爸?。╝-b）

歲

B.a-b：今年小明b歲，小明的爸爸a歲，則小明出生時，他爸爸為

（a-b）歲

C.ab：長方形的長為acm,寬為bcm,長方形的面積為abcm?

D.ab：三角形的一邊長為acm,這邊上的高為bcm,此三角形的面積

為abcm2

【答案】D.

（2015?重慶）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律

組成的，其中第①個圖形中一共有6個小圓圈，第②個圖形中一共有

9個小圓圈，第③個圖形中一共有12個小圓圈，…，按此規(guī)律排列，

則第⑦個圖形中小圓圈的個數(shù)為（）

①

A.21B.24D.30

【答案】B

【解析】觀察圖形得：

第1個圖形有3+3X1=6個圓圈,

第2個圖形有3+3X2=9個圓圈，

第3個圖形有3+3X3=12個圓圈,

第n個圖形有3+3n=3（n+1）個圓圈，

當(dāng)n=7時，3X（7+1）=24,

故選B.

【總結(jié)升華】找規(guī)律問題一般應(yīng)經(jīng)歷四個階級“特例引路”、“對比分

析”、“總結(jié)規(guī)律”、“反思檢驗”等.

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知識點(diǎn)梳理

重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2014秋?章丘市校級期末）下面的說法正確的是（）

A.-2不是代數(shù)式B.-a表示負(fù)數(shù)

C.心型的系數(shù)是3D.x+1是代數(shù)式

4

2.已知單項式—手，下列說法正確的是（）.

A.系數(shù)是-4,次數(shù)是3

B.系數(shù)是—：，次數(shù)是3

C.系數(shù)是，，次數(shù)是3

D.系數(shù)是—g,次數(shù)是2

3.如果一個多項式的次數(shù)是3,那么這個多項式的任何一項的次數(shù)

（）?

A.都小于3B.都等于3C,都不小于3D.都不大

于3

4.下列式子：a+2b,，0中，整式的個數(shù)是（）.

23a

A.2個B.3個C.4個D.5個

5..關(guān)于單項式-23/丁2,下列結(jié)論正確的是（）.

A.系數(shù)是-2,次數(shù)是4

B.系數(shù)是-2,次數(shù)是5

C.系數(shù)是-2,次數(shù)是8

D.系數(shù)是？3,次數(shù)是5

6.一組按規(guī)律排列的多項式：a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b1,…，其

中第10個式子是（）.

A.d+WB.4°-Wc.4°-聲D.3°-廬

二、填空題

7.代數(shù)式gmn,|x2y3,早，-ab2c3,0,a+3a-1中是單項式的是

,是多項式的是.

8.關(guān)于x的多項式（m-l）x3-2xn+3x的次數(shù)是2,那么

m=,n=.

9.多項式2X2-3X+5是一次項式.

10.（2015?長春模擬）今年五.一假期，張老師一家四口開著一輛轎

車去長春市凈月潭森林公園度假.若門票每人a元，進(jìn)入園區(qū)的轎車

每輛收費(fèi)20元，則張老師一家開車進(jìn)入凈月潭森林公園園區(qū)所需費(fèi)

用是元（用含a的代數(shù)式表示）.

11.有一組單項式：???,請觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用

你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第10個單項式：.

12.關(guān)于x的二次三項式的一次項的系數(shù)為5,二次項的系數(shù)為-3,

常數(shù)項為-4,按照x的次數(shù)逐漸降低排列，這個二次三項式為

13.某校生物教師李老師在生物實驗室做試驗時，將水稻種子分組進(jìn)

行發(fā)芽試驗：第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組

取9粒……按此規(guī)律,請你推測第n組應(yīng)該取種子數(shù)是粒.

14.如圖所示，在一個三角點(diǎn)陣中，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中各

行點(diǎn)數(shù)依次為2,4,6,…，2n,…，請你探究出前n行的點(diǎn)數(shù)和所

滿足的規(guī)律.若前n行點(diǎn)數(shù)和為930,則！1=.

??

????三、解答題

15.（2015?宜賓）如圖，以點(diǎn)。為圓心的20個同心

圓，它們的半徑從小到大依次是1、2、3、4、…、20,陰影部分是由

第1個圓和第2個圓，第3個圓和第4個圓，???,第19個圓和第20

個圓形成的所有圓環(huán)，則陰影部分的面積為多少？

16.已知單項式-的次數(shù)與多項式4+8優(yōu)，+%+片〃的次數(shù)相同，求

m的值.

17.某電影院有20排座位，已知第一排有18個座位，后面一排都比

前一排多2個座位，試用代數(shù)式表示出第n排的座位數(shù)，并求第19

排的座位數(shù).

18.已知多項式一。"+anb-alQb2+...+?/>11-bn,

⑴請你按照上述規(guī)律寫出該多項式的第5項，并指出它的系數(shù)和

次數(shù)；

⑵這個多項式是幾次幾項式？

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】D

【解析】A、-2是代數(shù)式，故此選項錯誤；B、-a不一定是負(fù)

數(shù)，故此選項錯誤；

C、辿的系數(shù)是三故此選項錯誤；D、x+1是代數(shù)式，

44

故此選項正確.

2.【答案】B

3.【答案】D

【解析】多項式的次數(shù)是該多項式中各項次數(shù)最高項的次數(shù)。

4.【答案】C

22

【解析】整式有a+2M1(x-y),0.

5.【答案】D

6.【答案】B

【解析】觀察每個式子知，每個多項式都是二項式，且a、b的指

數(shù)與式子的個數(shù)n之間的關(guān)系是a的指數(shù)為n,b的指數(shù)為2n-l,而

且含a項的系數(shù)都是1,含b項的系數(shù)為(-1)日，即第n個式子為

優(yōu)+(-1嚴(yán)AI,所以第10個式子是儲。一.

二、填空題

7.【答案】^mn,■1x213,-ab~c3,0；5。+3。一1

【解析】單項式是數(shù)與字母的乘積，多項式是單項式的和.

8.【答案】1,2

【解析】要使多項式中不含某項，則需令此項的系數(shù)為0.

9.【答案】二，三

10.【答案】4a+20

【解析】張老師一家開車進(jìn)入凈月潭森林公園園區(qū)所需費(fèi)用是

(4a+20)元.

11.【答案】-

12.【答案】-37+5%-4

【解析】①只含字母x,且二次項系數(shù)為-3,一次項系數(shù)為5,常

數(shù)項為-4；②二次三項式；③按x的降賽排列.

13.【答案】2"+1

【解析】本題考查規(guī)律探索，第一組3粒(3=1X2+1),第二組

5粒(5=2X2+1),第三組7粒(7=2X3+1),第四組9粒(9=2X

4+1),■-?,按此規(guī)律，第n組應(yīng)該取的種子數(shù)為2n+L

14.【答案】30

【解析】2+4+6+…+2n=930,即2(1+2+3+…n)=930,2Xj“=930

即n(n+l)=930,故n=30.

三、解答題

15.【解析】

解：由題意可得：陰影部分的面積和為：

7i(22—I2)+兀(42—32)+兀(62—52)H-----l-7i(202—192)

=3兀+7兀+11兀+15兀H----H39兀

=5(3兀+39兀)

=210TI.

16.【解析】

解:單項式-gx4y3的次數(shù)是7,

多項式/+8屋+/+/"的次數(shù)也是7.

m+1+l=7:.m=5

17.【解析】

解：第一排有18個座位；第二排有(18+2)個；第三排有(18+2+2)個；

第四排有(18+2+2+2)個.…第n排有［18+2(n-l)］個座位.

當(dāng)n=19時18+2(n-l)=18+2X(19-1)=54

答：第n排有［18+2(n-l)］個座位，第19排有54個座位.

18.【解析】

解：(1)該多項式的第5項為-a64,它的系數(shù)是」，次數(shù)是12;

(2)十二次十三項式.

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知識點(diǎn)梳理

重點(diǎn)題型(常考知識點(diǎn))鞏固練習(xí)

整式的加減(一)——合并同類項(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握同類項及合并同類項的概念，并能熟練進(jìn)行合并；

2.掌握同類項的有關(guān)應(yīng)用；

3.體會整體思想即換元的思想的應(yīng)用.

【要點(diǎn)梳理】

(：整式加減(一)合并同類項同類項】

要點(diǎn)一、同類項

定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項叫做同

類項.幾個常數(shù)項也是同類項.

要點(diǎn)詮釋：

⑴判斷是否同類項的兩個條件：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)

分別相等，同時具備這兩個條件的項是同類項，缺一不可.

⑵同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān).

⑶一個項的同類項有無數(shù)個，其本身也是它的同類項.

要點(diǎn)二、合并同類項

1.概念：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.

2.法則：合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的

和，且字母部分不變.

要點(diǎn)詮釋：合并同類項的根據(jù)是乘法分配律的逆運(yùn)用，運(yùn)用時應(yīng)注意：

⑴不是同類項的不能合并，無同類項的項不能遺漏，在每步運(yùn)算中都

含有.

⑵合并同類項，只把系數(shù)相加減，字母、指數(shù)不作運(yùn)算.

【典型例題】

類型一、同類項的概念

Qi.指出下列各題中的兩項是不是同類項，不是同類項的說明理

由.

⑴與_六2；(2)2x2yz2xyz2;(3)5x與孫；(4)

-5與8

［答案與解析】本題應(yīng)用同類項的概念與識別進(jìn)行判斷：

解：(1)(4)是同類項；(2)不是同類項，因為2必以與2孫Z?所含字

母乂z的指數(shù)不相等；

(3)不是同類項，因為5%與孫所含字母不相同.

【總結(jié)升華】辨別同類項要把準(zhǔn)“兩相同，兩無關(guān)”，“兩相同”是指：

①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)相同.“兩無關(guān)”是指：①與系

數(shù)及系數(shù)的指數(shù)無關(guān)；②與字母的排列順序無關(guān).

舉一反三：

【變式】下列每組數(shù)中，是同類項的是().

OL

①2x?y3與x^y2(2)-x2yz與-x?y(3)10mn與—mn④(-a)，與(-3)，

(5)-3x2y與0.5/2(6)-125與g

A.①②③B.①③④⑥C.③⑤⑥D(zhuǎn).只有⑥

【答案】C

02.(2014?咸陽模擬)已知-4xyn+i與級了4是同類項，求2m+n的

值.

【答案與解析】

解：由題意得：m=l,n+l=4,

解得：m=l,n=3.

/.2m+n=5.

【總結(jié)升華】考查了同類項定義.同類項定義中的兩個“相同”：所

含字母相同，相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)，因此成了中考的?？?/p>

點(diǎn).

舉一反三：

[:整式加減(一)合并同類項例1】

【變式】匕落"2盯焉是同類上出聚+2)的值.

【答案】

解：由題意知—2=1,且〃+2=3

.,.(m-2)(n+2)=3

類型二、合并同類項

@3.合并下列各式中的同類項：

(l)-2x2-8y2+4--5x2-5x+5x-6xy

(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5

【答案與解析】

角單：⑴-2x2-§y2+4y2_5x2_5x+5x_6xy

=(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy=-7x2-4y2-6xy

=(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)=8x2y-2xy2+2

【總結(jié)升華】⑴所有的常數(shù)項都是同類項，合并時把它們結(jié)合在一起,

運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行合并；(2)在進(jìn)行合并同類項時，可按照如

下步驟進(jìn)行：第一步：準(zhǔn)確地找出多項式中的同類項(開始階段可以

用不同的符號標(biāo)注)，沒有同類項的項每一步保留該項；第二步：利用

乘法分配律的逆運(yùn)用，把同類項的系數(shù)相加，結(jié)果用括號括起來，字

母和字母的指數(shù)保持不變；第三步：寫出合并后的結(jié)果.

舉一反三：

【變式】（2015?玉林）下列運(yùn)算中，正確的是（）

A.3a+2b=5abB.2a3+3a2=5a5C.3a2b-3ba2=0D.5a2-

4a2=1

【答案】C

解：3a和2b不是同類項，不能合并，A錯誤；

2a3+和3a2不是同類項，不能合并，B錯誤；

3a2b-3ba2=0,C正確；

222錯誤，

5a-4a=a,D

故選：C.

4,已知2a3+mb5-paW=-7a*,求m+n-p的值.

【思路點(diǎn)撥】兩個單項式的和一般情形下為多項式.而條件給出的結(jié)

果中仍是單項式，這就意味著2a3+?5與24夕+1是同類項.因此，可以

利用同類項的定義解題.

【答案與解析】

解：依題意，得3+m=4,n+1=5,2-p=-7

解這三個方程得：m=1,n=4,p=9,

m+n-p=1+4-9=-4.

【總結(jié)升華】要善于利用題目中的隱含條件.

舉一反三：

【變式】若與—0.5優(yōu)/的和是單項式，則旭=,n=.

【答案】4,2.

類型三、化簡求值

5.當(dāng)p=2,q=l時，分別求出下列各式的值.

⑴（P-q）。+2（p-q）一：（q-pY-3（p一q）；

（2）8P2-3q+5q-6P2-9

【答案與解析】（1）把（p-幻當(dāng)作一個整體，先化簡再求值：

解：

(p-q)2+2(p-q)--(q-p)2-3(p_q)

1,

=(1一?(2一/-+(2—3)(2一(7)

22

=--(P-Q)-(p-q)

又p—q=2—l=l

所以，原式二一不0一療_(p-q)=-§xF=

(2)先合并同類項，再代入求值.

解：8p~-3q+5q-6p2-9

=(8-6)/?2+(-3+5)^-9

=2p~+2q—9

當(dāng)p=2,q=l時，原式=2/+2q—9=2x22+2x1—9=1.

【總結(jié)升華】此類先化簡后求值的題通常的步驟為：先合并同類項，

再代入數(shù)值求出整式的值.

舉一反三：

【變式】先化簡，再求值：

(1)3%2-8%+%3-12%2-3%3+1,其中x=2；

(2)4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2,其中x=2,y=1.

【答案】

解：⑴原式=-2尤3—9丁—8尤+1,

當(dāng)尤=2時,原式=-2x23-9x22-8x2+1=-67.

⑵原式=2x"—xy+10y2,

當(dāng)％=2,y=l時，原式=2x22—2x1+10x12=16.

類型四、“無關(guān)”與“不含”型問題

@6.李華老師給學(xué)生出了一道題：當(dāng)x=0.16,y=-0.2時，求

33333

6x-2xy-4x+2xy-2x+l5.題目出完后，小明說：“老師給的條件

x=0.16,y=-0.2是多余的”.王光說：“不給這兩個條件，就不能求

出結(jié)果，所以不是多余的.”你認(rèn)為他們誰說的有道理?為什么？

【思路點(diǎn)撥】要判斷誰說的有道理，可以先合并同類項，如果最后的

結(jié)果是個常數(shù)，則小明說得有道理，否則，王光說得有道理.

【答案與解析】

解：6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15

=（6-4-2）x3+（-2+2）x3y+15

=15

通過合并可知，合并后的結(jié)果為常數(shù)，與x、y的值無關(guān)，所以

小明說得有道理.

【總結(jié)升華】本題在化簡時主要用的是合并同類項的方法，在合并同

類項時，要明白：同類項的概念是所含字母相同，相同字母的指數(shù)也

相同的項不是同類項的一定不能合并.

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知識點(diǎn)梳理

重點(diǎn)題型（?？贾R點(diǎn)）鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.判斷下列各組是同類項的有（）.

（l）0.2x2y和O.Zxy2；⑵4abe和4ac；（3）-130和15；（4）-5m3n?和4n2m，

A.1組B.2組C.3組D.4組

2.下列運(yùn)算正確的是（）.

A.2x2+3x2=5x4

B.2X2-3X2=-X2

C.6a3+4a4=10a7

D.8ab2-8ba2=0

3.（2015?柳州）在下列單項式中，與2xy是同類項的是（）

A.2x2y2B.3yC.xyD.4x

4.在下列各組單項式中，不是同類項的是（）.

A.-；丁,和一城B.-3和100C.-x2yz和-孫&D.-abc

和

2

5.如果xyWO,^xy2+axy2=0,那么a的值為（）.

A.0B.3C.-3D.--

3

6.買一個足球需要加元，買一個籃球需要"元，則買4個足球、7個

籃球共需要（）元.

A.4m+7nB.28mnC.7m+4nD.limn

7.計算a?+3a2的結(jié)果是（）.

A.3a2B.4a2C.3a4D.4a4

二、填空題

8.寫出-5/y2的一個同類項.

9.已知多項式ax+bx合并后的結(jié)果為零，則。與6的關(guān)系

為：.

10.若3x"?"與-1砂3是同類項，貝ij相=,n=.

11.合并同類項3d—8X_]0_x2+7X+3,得.

12.在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中沒有同類項的項

建.

13.100r-252t+100%=(______)t=_t；3ab2+(______)=-b2a.

14(2015?遵義)如果單項式-xyb+i與鏟-2丫3是同類項，那么b)

2015—

三、解答題

15.(2014秋?嘉禾縣校級期末)若單項式LrV+i和2a2mTb-3是同類項，

3

求3m+n的值.

16.化簡下列各式：

(1)6a2b+5ab2-4b2a-7a2b

(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2

(3)3m1n—mn2——mn+n2m—Q.Smn—3n2m

5

(4)(a+b)3—2(a+))3—g()+a)3一o.5(a+))3

17.已知關(guān)于x,y的代數(shù)式x?-3依y-3y之_^孫一8中不含xy項，求k的

值.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】⑴0.2x2y和O^xy2,所含字母雖然相同，但相同字母的

指數(shù)不同，因此不是同類項.⑵4abe和4ac所含字母不同.(3)-130和

15都是常數(shù)，是同類項.(4)-5m3n2和4112m3所含字母相同，且相同字

母的指數(shù)也相同，是同類項.

2.【答案】B

【解析】2--3d=(2-3)/=-d.

3.【答案】C

4.【答案】C

【解析】-好沖和-盯?z中相同的字母的次數(shù)不相同.

5.【答案】D

【解析】口與:互為相反數(shù)，故"-，

6.【答案】A

7.【答案】B

【解析】a2+3a2=4a2.故選B.

二、填空題：

8.【答案】rY(答案不唯一)

【解析】只要字母部分為“dy2”，系數(shù)可以是除0以外的任意

有理數(shù).

9.【答案】a+b=O

【解析】均為x的系數(shù)，要使合并后為0,則同類項的系數(shù)和

應(yīng)為0.

10.【答案】1,3

11.【答案】2%2-%-7

【解析】原式=(3-1)X2+(—8+7)X-10+3=2%2_x-7.

12.【答案】6xy

【解析】此多項式共有五項，分別是：6xy,-3x2,-4x2j,-5jx2,x2,顯

然沒有同類項的項為6盯.

13.【答案】100-252+100,-52;-4ab2

14.【答案】1.

【解析】：由同類項的定義可知

a-2=1,解得a=3,

b+l=3,解得b=2,

所以(a—b)2。15=1.

三、解答題

15.【解析】解：由￡及+1和2a2m-%3是同類項，得!2x1=3,

3ln+l=3

解得［而2.

ln=2

當(dāng)m=2,n=2時，3m+n=3X2+2=6+2=8.

16.【解析】

解：(1)原式二(6a2b-7a2b)+(Sab1-4b2a)--a2b+ab2

(2)原、式=(—3%2y+2%2y)+(3xy2—2xy2)=-x2y+xy2

(3)原式=3m2n+(—mn2+n2m—3n2m)+mn~~3m2n—3mn2—2mn

(4)式尸(1—2---------0.5)(tz+Z?)3—(a+bp

36

17.【解析】

解：

x2-3kxy-3y2-xy-8=x2+(~3kxy-xy)-3j2-8=x2+(~3k-~3^2-8

因為不含孫項，所以此項的系數(shù)應(yīng)為0,即有：-34-g=0,解得：k=—g.

k=——.

9

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知識點(diǎn)梳理

重點(diǎn)題型(?？贾R點(diǎn))鞏固練習(xí)

整式的加減(二)一去括號與添括號(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握去括號與添括號法則，充分注意變號法則的應(yīng)用；

2.會用整式的加減運(yùn)算法則，熟練進(jìn)行整式的化簡及求值.

【要點(diǎn)梳理】

［：整式的加減(二)-去括號與添括號388394去括號法則】

要點(diǎn)一、去括號法則

如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來

的符號相同；

如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來

的符號相反.

要點(diǎn)詮釋：

⑴去括號法則實際上是根據(jù)乘法分配律推出的：當(dāng)括號前為“+”

號時，可以看作+1與括號內(nèi)的各項相乘；當(dāng)括號前為號時，

可以看作-1與括號內(nèi)的各項相乘.

(2)去括號時，首先要弄清括號前面是“+”號，還是號，然

后再根據(jù)法則去掉括號及前面的符號.

(3)對于多重括號，去括號時可以先去小括號，再去中括號，也可以

先去中括號.再去小括號.但是一定要注意括號前的符號.

(4)去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項式

的恒等變形.

要點(diǎn)二、添括號法則

添括號后，括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；

添括號后，括號前面是號，括到括號里的各項都要改變符號.

要點(diǎn)詮釋：

⑴添括號是添上括號和括號前面的符號，也就是說，添括號時，

括號前面的“+”號或號也是新添的，不是原多項式某一項

的符號“移”出來得到的.

⑵去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤：

如：a+b-c,雪障a+(b-c),a-b+c,-a-(Z?-c)

去于古節(jié)去拈節(jié)

要點(diǎn)三、整式的加減運(yùn)算法則

一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并

同類項.

要點(diǎn)詮釋：

(1)整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項.

(2)兩個整式相加減時，減數(shù)一定先要用括號括起來.

(3)整式加減的最后結(jié)果中：①不能含有同類項，即要合并到不能

再合并為止；②一般按照某一字母的降賽或升賽排列；③不能出

現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù).

【典型例題】

類型一、去括號

Qi.去括號：(l)d-2(3a-2b+3c)；(2)-(-xy-l)+(-x+y).

［答案與解析】⑴d-2(3a-2b+3c)=d-(6a-4b+6c)=d-6a+4b-6c；

(2)-(-xy-l)+(-x+y)=xy+1-x+y.

【總結(jié)升華】去括號時.若括號前有數(shù)字因數(shù)，應(yīng)先把它與括號內(nèi)各

項相乘，再去括號.

舉一反三

【變式1】去掉下列各式中的括號：

(1).8m-(3n+5)；(2).n-4(3-2m);(3).2(a-2b)-3(2m-n).

【答案】(1).8m-(3n+5)=8m-3n-5.

(2).n-4(3-2m)=n-(12-8m)=n-12+8m.

(3).2(a-2b)-3(2m-n)=2a-4b-(6m-3n)=2a-4b-6m+3n.

【變式2](2015?濟(jì)寧)化簡-16(x-0.5)的結(jié)果是()

A.-16x-0.5B.-16x+0.5C.16x-8D.

16x+8

【答案】D

類型二、添括號

@2.在各式的括號中填上適當(dāng)?shù)捻棧沟仁匠闪?

(1).

2x+3y_4z+5f=_()=+()=2%-()

=2x+3y-()；

(2).

2%—+4z—5t=2x+()=2x—()=2x—3y_()=4z—5t—()

【答案】(1).—2x—3y+4z—5t,2x+3y—4z+5t,—3y+4z—5t,4z—5t.

(2).—3y+4z—5t,3y—4z+5t,—4z+5t,—2x+3y.

【牟才斤[(1)2x+3y—4z+5t=—(—2x—3y+4z—5z)=+(2%+3y—4z+5%)

—2x—(—3y+4z—5，)—2x+3y—(4z—5，)；

(2)2x—3y+4z—5t=2x+(—3y+4z—5，)—2x—(3y—4z+5，)

=2%—3y—(-4z+5，)=4z—5t—(—2x+3y).

【總結(jié)升華】在括號里填上適當(dāng)?shù)捻?，要特別注意括號前面的符號，

考慮是否要變號.

[:整式的加減(二)-去括號與添括號388394添括號練習(xí)】

舉一反三

【變式】(l)a-b+c-d=a-()；(2)x+2y-z=-()；

(3)a2-b2+a-b=^a1-Z72)+();(4)。__Z?2_a_"_a_(

【答案】b—c+d；—x—2y+z；ci—bjb+b.

類型三、整式的加減

.(2014秋?上杭縣校級月考)下面是小芳做的一道多項式的加

減運(yùn)算題，但她不小心把一滴墨水滴在了上面.(-x?+3xy-§2)-

(-lx2+4xy-1y2)=-lx2'?B>+y2,陰影部分即為被墨跡弄污的部

分.那么被墨汁遮住的一項應(yīng)是.

【答案】一xy.

【解析】

解：根據(jù)題意得：-x2+3xy--ly2+-lx2-4*丫+>|^+Ax2-y2=-xy,

【總結(jié)升華】整式加減的一般步驟是：①先去括號；②再合并同類項.

類型四、化簡求值

@4.先化簡，再求各式的值：

/+[一]+夫2H—其中x=_2,y=g;

【答案與解析】原式二;X-齊+；/—Zx+gj?=_3x+y2,

2、944

當(dāng)x=-2,y=§時，原式二-3x(-2)+(§)2=6+—=6—.

【總結(jié)升華】化簡求值題一般采用“一化二代三計算”，此類題的書

寫格式一般為：當(dāng)....時，原式二？

舉一反三

【變式1】先化簡再求值：(-X2+5X+4)+(5X-4+2X2),其中X=-2.

【答案】(-x2+5x+4)+(5x-4+2x2)=-x2+5x+4+5x-4+2x2=x2+10x.

當(dāng)x=-2,原式=(-2)2+10X(-2)=-16.

【變式2】先化簡，再求值：3(y+2x)-[3x-(x-y)]-2x,其中蒼y化為

相反數(shù).

【答案】3(y+2x)-[3x-(x-y)]-2x=3y+6x-3x+x—y-2x=2(x+y)

因為尤,y互為相反數(shù)，所以x+y=0

所以3(y+2x)—[3x-(x-y)]-2x=2(x+y)=2x0=0

5.已次口孫=-2,x+y=3,求整式(3孫+10y)+[5x—(2孫+2y—3%)]的值.

【答案與解析】由孫=-2,x+y=3很難求出x,y的值，可以先把整

式化簡，然后把孫，x+y分別作為一個整體代入求

出整式的值.

原式=3孫+10y+(5%一2沖-2y+3x)

=3xy+1Oy+5x-2xy-2y+3x

=5x+3x+10y-2y+3xy-2xy

=8%+8y+孫

=8(%+y)+孫.

把孫=-2,x+y=3代入得，原式=8x3+(-2)=24-2=22.

【總結(jié)升華】求整式的值，一般先化簡后求值，但當(dāng)題目中含未知數(shù)

的部分可以看成一個整體時，要用整體代入法，即把"整體"當(dāng)成一

個新的字母，求關(guān)于這個新的字母的代數(shù)式的值，這樣會使運(yùn)算更簡

便.

舉一反三

【變式】已知代數(shù)式3y2一2丁+6的值為8,求|y_y+i的值.

【答案】-/3/-2y+6=8,/.3y2—2y=2.

當(dāng)3y2—2y=2時，原式=g(3/—2y)+l=；x2+l=2.

^^^6.如果關(guān)于x的多項式(8》2+6以+14)-(8/+6x+5)的值與x無

關(guān).你知道a應(yīng)該取什么值嗎？試試看.

【答案與解析】所