2025屆江蘇省大豐市新豐中學高三下學期一??荚嚁?shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆江蘇省大豐市新豐中學高三下學期一??荚嚁?shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知、,,則下列是等式成立的必要不充分條件的是()A. B.C. D.2.設,均為非零的平面向量,則“存在負數(shù),使得”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.設復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.設復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi)的對應點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.函數(shù)在上的圖象大致為()A. B. C. D.6.展開式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12807.在直角坐標系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則正實數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.8.某中學2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對比該校考生的升學情況,統(tǒng)計了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達線人數(shù)相同9.數(shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.410.空間點到平面的距離定義如下:過空間一點作平面的垂線,這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點,點到,的距離都是3,點是上的動點,滿足到的距離與到點的距離相等,則點的軌跡上的點到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.11.已知正項數(shù)列滿足:,設,當最小時,的值為()A. B. C. D.12.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中,x5的系數(shù)是_________.(用數(shù)字填寫答案)14.如圖,在三棱錐A﹣BCD中,點E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD為正三角形,點M,N分別在AE,CD上運動(不含端點),且AM=CN,則當四面體C﹣EMN的體積取得最大值時,三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.15.設函數(shù),,其中.若存在唯一的整數(shù)使得,則實數(shù)的取值范圍是_____.16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且周期為,當時,,則的值為___________________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應的特征向量.18.(12分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計,在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機?并說明理由.19.(12分)已知函數(shù),,使得對任意兩個不等的正實數(shù),都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有兩個實根,且,求證:.20.(12分)語音交互是人工智能的方向之一,現(xiàn)在市場上流行多種可實現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱,它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯(lián)程度,從某地區(qū)隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人,具體數(shù)據(jù)如下:“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200(1)若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”,有12000人購買了“天貓精靈”,試估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人?(2)根據(jù)列聯(lián)表,能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關?附:0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)選修4-5:不等式選講設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知(1)若,且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的范圍;(2)若函數(shù)有兩個極值點,且存在滿足,令函數(shù),試判斷零點的個數(shù)并證明.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

構(gòu)造函數(shù),,利用導數(shù)分析出這兩個函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù),由得出,分、、三種情況討論,利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導出或,再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù),,則,,所以,函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù),當時,則,;當時,,.由得.①若,則,即,不合乎題意;②若,則,則,此時,,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,;③若,則,則,此時,由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,.綜上所述,.故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應用,構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關鍵,解題時要注意對的取值范圍進行分類討論,考查推理能力,屬于中等題.2、B【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結(jié)論.【詳解】因為,均為非零的平面向量,存在負數(shù),使得,所以向量,共線且方向相反,所以,即充分性成立;反之,當向量,的夾角為鈍角時,滿足,但此時,不共線且反向,所以必要性不成立.所以“存在負數(shù),使得”是“”的充分不必要條件.故選B.【點睛】判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p,定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法,解題時注意選擇恰當?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.3、A【解析】

由復數(shù)的除法運算可整理得到,由此得到對應的點的坐標,從而確定所處象限.【詳解】由得:,對應的點的坐標為,位于第一象限.故選:.【點睛】本題考查復數(shù)對應的點所在象限的求解,涉及到復數(shù)的除法運算,屬于基礎題.4、C【解析】

化簡得到,得到答案.【詳解】,故,對應點在第三象限.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的化簡和對應象限,意在考查學生的計算能力.5、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號,即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關于原點對稱,排除選項A,B;當時,,,排除選項D,故選:C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性,屬于中檔題.6、A【解析】

根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為:化簡求值即可.【詳解】根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出項,第二個括號里出項,或者第一個括號里出,第二個括號里出,具體為:化簡得到-1280x2故得到答案為:A.【點睛】求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略:(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數(shù).7、D【解析】

設點,由,得關于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實數(shù)m的取值范圍,即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設點.,即,整理得,則,解得或..故選:.【點睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點間距離公式,屬于中檔題.8、A【解析】

設2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯誤;2019年二本達線人數(shù),2016年二本達線人數(shù),增加了倍,故C錯誤;2016年藝體達線人數(shù),2019年藝體達線人數(shù),故D錯誤.故選:A.【點睛】本題考查柱狀圖的應用,考查學生識圖的能力,是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.9、D【解析】

用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.10、D【解析】

建立平面直角坐標系,將問題轉(zhuǎn)化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程,得到,進而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價于在直角坐標系中,點,是第一象限內(nèi)的動點,滿足到軸的距離等于點到點的距離,求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值.設,則,化簡得:,則,解得:,即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解,關鍵是能夠準確求得動點軌跡方程,進而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關系求得最值.11、B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當且僅當時取得最小值,此時.故選:B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應用,基本不等式求最值,考查了學生的運算求解能力.12、C【解析】

利用正方體將三視圖還原,觀察可得最長棱為AD,算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示,易得最長的棱長為故選:C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題,其中利用正方體作襯托是關鍵,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-189【解析】由二項式定理得,令r=5得x5的系數(shù)是.14、32π【解析】

設ED=a,根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過計算可以證明出CE⊥ED.AM=x,根據(jù)三棱錐的體積公式,運用基本不等式,可以求出AM的長度,最后根據(jù)球的表面積公式進行求解即可.【詳解】設ED=a,則CDa.可得CE2+DE2=CD2,∴CE⊥ED.當平面ABD⊥平面BCD時,當四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值,設AM=x.則四面體C﹣EMN的體積(a﹣x)a×xax(a﹣x),當且僅當x時取等號.解得a=2.此時三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積=4πa2=32π.故答案為:32π【點睛】本題考查了基本不等式的應用,考查了球的表面積公式,考查了數(shù)學運算能力和空間想象能力.15、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關系式求解即可.【詳解】解:函數(shù),且畫出的圖象如下:因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得;又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為:【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.16、【解析】

由題意可得:,周期為,可得,可求出,最后再求的值即可.【詳解】解:函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),.由周期為,可知,,..故答案為:.【點睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、矩陣屬于特征值的一個特征向量為,矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組,即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意,矩陣的特征多項式為,令,解得,,將代入二元一次方程組,解得,所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為;同理,矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算,其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.18、(1)(2)分布列見解析,數(shù)學期望(3)建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】

(1)根據(jù)分層抽樣的特征可以得知,樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,即可按照古典概型的概率計算公式計算得出;(2)依題意可知服從二項分布,先計算出隨機選取人次,此人為老年人概率是,所以,即,即可求出的分布列和數(shù)學期望;(3)可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機.【詳解】(1)設事件:“在樣本中任取個,這個出行人恰好不是青年人”為,由表可得:樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,所以在樣本中任取個,這個出行人恰好不是青年人的概率.(2)由題意,的所有可能取值為:因為在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,此人為老年人概率是,所以,,,所以隨機變量的分布列為:故.(3)答案不唯一,言之有理即可.如可以從滿意度的均值來分析問題,

參考答案如下:由表可知,乘坐高鐵的人滿意度均值為:乘坐飛機的人滿意度均值為:因為,所以建議甲乘坐高鐵從市到市.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機變量的分布列和期望的計算,解題關鍵是對題意的理解,概率類型的判斷,屬于中檔題.19、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)根據(jù)題意,在上單調(diào)遞減,求導得,分類討論的單調(diào)性,結(jié)合題意,得出的解析式;(2)由為方程的兩個實根,得出,,兩式相減,分別算出和,利用換元法令和構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導數(shù)研究單調(diào)性,求出,即可證出結(jié)論.【詳解】(1)根據(jù)題意,對任意兩個不等的正實數(shù),都有恒成立.則在上單調(diào)遞減,因為,當時,在內(nèi)單調(diào)遞減.,當時,由,有,此時,當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增,綜上,,所以.(2)由為方程的兩個實根,得,兩式相減,可得,因此,令,由,得,則,構(gòu)造函數(shù).則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,即,可知,故,命題得證.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的解析式、以及利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想、解題分析能力和計算能力.20、(1)多2350人;(2)有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【解析】

(1)根據(jù)題意,知100人中購買“小愛同學”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,即可估計該地區(qū)購買“小愛同學”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù),即可求得答案;(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式,求出,與臨界值比較,即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題可知,100人中購買“小愛同學”的女性有55人,購買“天貓精靈”的女性有40人,由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學”,有12000人購買了“天貓精靈

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