分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理-2025高考數(shù)學一輪復習

第十章

DIS川ZHANG計數(shù)原理、概芟J隨機變量及其州J

第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

考試要求1.理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.能解決簡單

的實際問題.

知識診斷?基礎夯實

【知識梳理】

1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機種不同的方法，在第2類方案

中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+”種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有機種不同的方法，做第2步有冏種不同的

方法，那么完成這件事共有N=mXv種不同的方法.

3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問

題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法

計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成

了才算完成這件事.

［常用結(jié)論］

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始

終.

(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，

分步完成”.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“?”或“X”)

⑴在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()

(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()

(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.()

答案(1)X(2)V(3)V

解析分類加法計數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成

這件事；分步乘法計數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一

步，不能完成這件事，所以(1)不正確.

2.(選修三P5T1改編)(1)一項工作可以用2種方法完成，有5人只會用第1種方法

完成，另有4人只會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項工作，不同選

法的種數(shù)是

(2)從A村去3村的道路有3條，從5村去C村的道路有2條，則從A村經(jīng)5村

去C村，不同路線的條數(shù)是.

答案(1)9(2)6

解析(1)不同的選法共有5+4=9種方法.

(2)從A村去3村有3種走法，由3村去。村有2種走法，根據(jù)乘法原理可得2X3

=6(種).

3.如圖所示，在A,5間有四個焊接點1,2,3,4,若焊接點脫落導致斷路，則

電路不通.今發(fā)現(xiàn)A,3之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有種.

答案13

解析電路不通可能是1個或多個焊接點脫落，問題比較復雜，但電路通的情況

卻只有3種，即2或3脫落或全不脫落，每個焊接點有脫落與不脫落兩種情況，

故共有24—3=13(種)情況.

4.3個班分別從5個風景點中選擇一處游覽，不同的選法有種.

答案125

解析因為第1、第2、第3個班各有5種選法，由分步乘法計數(shù)原理，可得不同

的選法有5X5X5=125(種).

考點突破?題型剖析

考點一分類加法計數(shù)原理的應用

例1(1)從甲地到乙地有三種方式可以到達.每天有8班汽車、2班火車和2班飛機.

一天一人從甲地去乙地，共有種不同的方法.

答案12

解析分三類：一類是乘汽車有8種方法；

一類是乘火車有2種方法；

一類是乘飛機有2種方法，

由分類加法計數(shù)原理知共有8+2+2=12(種)方法.

(2)滿足a,0,1,2],且關于x的方程af+2x+人=0有實數(shù)解的有序

數(shù)對(a,0)的個數(shù)為.

答案13

解析當a=0時，6的值可以是一1,0,1,2,故(a,與的個數(shù)為4；

當aWO時，要使方程ar+Zx+b：。有實數(shù)解，需使/=4-4">0,即仍W1.

若a=—1,則人的值可以是一1,0,1,2,(a,0)的個數(shù)為4；

若a=l,則。的值可以是一1,0,1,(a,與的個數(shù)為3；

若a=2,則6的值可以是一1,0,(a,份的個數(shù)為2.

由分類加法計數(shù)原理可知(a,。)的個數(shù)為

4+4+3+2=13.

感悟提升分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵

詞、關鍵元素和關鍵位置.

(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.

(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不

同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復.

⑶分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.

訓練1(1)某同學逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購買方

案有()

A.3種B.6種

C.7種D.9種

答案C

解析買一本，有3種方案；

買兩本，有3種方案；

買三本，有1種方案，

因此共有方案3+3+1=7(種).

(2)集合/={x,1},Q={y,1,2},其中x,ye{l,2,3,…，9},且PUQ.把

滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x,y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是

()

A.9B.14

C.15D.21

答案B

解析當x=2時，xWy,點的個數(shù)為1X7=7.

當x豐2時，由PGQ,.,.x=y.

...X可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法.

因此滿足條件的點共有7+7=14(個).

考點二分步乘法計數(shù)原理的應用

例2有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報

名方法(六名同學不一定都能參加)？

(1)每人只參加一項，每項人數(shù)不限；

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項；

⑶每項限報一人，但每人參加的項目不限.

解(1)每人都可以從三個競賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36=729(種).

(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，

因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項

目只有4種選法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6X5X4=120(種).

(3)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六名同學中選出一人參賽，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63=216(種).

感悟提升1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即

分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的,

只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.

2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，

逐步完成.

訓練2（1）某機場T3航站樓有7個入口，2個接機口（出口），則某人進出機場的方

案數(shù)為（）

A.4B.9

C.14D.49

答案C

解析方案種數(shù)為7X2=14.

（2）已知集合"={1,-2,3},N={-4,5,6,—7},從N這兩個集合中各

選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示

第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是（）

A.12B.8

C.6D.4

答案C

解析分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2

種情況，

因此第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是3X2=6.

考點三兩個計數(shù)原理的綜合應用

角度1與數(shù)字有關的問題

例3用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成個無重復數(shù)字的四位

偶數(shù)（用數(shù)字作答）.

答案420

解析要完成的“一件事”為“組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不

能為0,個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不重復，因此應先分

類，再分步.

第1類，當千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1,3,5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0,2,

4,6中的任意一個，再依次取百位、十位數(shù)字.

共有3X4X5X4=240（種）取法.

第2類，當千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2,4,6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除

首位數(shù)字的任意一個偶數(shù)數(shù)字，再依次取百位、十位數(shù)字.

共有3X3X5X4=180（種）取法，

共可以組成240+180=420（個）無重復數(shù)字的四位偶數(shù).

角度2與幾何有關的問題

例4如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面

組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平

行線面組”的個數(shù)是（）

A.60B.48

C.36D.24

答案B

解析一個長方體的面可以和它相對的面上的4條棱和兩條對角線組成6個“平

行線面組”，一共有6個面，共有6X6=36（個）.

長方體的每個對角面有2個“平行線面組”，共有6個對角面，一共有6X2=

12（個）.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有36+12=48（個）.

角度3涂色問題

例5如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種

顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有（）

A.24種B.48種

C.72種D.96種

答案C

解析分兩種情況：

①4c不同色，先涂A有4種，。有3種，E有2種，3,。有1種，有4X3X2X1

=24（#）；

②A,C同色，先涂A,C有4種，再涂E有3種，3,。各有2種，有4X3X2X2

=48（種）.

故不同的涂色方法有48+24=72（種）.

感悟提升1.在綜合應用兩個原理解決問題時應注意：（1）一般是先分類再分步.

在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.（2）對于較復雜的兩個原理綜合應用的問

題，可恰當?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.

2.解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.

訓練3（1）（2023?杭州調(diào)研）用0,1,…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位

數(shù)的個數(shù)為（）

A.243B.252

C.261D.279

答案B

解析0,1,2,9共能組成9X10X10=900（個）三位數(shù)，

其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9X9X8=648（個），

故有重復數(shù)字的三位數(shù)有900—648=252（個）.

⑵現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公

共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是（）

A.120B.140

C.240D.260

答案D

解析由題意，先涂A處，有5種涂法，再涂3處4種涂法，第三步涂C,若C

與A同色，則。有4種涂法，若C與A不同色，則。有3種涂法，由此得不同

的著色方案有5X4X（1X4+3X3）=26O（種）.

分層精練?鞏固提升

【A級基礎鞏固】

L每天從甲地到乙地的飛機有5班，高鐵有10趟，動車有6趟，公共汽車有12

班.某人某天從甲地前往乙地，則其出行方案共有（）

A.22種B.33種

C.300種D.3600種

答案B

解析從甲地到乙地不同的方案數(shù)為5+10+6+12=33.

2.（2023?衡陽質(zhì)檢）將3張不同的冬奧會門票分給10名同學中的3人，每人1張,

不同的分法種數(shù)為（）

A.720B.240

C.120D.60

答案A

解析可分三步：第一步，第1張門票有10種不同的分法；第二步，第2張門票

有9種不同的分法；第三步，第3張門票有8種不同的分法，由分步乘法計數(shù)原

理得，共有10X9X8=720種不同分法.

3.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到R處與小紅會合，再一起到位于G處的老

年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）

1^1

III

?bLm口

A.24B.18

C.12D.9

答案B

解析分兩步，第一步，從E-凡有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從R-G,

有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有6X3=18條可以選擇的

最短路徑.

4.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同的數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的

不同取法的種數(shù)為（）

A.30B.20

C.10D.6

答案D

解析從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字的和為偶數(shù)可分為

兩類：

第一類，取出的兩個數(shù)都是偶數(shù)，有0和2,0和4,2和4,共3種不同的取法;

第二類，取出的兩個數(shù)都是奇數(shù)，有1和3,1和5,3和5,共3種不同的取法.

由分類加法計數(shù)原理得，共有3+3=6種不同的取法.

5.從集合｛1,2,3,…，10｝中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，

這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為（）

A.3B.4

C.6D.8

答案D

解析以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9；

以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8；

以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9；

把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列，

...所求的數(shù)列共有2（2+1+1）=8（個）.

6.如圖所示，某景觀湖內(nèi)有四個人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現(xiàn)計劃設

計三座景觀橋連通四個小島，每座橋只能連通兩個小島，且每個小島最多有兩座

橋連接，則設計方案的種數(shù)最多是（）

A.8B.12

C.16D.24

答案B

解析四個人工小島分別記為A,B,C,D,對A分有一座橋相連和兩座橋相連

兩種情況，用“一”表示橋.

①當A只有一座橋相連時，有A—B—C—D,A—B—D—C,A—C—B—D,

A—C—D—B,A—D—B—C,A—D—C—B,共6種方法；

②當A有兩座橋相連時，有C—A—B—D,D—A—B—C,D—A—C—B,

B—A—C—D,B—A—D—C,C—A—D—B,共6種方法.故設計方案最多有6+6

=12（種）.

7.如圖所示，積木拼盤由A,B,C,D,E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種

顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色（如：A與3為相鄰區(qū)

域，A與。為不相鄰區(qū)域），現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的

種數(shù)是（）

A.780B.840

C.900D.960

答案D

解析先涂A,則A有5種涂法，再涂3,因為3與A相鄰，所以3的顏色只要

與A不同即可，有4種涂法，同理C有3種涂法，。有4種涂法，E有4種涂法,

由分步乘法計數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為5X4X3X4X4=960.

8.將“?！?、“祿”、“壽”填入到如圖所示的4X4小方格內(nèi)，每格內(nèi)只填入一

個漢字，且任意的兩個漢字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有（）

A.288種B.144種

C.576種D.96種

答案C

解析第一步，先從16個格子中任選一格放一個漢字有16種方法，

第二步，任意的兩個漢字既不同行也不同列，剩下的只有9個格子可以放，有9

種方法，

第三步，第三個漢字只有4個格子可以放，有4種方法，

由分步乘法計數(shù)原理知共有16X9X4=576（種）.

9.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個互不相等的數(shù)a,6組成復數(shù)a+歷，

其中虛數(shù)的個數(shù)是.

答案36

解析因為a+歷為虛數(shù)，所以6W0,即》有6種取法，。有6種取法，由分步

乘法計數(shù)原理知可以組成6X6=36個虛數(shù).

10.乘積（ai+。2+a3）（b\+歷+加+Z?4）（C1+C2+C3+C4+C5）展開后的項數(shù)為

答案60

解析從第一個括號中選一個字母有3種方法，從第二個括號中選一個字母有4

種方法，從第三個括號中選一個字母有5種方法，故根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知

共有N=3X4X5=60（項）.

H.4張卡片的正、反面分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7,將其中3張卡片

排放在一起，可組成個不同的三位數(shù).

答案168

解析要組成三位數(shù)，根據(jù)百位、十位、個位應分三步：

第一步：百位可放8—1=7個數(shù)；

第二步：十位可放6個數(shù)；

第三步：個位可放4個數(shù).

故由分步乘法計數(shù)原理，得共可組成7X6X4=168（個）不同的三位數(shù).

12.如圖，在一個正六邊形的六個區(qū)域中涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，相鄰

的兩個區(qū)域（有公共邊）涂不同的顏色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則不同的

涂色方案有種.

答案4100

解析若A,C,E三個區(qū)域用1種顏色，則有5X43=320種涂色方案；

若A,C,E三個區(qū)域用2種顏色，則有（5X4X3）X（4X3X3）=2160種涂色方案;

若A,C,E三個區(qū)域用3種顏色，則有5X4X3X33=1620種涂色方案.

所以共有320+2160+1620=4100種涂色方案.

【B級能力提升】

13.（多選）現(xiàn)有4個數(shù)學課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9

人、10人，則下列說法正確的是（）

A.選1人為負責人的選法種數(shù)為34

B.每組選1名組長的選法種數(shù)為5400

C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420

D.若另有3名學生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人

選，則不同的選法有37種

答案AD

解析對于A,4個數(shù)學課外興趣小組共有7+8+9+10=34（人），故選1人為負

責人的選法共有34種，A正確；

對于B,分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名

組長，所以不同的選法共有7X8X9X10=5040（種），B錯誤；

對于C,分六類：從第一、二組中各選1人，有7X8種不同的選法;

從第一、三組中各選1人,有7X9種不同的選法；

從第一、四組中各選1人,有7X10種不同的選法;

從第二、三組中各選1人,有8X9種不同的選法；

從第二、四組中各選1人,有8X10種不同的選法;

從第三、四組中各選1人,有9X10種不同的選法.

所以不同的選法共有7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（種），C錯

誤；

對于D,若不考慮限制條件，每個人都有4種選法，共有43=64（種）選法，其中

第一組沒有人選，每個人都有3種選法，共有33=27（種）選法，所以不同的選法

有64—27=37（種），D正確.

14.如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為ai,G,…，.2.設.若k-j

=3且尸，=4,則稱q，勾，以為原位大三和弦；若左一/=4且尸，=3,則稱如

勾，以為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個

數(shù)之和為（）

A.5B.8

C.10D.15

答案C

解析滿足條件1WK/V左W12,左一j=3且j—，=4