北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024北京景山學(xué)校高一（上）期中考試

數(shù)學(xué)比卷

本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案打在答題卡上，在試卷上作答無(wú)

效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

.若集合'={小則）

1{A={xl°"x<16}},22},AB=（

A.{x|0<x<2}B.{x[0<x<2}

C.{x|2<x<16}D.{x|2Wx<16}

【答案】D

【解析】

【分析】由交集定義可得答案；

【詳解】由題可得AB={^|2<x<16}.

故選：D

2.若實(shí)數(shù)a,6滿足a>6,則下列不等式成立的是（）

A.|?|>|^|B.a+c>b+cC.a2>b2D.ac1>be2

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】由a=l,b=—2,c=0

|4<同，故A錯(cuò)；

a2<b2故C錯(cuò)；

ac2=be2,故D錯(cuò)；

由不等式的性質(zhì)易知B正確.

故選：B

3.已知命題p:Vx〉0,工+工〉2,則為（）

A.Vx>0,x+-<2B.Vx<0,x+-<2

XX

C.Bx<0,x+-<2D.3x>0,x+-<2

XX

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱量詞命題與存在性量詞命題關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.

【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，可得：

命題p:\/x>Q,x+—>2的否定是三%>0,工+工<2.

xx

故選：D

4.已知偶函數(shù)了(%)在區(qū)間(3,-1］上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是()

A./^</(-3)<f(2)B.〃一3)</臼<”2)

C.”2)</(—3)<dD.〃2)<4一||</(一3)

【答案】D

【解析】

【分析】由條件可得函數(shù)在口”)上單調(diào)遞增，所以自變量的絕對(duì)值越大函數(shù)值越大，再根據(jù)

|-3|>>|2|,可得/(-3)>/(-1)>/(2),進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)7(%)在區(qū)間(f,-1］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在［1,4W)上單調(diào)遞增，故自變量的絕對(duì)值越大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，

又卜3|〉一〉|2|,所以〃_3)>/(—4)>〃2)

故選：D.

5.已知集合A=集合3=卜2,%+%0},若A=5,則必。23+/。24=（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合相等的概念以及集合中元素的互異性求解.

【詳解】因?yàn)锳=5,且集合A中xwO,

所以集合A中的元素)=0,解得y=0,

%

又因?yàn)閘eA，所以IwB，所以f=1或x=l,

若爐=1,解得1=1或l=—1,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l時(shí)，與集合中元素的互異性矛盾，x=-1時(shí)，滿足題意，

若x=l,由上述過(guò)程可知，不滿足題意；

綜上x=—1,所以爐。23+9024=_]+o=—1,

故選：A.

?X?JQ>0

6.已知函數(shù)/(x)=〈'，若/(a)+/(應(yīng))=0,則實(shí)數(shù)。=().

x+L尤<0

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】求出/(3),再根據(jù)/(4)+/(、笈)=0,分。>0和aWO兩種情況討論即可得出答案.

【詳解】解：/(五)=(&『=2,

貝iJ/(a)+/(0)=0,即/(a)=-2,

當(dāng)。>0時(shí)，a1=-2,無(wú)解；

當(dāng)aWO時(shí)，。+1=-2,解得a=-3,

綜上所述，。=一3.

故選：A.

7.若a>0”>0,則“a+/?W4”是“就44”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過(guò)特取。力的值，推出矛盾,

確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】當(dāng)時(shí)，a+b>24ab>則當(dāng)a+/?W4時(shí)，有2，拓Wa+6W4,解得就<4,充分性

成立；當(dāng)4=1,6=4時(shí)，滿足他44,但此時(shí)。+6=5>4,必要性不成立，綜上所述，“。+/?<4”是“曲〈4”

的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通

過(guò)特取。涉的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

8.已知定義在(。,1)上的函數(shù)小)/山是有理數(shù)三小是互質(zhì)的正整數(shù))，則下列結(jié)論正確的是

是無(wú)理數(shù)

()

A.7(%)的圖象關(guān)于x=g對(duì)稱B."%)的圖象關(guān)于，,對(duì)稱

C.7(%)在(0,1)單調(diào)遞增D.7(%)有最小值

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值可排除B、C,利用函數(shù)的性質(zhì)可確定A、D.

【詳解】對(duì)于BC,由題意可知：—=-應(yīng)+[]=1，

顯然了(尤)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，而—0+|<0—故B、C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若x為有理數(shù)，則/(x)=^,顯然”一”，函數(shù)無(wú)最小值，故D錯(cuò)誤；

n

對(duì)于A,若％='是有理數(shù)，即狐〃(加<")互質(zhì)，則"一利〃也互質(zhì)，即竺=,

nJn\nJ

若X無(wú)理數(shù)，則l-x也為無(wú)理數(shù)，即/(x)=/(l—x)=l,

所以了(%)的圖象關(guān)于x=1?對(duì)稱，故A正確.

下證：辦〃互質(zhì)，則〃也互質(zhì).

反證法：若〃〃互質(zhì)，"一利"不互質(zhì)，不妨設(shè)n-m=ka,n=kb,

則機(jī)=左。一a),〃=劭，此時(shí)與假設(shè)矛盾，所以"一利”也互質(zhì).

故選：A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合互質(zhì)的定義去判定A、B,而作為抽象函數(shù)可以適當(dāng)選取

特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)，提高正確率.

9.已知函數(shù)〃力的定義域?yàn)镽,滿足/(x—2)=2/(%),且當(dāng)xe(O,2]時(shí)，f(x)=x(2-x).若

/則r的最大值是()

1314119

A.------B.------C.------D.——

4544

【答案】C

【解析】

【分析】由及?0,2]時(shí),y(x)e[O,l],利用/(X—2)=2/⑴得到xe(—4,—2],/(X)G[0,4],且

JG[0,4],在求得xe(T,—2]時(shí)的解析式，由了(。2日求解.

【詳解】解:當(dāng)]?0,2]時(shí)，f(x)=x(2-x)=-x2+2x=-(x-l)2+l,

則在(0,1]上遞增，在工2]上遞減，且〃力?0』,

由“X—2)=2/(x)知：xe(—2,0]時(shí)，/(%)G[0,2],

xe(-4,—2]時(shí)，/(x)e[0,4],且在(—4,—3]上遞增，在(—3,—2]上遞減，

因?yàn)?e[0,4],當(dāng)xe(-4,-2]時(shí)，f(x)=2f(x+2)=4f(x+4),

因?yàn)?+4w(0,2],

所以〃%)=4/(X+4)=4(%+4)(—％—2)=7(%2+6X+8),

令一4(%2+6%+8)2,解得——%——,

1S11

所以滿足了0)>了,的2的最大值是—?，

故選：C

x2+4x+3,x<0

10.已知/(%)={2八若王<九2<尤3<%4，且/(%)=/(%2)=/(毛)=/(%4)，則

J—,x>0

X

1111

—十—+—+—的取值范圍是()

國(guó)x2x3x4

【答案】A

【解析】

【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合得到西+々=—4,3),七?—L0)，

設(shè)/&)=/(%)=/(演)=/(%)=。,則a?0,3),

令_?+4X+3=3，解得尤=^或0,

因?yàn)槎?必+4》+3的對(duì)稱軸為％=-2,由對(duì)稱性可得=-4>

且石e(—4,—3),/e(_l,0),

11Xi+-4-44

xx?

八%12%%212(-4-X2)X2(X2+2)-4

因?yàn)轳R所以(々+2)2—44—3,0),

2。。211。

又----3=3------,故一+—=3,

故選：A

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=J3-x的定義域是.

【答案】(—8,3]

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義即可求得定義域.

【詳解】解：由解析式可知3—

故函數(shù)的定義域?yàn)椋?-8,3]

12.已知集合4=｛巾3-1)尤2—2尤+1=0｝有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)“=

【答案】1或2

【解析】

【分析】若A恰有兩個(gè)子集，則A為單元素集，所以關(guān)于工的方程(。-1)必-2x+l=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,

分類討論能求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)锳有且僅有兩個(gè)子集，所以A中只有一個(gè)元素，

所以(a—1)爐一2x+l=0有且僅有一解.(1)當(dāng)。=1時(shí)，x=；,符合題意，(2)當(dāng)awl時(shí)，△=€),即

4-4(a-l)=0,。=2,綜上，得a=l或a=2.

故答案為：1或2.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)子集與真子集的概念，實(shí)數(shù)。的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析

法、討論法和等價(jià)轉(zhuǎn)化法的合理運(yùn)用.

13.已知龍〉0,且。+4)=1,則的最小值為

ab

【答案】9

【解析】

【分析】把“1”換成4a+b,整理后積為定值，然后用基本不等式求最小值

【詳解】解：ab>0,且a+4)=l,

-+-=(-+-)(?+4Z?)=l+4+—+-..5+2/---=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=J，6=工時(shí)取等號(hào)，

ababab\ab36

.??1+’的最小值為9,

ab

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是“1”的代換，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知奇函數(shù)/(%)定義域?yàn)镽,當(dāng)無(wú)20時(shí)，/(1)=/+2],則/(=1)=；若/(4)〉/11一￡]

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】0.-24②.；]D(O,+”)

【解析】

【分析】第一空，由奇函數(shù)定義可得答案；第二空，由奇函數(shù)性質(zhì)可判斷/(可單調(diào)性，即可得答案.

【詳解】第一空，由奇函數(shù)定義，/H)=-/(4)=-(42+8)=-24；

第二空，注意到y(tǒng)=d+2x=(尤+1)2—1在(o,+8)上單調(diào)遞增，

又奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，則/(尤)在R上單調(diào)遞增，

則/(4)>/(1—￡)n4>1—0nm(3m+1)>0,故根e1—oo,-g]u(0,+oo).

故答案為：-24；

[-<2X+3,X>a

15已知函數(shù)=1/,2給出下列四個(gè)結(jié)論：

(%-2),x<a

①當(dāng)a=O時(shí)，/(/(-1))=3；

②若了(%)存在最小值，則。的取值范圍為(7,0]；

③若了(%)存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為卜夕―(0,+s)；

④若“可是減函數(shù)，則a的取值范圍為-中1+乎，2.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)所給分段函數(shù)直接計(jì)算求解可判斷①，根據(jù)分段函數(shù)的最小值的求法判斷②，分段求函數(shù)的零

點(diǎn)可判斷③，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可求解判斷④.

3,x>0

【詳解】①當(dāng)a=0時(shí)，/(%)=,c，/(/(T))=/T(T—2)2]=/■⑼=3,故①正確；

(冗一2),x<0

②當(dāng)aN2時(shí)，/(%)=(九一2)2,尤〈。有最小值0,此時(shí)/。0=-依+3,%>。為減函數(shù)，且

-ax+3,%2a

/(%)-—8,無(wú)最小值，故/(%)=〈/、2無(wú)最小值，

(%-2),x<a

當(dāng)0<Q<2時(shí)，/(X)=(九一2)2,九<4無(wú)最小值,/(%)=-OX+3,X>6Z無(wú)最小值，

-ax+3,x>a

故/(x)=/c、2無(wú)最小值，

(%-2),x<a

當(dāng)時(shí)，/(%)=-依+3,%之〃為增函數(shù)，最小值為一。2+3，/(%)=(九一2)2,犬單調(diào)遞減，所以

只需滿足一4+3<3—2)2,解得—2或+注，所以〃wo,故②正確；

22

3

③令/(%)=(%—2)2=0,尤〈。若有解，則〃>2,令/(%)=—依+3=0,12〃若有解，則一2a,解得

a

a〈—百或0<a<JL綜上若"％)存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為卜應(yīng)―(0,出]u(2,+s),故

③錯(cuò)誤；

④若"％)是減函數(shù)，則需滿足—。<0且aW2且(a—2)2之—儲(chǔ)+3,解得。〈。勺―日或

屈

1+—<a<2,故④正確.

2

故答案為：①②④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

53

16.己知集合4={刀|一1<%<2},B={x\x-->-}.

(1)求AB,Ac&可;

⑵記關(guān)于x的不等式犬―(2機(jī)+4卜+療+4mW0的解集為"，若求實(shí)數(shù)加的取值范

圍.

【答案】(1)A3={x|x24或尤<2},An(^B)={x|l<x<2}.

(2)上沖“4-5或機(jī)22}

【解析】

【分析】(1)先通過(guò)絕對(duì)值不等式的解集為集合3,進(jìn)而可求解；

(2)根據(jù)不等式先求解出M，然后根據(jù)列出不等式，由此能求出實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

53

由％—5之5，可得：X>4^X<1,

所以5={x|x24或xWl},

所以A_B={x|x?4或x<2},

所以43={%[1<尤<4},

所以Ac(Q5)={x[l<x<2}.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f—(2加+4卜+毋+而區(qū)0的解集為“，

解得：m<x<m+4,

所以M=^x\m<x<m+4^,

又"A={尤或xV-1},Mc

所以771+4W-1或加三2,解得wW-5或加》2,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是“沖九<-5或機(jī)22}.

17.已知函數(shù)/(x)=ax?-2ox-3.

(1)若a=l,求不等式/(x)之0的解集；

(2)已知a>0,且/(乃》0在[3,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

【答案】(1){x\x<-l^x>3]

(2)[1,-K?)

【解析】

【分析】(1)由題意得/-公-320,求解即可得出答案；

(2)函數(shù)f(x)=<2?_2ax_3=a(x-l)2一。一3(。>0),可得二次函數(shù)/(%)圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為

x=l,題意轉(zhuǎn)化為了。)1nmNO,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)。=1時(shí)，/(%)=x2-2x-3,

所以/(九)20,即一一次一320,解得xW-1或尤23,

所以不等式/(x)20的解集為：｛x|x<—1或無(wú)之3｝；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閒(x)=ax2-2izr-3=a(x-l)2-tz-3(a>0),且/(X)?0在[3,+oo)上恒成立，

則二次函數(shù)/(%)圖象的開口向上，且對(duì)稱軸為X=l,

所以/(X)在[3,+8)上單調(diào)遞增,則/(X)麗=「⑶=3?！?,

又/(%)?0在[3,+8)上恒成立，轉(zhuǎn)化為/(x)mnN0,

所以3a—320,解得。之1,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為[1,”).

4

is.已知函數(shù)y(x)=x——.

(1)判斷了(%)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性，并用定義進(jìn)行證明；

⑵設(shè)g(x)=a—3%,若Hx2e[l,4],使得/(%)=g(9)，求實(shí)數(shù)°的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析；

(2)[6,9],

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；

(2)由函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域，若ke[l,4],3%2e[l,4],使得/(%)=g(9)可轉(zhuǎn)化為值域的包含

關(guān)系，建立不等式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

〃力在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)遞增，證明如下：

設(shè)\/九1，犬2G(0，+°°)且0<西<%2，

,/、，/、4444(%2一%)(再入2+4)

則/(%2)一/(玉)=%2-----(%----)~X2~Xx~\-------=-----------------,

項(xiàng)?九2

因?yàn)?<%<%2，所以馬一再>0，玉犬2>。，菁兀2+4>0,

所以/%)-八)=“一1:”〉°'即/⑷〉/(仙

所以/(X)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知Vx1G[1,4]時(shí),-3</(^)<3,即xe[l,4]時(shí)，於)的值域4=[一3,3],

因?yàn)間(x)=a—3x當(dāng)xe[l,4]時(shí)為減函數(shù)，所以g(x)e3=5一12,“一3],

若％e[1,4],BX2e[l,4],使得/(%)=g(9)，則

a-12<-3

即《，解得6WaW9,

tz—3>3

故實(shí)數(shù)。取值范圍為[6,9]

19.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,?都有/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y)；②對(duì)

任意xe[0,l),/(x)>0.

(1)求/(0)；

(2)判斷并證明函數(shù)/(%)的奇偶性；

(3)若/(1)=。，直接寫出了(%)的所有零點(diǎn)(不需要證明).

【答案】(1)/(。)=1

(2)/(%)為偶函數(shù)，證明見解析

(3)x=2k+l,keZ

【解析】

【分析】(1)令x=y=0,化簡(jiǎn)可求出/(0),

(2)令x=0,則/(y)+/(—y)=2/(0)/(y)=2/(y),化簡(jiǎn)后結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷即可,

(3)利用賦值求解即可

【小問(wèn)1詳解】

令x=y=0,則/(0)+/(0)=2尸(0),

/2(0)-/(0)=0,得八0)=0或/(0)=1,

因?yàn)閷?duì)任意xe[0,l)J(x)>0,所以/(0)=1

【小問(wèn)2詳解】

/(%)為偶函數(shù)

證明：令x=0,則/(y)+/(-□)=2/(0)/(y)=2/(y),

得〃7)=/(y)，

所以/(幻為偶函數(shù)

【小問(wèn)3詳解】

令尤=左+1,丁=匕左eZ,則f(2k+1)+/(1)=2f(k+1)/(^),

因?yàn)?1)=0,所以/(2左+1)=2/(左+1)/(外，

當(dāng)左=1時(shí)，/(3)-2/(2)/(1)=0,

當(dāng)左=2時(shí)，/(5)=2/(3)/(2)=。，

當(dāng)左=3時(shí)，/⑺=2/(4)/⑶=0,

當(dāng)左=4時(shí)，〃9)=2/(5)/(4)=0,

......,

所以7(2左+1)=0

即當(dāng)尤=2左+1,ZeZ時(shí)，/(%)=0,

所以函數(shù)的零點(diǎn)為x=2左+1,左eZ

20.己知關(guān)于x的函數(shù)/(x)=*—2雙+2.

(1)當(dāng)aW2時(shí)，求/(%)在1,3上的最小值g(a)；

(2)如果函數(shù)尸(x)同時(shí)滿足:

①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；

②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q],使得函數(shù)在區(qū)間[p,句上的值域?yàn)閇02,7].

則我們稱函數(shù)尸(%)是該定義域上的“閉函數(shù)”.

(i)若關(guān)于X的函數(shù)y=J?二I是“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)7的取值范圍；

(ii)判斷(1)中g(shù)(a)是否為“閉函數(shù)”？若是，求出夕，夕的值或關(guān)系式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)g(a)=<

2—a",一<aW2

3

(3,]

(2)(i)-,1；(ii),P應(yīng)滿足<—3<p<q<2.

14J+

、PQ-2

【解析】

【分析】(1)對(duì)于函數(shù)/(x)=Y-2ax+2=(x-a『+2-根據(jù)對(duì)稱軸，分類討論即可；

(2)(i)據(jù)閉函數(shù)的定義，列出方程組，可得p?,/為方程J7=I+/=x的二實(shí)根，再由二次方程實(shí)根

的分布，即可得到所求才的范圍

(ii)由新定義，假設(shè)g(。)為“閉函數(shù)”，討論P(yáng)，夕的范圍，通過(guò)方程的解即可判斷

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)/(x)=x,—2依+2=(x—。)+2—a-,其對(duì)稱軸方程為x=

當(dāng)時(shí)，/(%)在1,3上單調(diào)遞增，其最小值為g(a)=/[(]=孩一等；

當(dāng);KaV2時(shí)，/(%)在：,3上的最小值為g(a)=/(a)=2—q2；

192a1

「11

函數(shù)/(%)在§，3上的最小值為g(a)氣.

2—一<a<2

3

【小問(wèn)2詳解】

(i)：y=1/一1+/在0,”)遞增,

由閉函數(shù)的定義知，該函數(shù)在定義域[L+8)內(nèi)，

存在區(qū)間[p,q](p<q),使得該函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇.2,q2],

，°2應(yīng)2為方程五+/=x的二實(shí)根,

即方程（2/+l）x+』+l=0在[L”）上存在兩個(gè)不等的實(shí)根且％型恒成立,

令"（%）=%2—（2f+l）x+f~+1,

3

A>0t>—

4

2r+l,

---->11

《2t》一

2

M（l）>0

（r-1）2>0

t<l

t<\

3

解得一<f<l

4

實(shí)數(shù)?的取值范圍.

(ii)對(duì)于⑴，易知g(a)在(-8,2]上為減函數(shù),

①若g(a)遞減，若g(a)為“閉函數(shù)”，

19女

9-3=/

19%

一

9-3一

21

兩式相減得p+q=1,這與p<4矛盾.

②二<“<”2時(shí)，若g(a)為“閉函數(shù)”，貝叫2

3[2-q-=p

此時(shí)//+/=2滿足條件的存在，

.,.g<p<qW2時(shí)，使得g(a)為“閉函數(shù)”夕M存在，

1出-女=,

③pW—<qW2時(shí)，若g(a)為“閉函數(shù)”，貝葉93

3。22

[2一q=p

消去“得9P2—6°+1,即（3p—1）2=0

解得p=g此時(shí)，q=4<2,且/+/=2,

二〃=時(shí)，使得g（a）為“閉函數(shù)”夕M存在，

綜上所述，當(dāng)滿足《3時(shí)，g（a）為“閉函數(shù)”.

2,2c

[p+q=2

21.設(shè)n為不小于3的正整數(shù)，集合。，尸{（為,尤2,…X”）卜d{0，l}，i=l，2,.”,〃}，對(duì)于集合Q“中的任意元

素a=（%，々，…,5）,，=（%,%，…，%）記

a*，=（%+%—%%）+（4+%一々%）+…+（七+yn-xny?）

（I）當(dāng)〃=3時(shí)，若2=（1,1,0）,請(qǐng)寫出滿足。*尸=3的所有元素夕

（II）設(shè)a，且求a*夕的最大值和最小值；

（III）設(shè)S是Q〃的子集，且滿足：對(duì)于S中的任意兩個(gè)不同元素a,0,有。*尸1成立，求集合S

中元素個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】（1）（0,0,1）,（1,0,1）,（0,1,1）,（W）；（2）的最大值為“，當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，。*萬(wàn)的最小

值為乙，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，0*〃='匚；（3）S中的元素個(gè)數(shù)最大值為〃一+"+2.

222

【解析】

【分析】（I）結(jié)合題意列舉可得；（II）先根據(jù)a*a+，*/7=",得到的關(guān)系式，再求解。*尸的最

值；（III）通過(guò)對(duì)集合S的拆分，逐一求解.

【詳解】（I）滿足。*，=3的元素為（0,0,1）,（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1）

（II）記，%），尸=（%，%，…，％），

注意到%,-G{0,1},所以芝.（X；-1）=0,

所以&*￡=（內(nèi)+%一/%）+（/+%2-X2X2）++（x?+x?

=石+4++xn

,*'=%+%++%

因?yàn)椤?。+/*，=",所以%+々++z+%+%+,+”=〃

所以X1,%,，，七，％,為，,，笫中有"個(gè)量的值為1，"個(gè)量的值為0.

顯然。wa*分=（%+%—xx）+（±+%—/%）++（玉+y“一玉”）

＜玉+%+4+%++%+”=〃，

當(dāng)m…」）,A=（O,O,.,O）時(shí),

a,尸滿足（/*￡+，*，=〃，。*/7=".所以tz*，的最大值為“

又￡*/?=（%+%—石%）+（為2+%—/%）++（/+”-%%）

=〃一（石％+/%++%”）

注意到只有%=%=1時(shí)，xiyi=1,否則xiyi=0

而玉,々,…，與,%,為，…，其中”個(gè)量的值為1>"個(gè)量的值為0

VI

所以滿足毛％=