（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步86空間直線平面的垂直862直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定定理課后習(xí)題

第1課時(shí)直線與平面垂直的判定定理課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.如圖,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA與BD的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交垂直C.異面垂直 D.相交但不垂直解析:連接AC交BD于點(diǎn)O(圖略).∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD.又MC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥MC.∵M(jìn)C∩AC=C,∴BD⊥平面AMC.又AM?平面AMC,∴BD⊥AM,∴MA與BD異面垂直.答案:C2.已知直線a與平面α所成的角為50°,直線b∥a,則b與α所成的角等于()A.40° B.50° C.90° D.150°解析:根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等,知b與α所成的角也是50°.答案:B3.在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,則PC與平面ABCD所成角的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°解析:如圖,連接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA即為PC與平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6,∴tan∠PCA=PA∴∠PCA=60°.答案:C4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,則點(diǎn)P到BC的距離是()A.5 B.2C.35 D.45解析:如圖所示,過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D,連接AD,則PD即為點(diǎn)P到BC的距離.∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又PA∩PD=P,∴BC⊥平面PAD,∴BC⊥AD.∵AB=AC,∴D為BC的中點(diǎn).在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,∴AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,∴PD=82+4答案:D5.在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總保持AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.線段B1CB.線段BC1C.BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D.BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段解析:連接AB1,B1C,AC,如圖所示,由于BD1⊥平面AB1C,故點(diǎn)P一定位于線段B1C上.答案:A6.(多選題)如圖所示,PA垂直于圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上不同于點(diǎn)A,B的一點(diǎn),E,F分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,則下列結(jié)論正確的是()A.AF⊥PB B.EF⊥PBC.AF⊥BC D.AE⊥平面PBC解析:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB.又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF,故ABC正確.答案:ABC7.在三棱錐VABC中,當(dāng)三條側(cè)棱VA,VB,VC之間滿足條件時(shí),有VC⊥AB.(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)

解析:∵VC⊥VA,VC⊥VB,VA∩VB=V,∴VC⊥平面VAB,∴VC⊥AB.答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一)8.如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,且邊長(zhǎng)為3,BD1與底面所成角的正切值為23,則該四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)等于.解析:由題意得tan∠DBD1=DD因?yàn)锽D=32,所以DD1=23BD=23×32答案:229.如圖,已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,D是AB的中點(diǎn).求證:(1)AC⊥BC1;(2)AC1∥平面CDB1.證明:(1)∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴AC⊥CC1.又BC∩CC1=C,∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1?平面BCC1B1,∴AC⊥BC1.(2)設(shè)B1C交BC1于點(diǎn)E,則E為BC1的中點(diǎn),連接DE(圖略),則在△ABC1中,DE∥AC1.又DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1.10.如圖,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.(1)求證:D1C⊥AC1;(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn),試確定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并說明理由.(1)證明:在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,連接C1D,如圖.∵DC=DD1,∴四邊形DCC1D1是正方形.∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1.∵D1C?平面DCC1D1,∴AD⊥D1C.∵AD,DC1?平面ADC1,且AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1.又AC1?平面ADC1,∴D1C⊥AC1.(2)解:連接AD1,AE,如圖.設(shè)AD1∩A1D=M,BD∩AE=N,連接MN.∵平面AD1E∩平面A1BD=MN,要使D1E∥平面A1BD,需使MN∥D1E,又M是AD1的中點(diǎn),∴N是AE的中點(diǎn).又易知△ABN≌△EDN,∴AB=DE,即E是DC的中點(diǎn).綜上所述,當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí),可使D1E∥平面A1BD.二、B組1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,與AD1垂直的平面是 ()A.平面DD1C1C B.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB解析:由題意知A1B1⊥平面ADD1A1,∵AD1?平面ADD1A1,∴A1B1⊥AD1.又A1D⊥AD1,A1B1∩A1D=A1,∴AD1⊥平面A1DB1,故選B.答案:B2.如圖,α∩β=l,點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A.異面 B.平行C.垂直 D.不確定解析:∵BA⊥α,α∩β=l,l?α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC?平面ABC,∴l(xiāng)⊥AC.答案:C3.在正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A.23 B.33解析:由于BB1∥DD1,故BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角.如圖所示,過點(diǎn)D作DO⊥平面ACD1,垂足為O,連接D1O,則∠DD1O即為所求的角.利用等體積法,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,VD-AD1C=V則DO=S故sin∠DD1O=DODD1=33故選D.答案:D4.(多選題)如圖,四棱錐SABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論正確的是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA與平面ABCD所成的角是∠SADD.AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角解析:對(duì)于A,∵SD⊥平面ABCD,∴SD⊥AC.又AC⊥BD,且SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD,∴AC⊥SB,A正確.對(duì)于B,∵AB∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD,∴AB∥平面SCD,B正確.對(duì)于C,∵SD⊥平面ABCD,∴AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影,∴∠SAD是SA與平面ABCD所成的角,C正確.對(duì)于D,∵AB∥CD,∴AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角,D正確,故選ABCD.答案:ABCD5.若正四棱錐(底面為正方形,頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心)的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1,則側(cè)棱與底面所成的角為.

解析:如圖,正四棱錐的頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影為O,則O為正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD.連接OB,由題意可知OB=22,PB=1,∠PBO為側(cè)棱PB與平面ABCD所成的角因?yàn)樵赗t△POB中,cos∠PBO=OBPB所以∠PBO=45°.答案:45°6.下列說法中正確的是.(填序號(hào))

①過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直②過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直③過平面外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與已知平面平行④過直線外一點(diǎn)只可作一條直線與已知直線垂直解析:④錯(cuò),過直線外一點(diǎn)作平面與直線垂直,則平面內(nèi)的所有直線都與該直線垂直.答案:①②③7.如圖,在Rt△BMC中,∠BCM=90°,∠MBC=60°,BM=5,MA=3,且MA⊥AC,AB=4,求MC與平面ABC所成角的正弦值.解:因?yàn)锽M=5,MA=3,AB=4,所以AB2+MA2=BM2,所以MA⊥AB.又因?yàn)镸A⊥AC,AB,AC?平面ABC,且AB∩AC=A,所以MA⊥平面ABC,所以∠MCA即為MC與平面ABC所成的角.因?yàn)樵赗t△BMC中,∠MBC=60°,所以MC=53所以在Rt△MAC中,sin∠MCA=MA故MC與平面ABC所成角的正弦值為28.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分別為CD,PB的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥平面PAB;(2)設(shè)AB=2BC,求AC與平面AEF所成角的正弦值.(1)證明:∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AB.∵AD⊥AB,PD∩AD=D,∴AB⊥平面PAD,∴PA⊥AB.取AB的中點(diǎn)G,連接EG,FG,如圖所示.∵E為CD的中點(diǎn),∴EG⊥AB.再由FG為△BAP的中位線,可得FG∥PA,∴FG⊥AB.∴AB垂直于平面EFG內(nèi)的兩條相交直線EG,FG,∴AB⊥平面EFG,∴AB⊥EF.連接EP,EB.由已知可得,EP=ED2+故△EPB為等腰三角形,故有EF⊥BP.∵AB∩BP=B,∴EF⊥平面PAB.(2)解:不妨設(shè)BC=1,則AD=PD=1,AB=2,PA=2,AC=3∴△PAB為等腰直角三