2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)學(xué)模型】建立方程模型解決實(shí)際問題（原卷版）

建立方程模型解決實(shí)際問題

知識(shí)方法精講

1.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題;

（3）銷售問題（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=今膽乂100%）；（4）工程問題（①工作量

進(jìn)價(jià)

=人均效率X人數(shù)X時(shí)間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和=

工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時(shí)間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出

之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹h解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟

1.審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x）,根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知

數(shù).

3.歹!J：根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

2.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

(3)列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組.

(4)求解.

(5)檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答.

(二)設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程.

3.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗(yàn)和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為。，十位數(shù)是6,則這個(gè)兩位數(shù)表示為106+服

(2)增長(zhǎng)率問題：增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是0,每次增長(zhǎng)的百分率

為x,則第一次增長(zhǎng)后為。(1+x)；第二次增長(zhǎng)后為。(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長(zhǎng)百分率)

2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng).②利用三角

形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③

利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二

次方程.

(4)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)

構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.

6.答：寫出答案.

4.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹!］、解、驗(yàn)、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整,

要寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時(shí)間；工作量問題：工作效率

=工作量工作時(shí)間等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能

力.

選擇題（共1小題）

1.（2020?綿陽模擬）利用兩塊相同的長(zhǎng)方體木塊測(cè)量一張桌子的高度.首先按圖1方式放

置，再交換兩木塊的位置，按圖2方式放置.測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）

2

A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm

二.解答題（共19小題）

2.（2020秋?石獅市期末）如圖，將一塊直角三角板N8C按如圖所示放置，點(diǎn)/,2在數(shù)

軸上，48=5,點(diǎn)8在點(diǎn)N右邊，點(diǎn)/表示的數(shù)是-3.

（1）直接填空：點(diǎn)B表示的數(shù)是—;

（2）將三角板A8C沿?cái)?shù)軸正方向移動(dòng)至三角板的位置，點(diǎn)/,B,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別是點(diǎn)H,B',C.

①連結(jié)C4,若C4恰好將三角板N8C的面積分成2:3的兩部分，求這時(shí)點(diǎn)，'表示的數(shù)；

②設(shè)三角板48c的移動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)E為線段44,的中點(diǎn)，點(diǎn)下在線段BB'

上，且BB'=4BF.設(shè)三角板A8C移動(dòng)的時(shí)間為，（秒）.試探索：是否存在某一時(shí)刻加

使點(diǎn)E與點(diǎn)廠表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)？若存在，試求出/的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（備用圖）

3.(2021秋?碑林區(qū)校級(jí)期中)【知識(shí)準(zhǔn)備】：數(shù)軸上/、3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b,則

A>8兩點(diǎn)之間的距離表示為：AB=\a-b\.

【問題探究工數(shù)軸上/、2兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b,且滿足|a+2|+S-6)2=0.

(1)求得/、B兩點(diǎn)之間的距離是—；

(2)若在數(shù)軸上有一點(diǎn)“，滿足皿/=4/“，求點(diǎn)”表示的數(shù)；

(3)若P、。兩點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從/出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng),

同時(shí)，點(diǎn)。從8出發(fā)以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).經(jīng)過一秒，尸、。相距

2個(gè)單位長(zhǎng)度；

(4)原點(diǎn)。在數(shù)軸上表示0,點(diǎn)N在數(shù)軸上表示3,若/、。兩點(diǎn)在數(shù)軸上以2個(gè)單位長(zhǎng)

度/秒的速度同時(shí)向右勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，2、N以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度在數(shù)軸上向

左勻速運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)過程中，有一段時(shí)間，A,。兩點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)在線段3N上，則這段時(shí)間的

時(shí)長(zhǎng)是一秒.

4.(2021春?農(nóng)安縣期末)長(zhǎng)春消夏燈會(huì)節(jié)將在長(zhǎng)春農(nóng)博園舉辦.承辦方計(jì)劃在現(xiàn)場(chǎng)安裝小

彩燈和大彩燈.已知：安裝5個(gè)小彩燈和4個(gè)大彩燈共需150元；安裝7個(gè)小彩燈和6個(gè)大

彩燈共需220元.

(1)安裝1個(gè)小彩燈和1個(gè)大彩燈各需多少元.

(2)若承辦方安裝小彩燈和大彩燈的數(shù)量共300個(gè)，費(fèi)用不超過4350元，則最多安裝大彩

燈多少個(gè)？

5.(2019秋?長(zhǎng)樂區(qū)期末)已知兩條直線12,/"〃2，點(diǎn)N，8在直線4上，點(diǎn)/在點(diǎn)8

的左邊，點(diǎn)C,D在直線上，且滿足NNDC=N48C=115。.

(1)如圖①，求證：AD//BC;

(2)點(diǎn)”，N在線段C。上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊且滿足ZMAC=ABAC,且AN平分ACAD；

(I)如圖②，當(dāng)448=30。時(shí)，求的度數(shù);

(II)如圖③，當(dāng)NC4O=8/腿4N時(shí)，求乙4。的度數(shù).

6.(2021春?婺城區(qū)校級(jí)期中)某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會(huì)的禮品盒制作業(yè)務(wù)，

為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn).他們購(gòu)得規(guī)格是170c加x40c%的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，

每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下/型與B型兩種板材.如圖所示，(單位：cm)

(1)列出方程(組)，求出圖甲中。與6的值.

(2)在試生產(chǎn)階段，若將〃?張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，”張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將

得到的N型與8型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙橫式無蓋禮品盒.

①兩種裁法共產(chǎn)生A型板材一張，B型板材一張(用相、”的代數(shù)式表示)；

②當(dāng)3曰340時(shí)，所裁得的/型板材和8型板材恰好用完，做成的橫式無蓋禮品盒可能是

個(gè).(在橫線上直接寫出所有可能答案，無需書寫過程)

7.（2021?臨海市一模）【發(fā)現(xiàn)問題】

小聰發(fā)現(xiàn)圖1所示矩形甲與圖2所示矩形乙的周長(zhǎng)與面積滿足關(guān)系:

【提出問題】

對(duì)于任意一個(gè)矩形是否一定存在矩形使得0=%=工成立?

QS”2

【解決問題】

（1）對(duì)于圖2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可設(shè)兩條鄰邊長(zhǎng)分別為x和7-x）,使得

.若存在，求出矩形丙的兩條鄰邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由;

（2）矩形/兩條鄰邊長(zhǎng)分別為加和1,若一定存在矩形使得3成立，求加的

gS,2

取值范圍；

（3）請(qǐng)你回答小聰提出來的問題.若一定存在，請(qǐng)說明理由；若不一定存在，請(qǐng)直接寫出

矩形/兩條鄰邊長(zhǎng)a,b滿足什么條件時(shí)一定存在矩形

8.（2020秋?扶風(fēng)縣期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國(guó)已經(jīng)得到有效控制，但在全球

卻開始持續(xù)蔓延，這是對(duì)人類的考驗(yàn)，將對(duì)全球造成巨大影響.新冠肺炎具有人傳人的特性,

若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染

的人數(shù)相同）.求：

（1）每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

（2）如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有

多少人患??？

9.(2021春?濟(jì)陽區(qū)期末)國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要

來源，是人間煙火，和“高大上”一樣，是中國(guó)的生機(jī).響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，成都某社區(qū)擬建4、

3兩類地?cái)倲偽唬阎總€(gè)/類攤位占地面積比2類多2平方米，建4類攤位需40元/平

方米，8類30元/平方米，用60平方米建N類攤位的個(gè)數(shù)恰好是同樣面積建3類攤位個(gè)數(shù)

的3.

5

(1)求每個(gè)/、8類攤位占地面積各為多少平方米？

(2)若該社區(qū)擬建N、8兩種攤位共90個(gè)，且/類攤位數(shù)量要多于22個(gè)，建造總費(fèi)用不

超過10850元，則共有幾種建造方案？

(3)在(2)的條件下，哪種方案總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少元？

10.(2021秋?集賢縣期末)如圖是寬為20米，長(zhǎng)為32米的矩形耕地，要修筑同樣寬的三

條道路(兩條縱向，一條橫向，且互相垂直)，把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地，要使

試驗(yàn)地的總面積為570平方米，問：道路寬為多少米？

11.(2021?奎屯市二模)甲商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，商場(chǎng)將其售價(jià)從原來的每件40元進(jìn)行

兩次調(diào)價(jià).已知該商品現(xiàn)價(jià)為每件32.4元，

(1)若該商場(chǎng)兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；

(2)經(jīng)調(diào)查，該商品每降價(jià)0.2元，即可多銷售10件.已知甲商品售價(jià)40元時(shí)每月可銷

售500件，若商場(chǎng)希望該商品每月能盈利10000元，且盡可能擴(kuò)大銷售量，則該商品在現(xiàn)價(jià)

的基礎(chǔ)上還應(yīng)如何調(diào)整？

12.（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人

數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人.

（1）求四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；

（2）若該景區(qū)僅有4,8兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如下表所示：

購(gòu)票方式甲乙丙

可游玩景點(diǎn)AB4和8

門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人

據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、

乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門票的游客

和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票.

①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；

②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬

元？

13.（2014春?太康縣校級(jí)月考）某商店在銷售西服時(shí)，按每套進(jìn)價(jià)的150%標(biāo)價(jià)，后來為吸

引消費(fèi)者，按標(biāo)價(jià)的八折銷售，此時(shí)每套西服仍可獲利120元，求西服的進(jìn)價(jià)為多少元？

（1）建立一元一次方程模型并解答上述問題；

（2）解答后請(qǐng)思考以下問題：

①在建立一元一次方程的模型解決問題過程中，你認(rèn)為最關(guān)鍵的是什么？

②解一元一次方程的算法，步驟有哪些？

③用算術(shù)法解決實(shí)際問題與建立方程模型解決實(shí)際問題,這兩種方法有什么不同？你說說哪

種方法更優(yōu)越？

14.（2021秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）黃岡小河中學(xué)七年級(jí)學(xué)生在5名教師的帶領(lǐng)下去赤壁公園

游玩，公園的門票為每人30元.現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，甲方案：帶隊(duì)教師免費(fèi)，學(xué)生按8

折收費(fèi)；乙方案：師生都7.5折收費(fèi).

（1）若有機(jī)名學(xué)生，則甲方案師生共需元，乙方案師生共需元（用含〃?代數(shù)式

表示）.

（2）當(dāng)"7為何值時(shí)，兩種方案收費(fèi)一樣？

（3）你能幫老師建議一下選擇哪種方案優(yōu)惠？

15.（2021秋?雙遼市期末）某工廠車間有28個(gè)工人，生產(chǎn)/零件和B零件，每人每天可生

產(chǎn)/零件18個(gè)或8零件12個(gè)（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個(gè)N零件配兩個(gè)8零件，

且每天生產(chǎn)的/零件和B零件恰好配套.工廠將零件批發(fā)給商場(chǎng)時(shí)，每個(gè)/零件可獲利10

元，每個(gè)3零件可獲利5元.

（1）求該工廠有多少工人生產(chǎn)/零件？

（2）因市場(chǎng)需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分4零件供商場(chǎng)零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)3零件

的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)/零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動(dòng)前多600元？

16.（2021?江州區(qū)模擬）某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元，170元的N、8兩種型號(hào)

的電風(fēng)扇，表中是近兩周的銷售情況:

銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入

/種型號(hào)B種型號(hào)

第一周3臺(tái)5臺(tái)1800元

第二周4臺(tái)