2025年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題講義：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)下的新定義（七大題型）（學(xué)生版）

專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)下的新定義

【題型歸納目錄】

題型一：曲率與曲率半徑問題

題型二：曼哈頓距離與折線距離

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問題

題型四：凹凸函數(shù)

題型五：二元函數(shù)問題

題型六：切線函數(shù)新定義

題型七：非典型新定義函數(shù)

【方法技巧與總結(jié)】

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通?？疾?/p>

考生對函數(shù)新概念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，

重點考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.

2、設(shè)尸(％,X),0(9,%)為平面上兩點，則定義1%—%|+僅2-X|為“折線距離”“直角距離”或“曼哈

頓距離”，記作2(尸,。)=,一xj+|y2-yj.

結(jié)論1：設(shè)點「(說,%)為直線/：Ar+為+C=0外一定點，。為直線/上的動點，則

_|例+5%+C]

火尸，。喘

~max[\A\,\B\}

結(jié)論2：設(shè)點P為直線Ax+5y+G=。上的動點，點。為直線=。上的動點，則

|GY|

d(P，Q)min

max{|A|,|B|)

【典型例題】

題型一：曲率與曲率半徑問題

【典例1-1】(2024?高三.重慶?階段練習(xí))定義：若知龍)是］功的導(dǎo)數(shù),獷(無)是〃'⑸的導(dǎo)數(shù),則曲線

K=_M_(nA

戶人⑺在點(無,〃(切處的曲率(已知函數(shù)/(x)=e'sin彳+x,

1+rAV)?2(2)

g(x)=x+(2a-1)cosx,[a<,曲線y=g(x)在點(0,g(0))處的曲率為乎;

(1)求實數(shù)a的值;

jr

(2)對任意xe--,0，〃礦(x)2g'(x)恒成立，求實數(shù)機的取值范圍;

x

（3）設(shè)方程f（x）=g'（元）在區(qū)間（2河+：,2河+],eN"）內(nèi)的根為尤「馬，…,當(dāng)，…比較?+i與招+2兀的大

小，并證明.

【典例1-2】（2024?浙江溫州.二模）如圖，對于曲線T,存在圓C滿足如下條件:

①圓C與曲線F有公共點A,且圓心在曲線「凹的一側(cè)；

②圓c與曲線r在點A處有相同的切線；

③曲線「的導(dǎo)函數(shù)在點A處的導(dǎo)數(shù)（即曲線r的二階導(dǎo)數(shù)）等于圓C在點A處的二階導(dǎo)數(shù)（已知圓

（無一。）2=/在點4（飛,為）處的二階導(dǎo)數(shù)等于）3）；

則稱圓c為曲線r在A點處的曲率圓，其半徑「稱為曲率半徑.

（1）求拋物線>=/在原點的曲率圓的方程；

（2）求曲線y=’的曲率半徑的最小值；

X

⑶若曲線y=e，在（西,爐）和（與爐乂工尸馬）處有相同的曲率半徑，求證：xl+x2<-\n2.

【變式1-1]（2024?高三?浙江寧波?期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的

彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：y=/（x）上的曲線段A8,其弧長為加，當(dāng)動點從A沿曲線段

運動到8點時，A點的切線乙也隨著轉(zhuǎn)動到8點的切線），記這兩條切線之間的夾角為（它等于）

的傾斜角與4的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，

-^e

弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K=丁為曲線段A?的平均曲率；顯然當(dāng)8越接近A,即加越

小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義火=[%密=；3（若極限存在）為曲線

（i+y日

C在點A處的曲率.（其中y,y"分別表示y=/（x）在點A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

/、2閩y〃|../、

⑶定義9（丫）=/才為曲線y=/（x）的“柯西曲率”.已知在曲線〃x）=xlnx-2x上存在兩點

尸（4〃占））和。（％]（無2）），且P，。處的“柯西曲率”相同，求在+強的取值范圍.

【變式1-2]（2024?高三?遼寧?期中）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲

線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若廣⑺是〃x）的導(dǎo)函數(shù)，

\f"M\

/⑴是/'（X）的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=/（x）在點（無，〃尤））處的曲率*=3

(1+[-(切了-

⑴求曲線/（x）=lnx+x在（1,1）處的曲率段的平方;

（2）求余弦曲線/z（x）=cosx（xeR）曲率&的最大值;

題型二：曼哈頓距離與折線距離

【典例2-1】（2024?甘肅蘭州?一模）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別為（西,巴），

（范，/2），那么稱〃（43）=|占-*2|+|%-為|為A，B兩點間的曼哈頓距離.

⑴已知點M，N2分另IJ在直線尤-2y=0,2》-丁=0上，點/（0,2）與點乂，N?的曼哈頓距離分別為

d（M,N）,d（M,N）,求d（M,Nj和的最小值;

⑵已知點N是直線x+歐V+2左+1=0（左＞0）上的動點，點M（0,2）與點N的曼哈頓距離d（KN）的最小值

記為/㈤，求〃%）的最大值;

（3）已知點M（e"e*）,點N（〃M）（上加，?eR,e是自然對數(shù)的底），當(dāng)上（1時，d（M,N）的最大值為

求〃相㈤的最小值.

【典例2-2】（2024?高三?廣西防城港?階段練習(xí)）若設(shè)M（a㈤=麻-1|+辰-2|+--+辰-力|為曼哈頓擴張距

離，它由幾個絕對值之和組成，其中“為正整數(shù).如：

M（2,6）=|2x-l|+|2x-2|+|2x-3|+|2^-4|+|2x-5|+|2x-6|

（1）若”（1,2）45,求x的取值范圍；

⑵若M（3,2）2相對一切實數(shù)x恒成立，設(shè)。＞0,b＞0,J!La2+b2=m+l,求2a+b的最大值.

【變式2-1］（2024?高三.北京?期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提

出來的.如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我

們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用"（A3）表示，又稱

“曼哈頓距離”，即d（A3）=|AC|+|CB|,因此“曼哈頓兩點間距離公式”:若4（菁,X）,3（盯力），則

d（AB）=上一司十回一%|

：\D\

⑴①點4(3,5),B(2,-l),求d(A3)的值.

②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

⑵已知點3(1，°)，直線2x-y+2=0,求B點到直線的“曼哈頓距離”最小值；

⑶設(shè)三維空間4個點為4=(4%，zj,，=1，2,3,4,且yt,z;e(O,l}.設(shè)其中所有兩點“曼哈頓距離”的

平均值即2,求2最大值，并列舉最值成立時的一組坐標(biāo).

題型三：雙曲正余弦函數(shù)問題

【典例3-1】(2024?高三?江蘇蘇州?開學(xué)考試)定義：雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=f詈，雙曲正弦函數(shù)

sinh(x)=——-——.

⑴求函數(shù)y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；

⑵若函數(shù)〃x)=log9[cosh(2x)-asinh(尤)]在R上的最小值為一1,求正實數(shù)。的值；

sinh(x)1

(3)求證：對任意實數(shù)3關(guān)于x的方程7總有實根.

cosh(x)2

【典例3-2】(2024.高三?福建寧德?期末)固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691

XX

年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程Y_。(一+e-D,其中c為參數(shù).當(dāng)。=1時，就是雙曲余弦函數(shù)

12

c°shx=三二，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=3二.它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).

(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個正確的結(jié)論:sinh2x=_____________.(只寫出

即可，不要求證明)；

(2)VXG[-1,1],不等式cosh2x+相coshxZO恒成立，求實數(shù)機的取值范圍;

⑶若X嗚苧，試比較cosgnx)與sinh(a)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式3-1](2024?上海寶山?模擬預(yù)測)在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)

是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：3血")=三乙，雙曲余弦函數(shù)：cosh(x)==乙，

(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴解方程：cosh(x)=2；

(2)寫出雙曲正弦與兩角和的正弦公式類似的展開式：sinh(x+y)=,并證明；

(3)無窮數(shù)列{4},%=。，%+產(chǎn)2%-1,是否存在實數(shù)。，使得出皿=：?若存在，求出。的值，若不存

在，說明理由.

【變式3-2](2024?高三?江蘇鹽城?期末)懸鏈線(Ca回2”)指的是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細(xì)與質(zhì)量

分布)均勻，柔軟(不能伸長)的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方

程是一個雙曲余弦函數(shù)，其解析式為〃力=強產(chǎn)，與之對應(yīng)的函數(shù)g(x)=gJ稱為雙曲正弦函數(shù),

令“㈤弟?

(1)若關(guān)于x的方程/[〃2x)]+耳24g(x)-5]=0在(0,ln3)上有解，求實數(shù)4的取值范圍；

⑵已知函數(shù)〃(X)=X?-M+4,若對任意的飛€|-2,2],總存在不同的士,彳2€口,+8),使得

/7(—+〃伍)=立,求實數(shù)機的取值范圍.

%+%2

題型四：凹凸函數(shù)

【典例4-1】（2024.高三.湖南長沙.階段練習(xí)）設(shè)連續(xù)函數(shù)〃x）的定義域為［a,可，如果對于句內(nèi)任意兩數(shù)

4N，都有/（*）；/（%）,則稱〃尤）為,,可上的凹函數(shù)；若/［巖1）〃百）7（%）,則

稱“X）為凸函數(shù).若“X）是區(qū)間,回上的凹函數(shù)，則對任意的外,%,心目凡可，有琴生不等式

/1%+/++苫"+〃％）+/5）++〃％）恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)％=々==x“時等號成立）.

ynJn

⑴證明：〃尤）=在（。,1）上為凹函數(shù)；

1-x

（2）設(shè)國,工2，，Z＞。，〃22,且%+%++Xn=l,求W=苔一+"++’的最小值;

］一再［一/］-X/

111n

⑶設(shè)小4，4為大于或等于1的實數(shù)，證明：41+.++771M?。?（提示:可設(shè)。=e*）

【典例4-2】（2024.高三.陜西安康.階段練習(xí)）記函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，尸⑺的導(dǎo)函數(shù)為廣⑺，設(shè)。

是〃x）的定義域的子集，若在區(qū)間。上廣⑺4。，則稱〃x）在。上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù)〃x）=asinx-x2.

⑴若在0,1上為“凸函數(shù)”，求。的取值范圍；

（2）若a=2,判斷g（x）=〃x）+l在區(qū)間（0㈤上的零點個數(shù).

【變式4-1］（2024.高三.廣東東莞.階段練習(xí)）記〃（x）=（r（x）j,r（x）為的導(dǎo)函數(shù).若對VxeD,

r（x）＞0,則稱函數(shù)y=〃x）為。上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù)〃司=6'-33_加_1,aeR

（1）若函數(shù)/（X）為R上的凸函數(shù)，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)y=〃x）在（l,y）上有極值，求。的取值范圍.

題型五：二元函數(shù)問題

【典例5-1】(2024.高三.湖南.階段練習(xí))設(shè)A是有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的非空集，B是實數(shù)集，如果對于集合A中

的任意一個有序?qū)崝?shù)對(x?),按照某種確定的關(guān)系了,在8中都有唯一確定的數(shù)z和它對應(yīng)，那么就稱

△A-B為從集合A到集合B的一個二元函數(shù)，記作z=/(x,y),(x,y)eA,其中A稱為二元函數(shù)/的定

義域.

(1)已知〃尤,y)=JV+3,4=(無］,%),6=(%,%),若”")=1,/■僅)=2,占龍2+%%=1，求/伍+b)；

(2)非零向量〃=(%,%),若對任意的A〃＞。，記a=(x,y),都有〃。)＜，(4+/加)，則稱/

在。上沿式方向單調(diào)遞增.已知/(%,封=e*+e“,xeR,yeR.請問/在｛(x,斕x,yeR｝上沿向量(1,1)方向

單調(diào)遞增嗎？為什么？

(3)設(shè)二元函數(shù)/的定義域為。，如果存在實數(shù)M滿足：

①V(x,y)e￡＞,都有/(x,y)2M,

②升不，％)?，使得"不，%)=■.

那么，我們稱M是二元函數(shù)/的最小值.求

〃才,了)=了+0由2才+卜-了｝052天(犬,？)€“不了)|廣€R；4”21的最大值.

【典例5-2】(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)z=/(x,y)在約束條

件g(x，V)的可能極值點，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)L(x,y,㈤=以x,y)+/lg(x,y),其中4為拉格朗

日系數(shù).分別對中的部分求導(dǎo)，并使之為0,得到三個方程組，如下：

Lx(x,y,2)=fx(x,y)+Agx(x,y)=0

，4(x,y")=%(x,y)+2gy(x,y)=0,解此方程組，得出解(x,y),就是二元函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

L式x,y,A)=g(x,y)=0

g(x,y)的可能極值點.陽'的值代入到/(x,y)中即為極值.

補充說明：【例】求函數(shù)/(x,y)=Y+沖+V關(guān)于變量尤的導(dǎo)數(shù).即：將變量y當(dāng)做常數(shù)，即：

fx(x,y)=2x+y,下標(biāo)加上x,代表對自變量尤進(jìn)行求導(dǎo).即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的4，。,〃表示

分別對x,y,4進(jìn)行求導(dǎo).

⑴求函數(shù)/(X,j)=x2y2+2孫+孫?關(guān)于變量y的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)％=1處的導(dǎo)數(shù)值.

(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)X，＞滿足g(x,y)=4x2+/+.^-l=0,求f(x,y)=2x+y的最大值.

(3)①若羽V，2為實數(shù)，且x+y+z=l,證明：x2+y2+z2＞1.

11

②設(shè)求2。9H■—-+—------10?c+25c9的最小值.

aba{a-b)

【變式5?1】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知變量x,y,z,當(dāng)羽y在某范圍。內(nèi)任取一組確定的值時，若變量

z按照一定的規(guī)律力總有唯一確定的x,y與之對應(yīng)，則稱變量z為變量x,y的二元函數(shù)，記作

z=/（羽丁）.已知二元函數(shù)/（%，y）=2%+；（ywO）.

（1）若移>0,求/（x,y）?/1J,的最小值.

（2）對任意實數(shù)無，不等式|〃工,。）|+|〃%,20）性4恒成立，求實數(shù)°的取值范圍.

題型六：切線函數(shù)新定義

【典例6-1】（2024.全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=xln（詞（。>0）,設(shè)函數(shù)〃x）的導(dǎo)函數(shù)為g（x）,若函數(shù)

〃尤）和g⑴的圖象在x=不處的兩條切線4和4平行，則稱叫為函數(shù)〃尤）和g⑴的“關(guān)聯(lián)切點”.

⑴證明：對于任意的正實數(shù)。，函數(shù)”尤）和g（尤）的“關(guān)聯(lián)切點”有且只有一個；

32

（2）若兩條切線4和4之間的距離為1，證明：=<°（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

5”3”

【典例6-2】（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）定義：若函數(shù)/（X）圖象上恰好存在相異的兩點P,。滿足曲線y=/（x）

在尸和。處的切線重合，則稱P,。為曲線y=/（x）的“雙重切點”，直線PQ為曲線y=/（x）的“雙重切線”.

⑴直線y=2x是否為曲線=x3+-的“雙重切線”，請說明理由；

X

\2

ex--x<0

⑵已知函數(shù)g（無）=彳e"一'求曲線y=g（x）的“雙重切線”的方程；

Inx,x>0,

⑶已知函數(shù)網(wǎng)力=sinx,直線PQ為曲線y=h（x）的“雙重切線”，記直線PQ的斜率所有可能的取值為此,

_k,15

4，…，kn,右及>k?>kj(i=3,4,5,…,n),證明：—.

K2O

【變式6-1](2024?高三?上海浦東新?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為開區(qū)間/,若存在不?，，使得

y=〃x)在x=x°處的切線/與y=/(x)的圖像只有唯一的公共點，則稱y=〃x)為“L函數(shù)”，切線/為一

條“L切線”.

(1)判斷y=x-l是否是函數(shù)＞=lnx的一條“刀切線”，并說明理由；

⑵設(shè)g(x)=e2，-6x,求證：y=g(x)存在無窮多條“L切線”；

(3)設(shè)求證：對任意實數(shù)。和正數(shù)c，＞=/(%)都是“乙函數(shù)”

【變式6-2](2024?高三?上海?期中)設(shè)尸是坐標(biāo)平面xQy上的一點，曲線「是函數(shù)y=/(%)的圖像.若過點

尸恰能作曲線「的左(左eN)條切線,則稱尸是函數(shù)y=/(x)的“左度點”.

⑴判斷點0(0,0)是否為函數(shù)y=e*的1度點，請說明理由；

(2)若點是g(x)=cosx,-1＜X＜彳的“％度點”，求自然數(shù)%的值；

(3)求函數(shù)y=x3+x的全體2度點構(gòu)成的集合.

題型七：非典型新定義函數(shù)

【典例7-1】(2024.高三.廣東佛山.階段練習(xí))若對實數(shù)%,函數(shù)〃尤)、g(x)滿足"％)=g(%),且

f(x0)^g'(xQ),則稱尸為“平滑函數(shù)”，為為該函數(shù)的“平滑點”已知

=--|x2,g(x)=Z?xlnx.

⑴若1是平滑函數(shù)*%)的“平滑點”，

(i)求實數(shù)。，b的值；

(ii)若過點尸(2,。可作三條不同的直線與函數(shù)y=P(x)的圖象相切，求實數(shù)f的取值范圍;

(2)判斷是否存在使得對任意6>0,函數(shù)尸(同存在正的“平滑點”，并說明理由.

【典例7-2】(2024?高三?上海?期中)已知定義域為R的函數(shù)y=/(%).當(dāng)aeR時，若

g(x)=〃x)-]⑷(x>是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱是一個"T(a)函數(shù)”.

x—a

⑴判斷函數(shù)工(x)=5x+3是否為T⑴函數(shù)；

(2)是否存在實數(shù)匕，使得函數(shù)〃卜)="'"(0'是7(-1)函數(shù)？若存在，求實數(shù)匕的取值范圍；否則，證

[OT+1,X>0,

明你的結(jié)論；

⑶已知J(x)=e，("2+1),其中"R,證明：若J'(x)是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，則對任意“wZ,J(x)都是

T㈤函數(shù).

【變式7-1](2024?高三?上海普陀?階段練習(xí))給出下列兩個定義：

I.對于函數(shù)y=/(x),定義域為O,且其在。上是可導(dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為。，則稱該函數(shù)是“同定

義函數(shù)”.

II.對于一個“同定義函數(shù)"y=/(x),若有以下性質(zhì)：

①廣(x)=g(/(x))；?f(x)=/z(f,(x)),其中y=g(x),y=/z(x)為兩個新的函數(shù)，y=/'(x)是y=/(x)

的導(dǎo)函數(shù).

我們將具有其中一個性質(zhì)的函數(shù)y=/(x)稱之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個性質(zhì)都具有的函數(shù)y=/(x)稱之為

“雙向?qū)Ш瘮?shù)"，將y=g(x)稱之為“自導(dǎo)函數(shù)

⑴判斷函數(shù)y=tanx和y=lnx是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫出其

對應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；

(2)已知命題。：y=/(x)是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題

4"(句=上優(yōu)(左eR,a>0,a/l).判斷命題P是q的什么條件，證明你的結(jié)論；

⑶已知函數(shù)=

①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是y=x,試求。的取值范圍；

②若4=6=1,且定義/(x)=e"(元)一|叱+丘，若對任意左€口,2口10,對，不等式/(x)＜c恒成立，求

c的取值范圍.

【變式7-2](2024?高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=、+￡|lnx+J-x(a＞0).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性.

⑵給定％，%且玉＜馬，對于兩個大于1的正實數(shù)。，夕，若存在實數(shù)機滿足：a=rnxi+(\-m)x2,

/3=(l-m)xl+mx2,使得不等式性(。)-丸(￡)|＜卜(%)-九(々)|恒成立,則稱函數(shù)無⑺為區(qū)間。上的“優(yōu)化分

解函數(shù)若a=l,函數(shù)/(x)=-為區(qū)間。,+?0上的“優(yōu)化分解函數(shù)”，求實數(shù)機的取值范圍.

【過關(guān)測試】

1.(2024?高三?江西?階段練習(xí))記函數(shù)y=/(x)(xeD)在。上的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(%),若((尤)＞。(其中

f"(x)=[廣(x)]')恒成立，則稱y=f(x)在。上具有性質(zhì)M.

⑴判斷函數(shù)y=log/(a＞0且ami)在區(qū)間(0,+“)上是否具有性質(zhì)/?并說明理由；

(2)設(shè)。,6均為實常數(shù)，若奇函數(shù)g(x)=2尤3+依2+三在》=1處取得極值，是否存在實數(shù)c,使得y=g(x)在

區(qū)間匕內(nèi))上具有性質(zhì)/?若存在，求出。的取值范圍；若不存在，請說明理由；

⑶設(shè)左?Z且左＞0,對于任意的尤?0,內(nèi))，不等式1+M(x+1)＞上成立,求上的最大值.

XX+1

2.(2024?高三?河南鄭州?階段練習(xí))若函數(shù)“X)的定義域、值域都是有限集合&=〃eN*,

則定義〃尤)為集合A上的有限完整函數(shù).己知g(x)是定義在有限集合"={L2,3,4,5,6,7}上的有限完整函

數(shù).

7

⑴求￡ig(i)的最大值；

Z=1

⑵當(dāng)i=l,2,3,4時，均有g(shù)?)<g?+l),求滿足條件的g(x)的個數(shù)；

⑶對于集合加上的有限完整函數(shù)g(x),定義“閉環(huán)函數(shù)”如下：gj(x)=g(x),對左?N*,且左V6,

gE(x)=g(gK(x))芾3xeA1,7〃eN*,gi(x)=g.(x),則稱g(x)為“優(yōu)階閉環(huán)函數(shù)”.證明：存在一個閉環(huán)

函數(shù)g(x)既是3階閉環(huán)函數(shù)，也是4階閉環(huán)函數(shù)(用列表法表示g(x)的函數(shù)關(guān)系).

3.(2024.黑龍江吉林.二模)設(shè)定義在[0,2]函數(shù)/(x)滿足下列條件:

①對于xe[0,2],總有〃2T)=/(X),K/(X)>1,/(1)=3；

②對于x,ye[l,2],若x+yW3,則/(x)+/(y)W/(x+y_2)+l.

⑴求〃2)；

⑵證明：[+l(〃eN*)；

(3)證明：當(dāng)無目1,2]時，lW/(x)V13—6x.

4.(2024?遼寧大連?一模)已知函數(shù)/(尤)=xln尤+G+1的定義域為區(qū)間。，值域為區(qū)間。廠若則稱

“X)是2的縮域函數(shù).

⑴若是區(qū)間；，e的縮域函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)設(shè)a,〃為正數(shù)，且a<⑸若〃》)是區(qū)間&四的縮域函數(shù)，證明：

⑴當(dāng)分時，/(無)在［a間單調(diào)遞減；

21c

(11)—+—>3

ap

5.(2024?高三?上海?階段練習(xí))對于函數(shù)與g(x)定義域。上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得

f(x)W依+匕和g(%)>區(qū)+6都成立，則稱直線y=履+b為函數(shù)“X)與g(X)的“分界線”.

⑴若函數(shù)〃力=7?+2%，g(x)=x2+2x,D=R,求函數(shù)〃X)和g(x)的“分界線”；

(2)已知函數(shù)"X)=alnx(aeR)滿足對任意的xe,f(x)<e(x-l)恒成立.

①求實數(shù)。的值；

②設(shè)函數(shù)g⑴=，試探究函數(shù)與g(元)是否存在“分界線”?若存在，請加以證明，并求出左，6的值；

若不存在，請說明理由.

6.(2024?高三.上海.階段練習(xí))對于函數(shù)/(x),若/(彳)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則稱/'(%)為定義

域上的“G函數(shù)”.

⑴試判斷/(x)=|cosx|,(xw0)是否為“G函數(shù)”，簡要說明理由；

⑵若/(同=1嗎S+加)+1是定義在區(qū)間一卦)同上的“G函數(shù)”求實數(shù)機的取值范圍；

7.(2024?福建?模擬預(yù)測)對于函數(shù)/(x),若實數(shù)與滿足/(%)=%，則稱％為了(盼的不動點.已知且

/(元)=；lnx+G?+1-。的不動點的集合為A.以minM和maxM分別表示集合Af中的最小元素和最大元

素.

(1)若。=0,求A的元素個數(shù)及maxA；

(2)當(dāng)A恰有一個元素時，。的取值集合記為反

⑴求B；

(ii)若。=min3,數(shù)列｛/｝滿足4=2,。用=，(""),集合C.=［為應(yīng)-1總］,“?N*.求證：VweN*,

an［女=13J

「4

maxC,=耳.

8.(2024?安徽安慶?二模)取整函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)xeR,不

超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作四，函數(shù)'=［力稱為取整函數(shù).另外也稱印是x的整數(shù)部分，

稱｛力=為X的小數(shù)部分.

⑴直接寫出［In可和的值；

(2)設(shè)a,beN*,證明：“=+且并求在6的倍數(shù)中不大于a的正整數(shù)的個

數(shù)；

(3)對于任意一個大于1的整數(shù)a,。能唯一寫為a=pfxp？x-xp『，其中R為質(zhì)數(shù)，/為整數(shù)，且對任

意的,(/P,<Pj,i,六｛1,2,3,…㈤，稱該式為a的標(biāo)準(zhǔn)分解式，例如100的標(biāo)準(zhǔn)分解式為

100=22X52.證明：在m的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，質(zhì)因數(shù)”>1,zieN*)的指數(shù)

nnn

+++-=S-n7-

PiPiPir=lPi_

9.(2024?高三?重慶?階段練習(xí))對于函數(shù)y=/(x),xe/,若存在外",使得/(不)=%，則稱％為函數(shù)

“X)的一階不動點；若存在外",使得/(〃%))=%，則稱為為函數(shù)〃x)的二階不動點；依此類推，

可以定義函數(shù)f(x)的”階不動點.其中一階不動點簡稱不動點，二階不動點也稱為穩(wěn)定點.

⑴已知"x)=2，+2x-3,求〃力的不動點;

(2)已知函數(shù)〃力在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求證："為為函數(shù)”X)的不動點”是“%為函數(shù)”X)的穩(wěn)定點”的

充分必要條件；

21

⑶已知“>-1,討論函數(shù)/(x)=gliu+(a+l)XG的穩(wěn)定點個數(shù).

10.(2024.高三.全國.競賽)設(shè)有兩個集合A兄如果對任意aeA,存在唯一的滿足〃a)=。，那么

稱/是一個Af3的函數(shù).設(shè)/(。)是Af3的函數(shù)，g。)是BfC的函數(shù)，那么g(〃a))是AfC的函

數(shù)，稱為g和7的復(fù)合，記為g九如果兩個的函數(shù)7,g對任意。wA,都有/(a)=g(a),則稱

于=g.

⑴對/(x)=e,，分別求t個g(x),/z(x),使得(g/)(%)=%=(//，)(%)對全體尤21恒成立；

(2)設(shè)集合A,B,C和A-C的函數(shù)a以及B-C的函數(shù)".

⑴對E={(a,6)|aeAbe3,a(a)=￡0)},構(gòu)造A的函數(shù)。以及E-?B的函數(shù)9,滿足ap=Bq；

(宜)對￡={(4,6)|aeA)e3,(z(a)=770)},構(gòu)造E.A的函數(shù)P以及E-?B的函數(shù)4,滿足ap=0q,

并且說明如果存在其它的集合￡滿足存在E'fA的函數(shù)P'以及E'f3的函數(shù)q',滿足aP'=B。，則

存在唯一的E'fE的函數(shù)〃滿足。W=p',qW=q'.

11.(2024?上海浦東新?二模)設(shè)尸是坐標(biāo)平面x0y上的一點，曲線『是函數(shù)>=/(X)的圖象.若過點P恰能

作曲線T的左條切線(kwN),則稱尸是函數(shù)y=/(x)的經(jīng)度點”.

⑴判斷點。(0,0)與點4(2,0)是否為函數(shù)y=lnx的1度點，不需要說明理由；

⑵已知。<根〈兀，g(x)=sinx.證明：點3(。,兀)是y=g(x)(O<x<7%)的0度點；

(3)求函數(shù)y=Y-x的全體2度點構(gòu)成的集合.

12.(2024?高三?上海靜安?期末)如果函數(shù)y=/(x)滿足以下兩個條件，我們就稱>=/(尤)為L型函數(shù).

①對任意的無總有/(x)>0；

②當(dāng)%>0,%>。，玉+尤2<1時，總有了(占+%)</(%)+/(々)成立.

(1)記g(x)=Y+；,求證：y=g(x)為乙型函數(shù)；

(2)設(shè)bwR,記p(無)=ln(尤+6),若y=p(x)是乙型函數(shù)，求b的取值范圍;

(3)是否存在L型函數(shù)>=?x)滿足：對于任意的機?0,4),都存在小?0,1),使得等式“尤。)=，〃成立？請

說明理由.

13.(2024?高三?全國?專題練習(xí))對于函數(shù)/(X),xe[a,b],以及函數(shù)g(x),xe[a,b].若對任意的

x&[a,b\,總有那么稱/(x)可被g(x)“替代”(通常g(x)w/(x)).

⑴試給出一個可以“替代”函數(shù)"X)=：的函數(shù)g(x);

⑵試判斷"x)=?(xe[4,16])是否可被直線g(x)=_,xe[4,16]“替代”.

14.(2024.高三.上海靜安.階段練習(xí))記尸(x)、g'(x)分別為函數(shù)“X),8(”的導(dǎo)函數(shù).若存在尤。建滿足

/'(%)=8伉)且/'(毛)=8'(%),則稱為為函數(shù)與g(x)的一個“S點”.

⑴證明:函數(shù)/")=%與8(彳)=%2+2》-2不存在“S點”；

⑵若函數(shù)/(3)=G2—1與g(x)=lnx存在“S點”，求實數(shù)。的值

(3)已知函數(shù)不力=-丁+加,g(x)=q對任意『>0,判斷是否存在”0,使得函數(shù)〃力與g(x)在區(qū)間

(0,+8)內(nèi)存在“S點”，并說明理由.

15.(2024.高三.上海虹口.期末)已知y=〃x)與y=g(x)都是定義在(0,+⑹上的函數(shù)，若對任意占，

x2e(O,-H?),當(dāng)王時，都有g(shù)(xj、/a)"%)*(/),則稱y=g(x)是y=/(x)的一個，控制函

王一X?

數(shù)”.

(D判斷y=2x是否為函數(shù)y=/(x>0)的一個控制函數(shù)，并說明理由；

⑵設(shè)〃x)=lnx的導(dǎo)數(shù)為/(力，0<a<b,求證：關(guān)于x的方程4^三3=廣⑴在區(qū)間(。㈤上有實

數(shù)解；

(3)設(shè)/(x)=xlnx,函數(shù)y=/(x)是否存在控制函數(shù)？若存在，請求出y=〃x)的所有控制函數(shù)；若不存

在，請說明理由.

16.(2024.上海長寧.一模)若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)滿足：對任意A々?R,都有

|/(%)-/伍)|Wg(%)-g(x2)|，則稱函數(shù)y=/(x)是函數(shù)y=g(x)的“約束函數(shù)”.已知函數(shù)y=〃x)是函數(shù)

y=g(尤)的“約束函數(shù)

⑴若=判斷函數(shù)y=g⑺的奇偶性，并說明理由：

⑵若/(x)=ax+V(a>O),g(x)=sinx,求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若y=g(x)為嚴(yán)格減函數(shù),/(o)</(i),且函數(shù)y=的圖像是連續(xù)曲線，求證：y=/(x)是(0,1)上

的嚴(yán)格增函數(shù).

17.(2024?高三?上海?期中)設(shè)y=f[x｝是定義域為R的函數(shù)，如果對任意的^,X2GR(^^X2),

|/(x1)-/(x2)|<|x1-^2|均成立，則稱y=/(x)是“平緩函數(shù)”.

⑴若/⑺=爐,試判斷y=/㈤是否為“平緩函數(shù)”并說明理由；

(2)已知y=的導(dǎo)函數(shù)/(x)存在，判斷下列命題的真假:若y=〃x)是“平緩函數(shù)”，則|/(刈v1,并說明理

由.

(3)若函數(shù)y=/(x)是“平緩函數(shù)"，且y=/(x)是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對任意的4%€雙％/.)，均有

18.(2024.高三?浙江?期中)對函數(shù)y=/(x),若玉：°eR,使得/(%)=mx。成立，則稱不為f3關(guān)于參數(shù)冊的

不動點.設(shè)函數(shù)/(%)=加-法-"。。0).

(1)當(dāng)。=/?=2時，求函數(shù)/(x)關(guān)于參數(shù)1的不動點；

(2)若VbwR,函數(shù)/(九)恒有關(guān)于參數(shù)1的兩個不動點，求。的取值范圍；

⑶當(dāng)。=1/=-2時，函數(shù)〃力在xe(0,2]上存在兩個關(guān)于參數(shù)機的不動點，試求參數(shù)，〃的取值范圍.

19.(2024.高三.上海徐匯?期中)若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)滿足：對任意的國e。，總存在唯一的尤zW。,

使〃%)g(X2)=〃7成立，則稱y=/(x)是g(x)在區(qū)間。上的“加階伴隨函數(shù)"；當(dāng)〃x)=g(x)時，則稱

y=〃x)為區(qū)間。上的“機階自伴函數(shù)”，

⑴判斷y=/(尤)=log,，+1)是否為區(qū)間［0,77］上的“2階自伴函數(shù)”？并說明理由；

⑵若函數(shù)y=/(x)=4，i為區(qū)間g,b上的“1階自伴函數(shù)”，求6的值；

⑶若y=/(X)=士是y=g@)=f-2依+/-1在區(qū)間［0,2］上的“2階伴隨函數(shù)"，求實數(shù)”的取值范圍.

20.(2024?高三?安徽淮南?階段練習(xí))帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的

方法.給定兩個正整數(shù)加，n,函數(shù)/(尤)在x=0處的［“川階帕德近似定義為：R(x)=?+*+丁，

1+*++bnx

且滿足：/(0)=R(0),八0)=R(0),/(。)=R"(0),尸)(0)=鄭加+力(0).已知f(x)=In。+1)在X=0處

的［14］階帕德近似為R(x)=#.注：

l+bx

m=［廣(切’,尸(尤)=［r?］\/(4)?=—(切'J⑸(尤)=［/(4)?］\

⑴求實數(shù)。，匕的值；

⑵求證：(x+^)/f-Ki.

21.(2024?天津?一模)意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項

鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的“懸鏈線問題”，通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)

ch(x)='"；e」的圖象,定義雙曲正弦函數(shù)sh(x)=hJ,類比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙

曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：Ch2(x)-sh2(x)=l,②倍元關(guān)系：sh(2x)=2sh(x)-ch(x).

⑴求曲線ch(x)在尤=2處的切線斜率；

(2)若對任意x>0,都有(x-a-l)(sh(x)+ch(x))>2sinx-2(x-a)cosx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：

⑶⑴證明:當(dāng)尤>0時，sh(x)>x；

sh(2)sh(l)Sh[j

34〃

(ii)證明:(〃eN*

tan11fl

tan—tan—tan—2n+\

23n

22.(2024?高三?云南昆明?階段練習(xí))懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過

適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)M(X)=h”的圖象，類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)

、f(sinx)=cosx,

系：①sin2%+cos2%=l,②和角公式：cos(x+)；)=cosxcosy-sinxsiny③導(dǎo)數(shù)：.定義

\/f^cosx)=-sinx,

雙曲正弦函數(shù)s〃(x)=三仁.

⑴直接寫出M(X),M(x)具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)(不需要證明)；

(2)若當(dāng)尤＞0時，依恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)求/(x)=c/?(x)-cosx-尤2的最小值.

23.(2024?高三?山東臨沂?期中)用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線

之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若尸(x)是的導(dǎo)函數(shù)，

⑴求曲線/(x)=lnx+x在(1,1)處的曲率段的平方；

⑵求余弦曲線〃(x)=cosx(xeR)曲率(的最大值；

⑶若g(x)=e"a)+H'(x),判斷g@)在區(qū)間一全方上零點的個數(shù)，并寫出證明過理.

24.(2024.全國?二模)曲線的曲率是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，曲線的曲率越大，表

示曲線的彎曲程度越大，若記=(川'，則函數(shù)y=/(x)在點尸(即兒)處的曲率為"

(1)求證：拋物線y=奴2+法+0(〃。0)在％=-丁處彎曲程度最大；

2a

(2)已知函數(shù)8(%)=6%2限一2辦3一9%2,%(%)=2肥"一4e"+辦?，〃￡，一)，若g(x),九⑴曲率為0時1

巧'求證：品消.

的最小值分別為七

25.(2024.高三.山西太原.階段練習(xí))用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感,

曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若廣(x)是/(尤)的導(dǎo)函

/、犬一73

數(shù)，/"⑺是r(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(x,〃x))處的曲率K-丁二TT.

[1+仆)]:

⑴求曲線〃x)=一在點(1,1)處的曲率用的值；

(2)求正弦曲線g(%)=sinx(xwR)曲率&的最大值.

r2r3n

26.(2024?貴州貴陽.一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：e'=l+x+—+—++x—+.其中

2!3!n\

?!=1X2X3X4Xx”,e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)

〃同=￡一:遙")=*二，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題.

⑴證明：>1+x;

(2)設(shè)xe(O,y),證明：F<g(x)；

(3)設(shè)尸(x)=g(x)-a1+y,若x=0是尸(x)的極小值點，求實數(shù)。的取值范圍.

一23

27.(2024?高三?四川達(dá)州?階段練習(xí))英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：e'=l+x+土x+土X+…+二x"+…其中