沈陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析_第1頁(yè)
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沈陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.53.3本不同的語(yǔ)文書(shū),2本不同的數(shù)學(xué)書(shū),從中任意取出2本,取出的書(shū)恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的概率是()A. B. C. D.4.已知定義在上的奇函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,當(dāng)時(shí),恒有.則不等式的解集為().A. B.C.或 D.或5.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.6.已知與函數(shù)和都相切,則不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的面積為()A. B. C. D.7.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.8.偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),,求()A. B. C. D.9.大衍數(shù)列,米源于我國(guó)古代文獻(xiàn)《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋我國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理,數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過(guò)程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項(xiàng)是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則大衍數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為()A. B. C. D.10.已知α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,則“α∥β是“l(fā)∥β”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11.如圖所示,已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,雙曲線的右支上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.12.已知底面為邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為的直四棱柱中,是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是()①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線,則該曲線的長(zhǎng)度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為.A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等比數(shù)列滿足公比,為其前項(xiàng)和,,,構(gòu)成等差數(shù)列,則_______.14.已知函數(shù),則函數(shù)的極大值為_(kāi)__________.15.給出下列四個(gè)命題,其中正確命題的序號(hào)是_____.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))因?yàn)樗圆皇呛瘮?shù)的周期;對(duì)于定義在上的函數(shù)若則函數(shù)不是偶函數(shù);“”是“”成立的充分必要條件;若實(shí)數(shù)滿足則.16.已知圓柱的上下底面的中心分別為,過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形,則該圓柱的體積為_(kāi)___三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為.已知,.(1)若,求;(2)求的面積的最大值.18.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)在軸的右側(cè);(2)設(shè)線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點(diǎn).若與的面積相等,求直線的斜率19.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn);②求證:對(duì)任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉):若分?jǐn)?shù)不低于95分,則稱該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問(wèn)題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù).(1)設(shè),求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求實(shí)數(shù)的值.22.(10分)已知數(shù)列滿足且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),由解得,所以的定義域?yàn)椋?,所以為奇函?shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.2、D【解析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)在軸上,開(kāi)口向上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn):本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng):拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.3、D【解析】

把5本書(shū)編號(hào),然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語(yǔ)文書(shū)編號(hào)為,2本不同的數(shù)學(xué)書(shū)編號(hào)為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個(gè),恰好都是數(shù)學(xué)書(shū)的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫(xiě)出所有的基本事件,然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.4、D【解析】

先通過(guò)得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù),再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則由題可知,所以在時(shí)為增函數(shù);由為奇函數(shù),為奇函數(shù),所以為偶函數(shù);又,即即又為開(kāi)口向上的偶函數(shù)所以,解得或故選:D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù),偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn),屬于較難題目.5、D【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問(wèn)題,屬于??碱}型.6、B【解析】

根據(jù)直線與和都相切,求得的值,由此畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓,由此求得正確選項(xiàng).【詳解】.設(shè)直線與相切于點(diǎn),斜率為,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得①.令,解得,,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得②.由①②對(duì)比系數(shù)得,化簡(jiǎn)得③.構(gòu)造函數(shù),,所以在上遞減,在上遞增,所以在處取得極小值也即是最小值,而,所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即,畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓可化為,圓心為.而方程組的解也是.畫(huà)出圖像如下圖所示,不等式組所確定的平面區(qū)域在內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為,直線的斜率為.所以,所以,而圓的半徑為,所以陰影部分的面積是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù),考查不等式組表示區(qū)域的畫(huà)法,考查圓的方程,考查兩條直線夾角的計(jì)算,考查扇形面積公式,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,考查分析思考與解決問(wèn)題的能力,屬于難題.7、D【解析】

由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計(jì)算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當(dāng)時(shí),,則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.9、B【解析】

直接代入檢驗(yàn),排除其中三個(gè)即可.【詳解】由題意,排除D,,排除A,C.同時(shí)B也滿足,,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的項(xiàng)選擇通項(xiàng)公式,解題時(shí)可代入檢驗(yàn),利用排除法求解.10、A【解析】試題分析:利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.解:根據(jù)題意,由于α,β表示兩個(gè)不同的平面,l為α內(nèi)的一條直線,由于“α∥β,則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知,則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面,條件可以推出結(jié)論,反之不成立,∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件.故選A.考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷;平面與平面平行的判定.11、C【解析】

易得,,又,平方計(jì)算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.12、C【解析】

①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長(zhǎng)公式,可得結(jié)論;②當(dāng)在(或時(shí),與面所成角(或的正切值為最小,當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設(shè),,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng),即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和.【詳解】如圖:①錯(cuò)誤,因?yàn)?,與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,長(zhǎng)度為;②正確,因?yàn)槊婷妫渣c(diǎn)必須在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)在(或)時(shí),與面所成角(或)的正切值為最?。橄碌酌婷鎸?duì)角線的交點(diǎn)),當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設(shè),則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為,,,所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之,當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、0【解析】

利用等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由,,是等差數(shù)列可知因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),通過(guò)賦值,求得,再對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析,求得極大值.【詳解】,故解得,,令,解得函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故的極大值為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解,難點(diǎn)是要通過(guò)賦值,求出未知量.15、【解析】

對(duì)①,根據(jù)周期的定義判定即可.對(duì)②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質(zhì)判定即可.對(duì)③,舉出反例判定即可.對(duì)④,求解不等式再判定即可.【詳解】解:因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以由周期函數(shù)的定義知不是函數(shù)的周期,故正確;對(duì)于定義在上的函數(shù),若,由偶函數(shù)的定義知函數(shù)不是偶函數(shù),故正確;當(dāng)時(shí)不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯(cuò)誤;若實(shí)數(shù)滿足則所以成立,故正確.正確命題的序號(hào)是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由軸截面是正方形,易求底面半徑和高,則圓柱的體積易求.【詳解】解:因?yàn)檩S截面是正方形,且面積是36,所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為:【點(diǎn)睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)4【解析】

(1)根據(jù)已知用二倍角余弦求出,進(jìn)而求出,利用正弦定理,即可求解;(2)由邊角,利用余弦定理結(jié)合基本不等式,求出的最大值,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,由正弦定理得.(2)由(1)知,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的面積有最大值4.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形,應(yīng)用基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可證出;(2)根據(jù)線段的垂直平分線求出點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出的面積,再表示出的面積,由與的面積相等列式,即可解出直線的斜率.【詳解】(1)由題意,得,直線()設(shè),,聯(lián)立消去,得,顯然,,則點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)椋渣c(diǎn)在軸的右側(cè).(2)由(1)得點(diǎn)的縱坐標(biāo).即.所以線段的垂直平分線方程為:.令,得;令,得.所以的面積,的面積.因?yàn)榕c的面積相等,所以,解得.所以當(dāng)與的面積相等時(shí),直線的斜率.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用,以及三角形的面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明見(jiàn)解析;(2)且;【解析】

(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可;②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過(guò)討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且,則切線在點(diǎn)切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時(shí),故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時(shí),遞減,故當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時(shí),則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時(shí),,故在遞減,可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時(shí),,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時(shí),,遞增,不合題意;③當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,遞減,當(dāng)時(shí),,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.20、(1);(2)①82,②分布列見(jiàn)解析,【解析】

(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可;(2)①平均數(shù)

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