安徽省淮北市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模試題含解析

淮北市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合和，則集合的元素個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式求解方法求出，利用補集的定義求出，再利用交集的運算即可求解.【詳解】因為所以，又因為，所以，.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點是，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的乘除運算規(guī)則計算.【詳解】因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點是，所以，則；故選：C.3.如圖所示，在三棱臺中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（）A三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點，四邊形為底面的四棱錐．故選：B．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合題干條件以及余弦的二倍角公式得到，進而結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點在橢圓上，且直線的斜率之積為，則（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓方程和的斜率之積為，建立A、B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，代入原式化簡計算即可.【詳解】因為在橢圓上，所以，因為，所以，所以，所以，所以．故選：A.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是單位圓上的四段弧，點在其中一段上，角以為始邊，為終邊．若，則所在的圓弧是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)定義解決即可.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，所以由三角函數(shù)的定義可得，因為，即，由圖知對于A，在第一象限，且，不滿意題意，故A錯；對于B，在第三象限，且，不滿意題意，故B錯；對于C，在第三象限，且，滿意題意，故C正確；對于D，在第四象限，且，不滿意題意，故D錯；故選：C.7.如圖，對于曲線所在平面內(nèi)的點，若存在以為頂點的角，使得對于曲線上的隨意兩個不同的點A，B恒有成立，則稱角為曲線的相對于點的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對于點的“確界角”．已知曲線（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），為坐標(biāo)原點，則曲線的相對于點的“確界角”為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到過點且與相切的直線的斜率，設(shè)過的直線與相切，然后通過聯(lián)立，讓得到切線斜率，最終利用傾斜角和斜率的關(guān)系求角即可.【詳解】記曲線為，當(dāng)時，，設(shè)過的直線與的圖象相切，切點為，則切線方程為，將代入整理，得，因為是上的增函數(shù)，且，所以，所以，所以的圖象與直線相切．當(dāng)時，設(shè)的圖象即拋物線與過的直線相切．聯(lián)立兩方程整理，得，．解得或（舍）．設(shè)兩切線傾斜角分別為，，則，．所以，所以所求確界角為．故選：B．8.對于一個古典概型的樣本空間和事務(wù)A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（）A.A與B不互斥 B.A與D互斥但不對立C.C與D互斥 D.A與C相互獨立【答案】D【解析】【分析】由已知條件結(jié)合事務(wù)的運算推斷事務(wù)間的互斥、對立關(guān)系，依據(jù)的關(guān)系推斷事務(wù)是否獨立.【詳解】由，，，即，故A、B互斥，A錯誤；由，A、D互斥且對立，B錯誤；又，，則，C與D不互斥，C錯誤；由，，，所以，即A與C相互獨立，D正確.故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.已知是的邊上的一點（不包含頂點），且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用平面對量的線性運算，結(jié)合基本不等式，驗證各選項的結(jié)果.【詳解】是的邊上的一點（不包含頂點），則有，得，即，又，∴，可得，，，，，所以A選項正確，B選項錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，C選項錯誤；，D選項正確.故選：AD10.已知函數(shù)，則（）A.在單調(diào)遞增B.有兩個零點C.曲線在點處切線的斜率為D.奇函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可推斷零點個數(shù)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及奇偶性的定義，對每個選項進行逐一分析，即可推斷和選擇.【詳解】對A：，定義域為，則，由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故A正確；對B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，故只有一個零點，B錯誤；對C：，依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；對D：定義域為，不關(guān)于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯誤.故選：AC.11.已知曲線，直線l過點交于A，B兩點，下列命題正確的有（）A.若A點橫坐標(biāo)為8，則B.若，則的最小值為6C.原點O在AB上的投影的軌跡與直線有且只有一個公共點D.若，則以線段AB為直徑的圓的面積是【答案】BCD【解析】【分析】對A選項將點的橫坐標(biāo)代入，求出點A的坐標(biāo)，進而求出直線方程，聯(lián)立直線及拋物線方程，由弦長即可求出弦長；對B選項作圖可知，過點A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，當(dāng)三點共線時取最小值，即可求得最小值；對C選項依據(jù)題意，得出原點O在AB上的投影的軌跡，聯(lián)立方程由判別式即可推斷公共點的個數(shù)；對D選項設(shè)出AB直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，由結(jié)合得出直線方程，再由弦長公式計算出線段AB的長度即可推斷【詳解】對于A,易得是拋物線焦點，若A點橫坐標(biāo)為8，則，即或，依據(jù)拋物線的對稱性可得兩種狀況計算出的相同，再此取計算.所以l的直線方程是即，直線與相交，聯(lián)立方程得,,得，，故A錯誤；對于B,過點A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)三點共線時取最小值，此時最小值為，故B正確；對于C,設(shè)原點在直線上的投影為，的中點為，因為，所以，所以為直角三角形，所以，依據(jù)幾何性質(zhì)及圓的定義可知點的軌跡方程為，聯(lián)立得，解得，所以直線與只有一個交點，故C正確；對于D,設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得所以，因為，而，所以，所以，所以所以，解得，則，所以，，所以以線段AB為直徑的圓的面積是，故D正確.故選：BCD.12.如圖，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)上述操作（其中），得到四個小正方形，記它們的面積分別為，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【詳解】設(shè)，最大正方形的邊長為1，小正方形的邊長分別為．∵，，，，，所以C正確；，所以，所以B正確，故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的綻開式的常數(shù)項是________（用數(shù)字作答）【答案】240【解析】【分析】依據(jù)二項式的綻開式的通項公式賦值即可求出．【詳解】因為的綻開式的通項公式為，令，解得．所以的綻開式的常數(shù)項是．故答案為：240．【點睛】本題主要考查利用二項式的綻開式的通項公式求指定項，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算實力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知直四棱柱的底面是菱形，，棱長均為4，，的中點分別為、，則三棱錐的體積為______．【答案】【解析】【分析】取的中點，連接、、、、、，即可得到，由題意可得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，最終依據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】解：如圖取的中點，連接、、、、、，明顯且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又是邊長為的菱形且，所以為等邊三角形，則，又，所以，又四棱柱為直棱柱，即平面平面，平面平面，平面，所以平面，且，又，所以.故答案為：15.設(shè)若互不相等的實數(shù)滿意，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，由條件視察圖象確定的范圍，化簡，求其范圍.【詳解】設(shè)，則為方程的解，所以為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點的橫坐標(biāo)，又作函數(shù)和的圖象如下，視察圖象可得，不妨設(shè)，則，所以，，，所以，所以，因為，所以，所以的取值范圍是，故答案為：.16.已知雙曲線C：過點，則其方程為________，設(shè)，分別為雙曲線C的左右焦點，E為右頂點，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設(shè)M，N分別為，的內(nèi)心，則的取值范圍是________．【答案】①.②.【解析】【分析】①將點代入方程中求出，即可得答案；②據(jù)圓的切線長定理和雙曲線的定義可推得，的內(nèi)切圓與軸切于雙曲線的右頂點，設(shè)直線的傾斜角為，可用表示，依據(jù)兩點都在右支上得到的范圍，利用的范圍可求得的取值范圍詳解】①由雙曲線C：過點，所以所以方程為②如圖：設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，所以，所以，又，所以，又，所以與重合，所以的橫坐標(biāo)為，同理可得的橫坐標(biāo)也為，設(shè)直線的傾斜角為.則，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，由題知，...因為兩點在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴.且，，綜上所述，.故①答案為：;【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一問相對簡潔，代點求出即可；其次問難度較大，主要依據(jù)圓的切線長定理和雙曲線的定義推出，的內(nèi)切圓與軸同時切于雙曲線的右頂點,并將用直線的傾斜角表示出來是解題關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，．（1）求角的大小（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）由正弦定理求出，即可得到，再由兩角和的正弦公式求出，最終由面積公式計算可得.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理可得，即，則，又，所以．【小問2詳解】解：因為，，，由，得，即，又，所以，則，所以，所以．18.已知數(shù)列滿意，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，為數(shù)列的前n項和，求．【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推公式證明為定值即可；（2）先由（1）求得數(shù)列的通項，從而可得數(shù)列的的通項，再利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】因為，所以，又，所以是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，故，所以，故，則，兩式相減得，所以.19.如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面PAB是等邊三角形，，，．（1）求證：面面ABCD；（2）設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點，四邊形BEQF是過B，Q兩點的截面，且平面BEQF，是否存在點Q，使得平面平面PAD？若存在，確定點Q的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在點Q，.【解析】【分析】（1）結(jié)合余弦定理，勾股定理可得，又，所以面PAB，進而得出結(jié)論；（2）建立以A為原點的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的法向量，設(shè)，求得平面BEQF的法向量，由得出答案.【小問1詳解】在中，因為，，所以，，所以，則，即，又，，面PAB，所以面PAB，又面ABCD，所以面面ABCD；【小問2詳解】假設(shè)存在點Q，使得平面平面PAD；如圖，以A為原點，分別以，為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)是平面PAD的法向量，則，取，設(shè)，其中．則連接EF，因平面BEQF，平面PAC，平面平面，故，取與同向的單位向量，設(shè)是平面BEQF的法向量，則，?。善矫嫫矫鍼AD，知，有，解得．故在側(cè)棱PD上存在點Q且當(dāng)時，使得平面平面PAD．20.為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，榮造良好的文化氛圍，某中學(xué)校團委組織非畢業(yè)年級開展了“我們的元宵節(jié)”主題學(xué)問競答活動，該活動有個人賽和團體賽，每人只能參與其中的一項，依據(jù)各位學(xué)生答題狀況，獲獎學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計如下：獎項組別個人賽團體賽獲獎一等獎二等獎三等獎高一20206050高二162910550（1）從獲獎學(xué)生中隨機抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自高一的概率；（2）從高一和高二獲獎?wù)咧懈麟S機抽取1人，以表示這2人中團體賽獲獎的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從獲獎學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中來自高一人數(shù)為，來自高二的人數(shù)為，試推斷與的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）干脆利用條件概率公式計算得到答案.（2）得可能取值為0，1，2，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.（3）依據(jù)方差的性質(zhì)得到，得到答案.【小問1詳解】記“任取1名學(xué)生，該生獲得一等獎”為事務(wù)，“任取1名學(xué)生，該生為高一學(xué)生”為事務(wù)，，，故.【小問2詳解】由己知可得，得可能取值為0，1，2，，，的分布列為012p【小問3詳解】

理由：，故，21.已知橢圓，A、F分別為的左頂點和右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)A為直徑的圓與交于M點（其次象限），．（1）求橢圓的離心率e；（2）若，直線，l交于P、Q兩點，直線OP，OQ的斜率分別為，．（?。┤鬺過F，求的值；（ⅱ）若l不過原點，求的最大值．【答案】（1）（2）（?。唬áⅲ窘馕觥俊痉治觥浚?）依據(jù)所給條件求得點M坐標(biāo)，帶入橢圓方程結(jié)合離心率的定義，進行求解即可；（2）設(shè)，，坐標(biāo)分別為，，（?。┮罁?jù)題意求得直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程利用韋達定理干脆求即可；（ⅱ）設(shè)直線l的方程為，（）與橢圓方程聯(lián)立得，利用韋達定理得，，由即可得解.【小問1詳解】由己知點M是以AO為直徑的圓上的點，∴，又∵，，∴，，∴，又∵點M在橢圓上，∴，整理得，∴【小問2詳解】設(shè)，，（ⅰ）由，，∴橢圓的方程為：，在中，∴直線l的斜率為，∴直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，整理得：，∴，，∴，（ⅱ）設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立