廣東署山市順德區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題

Page20廣東省佛山市順德區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每題6分，共48分）1.己知向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（）A.， B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，可得出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，則，故選：C.2.如圖所示，在大小為30°的二面角中，四邊形ABFE和四邊形CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量基本定理寫出向量的表達(dá)式，利用正方形的性質(zhì)和二面角的定義，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解：因?yàn)樗倪呅?，都是邊長為1的正方形，所以有，因?yàn)樗倪呅?，都是邊長為1的正方形，所以有，因?yàn)槎娼谴笮?0°，所以有，因此，因?yàn)?，所以，因此?故選：C.3.平行六面體中，，則該平行六面體的體對(duì)角線的長為（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】由空間向量加法的幾何意義，結(jié)合平行六面體中相關(guān)線段的位置關(guān)系可得，再由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求，進(jìn)而可得的長.【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖，由圖知：，，∴，又，∵，∴，即.故選：A4.已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，、分別為、上的點(diǎn)，且，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將、用、、加以表示，利用空間向量的減法法則可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，由此可求得的值.【詳解】因?yàn)槠矫?，且四邊形為矩形，故、、為空間向量的一個(gè)基底，，故，，則，因此，，所以，，，，所以，.故選：B5.如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面PAB和平面PBC的一個(gè)法向量分別為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，2） B.C. D.【答案】D【解析】分析】依據(jù)空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，，，，分別計(jì)算即可求值.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖：由題意可得，，，，所以，.設(shè)，則，取，可得.因?yàn)?，，所以平面PAB，所以平面平面PAB，所以，所以.綜上所述，A，B，C錯(cuò)，D正確.故選：D6.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取向量為空間向量的一組基底向量，表示出與，再借助空間向量運(yùn)算即可計(jì)算作答.【詳解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，則，而，，于是得，因此，，所以與所成角的大小為.故選：B7.如圖，在棱長為a的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上隨意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的長為定值，則點(diǎn)Q到平面的距離（）A.等于 B.和的長度有關(guān)C.等于 D.和點(diǎn)Q的位置有關(guān)【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)G，連接，利用線面平行推斷出選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.【詳解】取的中點(diǎn)G，連接，則，所以點(diǎn)Q到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，與的長度無關(guān)，B錯(cuò)．又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，即點(diǎn)Q到平面的距離，與點(diǎn)Q的位置無關(guān)，D錯(cuò)．如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，A對(duì)，C錯(cuò)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.8.甲、乙兩人進(jìn)行投壺競賽，競賽規(guī)則：競賽中投中狀況分“有初”“貫耳”“散射”“雙耳”“依竿”五種，其中“有初”算“兩籌”，“貫耳”算“四籌”，“散射”算“五籌”，“雙耳”算“六籌”，“依竿”算“十籌”，投不中算“零籌”，進(jìn)行三場競賽后得籌數(shù)最多者獲勝．假設(shè)每場競賽中甲投中“有初”的概率為，投中“貫耳”的概率為，投中“散射”的概率為，投中“雙耳”的概率為，投中“依竿”的概率為，乙的投擲水平與甲相同，且甲，乙兩人投擲相互獨(dú)立．競賽第一場，兩人平局，其次場，甲投中“貫耳”，乙投中“雙耳”，則三場競賽結(jié)束時(shí)，甲獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】甲要想贏得競賽，在第三場競賽中，比乙至少多得三籌．甲得“四籌”，乙得“零籌”，甲可贏；甲得“五籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，甲可贏；甲得“六籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，甲可贏；甲得“十籌”，乙得“零籌”或“兩籌”、“四籌”、“五籌”、“六籌”，甲都可蠃，由此利用互斥事務(wù)概率加法公式能求出甲獲勝的概率．【詳解】解：由題可知籌數(shù)2456100若甲獲勝，則在第三場競賽中，甲比乙至少多得三籌．分以下四種狀況：①甲得“四籌”，乙得“零籌”，此種狀況發(fā)生的概率；②甲得“五籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，此種狀況發(fā)生的概率；③甲得“六籌”，乙得“零籌”或“兩籌”，此種狀況發(fā)生的概率；④甲得“十籌”，乙得“零籌”或“兩籌”或“四籌”或“五籌”或“六籌”，此狀況發(fā)生的概率，故甲獲勝的概率．故選：D．二、多選題（每題6分，共24分）9.已知空間三點(diǎn)：，設(shè)，則下列命題正確的是（）A.B.在方向上的投影向量等于C.是等邊三角形D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算坐標(biāo)表示可推斷A；依據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得推斷B；計(jì)算、、可推斷C；利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可推斷D，進(jìn)而可得符合題意的選項(xiàng).【詳解】，，，所以，故選項(xiàng)A正確；在方向上的投影向量等于，故選項(xiàng)B不正確；，，，所以是等邊三角形，故選項(xiàng)C正確；，，，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD10.下列命題中，正確的有（）A.空間隨意向量都是共面對(duì)量B.已知，，，四點(diǎn)共面，對(duì)空間隨意一點(diǎn)，若，則C.在四面體中，若，，則D.若向量是空間一組基底，則也是空間的一組基底【答案】ACD【解析】【分析】利用空間向量共面定理及數(shù)量積運(yùn)算，逐一分析推斷即可．【詳解】解：對(duì)于，空間隨意向量都是共面對(duì)量，所以A正確對(duì)于B，已知，，，四點(diǎn)共面，對(duì)空間隨意一點(diǎn)，若則，解得，所以B錯(cuò)誤對(duì)于C，在四面體中，若，，則，所以C正確對(duì)于D，因?yàn)橄蛄渴强臻g一組基底，則對(duì)于空間任一向量，都存在實(shí)數(shù)，，，使得，即，所以也是空間的一組基底，所以D正確．故選：ACD．11.已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，，，，則（）A.B.是平面的法向量C.D.直線與平面所成角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)形式可推斷A的正誤，求出的值可推斷B的正誤，求出的坐標(biāo)后可推斷C的正誤，再求出平面的法向量后可推斷D的正誤.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，?而，所以，故成立，故A正確.，而，故不成立，故B錯(cuò)誤.，而，故不成立，故C錯(cuò)誤.因?yàn)?，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，而，故，故選：AD.12.如圖，正方形的邊長為2，為邊的中點(diǎn)，把和分別沿，折起.使得，兩點(diǎn)重合為一點(diǎn).下列四個(gè)命題正確的是（）A.平面B.直線與直線所成的角為C.二面角的大小為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】AC【解析】【分析】作出圖形，依據(jù)線面、線線位置關(guān)系可推斷A,B，找到二面角的平面角，依據(jù)長度計(jì)算即可知C對(duì)錯(cuò)；然后作，依據(jù)計(jì)算即可.【詳解】如圖，由平面圖形，可知，，又,平面∴平面，又平面可得∴A對(duì)，B錯(cuò)；取的中點(diǎn)，連接，，則，，∴為二面角的平面角，，，，∴，C對(duì)；由C選項(xiàng)知平面，∴平面平面，為交線，在平面中作，交于，則平面，由，求得，∴點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò).故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每題6分，共24分）13.設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事務(wù)，若與互斥，與對(duì)立，且，，則_____________．【答案】【解析】【分析】由與對(duì)立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】與對(duì)立，，與互斥，.故答案為：.14.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參與社區(qū)活動(dòng)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率__________．【答案】；【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由古典概型的概率公式得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)，向量，且，則_____________．【答案】3【解析】【分析】依據(jù)向量可知，依據(jù)可知，由此計(jì)算出，最終求出的坐標(biāo)即可求出模長.【詳解】因?yàn)椋?，所以，可得，所以，所以，故答案為?．16.如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，且平面QPD與平面APD的夾角為，則的面積的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，，利用空間向量法可得出，求出的取值范圍，即可求得的面積的取值范圍.【詳解】平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，由已知條件可得，所以，，即，直線上的點(diǎn)滿意，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為，易知點(diǎn)不在線段上，則，所以，.故答案為：.四、解答題17.如圖，在三棱柱中，平面，分別為的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明，得線面垂直；（2）建立空間之間坐標(biāo)系，利用法向量的夾角的余弦值得二面角的余弦值.【詳解】（1）在三棱柱中，平面，故四邊形為矩形.又分別為的中點(diǎn)，，又，，平面，平面平面.（2）由（1）知，由平面，平面.如圖建立空間直角坐稱系.由題意得，，設(shè)平面的法向量為，，，令，則，所以平面的法向量，又平面的法向量為，.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直的證明和求二面角的大小，關(guān)鍵在于嫻熟駕馭線面垂直的判定定理，利用向量的方法求解二面角的大小須要留意防止計(jì)算出錯(cuò).屬于中檔題.18.溺水?校內(nèi)欺凌等與學(xué)生平安有關(guān)的問題越來越受到社會(huì)的關(guān)注和重視，為了普及平安教化，某市組織了一次學(xué)生平安學(xué)問競賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分.在競賽中，甲?乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問題正確的概率均為，乙隊(duì)每人回答問題正確的概率分別為，，，且兩隊(duì)各人回答問題正確與否相互之間沒有影響.（1）求甲隊(duì)總得分為1分的概率；（2）求甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由對(duì)立事務(wù)概率求法，結(jié)合獨(dú)立事務(wù)的乘法公式、互斥事務(wù)的加法公式求甲隊(duì)總得分為1分的概率、甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率即可.【小問1詳解】記“甲隊(duì)總得分為1分”為事務(wù)B：甲隊(duì)得1分，即三人中只有1人答對(duì)，其余兩人都答錯(cuò)，其概率.∴甲隊(duì)總得分為1分的概率為.【小問2詳解】記“甲隊(duì)總得分為2分”為事務(wù)C，記“乙隊(duì)總得分為1分”為事務(wù)D.事務(wù)C即甲隊(duì)三人中有2人答對(duì)，剩余1人答錯(cuò)，∴事務(wù)D即乙隊(duì)3人中只有1人答對(duì)，其余2人答錯(cuò)，∴.由題意，事務(wù)C與事務(wù)D相互獨(dú)立，∴甲隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為1分的概率.19.如圖所示，正方形所在平面與梯形所在平面垂直，，，，（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，.【解析】【分析】（1）依據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)定理，即可得證.（2）依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可證平面，，即可求得BN長，依據(jù)勾股定理，可證，如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，即可坐標(biāo)，進(jìn)而可求得平面CDM的法向量，依據(jù)線面角的向量求法，即可得答案.（3）設(shè)點(diǎn)，即可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得平面的法向量，由（1）可得平面，所以即為平面的法向量，依據(jù)二面角的向量求法，列出方程，即可求得值，即可得答案.【小問1詳解】因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)?，且，平面AND，平面BMC，所以平面平面BMC，又平面AND，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以平面，又平面，所以，在中，，所以在中，，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：所以，則，設(shè)平面CDM的法向量，則，令，可得，所以一條法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為【小問3詳解】假設(shè)存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，可得，所以一條法向量，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的法向量，所以，即，解得?1（舍），所以，則，所以存在一點(diǎn)E，使得平面與平面的夾角的余弦值為，此時(shí)20.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形BFED為矩形，，平面平面ABCD.（1）求證：平面BDEF；（2）點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面PAB與平面ADE所成的夾角為，試求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【