專題4.1 成比例線段【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題4.1成比例線段【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由成比例線段直接求值】 1【題型2比例尺】 3【題型3由比例的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】 5【題型4由比例的性質(zhì)求參數(shù)的值】 7【題型5由比例的性質(zhì)求代數(shù)的值】 10【題型6由比例的性質(zhì)進(jìn)行證明】 12【題型7由比例的性質(zhì)比較大小】 15【題型8比例的應(yīng)用】 17【題型9由黃金分割求值】 19【題型10黃金分割的應(yīng)用】 24知識(shí)點(diǎn)1：成比例線段1．比例的項(xiàng)：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項(xiàng)，b，c稱為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項(xiàng)，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．【題型1由成比例線段直接求值】【例1】（23-24九年級(jí)·上海寶山·期中）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．2cm，3cm，C．1cm，2cm，【答案】A【分析】根據(jù)比例線段的概念逐項(xiàng)判斷即可解答【詳解】解：A．∵2×6=3×4，∴四條線段成比例，符合題意；B．∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C．∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；D．∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．【變式1-1】（23-24九年級(jí)·廣東梅州·期中）根據(jù)4a=5b，可以組成的比例有（

）A．a(chǎn):b=5:4 B．a(chǎn):b=4:5 C．a(chǎn):4=b:5 D．a(chǎn):5=4:b【答案】A【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵4a=5b，∴a:b=5:4，故選：A．【變式1-2】（23-24九年級(jí)·浙江嘉興·期中）已知a:b=1:2，且a+2b=10．(1)求a、b的值；(2)若c是a、b的比例中項(xiàng)，，求c的值．【答案】(1)a=2，b=4；(2)c=±22【分析】本題考查了比例及比例中項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是正確理解其概念．（1）利用a:b=1:2，可設(shè)a=k，b=2k，則k+4k=10，然后解出k的值即可得到a、b的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到c2=ab，即【詳解】（1）解：∵a:b=1:2，∴設(shè)a=k，b=2k，∵a+2b=10，∴k+4k=10，∴k=2，∴a=2，b=4；（2）∵c是a、b的比例中項(xiàng)，∴c2∴c=±22【變式1-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在Rt△ABC【答案】線段AC，AB，CD，BC成比例，且ABAC【分析】根據(jù)直角三角形的面積公式，得12【詳解】解：線段AC，AB，CD，BC成比例，且ABAC=BC驗(yàn)證如下：根據(jù)三角形的面積公式，得12AB?CD=12AC?BC【點(diǎn)睛】本題以直角三角形為依托，主要考查成比例線段的性質(zhì)，即若ab=cd，則ad=bc，反之也成立，即若ad=bc，則【題型2比例尺】【例2】（2024·江蘇泰州·三模）為了將優(yōu)質(zhì)教育資源更好的惠及廣大人民群眾，某校設(shè)有鳳凰路校區(qū)與春暉路校區(qū)，楊老師欲從鳳凰路校區(qū)騎行去春暉路校區(qū)，用手機(jī)上的地圖軟件搜索時(shí)，顯示兩個(gè)校區(qū)間騎行的實(shí)際路程為2.2km，當(dāng)?shù)貓D上比例尺由1∶1000變?yōu)?∶500時(shí)，則地圖上兩個(gè)校區(qū)的路程增加了cm．【答案】220【分析】本題考查了比例尺的運(yùn)用，掌握比例尺的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例尺=【詳解】解：實(shí)際路程為2.2km當(dāng)比例尺為1:1000時(shí)，圖示距離為2200001000當(dāng)比例尺為1:500時(shí)，圖上距離為220000500∴440?220=220cm故答案為：220．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·江蘇無錫·期末）在某市建設(shè)規(guī)劃圖上，城區(qū)南北長(zhǎng)為120cm，該市城區(qū)南北實(shí)際長(zhǎng)為36km，則該規(guī)劃圖的比例尺是【答案】1:30000【分析】本題主要考查了比例尺．根據(jù)比例尺=圖上距離:實(shí)際距離，列比例式求得這兩地的實(shí)際距離．【詳解】解：根據(jù)題意得：該規(guī)劃圖的比例尺是120cm:36km=120:3600000=1:30000．故答案為：1:30000．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·上海奉賢·期中）如果一幅地圖的比例尺為1:50000，那么實(shí)際距離是3千米的兩地在地圖上的圖距是（

）A．6厘米 B．15厘米 C．60厘米 D．150厘米【答案】A【分析】根據(jù)比例尺的定義：圖上距離與實(shí)際距離的比直接計(jì)算即可得到答案；【詳解】解：∵比例尺為1:50000，實(shí)際距離是3千米，∴圖上距離=300000×(1:50000)=6cm故選：A．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期末）西安市大雁塔廣場(chǎng)占地面積約為667000m2，若按比例尺1∶2000縮小后，其面積大約相當(dāng)于（

）A．一個(gè)籃球場(chǎng)的面積 B．一張乒乓球臺(tái)臺(tái)面的面積C．《華商報(bào)》的一個(gè)版面的面積 D．《數(shù)學(xué)》課本封面的面積【答案】C【分析】利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方，列比例式進(jìn)行求解，再根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活中的物體的面積，即可得出答案．【詳解】設(shè)其縮小后的面積為xm2，則x:667000=(1:2000)2，x=0.16675m2，其面積相當(dāng)于報(bào)紙的一個(gè)版面的面積.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查相似多邊形的性質(zhì)，正確估計(jì)圖形的面積，和生活中的物體聯(lián)系起來是本題的關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)2：比例的性質(zhì)比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當(dāng)時(shí)，.【題型3由比例的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】【例3】（23-24九年級(jí)·江蘇淮安·階段練習(xí)）若xy=3A．x+yy=74 B．x?yy=【答案】B【分析】設(shè)x=3k，y=4k．代入選項(xiàng)計(jì)算結(jié)果，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)x=3k，y=4k，A．x+yyB．x?yyC．4x=4?3k=12k=3?4k=3y，正確，故C選項(xiàng)不符合題意；D．x+2yx故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用換元法進(jìn)行約分消元求值．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·河南平頂山·期中）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．若a4=B．若a?bb=C．若ab=cd=2D．若ab=34，則【答案】D【分析】根據(jù)比例性質(zhì)，化為乘積變形可判斷A正確，利用先化積，再化比例可判定B，利用換元計(jì)算可判斷C，設(shè)比值，取k=1與k≠1，可判斷D．【詳解】解：A、若a4=c5，則5a=4c，而B、若a?bb=16，則6（a﹣b）＝b，故6a＝7C、若ab=cd=23（bD、若ab=34，設(shè)a=3k，b=4k，當(dāng)k=1時(shí)，有a＝3，b＝4，當(dāng)故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查比例性質(zhì)，等積化比例，比例化等積，合分比性質(zhì)，掌握比例性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·山東泰安·期中）若ab=cA．a(chǎn)d=bc B．a(chǎn)C．a(chǎn)db2=【答案】D【分析】把各個(gè)選項(xiàng)依據(jù)比例的基本性質(zhì)和合比性質(zhì)，即可判斷求解．【詳解】A、∵ab=cB、∵ab=cC、∵ab=cd，兩邊平方得：a2故C正確，不合題意；D根據(jù)ab=c故答案為：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷兩個(gè)比例式是否能夠互化的方法，即轉(zhuǎn)化為等積式，及比例的合比性質(zhì)判斷是否相同即可．【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個(gè)社團(tuán)，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團(tuán)的人數(shù)比例．若該校上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)變化，下列敘述何者正確？（

）舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期345下學(xué)期432A．舞蹈社不變，溜冰社減少 B．舞蹈社不變，溜冰社不變C．舞蹈社增加，溜冰社減少 D．舞蹈社增加，溜冰社不變【答案】D【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，則甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的【詳解】由表得知上、下學(xué)期各社團(tuán)人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不變．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)．找出各社團(tuán)人數(shù)占全部人數(shù)的比例是解題的關(guān)鍵．【題型4由比例的性質(zhì)求參數(shù)的值】【例4】（23-24九年級(jí)·河南鄭州·期末）已知2ab+c=2ba+c=A．1 B．±1 C．1或?2 D．2【答案】C【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟悉等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，根據(jù)等比性質(zhì)計(jì)算得出結(jié)果；②當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b=?c，代入k=2c【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，得k=2a+2b+2c②當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b=?c，k=2c綜上所述，k的值為1或?2．故選：C．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）已知a，b，c滿足a+43=b+32=c+84且a+b+c=12【答案】a=5，b=3，c=4【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，設(shè)a+43=b+32=c+84=k，得出a=3k?4，【詳解】解：設(shè)a+43則a=3k?4，b=2k?3，c=4k?8，∴a+b+c=9k?15=12，解得：k=3，∴a=5，b=3，c=4．【變式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年級(jí)?？计谀┮阎猘，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a+b+c=36，a3(1)求線段a，b，c的長(zhǎng)；(2)若線段x是線段a，b的比例中頂（即ax=x【答案】(1)a=9(2)x=6【分析】（1）設(shè)a3=b4=c5=k，則a=3k，b=4k，（2）由題意可直接得出9x=x【詳解】（1）由題意可設(shè)a3=b∵a+b+c=36，∴3k+4k+5k=36，解得：k=3，∴a=9，（2）∵ax∴9x整理，得：x2解得：x=63【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，比例中項(xiàng)的概念．利用“設(shè)k法”是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期中）如果ab=cd=efA．2 B．3 C．13 D．【答案】B【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)求得a=bk,c=dk,e=fk，代入a+c+e=3b+d+f【詳解】解：∵ab∴a=bk,c=dk,e=fk，∵a+c+e=3b+d+f∴bk+dk+fk=3b+d+f∴k=3，故選：B．選D．【題型5由比例的性質(zhì)求代數(shù)的值】【例5】（23-24九年級(jí)·四川眉山·階段練習(xí)）如果x+32=y?13=z?24【答案】?15【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)x+32=y?13=z?24=k，得出x=2k?3，y=3k+1，z=4k+2，再根據(jù)x+y+z=18，求出【詳解】解：設(shè)x+32則x=2k?3，y=3k+1，z=4k+2，∵x+y+z=18，∴2k?3+3k+1+4k+2=18，∴k=2，∴x=1，y=7，z=10，∴2x?y?z=2?7?10=?15；故答案為?15．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·山東青島·期末）已知ab=cd=【答案】25/【分析】先求出2c2d【詳解】解：∵a∴2c∴a+2c故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·陜西西安·期中）已知5a(1)求a+bc(2)若a+b?2c=9，求2a?b+c的值．【答案】(1)4(2)81【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，通過5a=3（1）設(shè)a=5k，b=3k，（2）設(shè)a=5k，b=3k，c=2kk≠0，由a+b?2c=9得到5k+3k?4k=9【詳解】（1）解：∵5a∴可設(shè)a=5k∴a+bc（2）∵5a∴可設(shè)a=5k，∵a+b?2c=9∴5k+3k?4k=9．∴k=9∴2a?b+c=10k?3k+2k=9k=81【變式5-3】（23-24九年級(jí)·四川樂山·期末）已知a、b、c滿足a?12=b+13=【答案】25【分析】設(shè)a?12=b+1【詳解】解：設(shè)a?12∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，∴a2+b2?c2=(2k+1)2+(3k-1)2?(4k+2)2=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4=-3k2-18k-2=-3(k2+6k+9-9)-2=-3(k+3)2+25∵(k+3)2≥0，則-3(k+3)2≤0，∴a2+b2?c2的最大值為25，故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，完全平方公式，掌握配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6由比例的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例6】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期末）已知a，b，c，d為四個(gè)不為0的數(shù)．(1)如果ab=3，求a+bb(2)如果ab=c(3)如果a+cb+d=a【答案】(1)a+bb=4(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了分式的求值，比例的性質(zhì)：（1）先根據(jù)已知條件得到a+bb=ab+1=4，a=3b（2）設(shè)ab=cd=k，則a=kb，c=kd（3）求出bc=ad，進(jìn)而可得ab【詳解】（1）解：∵ab∴a+bb=a∴a?ba+b（2）證明：設(shè)ab=cd=k∴ab?a=kb∴ab?a（3）證明：∵a+cb+d∴ab+bc=ab+ad，∴bc=ad，∴ab【變式6-1】（2024九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）已知ax=by=cz，且1x【答案】見解析【分析】根據(jù)已知設(shè)ax=by=cz=k，分別用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程組即可得出【詳解】設(shè)ax=by=cz=k，從而a=kx，b=k于是a+b+c=k（1x+1又因?yàn)?x+1a3【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算和比例的性質(zhì)，整體代入的思想即將一個(gè)表達(dá)式來表示另外一個(gè)，求出k的值是解題的關(guān)鍵【變式6-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）已知a:b=c:d，且b≠nd，求證：ab【答案】見解析【分析】由a:b=c:d得到ad=bc，則利用等式的基本性質(zhì)得到adn=bcn，ab?adn=ab?bcn，則ab?nd【詳解】解：∵a:b=c:d，∴ad=bc，∴adn=bcn，∴ab?adn=ab?bcn，∴ab?nd∴a【點(diǎn)睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)，等式的基本性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24九年級(jí)·重慶大渡口·期末）材料：思考的同學(xué)小斌在解決連比等式問題：“已知正數(shù)x，y，z滿足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x?y?z的值”時(shí)，采用了引入?yún)?shù)法解；設(shè)y+zxy+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，將以上三個(gè)等式相加，得2x+k+z∵x，y，z都為正數(shù)，∴k=2，即y+zx∴2x?y?z=0.仔細(xì)閱讀上述材料，解決下面的問題：（1）若正數(shù)x，y，z滿足x2y+z=y（2）已知a+ba?b=b+c2b?c=c+a3c?a【答案】（1）k=13【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以解答本題；（2）將題目中的式子巧妙變形，然后化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論成立．【詳解】解：（1）∵正數(shù)x、y、z滿足x2y+z∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），∴x+y+z=3k（x+y+z），∵x、y、z均為正數(shù)，∴k=13（2）證明：設(shè)a+ba?b則a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，∴8a+9b+5c=0．故答案為（1）k=13【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)、等式的基本性質(zhì)，正確理解給出的解題過程是解題的關(guān)鍵．【題型7由比例的性質(zhì)比較大小】【例7】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）若x2=y7=z5，設(shè)A=yx+y+z，B=x+zyA．A>B>C B．A<B<C C．C>A>B D．A<C<B【答案】B【分析】根據(jù)x2【詳解】解：∵x2∴A=yx+y+z=B=x+zy=C=x+y?zx=∴A＜B＜C．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例式用同一個(gè)未知數(shù)得出x，y，z的值進(jìn)而求出是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·浙江杭州·期中）如果a，b，c滿足ba=cb=5?1A．a(chǎn)=b+c B．a(chǎn)>b+c C．a(chǎn)<b+c D．a(chǎn)【答案】A【詳解】解：∵ba=cb=∴c=5?12×5【變式7-2】（2024九年級(jí)·北京西城·專題練習(xí)）已知a2＝b7＝c5≠0，設(shè)x＝1a+b+c，y＝試判斷x，y，z的大小關(guān)系．【答案】z>y>x【詳解】設(shè)a2=b7=∴a=2k，b=7k，c=5k，∴x=ba+b+c=7k14k=y=a+cb=7kz=a+b?ca=4∴z>y>x.【變式7-3】（23-24九年級(jí)·廣東珠?！て谀┮阎猘，b，c，d都是互不相等的正數(shù).（1）若ab=2，cd=2，則bad（2）若ab=cd,（3）令ac=bd=t,【答案】（1）=；=；（2）ba+b=dc+d【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，（2）設(shè)ab=t，則cd=t，得到a=bt，（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化簡(jiǎn)后解方程即可得出結(jié)論.【詳解】（1）∵ab=2，∴a=2b，c=2d，∴ba=d故答案為：=；（2）ba+b=d設(shè)ab=t，則∴a=bt，c=dt，∴ba+bdc+d∴ba+b=d（3）∵ac∴a=ct，b=dt.∵2a+ca?c∴2t+1t?1解得：t=12經(jīng)檢驗(yàn)：t=12【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及解分式方程.設(shè)參法是解答本題的關(guān)鍵.【題型8比例的應(yīng)用】【例8】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以O(shè)為支點(diǎn)，木棍OA所受的重力為G．根據(jù)杠桿原理，在A處需一豎直向上的拉力F才能保持木棍不動(dòng)，若向上的拉力F與重力G大小之比為3:7，OD=6cm，則CD的長(zhǎng)為

【答案】8cm【分析】根據(jù)杠桿平衡原理可得G×OD=F×OC，則ODOC=FG=【詳解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，根據(jù)杠桿平衡原理，可得G×OD=F×OC，∴ODOC解得OC=73OD=∴CD=OC?OD=8cm故答案為：8cm【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)、杠桿平衡原理，正確列式和計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2024春·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┰谕粫r(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例，小華量得綜合樓的影長(zhǎng)為6米，同一時(shí)刻她量得身高1.6米的同學(xué)的影長(zhǎng)為0.6米，則可知綜合樓高為_______．【答案】16米

【解析】【分析】本題考查的是比例線段的應(yīng)用有關(guān)知識(shí)，本根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例可得，同學(xué)身高∶同學(xué)影長(zhǎng)=綜合樓高∶綜合樓影長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)綜合樓高為x米，即

1.6解得x=16．答：綜合樓高為16米．【變式8-2】（2024春·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期中）裝修一間客廳，用邊長(zhǎng)5分米的方磚鋪地，需要80塊，如果改用邊長(zhǎng)4分米的方磚鋪地，需要多少塊？【答案】解：設(shè)改用邊長(zhǎng)4分米的方磚，需要x塊，

4×4×x=5×5×80

16x=2000

x=125．

答：改用邊長(zhǎng)4分米的方磚，需要125塊．

【解析】此時(shí)考查比例性質(zhì)，此題的關(guān)鍵是明白房子的地面面積一定，方磚的面積與方磚的塊數(shù)成反比．房子的地面面積一定，方磚的面積與方磚的塊數(shù)成反比，據(jù)此可列比例解答即可．【變式8-3】（2024春·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谥校﹪?guó)家會(huì)展中心(上海)坐落于虹橋商務(wù)區(qū)核心區(qū)西部，與虹橋機(jī)場(chǎng)的直線距離僅有2.5公里，總建筑面積147萬平方米，地上建筑面積127萬平方米，是目前世界上面積第二大的建筑單體和會(huì)展綜合體.小明在地圖上量得國(guó)家會(huì)展中心(上海)距離虹橋機(jī)場(chǎng)的直線距離為0.5厘米，而量得國(guó)家會(huì)展中心(上海)與浦東機(jī)場(chǎng)的直線距離為9.7厘米，那么國(guó)家會(huì)展中心(上海)與浦東機(jī)場(chǎng)的實(shí)際直線距離有多少公里？(運(yùn)用比例解答【答案】解：設(shè)國(guó)家會(huì)展中心(上海)與浦東機(jī)場(chǎng)的實(shí)際直線距離有x公里，依題意有：

2.5：0.5=x：9.7，

解得x=48.5．

答：國(guó)家會(huì)展中心(上海)與浦東機(jī)場(chǎng)的實(shí)際直線距離有48.5公里．

【解析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，列出比例式，求解即可得出國(guó)家會(huì)展中心(上海)與浦東機(jī)場(chǎng)的實(shí)際直線距離有多少公里．

此題主要考查了比例線段，掌握比例尺=圖上距離知識(shí)點(diǎn)3：黃金分割若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對(duì)于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）【題型9由黃金分割求值】【例9】（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，在如圖所示的正五角星中，以A、B、C、D、E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，其余各點(diǎn)都是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列4個(gè)結(jié)論：①∠A=36°，②PB=5?12PE，③請(qǐng)?zhí)顚懩阏J(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)：．【答案】①②③【分析】先討論頂角為36°和108°的等腰三角形中的黃金分割關(guān)系，再在題中的所給圖形中分析出頂角為36°和108°的等腰三角形，逐個(gè)判斷即可．本題考查了正多邊形與圓，準(zhǔn)確掌握正多邊形的相關(guān)性質(zhì)及黃金分割的比例關(guān)系，并能準(zhǔn)確的計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖1，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=36°，∠C=∠BDC=72°，∴△ABC和△BCD為相似的等腰三角形，設(shè)AC=1，AD=BD=BC=x，∴CD=1?x，由相似得：1?xx∴x=5∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，即：CDAD=AD∵BC=AD，∴BCAC如圖2，△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠B=∠C=36°，∠CAD=∠CDA=72°，∴△ABD和△ABC為相似的等腰三角形，設(shè)BC=1，CD=AC=AB=x，則BD=AD=1?x，由相似得：1?xx∴x=5∴點(diǎn)D是線段BC的黃金分割點(diǎn)，即：BDCD=CD∵CD=AB，∴ABBC如圖，連接AB、BC、CD、DE、AE，∴五邊形ABCDE為正五邊形，∠ABC=∠BAE=∠AED=108°，∵AB=BC=AE=DE，∴∠BAC=∠EAD=36°，∴∠CAD=36°，故①正確；易證：∠ABP=∠BAP=36°，∠EAP=∠EPA=72°，∴△ABP和△ABE為相似的等腰三角形，由圖2得：PBPE∴PB=5由題得△AET和△AED為相似的等腰三角形，由圖2得：ATAD∴AT=3?∵PA=AT，∴AP=3?在△APT中，∠PAT=36°，AT=AT，由圖1得：PTPA即：PT=5故答案為：①②③．【變式9-1】（23-24九年級(jí)·河北保定·期末）如圖，已知點(diǎn)C，D都是線段AB的黃金分割點(diǎn)，如果CD=4，那么AB的長(zhǎng)度是（）A．25?2 B．6?25 C．8+4【答案】C【分析】本題主要考查了黃金分割，不妨設(shè)點(diǎn)C靠近A，點(diǎn)D靠近B，則由黃金分割比例得到AD=5?12AB，【詳解】解：∵點(diǎn)C，D都是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴不妨設(shè)點(diǎn)C靠近A，點(diǎn)D靠近B，∴AD=5?12∵CD=4，∴5?1解得AB=8+45故選：C．【變式9-2】（23-24九年級(jí)·山東青島·期末）射影中有一種拍攝手法叫黃金分割構(gòu)圖法，其原理是：如圖，將正方形ABCD的邊BC取中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，線段OD為半徑作圓，其與邊BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，這樣就把正方形ABCD延伸為黃金矩形ABEF，若CE=4，則AB=．【答案】2+25/【分析】本題考查了黃金分割，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，設(shè)AB=x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=x，則BE=x+4，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得ABBE=5【詳解】解：設(shè)AB=x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=x，∵CE=4，∴BE=BC+CE=x+4，∵四邊形ABEF是黃金矩形，∴ABBE∴xx+4解得：x=25經(jīng)檢驗(yàn)：x=25∴AB=25故答案為：25【變式9-3】（23-24九年級(jí)·河南許昌·期末）如圖，已知線段AB=2，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12AB，連接AD，在AD上截取DE=BD；在AB上截取AC=AE，則【答案】5【分析】先求得BD=1，再根據(jù)所給作圖步驟，分別求出出AC和AB即可解決問題．本題主要考查了黃金分割，能根據(jù)題中所給作圖步驟，理清各線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵BD=12AB∴BD=1，在Rt△ABDAD=1因?yàn)镈E=DB=1，所以AE=AD?DE=5所以AC=AE=5所以AC:AB=5故答案為：5【題型10黃金分割的應(yīng)用】【例10】（2024九年級(jí)·黑龍江大慶·學(xué)業(yè)考試）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5?12（5?12≈0.618，稱為黃金分割比例），如圖，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是5?12A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【分析】設(shè)某人身高為mcm，脖子下端至肚臍的長(zhǎng)度為ncm，由腿長(zhǎng)為105cm，可得m?105105>5?12≈0.618，解得【詳解】解：設(shè)某人身高為mcm，脖子下端至肚臍的長(zhǎng)度為ncm，則由腿長(zhǎng)為105cm，可得m?1