專題3.1 概率的進(jìn)一步認(rèn)識【十大題型】-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題3.1概率的進(jìn)一步認(rèn)識【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1事件的分類】 1【題型2可能性的大小】 3【題型3簡單概率的計(jì)算】 5【題型4幾何概率】 7【題型5游戲的公平性】 10【題型6概率在比賽中的運(yùn)用】 14【題型7概率在抽獎(jiǎng)中的運(yùn)用】 19【題型8概率的其它實(shí)際應(yīng)用】 25【題型9用頻率估計(jì)概率】 28【題型10概率與統(tǒng)計(jì)的綜合】 31知識點(diǎn)1：事件的分類在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件。必然事件與不可能事件就是否會發(fā)生，就是可以事先確定的，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件?！绢}型1事件的分類】【例1】（23-24九年級·陜西西安·期末）有兩個(gè)事件，事件A：3人中至少有2人性別相同；事件B：拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)．下列說法正確的是（

）A．事件A、B都是隨機(jī)事件 B．事件A、B都是必然事件C．事件A是隨機(jī)事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是隨機(jī)事件【答案】D【分析】本題考查了事件的分類，根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．【詳解】事件A：3人中至少有2人性別相同是必然事件，事件B：拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)是隨機(jī)事件，∴事件A是必然事件，事件B是隨機(jī)事件，故選：D．【變式1-1】（23-24九年級·江蘇宿遷·期末）小明和小麗按如下規(guī)則做游戲：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者獲勝．若由小明先取，且小明一定獲勝，則小明第一次取走火柴棒的根數(shù)是．【答案】2【分析】本題考查了必然事件．判斷出使兩人所取的根數(shù)之和為3是解題的關(guān)鍵．由題意知，小明第一次取2根，然后保證第二次所取的根數(shù)和小麗所取的根數(shù)和為3，則小明必然要取到第17根．【詳解】解：由題意知，小明第一次取2根，然后保證第二次所取的根數(shù)和小麗所取的根數(shù)和為3，則小明必然要取到第17根火柴，小明一定獲勝，∴小明先取，第一次取走2根，故答案為：2．【變式1-2】（23-24九年級·河南平頂山·期末）下列說法不正確的是（）A．“過一點(diǎn)可以作兩條直線與已知直線垂直”是不可能事件B．“三角形的一條中線平分三角形的面積”是必然事件C．“以三條長度為連續(xù)正整數(shù)的線段為邊可以構(gòu)成三角形”是隨機(jī)事件D．“兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是必然事件【答案】D【分析】利用隨機(jī)事件以及必然事件的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷得出答案．【詳解】解：A、“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、“三角形的一條中線平分三角形的面積”正確，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、“以三條長度為連續(xù)正整數(shù)的線段為邊可以構(gòu)成三角形”是隨機(jī)事件，比如三條長度為3，4，5的可以構(gòu)成三角形，三條長度為1，2，3不可以構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；D、“兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是隨機(jī)事件，如果兩邊夾角，即SAS，那么兩個(gè)三角形全等，如果兩邊不夾角，那么兩個(gè)三角形不全等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了必然事件和隨機(jī)事件的定義，正確把握相關(guān)事件的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2024·寧夏石嘴山·一模）如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A、B、C、D和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)A、B或同時(shí)閉合開關(guān)C、D都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個(gè)事件是隨機(jī)事件的是（）A．只閉合1個(gè)開關(guān) B．只閉合2個(gè)開關(guān)C．只閉合3個(gè)開關(guān) D．閉合4個(gè)開關(guān)【答案】B【分析】本題考查事件分類的判斷，根據(jù)題意及事件的分類進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A、只閉合1個(gè)開關(guān)，小燈泡不會發(fā)光，屬于不可能事件，不符合題意；B、只閉合2個(gè)開關(guān)，小燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，是隨機(jī)事件，符合題意；C、只閉合3個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會發(fā)光，是必然事件，不符合題意；D、閉合4個(gè)開關(guān)，小燈泡一定會發(fā)光，是必然事件，不符合題意；故選：B．知識點(diǎn)2：可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小。不同的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小有可能不同?！绢}型2可能性的大小】【例2】（23-24九年級·江蘇南京·期中）九年級（1）班有40位同學(xué)，他們的學(xué)號是1?40，隨機(jī)抽取一名學(xué)生參加座談會，下列事件：①抽到的學(xué)號為奇數(shù)；②抽到的學(xué)號是個(gè)位數(shù)；③抽到的學(xué)號不小于35．其中，發(fā)生可能性最小的事件為（填序號）．【答案】③【分析】分別求出三個(gè)事件的可能性，再比較大小即可得到答案．【詳解】解：①抽到的學(xué)號是奇數(shù)的可能性為2040②抽到的學(xué)號是個(gè)位數(shù)的可能性為940③抽到的學(xué)號不小于35的可能性為640∵3∴發(fā)生可能性最小的事件為為③，故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本可能性的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式2-1】（16-17九年級·全國·課后作業(yè)）在某次花樣滑冰比賽中，發(fā)生裁判受賄事件，競賽委員會決定將裁判由原來的9名增加到14人，其中任取7名裁判的評分作為有效分，這樣做的目的是．【答案】減少有效分中有受賄裁判評分的可能性【詳解】若有1人受賄,則原先有受賄裁判評分的概率是79,現(xiàn)在有受賄裁判評分的概率為7【變式2-2】（2024·江西南昌·一模）袋中有紅球4個(gè)，白球若干個(gè)，它們只有顏色上的區(qū)別．從袋中隨機(jī)地取出一個(gè)球，如果取到白球的概率較大，那么袋中白球的個(gè)數(shù)可能是（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)概率公式求出白球的取值范圍即可得出結(jié)論．【詳解】解：若要使取到白球的概率較大，則白球的個(gè)數(shù)＞紅球的個(gè)數(shù)由各選項(xiàng)可知，只有D選項(xiàng)符合故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是比較概率的大小，掌握概率公式是解決此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24九年級·四川達(dá)州·期末）不透明的袋子中裝有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)藍(lán)球，每個(gè)球除顏色不同外其它都相同，從中任意摸出一個(gè)球，則摸出球的可能性最?。敬鸢浮奎S【分析】本題主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例時(shí)，應(yīng)注意記清各自的數(shù)目．分別求出摸出各種顏色球的概率，即可比較出摸出何種顏色球的可能性最?。驹斀狻拷猓阂?yàn)榇又杏?個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)藍(lán)球，從中任意摸出一個(gè)球，①為紅球的概率是412②為黃球的概率是312③為藍(lán)球的概率是512512∴可見摸出黃球的概率最小．故答案為：黃．知識點(diǎn)3：概率一般地，對于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=mn。由m與n的含義可知0≤m≤n，因此0≤m當(dāng)A為必然事件時(shí)，P（A）=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P（A）=0.【題型3簡單概率的計(jì)算】【例3】（23-24九年級·四川綿陽·期末）在2，3，12，32四個(gè)數(shù)中任取其中兩個(gè)數(shù)相乘，乘積為有理數(shù)的概率等于（

）A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算和概率的計(jì)算，關(guān)鍵在于計(jì)算要準(zhǔn)確，并明確概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．分別取出兩數(shù)，求出兩數(shù)的乘積，根據(jù)概率的求法，即可得答案．【詳解】解：在2，3，12=23，則分別為2×2×2×3×3×12×所以乘積為正有理數(shù)的概率等于26故選：B．【變式3-1】（23-24九年級·四川宜賓·期末）一個(gè)不透明的口袋中裝有若干個(gè)除顏色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只裝有3個(gè)紅球，且摸到紅球的概率為14，那么口袋中小球的總數(shù)為（

A．4 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】本題考查隨機(jī)事件與概率以及概率的應(yīng)用，運(yùn)用概率公式即可計(jì)算.【詳解】解：口袋中小球的總數(shù)為：3÷1故選C.【變式3-2】（23-24九年級·湖北武漢·期末）某路口的人行造交通信號燈每分鐘紅燈亮25秒，綠燈亮30秒，黃燈亮5秒，當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇到紅燈的概率是．【答案】5【分析】本題考查了概率，根據(jù)題意和概率公式即可得，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵每分鐘紅燈亮25秒，綠燈亮30秒，黃燈亮5秒，∴當(dāng)小明到達(dá)該路口時(shí)，遇到紅燈的概率：2525+30+5故答案為：512【變式3-3】（23-24九年級·四川南充·期末）如圖，有4張除圖案不同外其余完全相同的卡片，現(xiàn)將這些卡片有圖案的一面朝下洗勻，隨機(jī)抽取1張，抽到的卡片上的圖案可以作為一個(gè)正方體平面展開圖的概率為．【答案】3【分析】此題主要考查了概率公式和正方體展開圖，能圍成正方體的有3種，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算,即可得出答案，解題的關(guān)鍵是掌握概率的計(jì)算公式．【詳解】如圖可得到，除了第三個(gè)圖外，剩下的3個(gè)圖都能圍成正方體，故隨機(jī)抽出一張，上面的圖案能夠圍成一個(gè)正方體的概率是34故答案為：34【題型4幾何概率】【例4】（23-24九年級·山東煙臺·期末）如圖，連接正六邊形ABCDEF的對角線BE，CE，交對角線AD于點(diǎn)M，N．一只螞蟻在正六邊形內(nèi)隨機(jī)爬行，則它停留在陰影部分的概率是（

）A．12 B．23 C．714【答案】D【分析】本題主要考查幾何概率的知識，根據(jù)陰影部分面積占正六邊形ABCDEF面積的比例得出概率是解題的關(guān)鍵，將對角線和EF,BC的中點(diǎn)連接，設(shè)△NDE的面積為a，則正六邊形ABCDEF的面積為12a，陰影的面積為7a，利用幾何概率即可求得答案．【詳解】解：作如圖所示連接，設(shè)△NDE的面積為a，則正六邊形ABCDEF的面積為12a，陰影的面積為7a，那么，一只螞蟻在正六邊形內(nèi)隨機(jī)爬行，則它停留在陰影部分的概率是7a12a故選∶D．【變式4-1】（23-24九年級·山東威海·期末）如圖，飛鏢游戲板被等分成若干個(gè)相同的小正方形，某位同學(xué)向游戲板投擲飛鏢，假設(shè)飛鏢落在游戲板上每個(gè)點(diǎn)的概率相同，則落在涂色部分的概率為．【答案】14/【分析】本題考查了幾何概率的應(yīng)用,屬于簡單題,用涂色部分的面積除以圖形總面積即可得到答案.【詳解】解：涂色部分的面積為1×1+1×2+1×1+1×2=6，∴飛鏢落在涂色部分的概率=6故答案為：1【變式4-2】（2024·山東臨沂·一模）如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構(gòu)成的．若向圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為（）A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】計(jì)算出黑色區(qū)域的面積與整個(gè)圖形面積的比，利用幾何概率的計(jì)算方法解答即可．【詳解】解：∵根據(jù)題意得：S總∴黑色區(qū)域的面積S黑∴飛鏢落在黑色區(qū)域的概率為13故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率，首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．【變式4-3】（23-24九年級·山西大同·期末）如圖，△ABC的面積為10cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP，垂足為P，連接CP，若三角形內(nèi)有一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在△BPCA．12 B．13 C．23【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形，三角形的面積，概率．熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積公式，概率公式，是解決問題的關(guān)鍵．由角平分線和垂線證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，【詳解】延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBFBP=BP∴△ABP≌△EBPASA∴AP=PE，∴S△ABP=S∴S△PBC∴點(diǎn)M落在△BPC內(nèi)（包括邊界）的概率為，S△PBC故選：A．知識點(diǎn)4：用列表法、樹狀圖法求概率列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)得結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)的次數(shù)與方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)與方式，并求出概率的方法。樹狀圖法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多得因素時(shí)，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)得總次數(shù)不就是很大時(shí)求概率得方法。（2）在用列表法與樹形圖法求隨機(jī)事件得概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)得可能性務(wù)必相同。【題型5游戲的公平性】【例5】（23-24九年級·新疆吐魯番·期末）小明和小亮玩一個(gè)游戲：取三張大小、質(zhì)地都相同的卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字2、3、4（背面完全相同），現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下．小明從中任意抽取一張，記下數(shù)字后放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一張，計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和．(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出這兩數(shù)和為6的概率．(2)如果和為奇數(shù)，則小明勝；若和為偶數(shù)，則小亮勝．你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對雙方公平嗎？做出判斷，并說明理由．【答案】(1)13(2)這個(gè)游戲規(guī)則對雙方不公平，理由見解析．【分析】（1）列出表格，根據(jù)表格即可求解；（2）分別求出和為奇數(shù)和偶數(shù)的概率即可判斷求解；本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，游戲的公平性，掌握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：列表如下：23422+2=42+3=52+4=633+2=53+3=63+4=744+2=64+3=74+4=8由表可知，共有9種等結(jié)果，其中和為6的結(jié)果有3種，∴這兩數(shù)和為6的概率為39（2）解：這個(gè)游戲規(guī)則對雙方不公平，理由如下：由表可得，P和為奇數(shù)=4∵49∴這個(gè)游戲規(guī)則對雙方不公平．【變式5-1】（23-24九年級·海南儋州·期末）某校2024年元旦晚會上，九年級共有20名同學(xué)參加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人．(1)若從這20人中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員，則選到女生的概率為；(2)若某項(xiàng)志愿工作只在甲、乙兩人選一人，他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰參加，游戲規(guī)則如下：將3張牌面數(shù)字分別為1、2、3的撲克牌洗勻后，數(shù)字朝下放于桌面，甲從中任取1張，記錄后放回，乙再從中任取1張，若牌面數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲參加，否則乙參加，試問這個(gè)游戲公平嗎？請用樹狀圖或列表法說明理由．【答案】(1)1(2)游戲不公平，見解析【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)人的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）直接利用概率公式求出即可；（2）利用樹狀圖表示出所有可能的結(jié)果數(shù)和牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，進(jìn)而利用概率公式求出即可．【詳解】（1）解：∵共20名志愿者，女生5人，∴選到女生的概率是：520（2）解：不公平，根據(jù)題意畫樹狀圖如圖：由圖可知，所有可能的結(jié)果共有9種情況，和為偶數(shù)的情況有5種，∴牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是59∴甲參加的概率是59，乙參加的概率是1?∵59∴這個(gè)游戲不公平．【變式5-2】（23-24九年級·廣東韶關(guān)·期末）一個(gè)不透明的袋中裝有3個(gè)小球，分別標(biāo)有數(shù)字?2、3、?4，這些小球除所有標(biāo)數(shù)字不同外，其余完全相同，小明從中任意摸出一球，所標(biāo)數(shù)字記為x，另有4張背面完全相同，正面分別標(biāo)有數(shù)字3、?1、?4、5的卡片，小亮將其混合后，背面朝上放置于桌面，并從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的數(shù)字記為y．(1)若以x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，求點(diǎn)Ax,y(2)小明和小亮做游戲，規(guī)則是若點(diǎn)Ax,y落在第二象限，則小明贏；若A【答案】(1)1(2)公平，理由見解析【分析】本題主要考查了列舉法求概率，正確作出樹狀圖是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意作出樹狀圖，根據(jù)樹狀圖求解即可；（2）結(jié)合柱狀圖求出Ax,y【詳解】（1）（1）列樹狀圖如下，由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，符合條件的情況有4種，所以P點(diǎn)（2）公平，理由如下：由（1）樹狀圖可得，P點(diǎn)P點(diǎn)所以游戲公平．【變式5-3】（2024·山東青島·模擬預(yù)測）在學(xué)校開展的數(shù)學(xué)活動課上，小明、小紅和小剛制作了一個(gè)正三棱錐(質(zhì)量均勻，4個(gè)面完全相同)，并在各個(gè)面上分別標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，游戲規(guī)則如下：小明和小剛投擲三棱錐各1次，并記錄底面的數(shù)字，如果兩次投擲所得底面數(shù)字相等，那么重新投擲；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5，那么小明贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5，那么小紅贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5，那么小剛贏．(1)投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是事件(填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”)；投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為．(2)請用列表或畫樹狀圖的方法表示上述游戲中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分別求出小明、小紅和小剛贏的概率，并判斷此游戲?qū)θ耸欠窆剑敬鸢浮?1)隨機(jī)，1(2)此游戲?qū)θ耸枪降摹痉治觥勘绢}考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了列表法與樹狀圖法．（1）根據(jù)題意在表格內(nèi)列舉出所有情形，找出所有等可能的情況數(shù)，得出投擲兩次，底面數(shù)字和為5的情況即可求解；（2）根據(jù)題意列出表格，分別求出三人獲勝得概率，比較即可得到游戲公平與否．【詳解】（1）解：投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是隨機(jī)事件；列表如下：12341345235634574567從上表可知，共有12種等可能的情況，投擲兩次，底面數(shù)字和為5的情況有4種，故投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為412故答案為：隨機(jī)，13（2）由（1）可知，兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5的情況有4種，則小明贏的概率為412兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5的情況有4種，則小紅贏的概率為412兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5的情況有4種，則小剛贏的概率為412故此游戲?qū)θ耸枪降模绢}型6概率在比賽中的運(yùn)用】【例6】（23-24九年級·全國·單元測試）小軍與小玲共同發(fā)明了一種“字母棋”，進(jìn)行比勝負(fù)的游戲。他們用四個(gè)字母做成10枚棋子，如圖，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戲規(guī)則如下：①游戲時(shí)兩人各摸一枚棋子進(jìn)行比賽稱為一輪比賽，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A勝棋子B、棋子C，棋子B勝棋子C、棋子D，棋子C勝棋子D，棋子D勝棋子A；③相同棋子不分勝負(fù)．

(1)若小玲先摸，則小玲摸到棋子C的概率是多少?(2)已知小玲先摸到了棋子C，小軍在剩余的9枚棋子中隨機(jī)摸一枚，這一輪小玲勝小軍的概率是多少?(3)當(dāng)小玲摸到什么棋子時(shí)，勝小軍的概率最大?【答案】(1)3(2)小玲勝小軍的概率是4(3)當(dāng)小玲摸到棋子B時(shí)，勝小軍的概率最大【分析】（1）畫出樹狀圖，根據(jù)概率公式進(jìn)行作答即可；（2）已知小玲先摸到了棋子C，還剩9枚棋子，因?yàn)槠遄覥勝棋子D，只有４枚棋子，即可知道這一輪小玲勝小軍的概率；（3）分情況討論，根據(jù)概率的大小即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖：

共有10個(gè)等可能的結(jié)果，小玲摸到棋子C的結(jié)果有3個(gè)，所以若小玲先摸，則小玲摸到棋子C的概率是310（2）解：因?yàn)樾×嵯让搅似遄覥，若小軍在剩余的9枚棋子中隨機(jī)摸一枚，那小軍摸到棋子的結(jié)果有9個(gè)，只有當(dāng)小軍摸到棋子D，此時(shí)小玲勝小軍，所以這一輪小玲勝小軍的概率為49（3）解：①若小玲摸到A棋，小軍摸到B，C棋，小玲勝，∴小玲勝小軍的概率是59②若小瑩摸到B棋，小軍摸到D，C棋，小玲勝，∴小玲勝小軍的概率是79③若小玲摸到C棋，小軍摸到D棋，小玲勝，小玲勝小軍的概率是49④若小玲摸到D棋，小軍摸到A棋，小玲勝，∴小玲勝小軍的概率是19∵79>5【點(diǎn)睛】本題考查了樹狀圖法以及概率公式，正確掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級·四川眉山·期末）學(xué)?！八囆g(shù)節(jié)”期間，初三一班的小明、小亮都想去參加歌唱比賽，但每個(gè)班只有一個(gè)名額．他們決定采用摸球的辦法確定誰去．規(guī)則如下：將四個(gè)完全相同的乒乓分別標(biāo)注數(shù)字1、2、3、4放在一個(gè)不透明的盒子里，隨機(jī)摸出一個(gè)球不放回；再隨機(jī)摸出一個(gè)．如果摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明去；如果兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，則小亮去．(1)請用列表或畫樹狀圖的方法求出摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率；(2)你認(rèn)為這個(gè)規(guī)則公平嗎？請說明理由．【答案】(1)2(2)不公平，理由見解析【分析】對于（1），列表表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率公式得出答案；對于（2），求出兩個(gè)球上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率，比較得出答案．【詳解】（1）列表如下：123412+1=33+1=44+1=521+2=33+2=54+2=631+3=42+3=54+3=741+4=52+4=63+4=7一共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，兩個(gè)數(shù)之和是奇數(shù)的有8種，所以兩個(gè)數(shù)之和是奇數(shù)的概率是812（2）游戲不公平，理由如下：小明獲勝的概率是23，小亮獲勝的概率是1由23【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表（樹狀圖）求概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2024·新疆·二模）一個(gè)智力挑戰(zhàn)賽需要全部答對兩道單項(xiàng)選擇題，才能順利通過第一關(guān).第一道題有4個(gè)選項(xiàng)，第二道題有3個(gè)選項(xiàng)，這兩道題小新都不會，不過小新還有一個(gè)“求助卡”沒有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)．（1）如果小新在第--題使用“求助卡”，請用樹狀圖或者列表來分析小新順利通過第一關(guān)的概率；（2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么．【答案】（1）19【分析】（1）畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）如果小新在第二題使用“求助卡”，畫樹狀圖展示所有8種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小新都選對的結(jié)果數(shù)，利用概率公式計(jì)算出小新順利通過第一關(guān)的概率，然后比較兩個(gè)概率的大小可判斷小新在第幾題使用“求助卡“．【詳解】解:（1）列樹狀圖如下:共有9種等可能的結(jié)果，其中兩道題都正確的結(jié)果有1個(gè)，所以小新順利通過第一關(guān)的概率為1（2）建議小明在第二題使用“求助卡”，若第二題使用“求助卡”，可列樹狀圖如下:此時(shí)小新順利通過第一關(guān)的概率為1因?yàn)?8所以建議小新在第二題使用“求助卡”【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．【變式6-3】（23-24九年級·遼寧營口·階段練習(xí)）某體育館有A，B兩個(gè)入口，每個(gè)入口有3個(gè)通道可同時(shí)通行，C，D，E三個(gè)出口，其中C、D出口有2個(gè)通道，E出口只有一個(gè)通道，每個(gè)通道在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可通行100人，規(guī)定：觀眾進(jìn)館時(shí)須持票任意從兩個(gè)入口進(jìn)入，出館時(shí)只可任意從三個(gè)出口離開．甲、乙、丙三名觀眾分別從兩個(gè)入口中隨機(jī)選擇一個(gè)入口進(jìn)入．(1)求甲從A口進(jìn)入，C口離開的概率；(2)求甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進(jìn)館的概率．(3)學(xué)校有七、八、九三個(gè)年級的學(xué)生進(jìn)場觀看比賽，九年級80人，九年級150人，九年級160人，比賽結(jié)束后，為了能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)使所有同學(xué)都能有序離開，請你合理安排七、八、九三個(gè)年級的學(xué)生從C、D、E三個(gè)出口（每個(gè)年級的學(xué)生走同一個(gè)出口）離開（安排一種即可），并說明理由．【答案】(1)1(2)1(3)九年級走E出口，八九年級走C、D出口，理由見解析【分析】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．（1）畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中甲從A口進(jìn)入，C口離開的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有8種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進(jìn)館的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可；（3）滿足題意的方案即可．【詳解】（1）解：（1）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中甲從A口進(jìn)入，C口離開的結(jié)果有1種，

∴甲從A口進(jìn)入，C口離開的概率為16（2）畫樹狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進(jìn)館的結(jié)果有2種，

∴甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進(jìn)館的概率為28（3）九年級走E出口，八九年級走C、D出口．理由：因?yàn)榫拍昙?0人，九年級150人，九年級160人，又因?yàn)镃、D出口有2個(gè)通道，E出口只有一個(gè)通道，且每個(gè)通道在規(guī)定時(shí)間內(nèi)可通行100人，所以按九年級走E出口，八九年級走C、D出口方案，能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)使所有同學(xué)都能有序離開．【題型7概率在抽獎(jiǎng)中的運(yùn)用】【例7】（23-24九年級·山西長治·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐【問題再現(xiàn)】(1)有這樣一道概率題：如圖1，這是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在藍(lán)色區(qū)域和橙色區(qū)域的概率分別是多少？請你解答．【類比設(shè)計(jì)】(2)在元旦晚會上班長想設(shè)計(jì)一個(gè)搖獎(jiǎng)轉(zhuǎn)盤．請你在圖2中設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動這個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)它停止轉(zhuǎn)動時(shí)，三等獎(jiǎng)：指針落在紅色區(qū)域的概率為12，二等獎(jiǎng)：指針落在白色區(qū)域的概率為13，一等獎(jiǎng)：指針落在黃色區(qū)域的概率為【拓展運(yùn)用】(3)在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設(shè)立轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被平均分為10份，顧客每消費(fèi)200元轉(zhuǎn)動1次，對準(zhǔn)紅1份，黃2份、綠3份區(qū)域，分別得獎(jiǎng)金100元、50元、30元購物券，求轉(zhuǎn)動1次所獲購物券的平均數(shù)．【答案】(1)P（藍(lán)色區(qū)域）=14，P(2)見解析(3)29元【分析】（1）根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將轉(zhuǎn)盤均分成6份，根據(jù)概率求出各種顏色所占份數(shù)，即可得解；（3）利用對準(zhǔn)紅、黃、綠的概率乘以各自對應(yīng)的錢數(shù)，即可得解．【詳解】（1）解：根據(jù)幾何概率的意義可知，P（藍(lán)色區(qū)域）=90°P（橙色區(qū)域）=270°（2）解：根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)盤均分成6份，則：紅色占：6×12=3份；白色占：6×如圖所示：（答案不唯一）；（3）解：由題意，得：轉(zhuǎn)動1次的平均數(shù)為100×1答：轉(zhuǎn)動1次所獲購物券的平均數(shù)是29元．【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，以及計(jì)算加權(quán)平均數(shù)．熟練掌握概率公式，以及加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法，是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級·陜西渭南·期末）如圖，圖1、圖2是可以自由轉(zhuǎn)動的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤．圖1被平均分成9等份，分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字；圖2被涂上紅色與綠色，綠色部分的扇形圓心角是120°．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的顏色即為轉(zhuǎn)出的顏色．(1)在圖1轉(zhuǎn)盤中轉(zhuǎn)出數(shù)字6的概率為________．(2)小明轉(zhuǎn)動圖1的轉(zhuǎn)盤，小亮轉(zhuǎn)動圖2的轉(zhuǎn)盤．若某個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針恰好指在分界線上時(shí)重轉(zhuǎn)．小穎認(rèn)為：小明轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7的概率與小亮轉(zhuǎn)出的顏色是紅色的概率相同．小穎的觀點(diǎn)對嗎？為什么？【答案】(1)1(2)小穎的觀點(diǎn)是對的，理由見解析【分析】本題考查概率的應(yīng)用．熟練掌握概率公式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）共有9種結(jié)果，轉(zhuǎn)出數(shù)字6的結(jié)果有1種，利用概率公式計(jì)算即可；（2）分別求出轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7的概率和轉(zhuǎn)出的顏色是紅色的概率，進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）共有9種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，“轉(zhuǎn)出數(shù)字是6的結(jié)果有1種，∴P（轉(zhuǎn)出數(shù)字6）=1÷9=1故答案為：19（2）小穎說法正確，理由：小明轉(zhuǎn)動圖1的轉(zhuǎn)盤：轉(zhuǎn)出的數(shù)字共有9種等可能的結(jié)果，其中，轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7共有6種等可能的結(jié)果，所以小明轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于7的概率是69小亮轉(zhuǎn)動圖2的轉(zhuǎn)盤：紅色部分所在扇形的圓心角度數(shù)是360°?120°=240°，∴P（轉(zhuǎn)出紅色）=240∴P（轉(zhuǎn)出數(shù)字小于7）=P（轉(zhuǎn)出紅色），∴小穎的觀點(diǎn)是對的．【變式7-2】（23-24九年級·貴州貴陽·期末）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，主辦方設(shè)了6個(gè)展館，分別是：A國際綜合館，B東數(shù)西算館，C數(shù)字產(chǎn)業(yè)館，D產(chǎn)業(yè)數(shù)字館，E創(chuàng)新場景館，F(xiàn)數(shù)字生活館，某校九年級某班同學(xué)計(jì)劃參觀其中一個(gè)展館．(1)如圖①，小紅設(shè)計(jì)了一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤被等分成6個(gè)扇形，用字母A，B，C，D，E，F(xiàn)分別表示六個(gè)展館，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在某一區(qū)域，就參觀相應(yīng)的展館．若轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，指針落在“E創(chuàng)新場景館”區(qū)域的概率是；(2)小紅希望轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時(shí)，指針落在“A國際綜合館”區(qū)域的概率最大，同時(shí)又要讓每個(gè)展館都有被選中的機(jī)會，于是設(shè)計(jì)了被等分成8個(gè)扇形的如圖②所示的轉(zhuǎn)盤，請按小紅的要求在圖②的扇形中填上代表各展館的字母，并求出指針落在“A國際綜合館”區(qū)域的概率．【答案】(1)1(2)3【分析】本題考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式計(jì)算即可；（2）把其中3個(gè)扇形標(biāo)A即可．【詳解】（1）解：∵指針落在任一區(qū)域的可能性相同，∴指針落在“E創(chuàng)新場景館”區(qū)域的概率是16（2）∵每個(gè)展館都有被選中的機(jī)會，∴先將每個(gè)展館都填在一個(gè)區(qū)域內(nèi)，又指針落在“A國際綜合館”區(qū)域的概率最大，∴剩下的兩個(gè)區(qū)域都填上A即可，如圖所示：指針落在“A國際綜合館”區(qū)域的概率38【變式7-3】（23-24九年級·河南平頂山·期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎(jiǎng)酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎(jiǎng)的機(jī)會．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)轉(zhuǎn)動兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個(gè)區(qū)域（指針落在分割線上時(shí)重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)禮金券（元）27927(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實(shí)惠．【答案】(1)P(2)方案一比較實(shí)惠【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可；（2）先分別算出指針指在兩個(gè)紅色區(qū)域，兩個(gè)藍(lán)色區(qū)域的概率，算出按方案二獲得禮金券的平均值，最后進(jìn)行比較即可得出答案．【詳解】（1）解：列表格如下：藍(lán)藍(lán)紅藍(lán)（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，藍(lán)）（藍(lán)，紅）紅（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）（紅，紅）紅（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）（紅，紅）∵由表格可知，共有9種等可能結(jié)果，其中轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的情況數(shù)有5種，∴兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率59（2）解：∵P兩紅∴如果選擇方案二，獲得禮金券的平均值為：59∵17<20，∴選擇方案一比較實(shí)惠．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖，熟練掌握概率的基本公式．【題型8概率的其它實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，是一個(gè)豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，A1,B【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，共有8種等可能的路徑，其中落入③號槽內(nèi)的有3種路徑，再由概率公式求解即可.【詳解】畫樹狀圖得：所以圓球下落過程中共有8種路徑，其中落入③號槽內(nèi)的有3種，所以圓球落入③號槽內(nèi)的概率為38【點(diǎn)睛】樹狀圖法求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法．【變式8-1】（2024九年級·全國·專題練習(xí)）一次抽獎(jiǎng)活動設(shè)置如下的翻獎(jiǎng)牌，翻獎(jiǎng)牌的正面、背面如下，如果你只能在9個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)數(shù)字翻牌，請解決下面的問題：(1)直接寫出翻牌得到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的可能性的大?。?2)請你根據(jù)題意設(shè)計(jì)翻獎(jiǎng)牌反面的獎(jiǎng)品，包含（手機(jī)、微波爐、球拍、電影票，謝謝參與）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是49【答案】(1)2(2)設(shè)計(jì)九張牌中有四張寫著球拍，其它的五張牌中手機(jī)、微波爐、電影票各一張，謝謝參與兩張（答案不唯一）【分析】本題主要考查了隨機(jī)事件的可能性，掌握可能性的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．（1）先確定所有等可能結(jié)果數(shù)、翻到“手機(jī)”的結(jié)果數(shù)，然后運(yùn)用概率公式計(jì)算即可；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)有等可能結(jié)果數(shù)為9，翻到“球拍”的結(jié)果數(shù)為4的方案即可．【詳解】（1）解：由題意可知一共有9張牌，其中“手機(jī)”有2張，則抽到“手機(jī)”獎(jiǎng)品的可能性是：29（2）解：設(shè)計(jì)九張牌中有四張寫著球拍，其它的五張牌中手機(jī)、微波爐、電影票各一張，謝謝參與兩張．（答案不唯一）【變式8-2】（23-24九年級·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請用樹狀圖解決下列問題，(1)若甲為開始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該誰為開始蒙眼人？【答案】(1)1(2)甲【分析】（1）用樹狀圖法列舉出甲為開始蒙眼人，捉兩次所有可能出現(xiàn)的情況，進(jìn)而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用樹狀圖法列舉出甲為開始蒙眼人，捉三次所有可能出現(xiàn)的情況，通過甲、乙、丙被捉到的次數(shù)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，甲為開始蒙眼人，捉兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

共有4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第2次捉到丙的只有1種，所以甲為開始蒙眼人，捉兩次，第二次捉到丙的概率為14（2）如圖2，若甲為開始蒙眼人，捉三次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

共有8種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中第3次提到甲的有2種，捉到乙的有3種，捉到丙的有3種，根據(jù)所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，應(yīng)該甲為開始蒙眼人．【點(diǎn)睛】本題考查用樹狀圖法求隨機(jī)事件發(fā)生的概率．列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24九年級·江西吉安·期末）某班為表彰期中考試進(jìn)步比較快的三名學(xué)生小敏，小明和小川，班主任準(zhǔn)備了四件獎(jiǎng)品，現(xiàn)將獎(jiǎng)品名稱寫在紙片上，并將紙片無字的一面朝上扣在桌面上，設(shè)獎(jiǎng)品分別為A，A，B，B，為了提高趣味性，班主任規(guī)定，每人先后取一張紙片，若前兩名同學(xué)選完后，剩下的兩件是一樣的獎(jiǎng)品，則第三名同學(xué)可得到所剩兩件獎(jiǎng)品．若小敏先取一張紙片后小明?。?1)求小敏與小明均取到獎(jiǎng)品A的概率；(2)求小川得到兩件獎(jiǎng)品的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）先根據(jù)題意畫出樹狀圖，確定所有可能數(shù)和滿足題意得可能數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可；（2）由題意可知：當(dāng)小敏和小明都抽到獎(jiǎng)品A或都抽到獎(jiǎng)品B時(shí)，小川可得到所剩的兩件獎(jiǎng)品，然后再根據(jù)（1）中的樹狀圖可知小敏和小明都抽到獎(jiǎng)品A或都抽到獎(jiǎng)品B的情況有4種，然后運(yùn)用概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，其中小敏與小明均抽到獎(jiǎng)品A的情況有2種，故所求概率為：212（2）解：由題意可知當(dāng)小敏和小明都抽到獎(jiǎng)品A或都抽到獎(jiǎng)品B時(shí)，小川可得到所剩的兩件獎(jiǎng)品，由（1）中的樹狀圖可知小敏和小明都抽到獎(jiǎng)品A或都抽到獎(jiǎng)品B的情況有4種．故小川得到兩件獎(jiǎng)品的概率為：412【點(diǎn)睛】本題主要考查了列樹狀圖求概率、互斥事件等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)5：用頻率估計(jì)概率在隨機(jī)事件中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生與否事先無法預(yù)測，表面上瞧似無規(guī)律可循，但當(dāng)我們做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，這個(gè)事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗(yàn)后，可以用一個(gè)事件發(fā)生的頻率作為這個(gè)事件的概率的估計(jì)值。一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率mn穩(wěn)定于某一個(gè)常數(shù)P，那么事件A發(fā)生的頻率P（A）=P?！绢}型9用頻率估計(jì)概率】【例9】（23-24九年級·江西吉安·期末）某小組在“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某種結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線圖，那么符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（

）袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中隨機(jī)地取出一個(gè)球是黃球 擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上”擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是2D．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”【答案】C【分析】分別計(jì)算出每個(gè)事件的概率，其值約為0.16的即符合題意．【詳解】A、袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中隨機(jī)地取出一個(gè)球是黃球的概率為23B、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地時(shí)結(jié)果是“正面向上”的概率為12C、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，落地時(shí)面朝上的點(diǎn)數(shù)是2的概率為16D、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率為13故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的計(jì)算和用頻率估計(jì)概率，注意這種概率的得出是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出的，不能單純的依靠幾次決定．【變式9-1】（23-24九年級·陜西西安·期末）學(xué)完《概率初步》這一章后，老師讓同學(xué)結(jié)合實(shí)例說一說自己的認(rèn)識，請你判斷以下四位同學(xué)說法正確的是（）A．小智說，做3次擲圖釘試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，因此釘尖朝上的概率是2B．小慧說，某彩票的中獎(jiǎng)概率是5%，那么如果買100張彩票一定會有5張中獎(jiǎng)C．小通說，射擊運(yùn)動員射擊一次只有兩種結(jié)果：中靶與不中靶，所以它們發(fā)生的概率都是1D．小達(dá)做了20次拋擲均勻硬幣的試驗(yàn)，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他認(rèn)為再做一次，正面朝上的概率是二分之一【答案】D【分析】試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，頻率才可以表示概率，A選項(xiàng)試驗(yàn)次數(shù)過少，所以錯(cuò)誤；5%是每張均有%的可能中獎(jiǎng)，而不是100張彩票一定會有5張中獎(jiǎng)，偷換概念；概率題一定要考慮樣本空間，然后確定樣本，C中還有脫靶的可能，所以錯(cuò)誤；拋擲一枚均勻硬幣，結(jié)果只有兩種正面朝上和正面朝下，且每次發(fā)生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一．【詳解】小智說，做3次擲圖釘試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，但是試驗(yàn)次數(shù)少，因此不能確定釘尖朝上的概率，所以A錯(cuò)誤；小慧說，某彩票的中獎(jiǎng)概率是5%，那么如果買100張彩票不一定會有5張中獎(jiǎng)，所以B錯(cuò)誤；小通說，射擊運(yùn)動員射擊一次只有兩種結(jié)果：中靶與不中靶，所以它們發(fā)生的概率都是12不正確，中靶與不中靶不是等可能事件，一般情況下，還有脫靶的可能，所以C小達(dá)做了20次拋擲均勻硬幣的試驗(yàn)，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他認(rèn)為再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了頻率和概率的區(qū)別，等可能時(shí)間概率的計(jì)算；在初中課程中認(rèn)為當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，頻率可以表示概率；等可能事件中，n件事發(fā)生的概率都是相等的，因此每件事發(fā)生的概率是1n【變式9-2】（23-24九年級·北京石景山·期末）某林場要考察一種幼樹在一定條件下的移植成活率，在移植過程中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：移植的幼樹n/棵5001000200040007000100001200015000成活的幼樹m/棵42386817143456602085801030812915成活的頻率m0.8460.8680.8570.8640.8600.8580.8590.861在此條件下，估計(jì)該種幼樹移植成活的概率為（精確到0.01）；若該林場欲使成活的幼樹達(dá)到4.3萬棵，則估計(jì)需要移植該種幼樹萬棵.【答案】0.865【分析】（1）概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率．（2）利用表格中數(shù)據(jù)估算這種幼樹移植成活率的概率即可．然后用樣本概率估計(jì)總體概率即可確定答案．【詳解】（1）概率是大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計(jì)值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率∴這種幼樹移植成活率的概率約為0.86．（2）由表格可知，隨著樹苗移植數(shù)量的增加，樹苗移植成活率越來越穩(wěn)定．當(dāng)移植總數(shù)為15000時(shí)，成活率為0.861，于是可以估計(jì)樹苗移植成活率為0.86，則該林業(yè)部門需要購買的樹苗數(shù)量約為4.3÷0.86=5萬棵．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點(diǎn)為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式9-3】（23-24九年級·四川成都·期末）如圖是李老師制作的一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，如表是某同學(xué)收集的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)1002003004005006007008009001000落在“藍(lán)色”的次數(shù)306192118151182207242269302藍(lán)色部分的圓心角最有可能是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【分析】本題考查了頻率估計(jì)概率，先計(jì)算概率，再計(jì)算圓心角即可．【詳解】根據(jù)題意，得30÷100=0.3,61÷200=0.305,92÷300≈0.307，118÷400=0.295,151÷500=0.302,182÷600≈0.303207÷700≈0.296,242÷800≈0.303,269÷900≈0.299302÷1000=0.302中位數(shù)約為0.302+0.3032故圓心角度數(shù)約為0.3025×360°≈108.9°，故選B．【題型10概率與統(tǒng)計(jì)的綜合】【例10】（23-24九年級·江蘇蘇州·期末）某校為了解學(xué)生“自主學(xué)習(xí)、合作交流”的情況，對某班部分同學(xué)進(jìn)行了一段時(shí)間的跟蹤調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果(A:特別好;B:好;C:一般;D:較差)繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D類所占圓心角為;(3)學(xué)校想從被調(diào)查的A類(1名男生、2名女生)和D類(男、女生各占一半)中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請用畫樹狀圖或列表的方法求所選的兩位同學(xué)恰好是一男一女的概率.【答案】(1)補(bǔ)圖見解析；(2)36°；(3)12【分析】（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖，可求得C，D的人數(shù)，繼而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；（2）可求出D所占百分比，進(jìn)而求得扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D類所占圓心角；（3）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與所選的兩位同學(xué)恰好是男一女的情況再利用概率公式即可求得答.【詳解】解：(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖:(2)36°;(3)樹狀圖如下：所選的兩位同學(xué)恰好是一男一女的概率為12【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)是條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖以及用列表法與樹狀圖法求概率，熟練掌握知識點(diǎn)，并會靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.【變式10-1】（2024·四川成都·一模）成都某校為積極響應(yīng)“雙減”政策減負(fù)提質(zhì)的要求，同時(shí)踐行新時(shí)代新閱讀，發(fā)揮閱讀育人功能，營造書香溢滿校園、閱讀浸潤少年的濃厚氛圍，學(xué)校在今年寒假期間開展“書香滿家園，閱讀伴成長”讀書活動．寒假結(jié)束后，學(xué)校為了解學(xué)生在家閱讀時(shí)長情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．類別時(shí)長（單位：小時(shí)）人數(shù)At>34B2<t≤320C1<t≤2D0<t≤18根據(jù)圖表信息，解答下列問題：(1)本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，扇形統(tǒng)計(jì)圖中B類扇形所占的圓心角是°．(2)該校共有1200名學(xué)生，請你估計(jì)類別為C的學(xué)生人數(shù)；(3)本次調(diào)查中，類別為A的4人中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行閱讀交流，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到兩名女生的概率．【答案】(1)50人；144．(2)432人．(3)1【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、頻數(shù)（率）分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體等知識點(diǎn)，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解答本題的關(guān)鍵．（1）用D類的人數(shù)除以其對應(yīng)的百分比即可解答；用B類所占的比例乘以3