上海市松江區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題 含解析

松江區(qū)2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷高三數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）考生注意：1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫(xiě)座位號(hào)和姓名．3．答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．1.已知集合，，則______．【答案】【解析】【分析】找出集合A與集合B的公共元素，即可確定出交集．【詳解】因?yàn)榧希?，所?故答案為：.2.若，則______．【答案】【解析】【詳解】,則，故答案為.3.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可．【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：．4.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，，則______.【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得答案.【詳解】，，故答案為：5.若復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，∴.故答案為：.6.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為3，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為_(kāi)_____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用側(cè)面積公式求出母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高.【詳解】圓錐的底面半徑，設(shè)其母線長(zhǎng)為，則，解得，所以該圓錐的高.故答案為：47.已知，則＝________．【答案】65【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式，利用賦值法求解.【詳解】令，則有，再令，則有，所以，故答案為：65.8.已知等比數(shù)列中，，則______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，解得或．?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以．故答案為：或.9.已知函數(shù)的表達(dá)式為，則滿足的實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義可得為偶函數(shù)，再利用指數(shù)函數(shù)對(duì)稱性解出不等式即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故對(duì)有，即，即有，解得，故m的最大值為.故答案為：.10.已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用向量運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，通過(guò)求的取值范圍來(lái)求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為.因?yàn)椋忠驗(yàn)闄E圓的，為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)Px0,，，所以，，∴．故答案為：11.已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知與的夾角為，從而根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)投影的定義表示出，最后對(duì)化簡(jiǎn)變形通過(guò)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，的夾角為，與的夾角為，所以與的夾角為，所以根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以在上的投影為，在上的投影為，所以因?yàn)椋?，所以，所?所以的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量的綜合問(wèn)題，考查向量投影，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量投影的概念表示出，考查計(jì)算能力，屬于難題.12.交通信號(hào)燈由紅燈、綠燈、黃燈組成．黃燈設(shè)置的時(shí)長(zhǎng)與路口寬度、限定速度、停車距離有關(guān)．根據(jù)路況不同，道路的限定速度一般在30千米/小時(shí)至70千米/小時(shí)之間．由相關(guān)數(shù)據(jù)，駕駛員反應(yīng)距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：；剎車距離（單位：米）關(guān)于車速v（單位：米/秒）的函數(shù)模型為：，反應(yīng)距離與剎車距離之和稱為停車距離．已知某個(gè)十字路口寬度為30米，為保證通行安全，黃燈亮的時(shí)間是允許限速車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過(guò)十字路口，則該路口黃燈亮的時(shí)間最多為_(kāi)_____秒（結(jié)果精確到0.01秒）．【答案】【解析】【分析】依題意求出反應(yīng)距離，剎車距離，即可得到路程，再根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】解：依題意當(dāng)小汽車最大限速（約）時(shí)，反應(yīng)距離，剎車距離，所以停車距離為，又路口寬度為，所以，所以時(shí)間；故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑．13.已知，以下四個(gè)數(shù)中最大的是（）A.b B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得，而、都是正數(shù)，故只需讓它們的平方作差與0比較大小即可.【詳解】由題意，所以，由基本不等式可得，同時(shí)注意到，所以，，而、都是正數(shù)，所以.故選：D.14.漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長(zhǎng)退休年齡．對(duì)于男職工，新方案將延遲法定退休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十三周歲．如果男職工延遲法定退休年齡部分對(duì)照表如下表所示：出生時(shí)間1965年1月-4月1965年5月-8月1965年9月-12月1966年1月-4月……改革后法定退休年齡60歲＋1個(gè)月60歲＋2個(gè)月60歲＋3個(gè)月60歲＋4個(gè)月……那么1974年5月出生的男職工退休年齡為（）A.62歲3個(gè)月 B.62歲4個(gè)月 C.62歲5個(gè)月 D.63歲【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造等差數(shù)列得出公差及首項(xiàng)，再應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)1965年5月出生的男職工退休年齡為歲，則1966年5月出生的男職工退休年齡為歲，所以公差為，設(shè)5月出生的男職工退休年齡為是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列，1974年5月出生的男職工退休年齡為.故1974年5月出生的男職工退休年齡為62歲5個(gè)月.故選：C.15.拋擲三枚硬幣，若記“出現(xiàn)三個(gè)正面”、“兩個(gè)正面一個(gè)反面”和“兩個(gè)反面一個(gè)正面”分別為事件A、B和C，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.事件A、B和C兩兩互斥 B.C.事件A與事件是對(duì)立事件 D.事件與相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件的定義判斷A，；利用互斥事件概率加法公式求解判斷B；利用對(duì)立事件的定義判斷C；利用相互獨(dú)立事件判斷D.【詳解】拋擲三枚硬幣，樣本空間(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8個(gè)樣本點(diǎn)，事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)，對(duì)于A，事件中任何兩個(gè)事件都不能同時(shí)發(fā)生，事件兩兩互斥，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，事件與可以同時(shí)不發(fā)生，事件A與事件不是對(duì)立事件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，則事件，相互獨(dú)立，D正確.故選：C16.設(shè)函數(shù)與均是定義在上的函數(shù)，有以下兩個(gè)命題：①若是周期函數(shù)，且是上的減函數(shù)，則函數(shù)必為常值函數(shù)；②若對(duì)任意的a，，有成立，且是上的增函數(shù)，則是上的增函數(shù)．則以下選項(xiàng)正確的是（）A.①真命題，②是假命題 B.兩個(gè)都是真命題C.①是假命題，②是真命題 D.兩個(gè)都是假命題【答案】A【解析】【分析】用反證法判斷命題①，用反例判斷命題②．【詳解】①若y=fx是周期函數(shù)，設(shè)是它的正周期，即，假設(shè)函數(shù)y=fx不是常值函數(shù)，設(shè)，且，又恒成立，因此，取，其中是不大于的最大整數(shù)，則，而，所以，這是是減函數(shù)矛盾，所以不成立，所以，即是常值函數(shù)，①是真命題；②取，，則對(duì)任意的，，，滿足，但是減函數(shù)，②是假命題．故選：A．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．17.某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為1、2、3、4、5，現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：12345（1）若所抽取的20件日用品中，等級(jí)系數(shù)為4的恰有3件，等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求a、b、c的值；（2）在（1）的條件下，將等級(jí)系數(shù)為4的3件日用品記為、、，等級(jí)系數(shù)為5的2件日用品記為、，現(xiàn)從、、、、這5件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫(xiě)出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率．【答案】（1），，（2）所有可能的結(jié)果詳見(jiàn)解析；概率為．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求的值，根據(jù)頻率和為可求的值.（2）用列舉法寫(xiě)出所有可能性，再結(jié)合古典概型公式求解即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈燃?jí)系數(shù)為4的恰有3件，所以；等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，所以；因?yàn)?，所?故，，.【小問(wèn)2詳解】從、、、、這5件日用品中任取兩件，所有可能得結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種情況.這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的結(jié)果有：，，，，共4個(gè).因?yàn)槊糠N結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，所以這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率為：.18.如圖，已知平面，，為等邊三角形，，點(diǎn)F為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，結(jié)合線面平行判定定理即可得結(jié)論；（2）確定平面的一個(gè)法向量，利用和的夾角求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫妫?，為等邊三角形，設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，為的中點(diǎn)，，，，，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】又是軸上的單位向量，則其是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，設(shè)和平面所成的角為，則，直線和平面所成角的正弦值為.19.為了打造美麗社區(qū)，某小區(qū)準(zhǔn)備將一塊由一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的空地進(jìn)行美化，如圖，長(zhǎng)方形的邊為半圓的直徑，O為半圓的圓心，，現(xiàn)要將此空地規(guī)劃出一個(gè)等腰三角形區(qū)域（底邊）種植觀賞樹(shù)木，其余區(qū)域種植花卉．設(shè)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）求三角形區(qū)域面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)表達(dá)出的長(zhǎng)，再由面積公式即可求解.（2）用的三角函數(shù)表達(dá)出三角形區(qū)域面積，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求出三角形區(qū)域面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與相交于點(diǎn)，則，則，，易知等于到的距離，所以【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，而，則三角形區(qū)域面積為，設(shè)，因?yàn)椋?，故，而，則，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，故三角形區(qū)域面積的最大值為20.如果一條雙曲線實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線．若雙曲線與橢圓是“共軸”曲線，且橢圓，（、分別為曲線、的離心率）．已知點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，且，若點(diǎn)Q在橢圓上，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在雙曲線的右支上，點(diǎn)A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線交雙曲線的左支于點(diǎn)R，直線、的斜率分別為、．是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）或或（3）當(dāng)重合時(shí)，；當(dāng)不重合時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“共軸”曲線定義，直接列式計(jì)算可得答案；（2）設(shè)，由，可得，代入方程與方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）討論當(dāng)重合時(shí)，；不重合時(shí)，設(shè)出直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消元后利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意雙曲線，因?yàn)?，解得，雙曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，設(shè)，已知，又，所以，由點(diǎn)Q在橢圓上，則，又點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，聯(lián)立，解得，或，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)重合時(shí)，；當(dāng)不重合時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得，理由如下，當(dāng)重合時(shí)，由題意，則，則，當(dāng)不重合時(shí)，，設(shè)直線的方程為，，由得，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又直線交雙曲線的左支于點(diǎn)R，右支于點(diǎn)P，所以，由韋達(dá)定理得，，所以，所以存在實(shí)數(shù)，使得.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的解題思路是理解題目定義，求出雙曲線方程，根據(jù)定點(diǎn)位置合理設(shè)出直線的方程形式，再利用直線與雙曲線的位置關(guān)系得到韋達(dá)定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判斷是否為定值.21.定義在上的函數(shù)y=fx，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)，，都存在，使得函數(shù)y=fx在處的切線與直線平行，則稱函數(shù)y=fx在上處處相依，其中稱為直線的相依切線，為函數(shù)y=fx在的相依區(qū)間．已知．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上處處相依，證明：導(dǎo)函數(shù)在0,1上有零點(diǎn)；（2）若函數(shù)在0,+∞上處處相依，且對(duì)任意實(shí)數(shù)、，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）當(dāng)時(shí)，，為函數(shù)在的相依區(qū)間，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）（3）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷證明；（2）根據(jù)函數(shù)在0,+∞上處處相依，可得，使得，轉(zhuǎn)化，x0∈0,+∞，得解；（3）根據(jù)題意可得，結(jié)合的單調(diào)性將要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明.【小問(wèn)1詳