數(shù)學(xué)建模【微分方程模型(介紹、分析方法、數(shù)值模擬、傳染病問(wèn)題的建模和分析、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)和控制模型)】

目

錄\t"/weixin_44949135/article/details/_self"6.1微分方程模型介紹\t"/weixin_44949135/article/details/_self"微分方程模型介紹\t"/weixin_44949135/article/details/_self"一、建立微分方程\t"/weixin_44949135/article/details/_self"二、微分方程的解法\t"/weixin_44949135/article/details/_self"二，微分方程的解法之解析方法\t"/weixin_44949135/article/details/_self"二，微分方程的解法之?dāng)?shù)值方法\t"/weixin_44949135/article/details/_self"Matlab軟件計(jì)算數(shù)值解\t"/weixin_44949135/article/details/_self"6.2微分方程模型的分析方法\t"/weixin_44949135/article/details/_self"微分方程的解法\t"/weixin_44949135/article/details/_self"非線性微分方程的線性化\t"/weixin_44949135/article/details/_self"數(shù)值分析方法\t"/weixin_44949135/article/details/_self"6.3?微分方程模型的數(shù)值模擬\t"/weixin_44949135/article/details/_self"考慮Lorenz模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"地中海鯊魚(yú)問(wèn)題\t"/weixin_44949135/article/details/_self"食餌—捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"6.4傳染病問(wèn)題的建模和分析\t"/weixin_44949135/article/details/_self"模型1已感染人數(shù)i(t)\t"/weixin_44949135/article/details/_self"模型2SI模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"模型3SIS模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"模型4SIR模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"6.5經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)\t"/weixin_44949135/article/details/_self"資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）\t"/weixin_44949135/article/details/_self"經(jīng)濟(jì)（生產(chǎn)率）增長(zhǎng)的條件（動(dòng)態(tài)模型）\t"/weixin_44949135/article/details/_self"Bernoulli方程\t"/weixin_44949135/article/details/_self"6.6人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)和控制模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"1、人口發(fā)展方程\t"/weixin_44949135/article/details/_self"2、連續(xù)型人口發(fā)展模型\t"/weixin_44949135/article/details/_self"3、模型求解\t"/weixin_44949135/article/details/_self"4、討論\t"/weixin_44949135/article/details/_self"人口發(fā)展方程和生育率\t"/weixin_44949135/article/details/_self"人口指數(shù)---常用函數(shù)6.1微分方程模型介紹微分方程模型介紹微分方程在現(xiàn)代科學(xué)的每一個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，比如力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、自動(dòng)控制、化學(xué)等等，都可以看到大量利用微分方程表示的事物變化規(guī)律，這也體現(xiàn)了微分方程的重要性。在高等數(shù)學(xué)中我們對(duì)微分方程有一定的認(rèn)識(shí)，比如怎樣求解一些簡(jiǎn)單的微分方程，對(duì)于一些細(xì)心的同學(xué)，可能想到對(duì)于復(fù)雜的微分方程的求解是一個(gè)重要的問(wèn)題，但是，可能忽略一個(gè)同樣重要的問(wèn)題，那就是如何建立微分方程。同樣是方程，其建立的過(guò)程一定程度上和前一部分方程的建立有相似之處，但不同之處是微分方程的建立過(guò)程中一般會(huì)涉及到變化率的概念（往往和時(shí)間有關(guān)）。比如運(yùn)動(dòng)學(xué)中速度是位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度是速度的變化率，電學(xué)中電流是電量的變化率，人口學(xué)中人口增長(zhǎng)率是人口數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率等等。分離變量法：求解微分方程（涉及時(shí)間變化）

化學(xué)反應(yīng)、打氣運(yùn)動(dòng)、人口數(shù)量變化、傳染病發(fā)展規(guī)律常微分方程、偏微分方程

滯后現(xiàn)象差分方程

離散化，例：時(shí)間->一個(gè)單位一個(gè)單位地變化、天、年...

相鄰不同節(jié)點(diǎn)之間的迭代關(guān)系一、建立微分方程下面用一些常見(jiàn)的問(wèn)題說(shuō)明微分方程建模的基本方法。例子1：放射性物質(zhì)的衰變。物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，放射性物質(zhì)衰變的速度和物質(zhì)的量成正比。例子2：人口（生物數(shù)量）增長(zhǎng)問(wèn)題。

魚(yú)類??、微生物、兩種群之間的數(shù)量變化關(guān)系、人口數(shù)量（遷入、遷出）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，人口增長(zhǎng)和現(xiàn)有人口數(shù)量成正比。例子3：熱傳導(dǎo)問(wèn)題。牛頓定理表述熱傳導(dǎo)為：高溫物體熱量的散失速度和溫度差成比例。例子4：物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。物體運(yùn)動(dòng)可以用牛頓三大定律描述。例子5：萬(wàn)有引力定理。開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)地球沿著以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度滿足單位時(shí)間所掃過(guò)的面積相等。例子6：傳染病問(wèn)題。醫(yī)學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，傳染病有幾個(gè)關(guān)鍵要素，易感人群、帶病人群，而傳染往往通過(guò)兩種人群的接觸導(dǎo)致，不僅和易感人群和帶病人群有關(guān)，還有他們的接觸有關(guān)。例子7：戰(zhàn)爭(zhēng)問(wèn)題。交戰(zhàn)雙方的傷亡雖然比較復(fù)雜，但是大致遵循這樣一些規(guī)律，比如武器的殺傷力、防御力，還有雙方的人數(shù)對(duì)比等因素。二、微分方程的解法解析方法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的微分方程，可以通過(guò)一些數(shù)學(xué)技巧解出，比如高等數(shù)學(xué)上接觸的一些方程：可分離變量的方程、齊次方程、一階線性微分方程、一些特殊的二階常系數(shù)微分方程等等。數(shù)值方法能得到解析解的微分方程畢竟只是少數(shù)，對(duì)于從實(shí)際問(wèn)題中提取的大量微分方程，無(wú)法得到方程的解析解，數(shù)值方法可以說(shuō)是實(shí)際問(wèn)題中必不可少的手段。常見(jiàn)微分方程模型關(guān)于微分方程的解，就是滿足方程的一個(gè)\t"/weixin_44949135/article/details/_blank"函數(shù)族（或者一條曲線族）。我們又稱其為微分方程的通解。用得更加廣泛的是滿足特定條件的解，我們稱其為特解。比如二，微分方程的解法之解析方法

eqn1：微分方程的第一個(gè)方程，...

微分方程表達(dá)式c1...

微分方程的初始值

var1：微分方程涉及的變量

沒(méi)有初始條件，求出的解一般是通解（Dy）。

指定變量為x，求出的方程自變量為x，否則為t。

求特定解二，微分方程的解法之?dāng)?shù)值方法對(duì)于大量的微分方程，只能得到其數(shù)值解，一般而言，得到的解是方程的一個(gè)特解的近似。求微分方程數(shù)值解的方法很多，比如：歐拉法、龍格—庫(kù)塔法等。其基本思想就是通過(guò)已知點(diǎn)得到函數(shù)值，并用該函數(shù)值代替一個(gè)小區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到在該區(qū)間上的一條直線，并用該直線作為方程特解的近似。有興趣的同學(xué)可以參考微分方程數(shù)值解方面的著作。Matlab軟件計(jì)算數(shù)值解solver求解器

常用：ode23（運(yùn)算速度快）、ode45（精度高）最常用。

ode15s（針對(duì)剛性問(wèn)題）

'f'或者@f范例范例

混沌現(xiàn)象6.2微分方程模型的分析方法微分方程的解法

常見(jiàn)微分方程形式實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化-->微分方程非線性微分方程的線性化

研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定性->轉(zhuǎn)化微分方程

系數(shù)矩陣、雅可比矩陣

需要寫出系數(shù)矩陣。數(shù)值分析方法functionf=weif(x,y)f=-y+x+1;[x,y]=ode23('weif',[0,1],1)plot(x,y,'r');holdonezplot('x+exp(-x)',[0,1])

無(wú)解析表達(dá)式！??！%（1）編寫M文件（文件名為vdpol.m）:functionyp=vdpol(t,y);globala;yp=[y(2);a*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];%（2）編寫程序如下:（vdj.m）globala;%全局變量a=1;[t,y]=ode23('vdpol',[0,20],[3,0]);y1=y(:,1);%原方程的解y2=y(:,2);plot(t,y1,t,y2,'--')%y1(t),y2(t)曲線圖pause,plot(y1,y2),grid,%相軌跡圖，即y2(y1)曲線

圖像：周期變換6.3

微分方程模型的數(shù)值模擬考慮Lorenz模型

考慮模型變化規(guī)律

洛倫茲系統(tǒng)---混沌系統(tǒng)%1、lorenz1.mfunctionxdot=lorenz1(t,x)xdot=[-3*(x(1)-x(2))-x(1)*x(3)+26.5*x(1)-x(2)-x(3)+x(2)*x(1)];%2、ltest.mx0=[0.01.00]';[t,x]=ode45('lorenz1',[0,100],x0);%更改變量區(qū)間[0,10]plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*',t,x(:,3),'+')figure;plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)),gridon觀察結(jié)果1、該曲線包含兩個(gè)“圓盤”，每一個(gè)都是由螺線形軌道構(gòu)成。某些軌道幾乎是垂直地離開(kāi)圓盤中一個(gè)而進(jìn)入另一個(gè)。2、隨著t的增加，x(t)先繞一個(gè)圓盤幾圈，然后“跳”到另一個(gè)圓盤中。繞第二個(gè)圓盤幾圈，又跳回原來(lái)的圓盤。并以這樣的方式繼續(xù)下去，在每個(gè)圓盤上繞的圈數(shù)是隨機(jī)的。思考：該空間曲線與初始點(diǎn)x0的選擇有關(guān)嗎？1）x0=[00.10.1]‘;[t0,tf]=[0,30];解向量y2）x00=[0.010.110.11]‘;[t0,tf]=[0,30];解向量xy–x=(y1-x1,y2-x2,y3-x3)。注：這是這兩個(gè)向量必須是同維數(shù)，并且所取的時(shí)間節(jié)點(diǎn)應(yīng)該相同。解決的辦法是將[t0,tf]直接定義為如下的形式，比如0：0.1：30。地中海鯊魚(yú)問(wèn)題想：戰(zhàn)爭(zhēng)為什么使鯊魚(yú)數(shù)量增加？是什么原因？因?yàn)閼?zhàn)爭(zhēng)使捕魚(yú)量下降，食用魚(yú)增加，顯然鯊魚(yú)也隨之增加。但為何鯊魚(yú)的比例大幅增加呢？生物學(xué)家Ancona無(wú)法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個(gè)食餌—捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問(wèn)題。食餌—捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型該模型反映了在沒(méi)有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒(méi)有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型。給定一組具體數(shù)據(jù)，用matlab\t"/weixin_44949135/article/details/_blank"軟件求解。食餌

：；捕食(鯊魚(yú))：；編制程序如下：%1、建立m-文件shier.m如下：functiondx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1));%2、建立主程序shark.m如下：[t,x]=ode45('shier',[015],[252]);plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')figure;plot(x(:,1),x(:,2))

圖2：周期變化

數(shù)量增加：滯后

重心坐標(biāo)的計(jì)算：高等數(shù)學(xué)...6.4傳染病問(wèn)題的建模和分析模型1已感染人數(shù)i(t)

i(t)：在t時(shí)刻，被感染人數(shù)所占百分比

等式兩邊，同時(shí)除以△t，△t趨于0時(shí)-->di/dt=

初始條件：0時(shí)刻，i(0)=

模型2SI模型

△t時(shí)間內(nèi)，增加的感染人數(shù)。病人每天接觸的人數(shù)：

i隨時(shí)間t的變化規(guī)律di/dt：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，被感染者的變化率。模型3SIS模型

減小λ值，延遲高峰期的到來(lái)。模型4SIR模型

降低日接觸率：隔離措施↑

降低群體免疫：疫苗6.5經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

Q(t)：以勞動(dòng)力、資金為自變量的函數(shù)

含義：二階導(dǎo)數(shù)<0：增加速率降低資金與勞動(dòng)力