新教材2025版高中數(shù)學章末復習課1第一章數(shù)列學案北師大版選擇性必修第二冊

章末復習課1考點一傳統(tǒng)文化中的數(shù)列問題1．在以好用為主的古代數(shù)學中，數(shù)列是探討的熱點問題．2．通過對優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的學習，提升學生的數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)．例1(1)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有稟粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗．今有大夫一人后來，亦當稟五斗．倉無粟，欲以衰出之，問各幾何？”現(xiàn)解決如下問題：原有大夫、不更、簪裹、上造、公士5種爵位的人各1人，現(xiàn)增加一名大夫，共計6人，依據(jù)爵位共獻出5斗粟，其中5種爵位的人所獻粟的量成等差數(shù)列{an}，其公差d滿意d＝－a5，請問6人中爵位為簪裹的人需獻出粟的數(shù)量是()A．34斗B．4C．1斗D．54(2)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不犯難，次日腳痛減一半．六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公細致算相還”．其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”．則該人第五天走的路程為()A．6里B．12里C．24里D．48里跟蹤訓練1《張丘建算經》中有一道題的大致意思是，有一女子擅長織布，從其次天起，每天比前一天多織相同量的布，現(xiàn)在該女子一個月(按30天計)共織布390尺，最終一天織布21尺，則該女子第一天織布()A．3尺B．4尺C．5尺D．6尺考點二等差、等比數(shù)列的基本運算(1)計算基本量：將條件利用基本量表示，列出方程(組)求解；(2)利用性質計算：利用數(shù)列的性質轉化條件，簡化運算，常用的性質有等差(比)中項、數(shù)列兩項、四項的關系等；(3)通過對等差、等比數(shù)列的基本運算的考查，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng)．例2(1)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a2＝7，S3＝S7，則S7－a8＝()A．24B．26C．28D．30(2)在正項等比數(shù)列{an}中，a2＝1，a3·a5＝16，則a2A．2B．4C．8D．16跟蹤訓練2(1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a7＋a8＝2018，則a5＋a6＝()A．504B．1009C．2018D．4036(2)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則S5A．11B．5C．－8D．－11考點三等差、等比數(shù)列的證明1．等差、等比數(shù)列的推斷方法(1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an+1an＝q(q為常數(shù)，q≠0)?{(2)中項公式法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差數(shù)列；an+12＝an·an＋2(an≠0)?{a(3)通項公式法：an＝kn＋b(k，b是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝c·qn(c，q為非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列．(4)前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．2．通過對等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明的考查，提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．例3設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．(1)證明：{an＋1}為等比數(shù)列．(2)求{an}的通項公式，并推斷n，an，Sn是否成等差數(shù)列？跟蹤訓練3已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5＝3132，求λ考點四數(shù)列通項公式與求和(1)當已知數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列時，只需利用條件求出基本量(首項a1及公差d或公比q)即可寫出通項公式，解題時務必要分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，切不行張冠李戴．(2)對于由Sn與an構成的遞推關系式，通常是通過an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn或an(當消去Sn困難時)兩種途徑解決問題．對于由Sn與Sn＋1構成的遞推關系式，通常通過an＝Sn－Sn－1(n≥2)構建an求解．留意表達式an＝S1，n=1，Sn-Sn-1(3)求數(shù)列的前n項和，依據(jù)數(shù)列的不同特點，常有方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組求和法．(4)通過對數(shù)列通項公式及數(shù)列求和的考查，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．例4已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿意2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝an-12an.求數(shù)列{bn跟蹤訓練4已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿意a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝bnbn+2cn，n∈(1)若{bn}為等比數(shù)列，公比q>0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及數(shù)列{an}的通項公式；(2)若{bn}為等差數(shù)列，公差d>0，證明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋1d，n∈N*章末復習課考點聚集·分類突破例1解析：(1)由題意得a1+5a1+10d=5，d=-a1+4d，解得(2)記第n天走的路程里數(shù)為an，由題意知{an}是公比為12的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝a11-1261-答案：(1)A(2)B跟蹤訓練1解析：由題意可設該女子第n天織布的數(shù)量為an，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設其公差為d.則21=a1所以該女子第一天織布5尺．故選C.答案：C例2解析：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝7，S3＝S7得a1+d=7，3a1+3×22d=7a1+7×62d，解得a1=9(2)∵a2＝1，a3·a5＝a42＝16，∴a4＝4，∴q2＝a4a2＝4，∴q＝2，∴a答案：(1)B(2)A跟蹤訓練2解析：(1)因為a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6，a3＋a4＋a7＋a8＝2018，所以a5＋a6＝12(a3＋a4＋a7＋a8(2)設等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，則8a1q＋a1q4＝0，解得q＝－2.所以S5S2＝a11-q答案：(1)B(2)D例3解析：(1)證明：因為a3＝7，a3＝3a2－2，所以a2＝3，所以an＝2an－1＋1，所以a1＝1，a1＋1＝2，又因為an+1an-所以{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．(2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1，所以Sn＝2-2n+11-2－n因為n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差數(shù)列．跟蹤訓練3解析：(1)由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11-λ，由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，所以an+1an因此{an}是首項為11-λ，公比為λλ-1(2)由(1)得Sn＝1－λλ-1n.由S5＝3132得1－λλ-解得λ＝－1.例4解析：(1)因為2Sn＝(n＋1)an，n∈N*，所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*.兩式相減得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an,整理得nan＋1＝(n＋1)an，即an+1n+1＝ann，n∈N*，所以ann＝所以an＝2n.(2)bn＝an-12a所以Tn＝1×41＋3×42＋5×43＋…＋(2n－1)4n4Tn＝1×42＋3×43＋…＋(2n－3)·4n＋(2n－1)·4n＋1.兩式相減得：－3Tn＝4＋2×(42＋43＋…＋4n)－(2n－1)·4n＋1，－3Tn＝4＋2×42-4n+11-化簡得Tn＝209跟蹤訓練4解析：(1)由b1＋b2＝6b3得1＋q＝6q2，解得q＝12由cn＋1＝4cn