(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)寒假講義09 平行四邊形的性質(zhì)+隨堂檢測(cè)（教師版）

第頁(yè)09平行四邊形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一平行四邊形的定義知識(shí)點(diǎn)一平行四邊形的定義◆1、定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.◆2、表示方法：平行四邊形用符號(hào)“□”表示，平行四邊形ABCD記作：“□ABCD”，讀作:“平行四邊形ABCD”.◆3、幾何語(yǔ)言：(雙重含義)∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形（判定）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC（性質(zhì)）知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)●●平行四邊形的性質(zhì)：◆1、邊：①平行四邊形的對(duì)邊平行；②平行四邊形的對(duì)邊相等．幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，◆2、角：①平行四邊形的對(duì)角相等．②平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ).幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠B=∠D◆3、對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=OD知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三兩條平行線間的距離◆1、定義：兩條平行線線之間的距離.◆2、兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等.◆3、如果有兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等.如圖（1），a∥b，c∥d，c，d與a，b分別相交于A，B，C，D四點(diǎn).由平行四邊形的概念和性質(zhì)可知，四邊形ABDC是平行四邊形，即AB=CD；如圖（2）線段AB（或CD）的長(zhǎng)即為兩條平行線之間的距離.◆4、三種距離之間的區(qū)別與聯(lián)系距離兩點(diǎn)之間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行線之間的距離區(qū)別連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度.點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.聯(lián)系都是指線段的長(zhǎng)度.◆5、“兩條平行線間的距離處處相等”，在作平行四邊形的高時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置.(常常用來(lái)解決三角形同底等高問(wèn)題.)題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)題型一利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例題1】如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為30，AD：AB＝3：2，那么BC的長(zhǎng)度是（）A．9 B．12 C．15 D．18【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)為30，AD：AB＝3：2，設(shè)AD為3x，AB為2x，可得：3x+2x＝15，解得：x＝3，∴BC＝AD＝9，故選：A．解題技巧提煉平行四邊形中求有關(guān)線段的方法是利用平行四邊形對(duì)邊分別相等，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)來(lái)求解決的.【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是（）A．11 B．10 C．9 D．8【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求BO的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO，AO＝CO=12∵AB⊥AC，AB＝4，∴BO=32+42=5，∴【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，是中考常見(jiàn)題型，比較簡(jiǎn)單．【變式1-2】平行四邊形的一邊長(zhǎng)是9cm，那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)可以是（）A．4cm和6cm B．6cm和8cm C．8cm和10cm D．10cm和12cm【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可分別求得OB與OC的長(zhǎng)，然后由三角形三邊關(guān)系判定能否組成三角形，繼而可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=A、若BD＝6cm，AC＝4cm，則OB＝3cm，OC＝2cm，∵OB+OC＝5cm＜9cm，∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若BD＝8cm，AC＝6cm，則OB＝4cm，OC＝3cm，∵OB+OC＝7cm＜9cm，∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若BD＝10cm，AC＝8cm，則OB＝5cm，OC＝4cm，∵OB+OC＝9cm＝9cm，∴不能組成三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、若BD＝12cm，AC＝10cm，則OB＝6cm，OC＝5cm，∵OB+OC＝11cm＞9cm，∴能組成三角形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【變式1-3】BF＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，得∠ADF＝∠DFC，又由DF平分∠ADC，可得∠CDF＝∠DFC，根據(jù)等角對(duì)等邊，可得FC＝CD＝5，所以求得BF＝BC﹣FC＝3，問(wèn)題得解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝5，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠CDF＝∠DFC，∴FC＝CD＝5，∴BF＝BC﹣FC＝3．故選：C．【變式1-4】如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，則AC的長(zhǎng)為（）【分析】連接EC，根據(jù)已知條件證明△EDC是直角三角形，進(jìn)而可得△AEC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，連接EC，∵平行四邊形ABCD中，OE⊥AC∴EO垂直平分AC，∵AE＝4，DE＝3，AB＝5，∴EC＝AE＝4，CD＝AB＝5，∵EC2+DE2＝32+42＝25，CD2＝25，∴EC2+DE2＝CD2，∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，∴AC=AE2【變式1-5】在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB＝6，EF＝2，求BC的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD＝AB＝6，結(jié)合角平分線的定義，等腰三角形的判定可求出AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝6，∴CD＝AB＝6，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理DE＝DC＝6，∵EF＝2，∴AE＝AF?EF＝6?2＝4，∴BC＝AD＝AE+DE＝4+6＝10．題型二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度題型二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度【例題2】在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．140° B．120° C．100° D．40°【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等即可求出∠A，進(jìn)而可求出∠B．【解答】解：在?ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，故選：A．解題技巧提煉平行四邊形中求有關(guān)角度的方法是利用平行四邊形對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，并且已知一個(gè)角或已知兩鄰角的關(guān)系可求出其它三個(gè)角的度數(shù).【變式2-1】在?ABCD中（如圖），連接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，則∠BCD＝（）A．80° B．100° C．120° D．140°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠ACD，即可求出∠BCD．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAC＝40°，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝40°，∵∠ACB＝80°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°，故選：C．【變式2-2】如圖，在?ABCD中，AE⊥CD于點(diǎn)E，∠B＝60°，則∠DAE等于（）A．15° B．25° C．30° D．65°【分析】由在?ABCD中，∠B＝60°，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D＝∠B＝60°，∵AE⊥CD，∴∠DAE＝90°﹣∠D＝30°．故選：C．【變式2-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，則∠A的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．150° D．105°【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠CDE＝∠CED，然后根據(jù)補(bǔ)角性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠ADE，∵?ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，∴∠ADE＝∠CED＝30°，∠A+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ADC＝120°．故選：B．【變式2-4】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在BC上，且CD＝CE，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，若∠DAF＝48°，則∠C的度數(shù)為（）A．84° B．96° C．98° D．106°【分析】首先根據(jù)AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四邊形ABCD是平行四邊形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根據(jù)CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，從而利用三角形的內(nèi)角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可．【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CED＝∠ADF＝42°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝42°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°，故選：B．【變式2-5】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．（1）求證：△ABC≌△EAD；（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度數(shù)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，結(jié)合AB＝AE，利用SAS可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可得△ABE為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可求解∠BAE＝60°，進(jìn)而可求解∠AED的度數(shù)．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，∴△ABC≌△EAD（（2）∵△ABC≌△EAD，∴∠AED＝∠BAC，∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE＝∠BAE；又∵∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．∴△ABE為等邊三角形．∴∠BAE＝60°．∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°，∴∠AED＝85°．題型三利用平行四邊形的性質(zhì)求周長(zhǎng)或面積題型三利用平行四邊形的性質(zhì)求周長(zhǎng)或面積【例題3】如圖，EF過(guò)平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，交AD于E，交BC于F，若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36，OE＝3，則四邊形ABFE的周長(zhǎng)為（）A．24 B．26 C．28 D．30【分析】先利用ASA證明△AOE≌△COF，從而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四邊形周長(zhǎng)的一半為多少，然后利用關(guān)系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36，∴AB+BC=1∴四邊形ABFE的周長(zhǎng)為：AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24．故選：A．解題技巧提煉1、平行四邊形的周長(zhǎng)=2(a+b)（其中a、b分別為兩相鄰邊的邊長(zhǎng)）

2、平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【變式3-1】如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再證∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，∴∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，AD＝2DF∵BE＝2，DF＝3，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∴?ABCD的周長(zhǎng)＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，故答案為：20．【變式3-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交CD，AB于點(diǎn)E、F，連接CF．若△BCF的周長(zhǎng)為4，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．14 B．12 C．10 D．8【分析】由EF垂直平分AC得AF＝CF，則AB+BC＝CF+BF+BC＝4，由四邊形ABCD是平行四邊形得CD＝AB，AD＝BC，則CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，∵△BCF的周長(zhǎng)為4，∴AB+BC＝AF+BF+BC＝CF+BF+BC＝4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，AD＝BC，∴CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)8，故選：D．【變式3-3】如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，則圖中陰影部分的面積是．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知陰影部分面積為平行四邊形面積的一半，進(jìn)而可求出結(jié)果．【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴S△AFO＝S△CEO，∴陰影部分面積等于△BCD的面積，即為?ABCD面積的一半，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD于點(diǎn)P，∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，∴DP＝1，CP=3，∴S平行四邊形ABCD＝BC?CP=3∴陰影部分面積為332，故答案為：【變式3-4】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，則四邊形ABCD的面積為．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質(zhì)求出EF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF=12∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝10，∴平行四邊形ABCD的面積＝BC×EF＝10×5＝50．故答案為：50．【變式3-5】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于F，交DC的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G．（1）求證：AG＝FG；（2）判斷△CEF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）只要證明BA＝BF即可解決問(wèn)題；（2）只要證明∠E＝∠CFE即可；（3）如圖，作AH⊥BC于H．利用面積法求出AH即可解決問(wèn)題；【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∵∠DAF＝∠FAB，∴∠BAF＝∠BFA，∴BA＝BF，∵BG⊥AF，∴AG＝GF．（2）解：結(jié)論：△CEF是等腰三角形．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DE，AD∥BC，∴∠E＝∠BAE，∠CFE＝∠DAF，∵∠DAF＝∠BAE，∴∠E＝∠CFE，∴CE＝CF．（3）解：如圖，作AH⊥BC于H．在Rt△ABG中，AG=102?82∵12?BF?AH=12?AF?BG，∴AH=12×810=485，∴題型四利用平行四邊形的性質(zhì)證明題型四利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例題4】如圖，在?ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AB、AC、ED．若AE＝AB，求證：AC＝DE．【分析】在△ABC和△EAD中已經(jīng)有一條邊和一個(gè)角分別相等，根據(jù)平行的性質(zhì)和等邊對(duì)等角得出∠B＝∠DAE即可證明△ABC≌△EAD，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，∴△ABC≌△EAD（SAS）∴DE＝解題技巧提煉平行四邊形的定義、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)在有關(guān)平行四邊形的證明中，常常結(jié)合在一起綜合應(yīng)用，而利用平行四邊形的定義、平行線的性質(zhì)獲得三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.【變式4-1】已知：?ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，連接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求證：AE＝CF．【分析】由題意可證△ABE≌△CDF，可得結(jié)論．【解答】證明∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB∥CD，AB＝CD∴∠ABD＝∠CDB∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC∴△ABE≌△CDF∴AE＝CF【變式4-2】如圖，?ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是OB、OD上的中點(diǎn)．連接AE、CF．求證：∠DAE＝∠BCF．【分析】證△ADE≌△CBF（SAS），即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，∴∠ADE＝∠CBF，∵點(diǎn)E、F分別是OB、OD上的中點(diǎn)，∵BE=12OB，DF=12OD，∴BE＝DF，∴在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠DAE＝∠【變式4-3】已知：如圖在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，且AM＝DM，CM、BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，BM平分∠ABC．求證：BM⊥CE．【分析】由在平行四邊形ABCD中，AM＝DM，證得△AEM≌△DCM（AAS），可得AE＝CD＝AB，由BM平分∠ABC，證得△BCE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠DCM，在△AEM和△DCM中，∠E=∠DCM∠AME=∠DMCAM=DM，∴△AEM≌△DCM（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBM＝∠AMB，∴∠ABM＝∠AMB，∴AB＝AM，∵AB＝AE，AM＝DM，∴點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，∴BC＝2AM，∴BC＝BE，∴△BCE是等腰三角形．∵BM平分∠ABC，∴BM⊥CE．【變式4-4】如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且BE＝DF，連接EF交BD于O．（1）求證：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線于G，當(dāng)FG＝1時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和AAS證明△OBE≌△ODF，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；（2）證出AE＝GE，再證明DG＝DO，然后由等腰三角形的性質(zhì)得出OF＝FG＝1，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF．在△OBE與△ODF中，∠OBE=∠ODF∠BOE=∠DOFBE=DF∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴BO＝（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°．∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°．∴AE＝GE∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°．∴∠GOD＝∠G＝45°．∴DG＝DO，∵EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴OF＝FG＝1，由（1）可知，OE＝OF＝1，∴GE＝OE+OF+FG＝3，∴AE＝3．【變式4-5】如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BE，BE⊥AF．（1）求證：△ADE≌△FCE；（2）求證：AE平分∠DAB；（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)AAS可判定△ADE≌△FCE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE＝FE，根據(jù)BE⊥AF．利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得BA＝BF，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）結(jié)合（1）根據(jù)∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的長(zhǎng)，根據(jù)△ADE≌△FCE，可得△ADE的面積＝△FCE的面積，所以?ABCD的面積＝△ABF的面積＝2△ABE的面積，即可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠EFC，∵點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，∠DAE=∠EFC∠DEA=∠CEFDE=CE，∴△ADE≌△FCE（（2）證明：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE⊥AF，∴BA＝BF，∴∠BAF＝∠BFA，∵∠DAE＝∠BFA，∴∠DAE＝∠BAF，∴AE平分∠DAB；（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，∴∠DAE＝∠BAF＝30°，∵BE⊥AF，∴BE=12AB＝2，∴AE=3BE∵△ADE≌△FCE，∴△ADE的面積＝△FCE的面積，∴?ABCD的面積＝△ABF的面積＝2△ABE的面積＝2×12×AE?BE＝23題型五兩條平行線間的距離及其應(yīng)用題型五兩條平行線間的距離及其應(yīng)用【例題5】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)M在邊AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分別為E、N，則平行線AB與CD之間的距離是（）A．AE的長(zhǎng) B．MN的長(zhǎng) C．AB的長(zhǎng) D．AC的長(zhǎng)【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和平行線之間的距離可直接求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵M(jìn)N⊥CD，∴平行線AB與CD之間的距離是MN的長(zhǎng)，故選：B．解題技巧提煉兩條平行線間的距離指的是：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的垂線段的長(zhǎng)度，平行線間的處處都相等，在作平行四邊形的高時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置.【變式5-1】如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)C分別作邊AB，AD的垂線CM，CN，垂足分別為M，N，則直線AB與CD的距離是（）A．CD的長(zhǎng) B．BC的長(zhǎng) C．CM的長(zhǎng) D．CN的長(zhǎng)【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，由平行線之間的距離的定義可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，又∵CM⊥AB，∴直線AB與CD的距離為CM的長(zhǎng)，故選：C．【變式5-2】如圖，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F．直線MN交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，EF于點(diǎn)O．若直線AB和CD之間的距離可以是圖中一條線段的長(zhǎng)，則這條線段是（）A．MN B．OE C．EF D．OF【分析】夾在兩條平行線間的垂線段的長(zhǎng)度即為兩平行線的距離．【解答】解：因?yàn)橹本€AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，所以直線EF也垂直于直線CD，則直線AB和CD之間的距離是線段EF的長(zhǎng)．故選：C．【變式5-3】如圖，直線a∥b∥c，AB⊥a，AB⊥b，a與b的距離是5cm，b與c距離是2cm，則a與c的距離．【分析】根據(jù)平行線間的距離進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意可知，直線a與c的距離為5﹣2＝3（cm），故答案為：3cm．【變式5-4】在同一平面內(nèi)，設(shè)a、b、c是三條互相平行的直線，已知a與b間的距離為5cm，b與c間的距離為2cm，則a與c間的距離為（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【分析】因?yàn)橹本€c的位置不明確，所以分①直線c在直線a、b外，②直線c在直線a、b之間兩種情況討論求解．【解答】解：如圖，①直線c在a、b外時(shí)，∵a與b的距離為5cm，b與c的距離為2cm，∴a與c的距離為5+2＝7（cm），②直線c在直線a、b之間時(shí)，∵a與b的距離為5cm，b與c的距離為2cm，∴a與c的距離為5﹣2＝3（cm），綜上所述，a與c的距離為3cm或7cm．故選：C．【變式5-5】如圖，已知AB∥CD，O為∠CAB、∠ACD的角平分線的交點(diǎn)，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，則兩平行線AB、CD間的距離等于．【分析】過(guò)點(diǎn)O作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，分別求出ON＝OM＝1.5，則可求MN＝3．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，OM⊥AB，∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，∴OM＝OE，∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，∴OE＝ON，∴OM＝ON，∵OE＝1.5，∴MN＝3，故答案為：3．題型六平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系的綜合題型六平行四邊形與平面直角坐標(biāo)系的綜合【例題6】如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別是（1，0），（﹣3，0），（0，2），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）【分析】直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．【解答】解：∵平行四邊形ABCD，A（1，0）、B（﹣3，0），∴AB＝4，∴DC＝4，∵D（0，2），∴C（﹣4，2）．故選：D．解題技巧提煉在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，主要考查平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題時(shí)，利用了平行四邊形的對(duì)邊相等且平行的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，有時(shí)需要分情況討論．【變式6-1】?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是為A（﹣2，0），B（0，2），C（3，1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（5，3） B．（﹣5，1） C．（1，﹣1） D．（3，0）【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)進(jìn)行分析作答．【解答】解：∵四邊形ABCD的平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∴xC﹣xB＝xD﹣xA，即3﹣0＝xD+2，則xD＝1．yC﹣yB＝y(tǒng)D﹣yA，即1﹣2＝y(tǒng)D，則yD＝﹣1．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，﹣1）．故選：C．【變式6-2】如圖，已知?ABCD三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（3，2）【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（﹣1，﹣3），∴AB＝3，AB∥y軸，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝3，∵C（2，﹣1），∴D（2，2），故選：B．【變式6-3】如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（﹣8，2） B．（8，﹣4） C．（4，2） D．（8，2）【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵?ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（0，2）、（﹣4，﹣4）、（4，﹣4），∴BC＝8，OA＝2，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，2）．故選：D．【變式6-4】如圖，若?ABCD的頂點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別是（1，1），（3，﹣1），（5，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（﹣4，﹣2） B．（?12，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AC與BD互相平分，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)B（x，y），∵?ABCD的頂點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別是（1，1），（3，﹣1），（5，2），∴AC與BD互相平分，∴1+32=5+x2，?1+12=y+22，解得：x＝﹣1，y＝﹣2，∴點(diǎn)【變式6-5】平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O為頂點(diǎn)作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（）A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）【分析】先由點(diǎn)的坐標(biāo)求出求出線段OA，OB的長(zhǎng)度，再分情況進(jìn)行求解，即可得出答案．【解答】解：設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），①當(dāng)BC＝AO時(shí)，∵O（0，0），A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝1，∴BC＝1，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，2）或C（﹣1，2）．②BO＝AC時(shí)，∵BO＝2，∴AC＝2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，﹣2）．故選：C．題型七平行四邊形的折疊問(wèn)題題型七平行四邊形的折疊問(wèn)題【例題7】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝70°，將平行四邊形折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°【分析】由平行四邊形與折疊的性質(zhì)，易得CD∥MN∥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A＝70°，又由平角的定義，即可求得∠AMF的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∵∠A＝70°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣∠DMN﹣∠FMN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：B．解題技巧提煉折疊型問(wèn)題就是把一個(gè)圖形一部分沿某條直線折疊后，所形成的圖形胃疼，這類(lèi)問(wèn)題既是對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用又可考查空間想象能力，平行四邊形中的折疊問(wèn)題是利用平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的全等、平行等知識(shí)在解決問(wèn)題.【變式7-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上的一個(gè)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，則∠FED′＝（）度．A．40 B．35 C．30 D．50【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得∠B＝∠D＝50°，再由三角形的外角性質(zhì)得∠AEC＝∠D+∠DAE＝70°，則∠AED＝110°，然后由折疊的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝110°，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D＝50°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，∵將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，∴∠AED＝∠AED′＝110°，∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，故選：A．【變式7-1】如圖，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B'處，若∠1＝∠2＝42°，則∠B為（）A．84° B．114° C．116° D．117°【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠B'AB＝42°，由折疊的性質(zhì)可得∠BAC＝∠B'AC＝21°，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠B'AB＝42°，∵將?ABCD沿對(duì)角線AC折疊，∴∠BAC＝∠B'AC＝21°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝117°，故選：D．【變式7-3】如圖，平行四邊形ABCD中，∠A＝50°，AD⊥BD，沿直線DE將△ADE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，A′E交BD于F，則∠DEF＝（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得出CD∥AB，進(jìn)而得出∠A′DE＝∠AED，再根據(jù)翻折的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和即可求出∠DEF＝∠AED＝65°，此題得解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠A′DE＝∠AED．由翻折可知：∠ADE＝∠A′DE，∠DEF＝∠AED．∴∠ADE＝∠AED．∵∠A＝50°，∴∠AED=12（180°﹣∠A）＝65°，∴∠DEF＝65°．故選：【變式7-4】如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF．若平行四邊形ABCD周長(zhǎng)為20，則△ABE周長(zhǎng)為（）A．1 B．5 C．10 D．20【分析】由平行四邊形ABCD是周長(zhǎng)為20，推出AB+AD＝10，利用翻折變換的性質(zhì)，推出△ABE的周長(zhǎng)等于AB+AD，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵平行四邊形ABCD是周長(zhǎng)為20，∴AB+AD＝10，由翻折可知：EB＝DE，∴△ABE的周長(zhǎng)＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，故選：C．【變式7-5】如圖，將平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE恰好過(guò)BC邊中點(diǎn)，若AB＝3，BC＝6，則∠B的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】AE與BC相交于F點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，則∠1＝∠3，再根據(jù)折疊性質(zhì)得∠1＝∠2，所以FC＝FA，由于F為BC邊中點(diǎn)，可得到AF＝CF＝BF＝3，而AB＝3，于是可判斷△ABF為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到∠B＝60°．【解答】解：AE與BC相交于F點(diǎn)，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3，∵平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴FC＝FA，∵F為BC邊中點(diǎn)，BC＝6，∴AF＝CF＝BF=12×6＝3，而AB＝3，∴△ABF為等邊三角形，∴∠B故選：C．09平行四邊形的性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.在?ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中成立的是（）A．∠A+∠C＝180° B．∠D＝60° C．∠A＝100° D．∠B+∠D＝180°【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠D＝∠B＝60°，∠A+∠B＝180°，故B正確∴∠A＝∠C＝120°，∠B+∠D＝120°，故C、D錯(cuò)誤；∴∠C+∠A＝240°≠120°，故A錯(cuò)誤；故選：B．2.關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)，下列說(shuō)法不正確的是（）A．對(duì)邊相等 B．對(duì)角相等 C．對(duì)角線互相平分 D．鄰角相等【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：∵平行四邊形的性質(zhì)是：對(duì)邊相等且平行；對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線互相平分．∴A、B、C正確，D錯(cuò)誤，故選：D．3.如圖，已知?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AD＝3，AC＝8，BD＝4，那么BC的長(zhǎng)度為（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】由平行四邊形的對(duì)邊相等即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝3，故選：D．4.在?ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，若△AOB的面積是8，則?ABCD的面積是（）A．16 B．24 C．32 D．40【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知OA＝OC，OB＝OD，△AOB和△BOC等底同高，則S△AOB＝S△BOC＝8，同理，S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝8，則?ABCD的面積是8×4＝32．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴△AOB和△BOC等底同高，∴S△AOB＝S△BOC＝8，同理，S△AOB＝S△AOD＝S△COD＝8，則?ABCD的面積是8×4＝32．故選：C．5.將平行四邊形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，0），（4，0），（5，2），則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（4，3） B．（1，3） C．（1，2） D．（4，2）【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，CD＝AB，CD∥AB，從而得出CD＝AB，即可得出答案．【解答】解：由平行四邊形的性質(zhì)得，CD＝AB，CD∥AB，∵頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是（0，0），（4，0），（5，2），∴CD＝AB＝4，∴D（1，2），故選：C．6.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，BD⊥AD，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，DE＝4，△COD的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)多4，則AC的長(zhǎng)是（）A．2 B．4 C．2 D．【分析】首先由平行四邊形的對(duì)邊相等和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半