（預習）人教A版數(shù)學高一寒假提升學與練+隨堂檢測03 平面向量基本定理及坐標表示（教師版）

第頁專題03平面向量基本定理及坐標表示思維導圖核心考點聚焦考點一：平面向量基本定理考點二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題考點三：平面向量的坐標運算考點四：平面向量平行的坐標表示考點五：平面向量數(shù)量積的坐標表示及運算考點六：平面向量數(shù)量積的綜合應用知識點一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎．知識點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎，它保證了向量與坐標是一一對應的，在應用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的．（2）在解具體問題時，要適當?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個向量、，平面上的任何一個向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運算．知識點二：平面向量的坐標表示1、正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識點詮釋：如果基底的兩個基向量e1、e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標，記作=，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標．把=叫做向量的坐標表示．給出了平面向量的直角坐標表示，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識點詮釋：（1）由向量的坐標定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即且，其中．（2）要把點的坐標與向量坐標區(qū)別開來．相等的向量的坐標是相同的，但始點、終點的坐標可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點坐標各不相同．（3）在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量．知識點三：平面向量的坐標運算1、平面向量坐標的加法、減法和數(shù)乘運算運算坐標語言加法與減法記，，實數(shù)與向量的乘積記，則=（，）2、如何進行平面向量的坐標運算在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標運算法則進行計算．在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標．求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標．但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標和向量的坐標是有區(qū)別的，平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關(guān)，只有起點在原點時，平面向量的坐標與終點的坐標才相等．（2）進行平面向量坐標運算時，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關(guān)系．（3）要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)．知識點四：平面向量平行（共線）的坐標表示1、平面向量平行（共線）的坐標表示設非零向量，則∥，即，或．知識點詮釋：若，則∥不能表示成因為分母有可能為0．2、三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知，，若則A，B，C三點共線．知識點五：向量數(shù)量積的坐標表示1、已知兩個非零向量，，2、設，則或3、如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么（平面內(nèi)兩點間的距離公式）．向量在幾何中的應用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問題，利用（4）求線段的長度，可以利用或考點剖析考點一：平面向量基本定理例1．如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數(shù)m的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，又，∴，∵B，P，D三點共線，∴，∴.故選：A.例2．在中，為邊上的中線，為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以．故選：B例3．設是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯誤；對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯誤；對于C，，和共線，不能作為一組基底，C正確；對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯誤.故選：C.變式1．如圖，在中，，點是的中點．設，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意在中，，點是的中點，故，故選：A變式2．如圖所示，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線于不同的兩點，若，則的值為（

）

A．2 B．3 C． D．5【答案】A【解析】因為點是的中點，所以，又因為所以，因為三點共線，所以，所以.故選：A考點二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題例4．設兩個非零向量與不共線．(1)若，求證：三點共線；(2)試確定實數(shù)，使和反向共線．【解析】（1），，、共線，又它們有公共點，、、三點共線．（2）與反向共線，存在實數(shù)，使，即，．、是不共線的兩個非零向量，，，，，．例5．如圖，在中，．

(1)用，表示，；(2)若點滿足，證明：，，三點共線．【解析】（1）因為，，.（2）由，可得，所以，，即，所以，，三點共線.變式3．如圖，在中，是的中點，是線段上靠近點的三等分點，設.

(1)用向量與表示向量；(2)若，求證：三點共線.【解析】（1）是的中點，；.（2），與平行，又與有公共點，三點共線.變式4．已知向量，不共線，，，.(1)若，，求x，y的值；(2)若A，P，Q三點共線，求實數(shù)t的值.【解析】（1）當時，，，，所以，解得，.（2），，由于A，P，Q三點共線，所以存在，使，則，整理，得.因為a，b不共線，所以，解得故實數(shù)t的值為1.考點三：平面向量的坐標運算例6．已知點，則與向量方向相同的單位向量為.【答案】【解析】因為，所以，則與向量方向相同的單位向量為.故答案為：.變式5．已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為.【答案】【解析】點在線段的延長線上，與方向相反，由，則有，設，則，即，解得，故點的坐標為.故答案為：考點四：平面向量平行的坐標表示例7．已知，，，，若存在非零實數(shù)使得，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【解析】若存在非零實數(shù)使得，即，又，，所以，即，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：B變式7．已知，，，若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,,由得，，解得，故選：C.考點五：平面向量數(shù)量積的坐標表示及運算例8．已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標為.【答案】【解析】向量，則，所以向量在方向上的投影向量為故答案為：例9．設x，，向量，，，且，，則向量與的夾角大小為．【答案】【解析】由題意得，解得，故，，則，因為，所以.故答案為：變式6．已知向量，，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】【解析】向量，，且，的夾角為鈍角，且，不共線，則,解得：且，故答案為：.變式7．已知向量，且與的夾角為.(1)求及；(2)若與所成的角是銳角，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由于與的夾角為，所以，解得，則，所以（2），由于與所成的角是銳角，所以，，解得且.考點六：平面向量數(shù)量積的綜合應用例10．已知直角梯形的三個頂點分別為，，，且．(1)求頂點的坐標；(2)若為線段上靠近點的三等分點，為線段的中點，求．【解析】（1）設，因為，，，則，，，在直角梯形中，，且，所以A，為直角，則，即，解得，，所以頂點的坐標為；（2）因為為線段上靠近點的三等分點，則，設，則，所以，，所以，又因為為線段的中點，則，所以，，則，所以例11．如圖，設，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是軸與軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標系中的坐標，記為(1)在斜坐標系中的坐標，已知，求(2)在斜坐標系中的坐標，已知，，求的最大值.【解析】（1）由題意可知：

,,∴.（2）由題意可知,∴,由（1）可得：,令

,又因為,且，所以，，∴，又因為函數(shù)在單調(diào)遞增，即：時，函數(shù)取到最大值3，即，則有，∴當時，的最大值為.變式8．已知，，，設是直線上的一點（其中為原點）．(1)若，，求點坐標；(2)求取最小值時向量的坐標．【解析】（1）是直線上的一點，設，由得，，即，，解得，；（2）由（1）得，，時，取最小值，此時．變式9．在平面直角坐標系中，已知點，，，點是直線上的一個動點.(1)若為的中點，求的值；(2)求的最小值.【解析】（1）因為M為的中點，所以，因為，，，所以，所以；（2）由題意可得，因為點是直線上的一個動點，所以，所以，，，所以當時，取得最小值0.過關(guān)檢測一、單選題1．已知向量，則（

）A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C2．已知向量，，若與的夾角的余弦值為，且，則可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】向量，，若與的夾角的余弦值為，則有，解得，則有，設，由，則有，解得，B選項符合.故選：B3．已知等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是BC，AC的中點，則（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】.故答案選：A.4．已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：用坐標表示向量由題意可知，，由得，，整理得，，所以．則A對；法二：因為向量，所以，又，所以，所以.故選：A．5．已知平行四邊形中，，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】在中，，即是的中點，則，又，即，因此，而，不共線，所以，.故選：D6．如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G稱為的重心，那么是（

）

A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3【答案】B【解析】因為為的中線，所以，設，則，故，所以，因為，所以，因為三點共線，可設，則，故，故，相加得，解得，故.故選：B7．已知邊長為2的菱形中，，點E是BC上一點，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標原點，所在直線為軸，垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設，則，因為，所以，解得，故，則.故選：B8．已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；對于B：因為，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；對于C：設，即，則，所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一組基底；對于D：設，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；故選：C.二、多選題9．已知向量則下列命題正確的是（

）A．存在，使得B．當時，與垂直C．對任意，都有D．當時，【答案】BC【解析】A選項，若，則，不成立，所以A選項錯誤.B選項，當時，，則與垂直，所以B選項正確.C選項，，所以對任意，都有，所以C選項正確.D選項，當時，，所以或，即或，所以D選項錯誤.故選：BC10．已知為直角三角形，且，則實數(shù)的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】當時，，解得；當時，，解得；當時，，無實解，綜上可得，或-1.故選：AC.11．下列命題正確的是（

）A．B．已知向量的夾角是鈍角，則的取值范圍是C．已知單位向量滿足，則D．若，則在上的投影向量為【答案】AD【解析】，故A正確；因為與的夾角為鈍角，所以且和不反向共線，當和反向共線時，，解得，，所以B錯；由題意得，所以，故C錯；若，在上的投影向量為，當向量與同向或反向時都滿足，故D正確.故選：AD.12．已知向量，且則下列選項正確的是（

）A．B．C．向量與向量的夾角是45°D．向量在向量上的投影向量坐標是【答案】AC【解析】因為，所以，則，解得：，所以，故A正確；，所以，故B錯誤；，又因為，故向量與向量的夾角是45°，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標是：，故D錯誤.故選：AC.三、填空題13．已知點，若向量與的方向相反，則．【答案】【解析】由題意，點，則，∵向量與的方向相反，即與共線，∴，解得：或，當時，，，與的方向相同，故舍去；當時，，，與的方向相反，所以，∴，，∴.故答案為：.14．已知在中，為的中點，是線段上的動點，若，則的最小值為.【答案】8【解析】如圖，因為，為的中點，所以，因為三點共線，所以，，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為8.故答案為：815．已知向量，滿足，，，則.【答案】【解析】因為向量，滿足，，，所以，又，，所以.故答案為：.16．在中，是邊上一點，且，點為的延長線上一點，寫出使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為．

【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知，而，故,則，又點為的延長線上一點，故,可取，則，故使得成立的，的一組數(shù)據(jù)為，故答案為：（答案不唯一）.四、解答題17．如圖，在中，，E是AD的中點，設，．

(1)試用，表示，；(2)若，與的夾角為，求．【解析】（1）因為，所以，所以.因為E是AD的中點，所以.（2）因為，與的夾角為，所以，由（1）知，，，所以.18．已知向量，向量．(1)若，求與的夾角；(2)若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，，，與的夾角為.（2）因為與的夾角為鈍角，所以，解得，當與反向共線，即時，，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.19．已知點及平面向量，，．(1)當點P在x軸上時，求實數(shù)m的值；(2)當時，求實數(shù)k的值．【解析】（1）,因為點P在x軸上，所以，解得.（2），，又因為，所以，解得.20．在中，D是的中點，E在邊上，，與交于點O，(1)設，求的值；(2)若，求的值．【解析】（1）∵，∴；（2）因為E，O，C三點共線，不妨設,所以，再設，所以，所以，所以，，因為，∴得，即．平面向量基本定理及坐標表示隨堂檢測1.若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對于A，假設存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，A不選；對于B，假設存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，B不選；對于C，假設存在實數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對于D，假設存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C2.在中，已知為上的一點，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以,所以.故選：C.3.在中，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，又∴.故選：B.4.已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，因為不超過5，所以，解得：，故選：C.5.如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，，三點