（預習）人教A版數(shù)學高一寒假提升學與練+隨堂檢測07 基本立體圖形（原卷版）

第頁專題07基本立體圖形思維導圖核心考點聚焦考點一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點二：幾何體中的基本計算考點三：簡單幾何體的組合體考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題知識點一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點．棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線．過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面．2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行．知識點詮釋：有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．知識點二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；SSSDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐．知識點詮釋：棱錐有兩個本質(zhì)特征：（1）有一個面是多邊形；（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可．知識點三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱知識點詮釋：（1）用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．（2）經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．知識點四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線．2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．知識點詮釋：（1）用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面．（2）經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．（3）圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線．知識點五：棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征１、定義：用一個平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺（圓臺）；原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺（圓臺）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺（圓臺）的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺的軸．2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺；3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺；知識點詮釋：（1）棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點．（2）棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成．（4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．知識點六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球．半圓的半徑叫做球的半徑．半圓的圓心叫做球心．半圓的直徑叫做球的直徑．2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．知識點詮釋：（1）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面．如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．（2）若半徑為的球的一個截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有．知識點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；知識點八：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合．①多面體與多面體的組合體由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體．如下圖（1）是一個四棱柱與一個三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組合體．②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由一個多面體與一個旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的．③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由兩個或兩個以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．如圖（1）是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個圓臺、一個圓柱和一個圓錐組合而成的．幾何體中的計算問題幾何體的有關計算中要注意下列方法與技巧：（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個直角三角形，有關證明及運算往往與兩者相關．（2）正四棱臺中要掌握其對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關于上、下底及梯形高的計算，有關問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個等腰梯形中．另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱臺中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來．（3）研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關元素之間的位置、數(shù)量關系．（4）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一．（5）圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決．（6）關于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應用平面幾何的有關知識解決；關于球與多面體的切接問題，要恰當?shù)剡x取截面，化“空間”為平面．考點剖析考點一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．下列描述中，不是棱錐幾何結(jié)構(gòu)特征的是（

）A．三棱錐有4個面是三角形 B．棱錐的側(cè)面都是三角形C．棱錐都有兩個互相平行的多邊形面 D．棱錐的側(cè)棱交于一點.例2．下列關于幾何體特征的判斷正確的是（

）A．一個斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C．有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐D．平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的矩形例3．下列命題正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺變式1．下列命題中正確的是（

）A．兩個底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體是棱臺B．三棱柱的側(cè)面為三角形C．棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點D．棱錐的側(cè)面和底面可以都是三角形變式2．下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（

）A．五棱錐 B．三棱臺C．三棱柱 D．四棱錐考點二：幾何體中的基本計算例4．長方體的同一頂點處的相鄰三個面的面積分別為12，6，8，則長方體的體對角線長為．例5．圓柱的母線長為5，底面半徑為2，稱過圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，則該圓柱軸截面面積為.例6．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的兩個幾何體分別為一個小圓錐和一個圓臺，若小圓錐的底面面積與原圓錐的底面面積之比為1：4，圓臺的母線長為9cm，則原來的圓錐的母線長為.變式3．長、寬、高分別為3、4，5的兩個相同的長方體，把它們某兩個全等的面重合在一起，組成大長方體，則大長方體對角線最長為.考點三：簡單幾何體的組合體例7．已知，ABCD為等腰梯形，兩底邊為AB，CD且，梯形ABCD繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由、、的幾何體構(gòu)成的組合體.例8．如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是．例9．如圖所示的幾何體，關于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是.①該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體；②該幾何體有12條棱、6個頂點；③該幾何體有8個面，并且各面均為三角形；④該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形．考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題例10．如圖，直三棱柱中，，，為線段上的一個動點，則的最小值是.

例11．如圖正三棱柱的底面邊長為，高為2，一只螞蟻要從頂點沿三棱柱的表面爬到頂點，若側(cè)面緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是．

例12．已知正方體的棱長為，一螞蟻沿著正方體的表面從點爬到點的最短距離是．變式4．正三棱錐中，，過點A作一截面與側(cè)棱分別交于點，，則截面周長的最小值為．變式5．如圖，已知圓柱的高為h，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線上有一點，且，在母線上取一點，使，則圓柱側(cè)面上P、Q兩點的最短距離為．

變式6．圓錐的母線，高為，點是的中點，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達點的最短路程為．過關檢測一、單選題1．下列說法正確的有（

）A．有兩個面互相平行，其余各面均是平行四邊形的多面體是棱柱B．用任意一個平面去截球得到的截面一定是一個圓面C．側(cè)面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱D．過圓錐頂點的所有截面中，軸截面面積最大2．一個正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，則此正棱錐的高被分成的兩段之比為（）A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1）3．下列說法正確的是（

）A．多面體至少有5個面B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形4．下列命題正確的是（）A．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形C．圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺5．如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長為，一只蟲子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側(cè)面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．6．某同學為表達對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字，該正方體紙盒水平放置的六個面分別用“前面?后面?上面?下面?左面?右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（

）

A．最 B．美 C．逆 D．敬7．已知圓錐的底面半徑為2，側(cè)面展開圖為圓心角為的扇形，則該圓錐的高為（

）A．6 B． C．4 D．38．某景區(qū)為提升游客觀賞體驗，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D1）．現(xiàn)測量其中一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖2）．若是母線的一個三等分點（靠近點S），從點A到點繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，則燈光帶的最小長度為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．棱臺的側(cè)面都是等腰梯形B．棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐10．長方體的棱長，則從點沿長方體表面到達點的距離可以為（

）

A． B． C． D．11．下列命題中不正確的是（

）A．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用一個平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺D．平行六面體的每個面都是平行四邊形12．在直三棱柱中，，點P在線段上，則的（

）A．最小值為 B．最小值為C．最大值為 D．最大值為三、填空題13．若一個圓錐的底面圓半徑為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則圓錐的母線長是.14．一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這個幾何體是.15．已知圓臺的上底半徑為2cm，下底半徑為4cm，圓臺的高為cm，則側(cè)面展開圖所在扇形的圓心角為．16．建筑學上，建筑師利用各種彎曲空間可以建造出很多外型美觀的建筑物?？坍嬁臻g的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.在幾何學中可用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，大小用弧度制表示），多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為.則正方體的總曲率為；正四棱錐的總曲率為.四、解答題17．如圖所示，長方體.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.18．如圖是一個圓錐形物體，其母線長為3cm，一只小蟲子從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲子爬行的最短路程為，求圓錐底面圓的半徑.

19．將常見的幾個棱柱、棱錐、棱臺的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）作如下統(tǒng)計：空間圖形頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱錐4三棱柱5三棱臺9四棱錐5四棱柱21四棱臺8五棱錐10五棱柱10五棱臺7……(1)把上表中空缺的數(shù)據(jù)補上；(2)由此表可猜得棱柱、棱錐、棱臺的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（