第2課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（學案）-2021-2022學年高一數(shù)學教材配套學案（人教A版2019必修第一冊）含答案及解析

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第2課時等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【學習目標】課程目標學科素養(yǎng)1.掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)．2.能利用不等式的性質(zhì)進行數(shù)或式的大小比較或不等式證明或解決范圍問題．（重點、難點）1、邏輯推理2、數(shù)學運算【自主學習】一．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).二．不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b

a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c

b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?

_______a>b，c<0?

_______c的符號5同向可加性a>b，c>d?

___________同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?

________同向7可乘方性a>b>0?an

bn(n∈N，n≥2)同正思考1：若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立嗎？a－c>b－d呢？思考2：若a>b，c>d，那么ac>bd成立嗎？【小試牛刀】思辨解析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)a＝b是eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)成立的充要條件．()(2)a>b?ac2>bc2．()(3)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.()(4)同向不等式相加與相乘的條件是一致的．()(5)設(shè)a，b∈R，且a>b，則a3>b3.()【經(jīng)典例題】題型一利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式點撥：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項

(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應(yīng)用.

(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.例1若a>b>0，c<0，求證：。【跟蹤訓練】1已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac<e－bc.題型二利用不等式的性質(zhì)求取值范圍點撥：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略

1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍.

2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍.

注意：求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍.

例2已知1<a<4,2<b<8.試求2a＋3b與a－b的取值范圍．【跟蹤訓練】2已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范圍．【當堂達標】1.(多選)若，則下面四個不等式成立的有（）

A.|a|>|b| B.a<bC.a＋b<ab D.a3>b32.已知a>b，c>d，且c，d不為0，那么下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bdC．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)－c>b－d3.若8<x<10，2<y<4，則eq\f(x,y)的取值范圍為________.4.下列命題中，真命題是________(填序號).①若a>b>0，則eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)；②若a>b，則c－2a<c－2b；③若a<0，b>0，則eq\r(－a)<eq\r(b)；④若a>b，則2a>2b.5.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，eq\f(a,b)的取值范圍.6.若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).【課堂小結(jié)】1.知識點：

(1)等式的性質(zhì).

(2)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用.

2.方法歸納：作商比較法、乘方比較法.

3.常見誤區(qū)：注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性.

【參考答案】【自主學習】<>ac>bcac>bca＋c>b＋da＋c>b＋d>思考1：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.思考2：不一定，但當a>b>0，c>d>0時，一定成立.【小試牛刀】(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√【經(jīng)典例題】例1【跟蹤訓練】1證明因為a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.例2解∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24∴8<2a＋3b<32.∵2<b<8，∴－8<－b<－2.又∵1<a<4，∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2.故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.【跟蹤訓練】2設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，則a＝eq\f(x＋y,2)，b＝eq\f(x－y,2)，∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y.又eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)x≤eq\f(5,2)，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)y≤eq\f(15,2)，∴－2≤eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y≤10.即－2≤3a－2b≤10.【當堂達標】1.AB解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，從而|a|<|b|，A，B均不正確；a＋b<0，ab>0，則a＋b<ab成立，C正確；a3>b3，D正確.2.C解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故選C.3.2<eq\f(x,y)<5解析：∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).又∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.4.①②④解析：①∵a>b>0∴0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)；②∵a>b∴－2a<－2b∴c－2a<c－2b；對③取a＝－2，b＝1，則eq\r(－a)<eq\r(b)不成立.④正確.5.解∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，∴eq\f(1,4