廈門市同安區(qū)2022年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

18/31廈門市同安區(qū)2022年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題有10小題，每小題4分，共40分.每小題有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確。1．（4分）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】最簡二次根式．版權(quán)所有【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（3）分母中不含根式判斷即可．【解答】解：A選項(xiàng)，原式＝，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，原式＝＝，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，是最簡二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，原式＝2，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（3）分母中不含根式是解題的關(guān)鍵．2．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．版權(quán)所有【分析】根據(jù)二次根式的加法，減法，除法，以及二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：A、﹣＝2﹣，故A不符合題意；B、+＝2+，故B不符合題意；C、÷＝，故C符合題意；D、＝4，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（4分）若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．版權(quán)所有【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x﹣2≥0，解得x≥2．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．4．（4分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．下列所給數(shù)據(jù)中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．a(chǎn)＝2，b＝2，c＝1 C．a(chǎn)2﹣b2＝c2 D．a(chǎn)：b：c＝3：4：5【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．版權(quán)所有【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解決此題．【解答】解：A．因?yàn)椤螦﹣∠B＝∠C，所以∠A＝∠B+∠C．因?yàn)椤螦+∠B+∠C＝180°，所以2∠A＝180°．所以∠A＝90°．此時(shí)，△ABC是直角三角形．B．因?yàn)閍＝2，b＝2，c＝1，12+22≠22，所以△ABC不是直角三角形．C．因?yàn)閍2﹣b2＝c2，所以a2＝b2+c2．所以△ABC是直角三角形．D．因?yàn)閍：b：c＝3：4：5，32+42＝52，所以a2+b2＝c2．所以△ABC是直角三角形．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．5．（4分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∠B＝50°，∠AED＝60°，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考點(diǎn)】三角形中位線定理．版權(quán)所有【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C＝∠AED＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥BC，所以∠C＝∠AED＝60°，所以∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形中位線平行于第三邊是解題的關(guān)鍵．6．（4分）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)O，若AC＝10，BD＝6，則邊AB的長度可能是（）A．2 B．4 C．8 D．12【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．版權(quán)所有【分析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得AO＝5，BO＝3，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得5﹣3＜AB＜8+3，再進(jìn)行判斷即可．【解答】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AO＝AC，BO＝BD，因?yàn)锳C＝10，BD＝6，所以AO＝5，BO＝3，所以5﹣3＜AB＜5+3，解得：2＜AB＜8，所以邊AB的長度可能是4．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分．7．（4分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加下列條件，能判定這個(gè)四邊形是矩形的是（）A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【考點(diǎn)】矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以∠BAD+∠ABC＝180°，因?yàn)椤螧AD＝∠ABC，所以∠BAD＝∠ABC＝90°，所以平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)A符合題意；B、因?yàn)锳B⊥BD，所以∠ABD＝90°，不能判定平行四邊形ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AC⊥BD，所以平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AB＝BC，所以平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定和菱形的判定是解題的關(guān)鍵．8．（4分）我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D′處，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．版權(quán)所有【分析】由已知條件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根據(jù)勾股定理得到OD′＝＝，于是得到結(jié)論．【解答】解：因?yàn)锳D′＝AD＝2，AO＝AB＝1，所以O(shè)D′＝＝，因?yàn)镃′D′＝2，C′D′∥AB，所以C′（2，），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．9．（4分）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）．再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2），若延長MN交BC于點(diǎn)P（如圖3），則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∠NBC＝30° B．∠AMN＝150° C．△BMP是等邊三角形 D．點(diǎn)N為MP的中點(diǎn)【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；矩形的性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】由折疊的性質(zhì)可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，可證△ABN是等邊三角形，可求∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，可得∠BMN＝∠BPM＝60°，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AN，由折疊的性質(zhì)可得AE＝BE，EF⊥AB，AB＝BN，∠ABM＝∠NBM，∠BAM＝∠BNM＝90°，所以AN＝BN，所以AN＝BN＝AB，所以△ABN是等邊三角形，所以∠ABN＝60°，所以∠ABM＝∠NBM＝30°＝∠PBN，故A選項(xiàng)正確；所以∠BMN＝∠BPM＝60°，所以△BMP是等邊三角形，故C選項(xiàng)正確；所以MN＝PN，所以點(diǎn)N為MP的中點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確；因?yàn)椤螧AD＝90°，所以∠MAN＝30°，因?yàn)锳M＝MN，所以∠MNA＝∠MAN＝30°，所以∠AMN＝120°，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以說法錯(cuò)誤的是B．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，求出∠ABM＝∠FBM＝30°＝∠PBF是解題的關(guān)鍵．10．（4分）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．在復(fù)習(xí)二次根式時(shí)，老師提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問題，如：“當(dāng)0＜x＜12時(shí)，求代數(shù)式的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為x和2的Rt△ACP的斜邊長，可看作兩直角邊分別是12﹣x和3的Rt△BDP的斜邊長．于是構(gòu)造出如圖，將問題轉(zhuǎn)化為求AP+BP的最小值，運(yùn)用此方法，請你解決問題：已知x，y均為正數(shù)，且x﹣6＝﹣y．則的最小值是（）A．2 B．8 C．10 D．34【考點(diǎn)】軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題；勾股定理．版權(quán)所有【分析】和是勾股定理的形式，是直角邊分別是x和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別是6﹣x和5的直角三角形的斜邊，因此，我們構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ABC和△DEF，并使直角邊BC和EF在同一直線上向右平移直角三角形ABC使點(diǎn)B和E重合，這時(shí)CF＝x+6﹣x＝6，AC＝3，DF＝5，問題就變成“點(diǎn)B在線段CF的何處時(shí)，AB+DB最短？”，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，得到線段AD就是它們的最小值．【解答】解：因?yàn)閤﹣6＝﹣y，所以y＝6﹣x，和是勾股定理的形式，是直角邊分別是x和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別是6﹣x和5的直角三角形的斜邊，因此，我們構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ABC和△DEF，并使直角邊BC和EF在同一直線上向右平移直角三角形ABC使點(diǎn)B和E重合，這時(shí)CF＝x+6﹣x＝6，AC＝3，DF＝5，問題就變成“點(diǎn)B在線段CF的何處時(shí)，AB+DB最短？”，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，得到線段AD就是它們的最小值．當(dāng)A、B、D共線時(shí)，AB+BD最小，在Rt△AMD中，AD＝＝＝10，所以的最小值是10．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查最小值問題、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題是解題的突破點(diǎn)，屬于中考壓軸題．二、填空題本大題有6小題，每題4分，第11、12、14題每空2分，共24分。11．（4分）計(jì)算：（1）＝2；（2）＝．【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的性質(zhì)與化簡．版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)（）2＝a（a≥0）即可得出答案；（2）根據(jù)＝（a≥0，b＞0）化簡即可．【解答】解：（1）原式＝2，故答案為：2；（2）原式＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握＝（a≥0，b＞0）是解題的關(guān)鍵．12．（4分）命題“正方形的四條邊相等”的逆命題是四條邊相等的四邊形是正方形，它是假（填“真命題”或“假命題”）．【考點(diǎn)】命題與定理．版權(quán)所有【分析】根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，根據(jù)正方形的判定定理判斷即可．【解答】解：命題“正方形的四條邊相等”的逆命題是“四條邊相等的四邊形是正方形”，它是假命題，故答案為：四條邊相等的四邊形是正方形；假．【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．（4分）用20cm的鐵絲圍成長為xcm、寬為ycm的長方形，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝7．【考點(diǎn)】代數(shù)式求值；列代數(shù)式．版權(quán)所有【分析】先列代數(shù)式表示出y，然后代入x＝3計(jì)算y的值即可．【解答】解：因?yàn)?x+2y＝20，所以x+y＝10，所以y＝10﹣x，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝10﹣x＝10﹣3＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查了列代數(shù)式以及代數(shù)式求值，把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．列代數(shù)式時(shí)，要注意語句中的關(guān)鍵字，讀懂題意，找到所求的量的表示方法．列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進(jìn)行代換．14．（4分）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．版權(quán)所有【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：根據(jù)勾股定理得：＝，所以點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，將Rt△ABF沿著BE方向平移到Rt△DEC的位置，此時(shí)點(diǎn)E恰為邊BF的中點(diǎn)，若AE＝2，則四邊形AEFD的面積為2．【考點(diǎn)】菱形的判定；平移的性質(zhì)；三角形的面積；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．版權(quán)所有【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，AD∥BE，AD＝BE，再利用線段中點(diǎn)可得BE＝EF，從而可得AD＝EF，進(jìn)而可得四邊形AEFD是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AE＝EF，從而可得四邊形AEFD是菱形，進(jìn)而可得四邊形AEFD的面積＝2△AEF的面積，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，從而求出△ABF的面積，即可解答．【解答】解：由平移得：AD∥BE，AD＝BE，因?yàn)辄c(diǎn)E為邊BF的中點(diǎn)，所以BE＝EF，所以AD＝EF，所以四邊形AEFD是平行四邊形，因?yàn)椤螧AF＝90°，所以AE＝EF＝BF，所以四邊形AEFD是菱形，所以四邊形AEFD的面積＝2△AEF的面積，因?yàn)锳E＝2，所以BF＝2AE＝4，因?yàn)椤螧＝30°，所以AF＝BF＝2，AB＝AF＝2，所以△ABF的面積＝AB?AF＝×2×2＝2，因?yàn)椤鰽BF的面積＝2△AEF的面積，所以四邊形AEFD的面積＝△ABF的面積＝2；故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握菱形的判定，以及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，連接EF、BF，下列結(jié)論：①∠ABC＝2∠ABF；②BE＞BF；③S四邊形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；其中正確結(jié)論有①②③④．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．版權(quán)所有【分析】如圖延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH．想辦法證明EF＝FG，BE⊥BG，四邊形BCFH是菱形即可解決問題．【解答】解：如圖，延長EF交BC的延長線于G，取AB的中點(diǎn)H，連接FH．因?yàn)辄c(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，所以DF＝FC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD＝BC，因?yàn)镃D＝2AD，所以CF＝CB，所以∠CFB＝∠CBF，因?yàn)镃D∥AB，所以∠CFB＝∠FBH，所以∠CBF＝∠FBH，所以∠ABC＝2∠ABF．故①正確，因?yàn)镈E∥CG，所以∠D＝∠FCG，因?yàn)镈F＝FC，∠DFE＝∠CFG，所以△DFE≌△CFG（ASA），所以FE＝FG，因?yàn)锽E⊥AD，所以∠AEB＝90°，因?yàn)锳D∥BC，所以∠AEB＝∠EBG＝90°，所以BF＝EF＝FG，所以∠FEB＝∠FBE，∠FGB＝∠FBG，因?yàn)椤螦BC＝2∠ABF，所以∠FBG＞∠FBE，因?yàn)椤螱FB＝∠FEB+∠FBE，∠EFB＝∠FGB+∠FBG，所以∠GFB＝2∠FBE，∠EFB＝2∠FBG，所以∠EFB＞∠GFB，假設(shè)∠EFB＝∠GFB時(shí)，所以∠EFB＝∠BFB＝90°，因?yàn)镋F＝BF，所以BE＝BF，因?yàn)椤螮FB＞∠GFB＞90°，所以BE＞BF，故②正確，因?yàn)镾△DFE＝S△CFG，所以S四邊形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正確，因?yàn)锳H＝HB，DF＝CF，AB＝CD，所以CF＝BH，因?yàn)镃F∥BH，所以四邊形BCFH是平行四邊形，因?yàn)镃F＝BC，所以四邊形BCFH是菱形，所以∠BFC＝∠BFH，因?yàn)镕E＝FB，F(xiàn)H∥AD，BE⊥AD，所以FH⊥BE，所以∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，所以∠EFC＝3∠DEF，故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．三、解答題本大題有8小題，共78分。17．（10分）計(jì)算：（1）；（2）．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；分母有理化．版權(quán)所有【分析】（1）先把每一個(gè)二次根式化成最簡二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用二次根式的乘除法法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）＝4+2﹣3﹣4＝﹣2；（2）＝××＝4．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（8分）先化簡，再求值：a（a+3）﹣2（3﹣a），其中．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡求值．版權(quán)所有【分析】先去括號，再合并同類項(xiàng)，然后把a(bǔ)的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：a（a+3）﹣2（3﹣a）＝a2+3a﹣6+2a＝a2+5a﹣6，當(dāng)時(shí)，原式＝（+1）2+5（+1）﹣6＝6+2+5+5﹣6＝7+5．【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖．在平行四邊形ABCD中，AE∥CF，求證：BE＝DF．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD＝BC，由AE∥CF，得出四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出CE＝AF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD∥BC，AD＝BC，所以AF∥CE，因?yàn)锳E∥CF，所以四邊形AECF是平行四邊形，所以CE＝AF，所以BE＝DF．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定；熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明四邊形AECF是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．20．（8分）輪船甲從碼頭C出發(fā)，沿著西南方向航行，與此同時(shí)，輪船乙也從碼頭C出發(fā)沿著固定方向航行，已知輪船甲、乙的速度分別是20海里/時(shí)、15海里/時(shí)，他們離開碼頭2小時(shí)后分別行駛到A處和B處，此時(shí)兩船相距50海里，且乙船在甲船的東部，畫出示意圖，并求輪船乙是沿著哪個(gè)方向航行？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；方向角；勾股定理的應(yīng)用．版權(quán)所有【分析】由題意畫出圖形，再由勾股定理的逆定理得∠ACB＝90°，即可解決問題．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACD＝45°，AC＝2×20＝40（海里），BC＝2×15＝30（海里），AB＝50海里，因?yàn)?02+402＝502，所以AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，所以∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣45°＝45°，所以輪船乙是沿著東南方向航行．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題以及勾股定理的逆定理，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．21．（8分）若菱形的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余三個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)三角形的邊上，則這個(gè)菱形稱為這個(gè)三角形的近鄰菱形．如圖，在等邊△ABC中，作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)D為圓心，線段BD長為半徑畫弧，分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F，連接ED、FD．（1）請用直尺和圓規(guī)完成題中的作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：四邊形AEDF為等邊△ABC的近鄰菱形．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)題意的作圖過程即可完成作圖；（2）根據(jù)三角形的近鄰菱形的定義，可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示即為所求；（2）證明：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AC＝AB＝BC，由已知尺規(guī)作圖可知：AD是∠BAC的角平分線，所以BD＝CD，∠BAD＝∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝DE＝DF＝BC，所以DE＝AB，DF＝AC，因?yàn)椤螦BC＝∠BCA＝60°，所以△BDE和△CDF是等邊三角形，所以∠DEB＝60°，∠DFC＝60°，所以∠ADE＝∠EAD＝30°，∠FDA＝∠FAD＝30°，所以AE＝DE，AF＝DF，所以AE＝DE＝AF＝DF，所以四邊形AEDF是菱形，因?yàn)榱庑蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)A與一個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)A重合，其余三個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)三角形的AB和AC邊上，所以四邊形AEDF為等邊△ABC的近鄰菱形．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的近鄰菱形，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．22．（10分）如圖，有兩種形狀不同的直角三角形紙片各兩塊，其中一種紙片的兩條直角邊長分別為1和2，另一種紙片的兩條直角邊長都為2．圖1、圖2、圖3是三張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1．（1）請用三種方法將圖中所給四塊直角三角形紙片拼成平行四邊形（非矩形），每種方法要把圖中所給的四塊直角三角形紙片全部用上，互不重疊且不留空隙，三種方法所拼得的平行四邊形（非矩形）的周長互不相等，并把你所拼得的圖形按實(shí)際大小畫在圖1、圖2、圖3的方格紙上．要求：①所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中的小正方形頂點(diǎn)重合；②畫圖時(shí)，要保留四塊直角三角形紙片的拼接痕跡．（2）請證明你在圖1所拼得的四邊形是平行四邊形（非矩形）．【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】（1）圖1可以先用邊長為1、2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2的直角三角形；圖2可以先用邊長都為2的直角三角形拼出矩形，再分別在邊長為2的兩側(cè)拼上邊長都為2、1的直角三角形；圖3以四個(gè)直角三角形的直角邊拼出對角線為3的平行四邊形即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法證明即可；【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）如圖1中，因?yàn)锳B＝CD＝3，AB∥CD，所以四邊形ABCD平行四邊形．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．23．（10分）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），聰明的小迪發(fā)現(xiàn)：先測出繩子多出的部分長度為m米，再將繩子拉直（如圖2），測出繩子末端C到旗桿底部B的距離n米，利用所學(xué)知識就能求出旗桿的長，若m＝6，n＝12，（1）求旗桿AB的長．（2）小迪在C處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂（拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直），后退至將繩子剛好拉直為止（如圖3），測得小迪手臂伸直后的高度EF為2米，問小迪需要后退幾米？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；列代數(shù)式．版權(quán)所有【分析】（1）設(shè)旗桿AB的長為x米，則AC的長為（x+6）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）根E作ED⊥AB于D，則四邊形BDEF是矩形，得BF＝DE，DB＝EF＝2米，再由勾股定理求出DE的長，即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)旗桿AB的長為x米，則AC的長為x+m＝（x+6）（米），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，所以（x+6）2＝x2+122，解得：x＝9，答：旗桿AB的長為9米；（2）如圖3，過E作ED⊥AB于D，則四邊形BDEF是矩形，所以BF＝DE，DB＝EF＝2米，因?yàn)锳B＝9米，所以AD＝AB﹣DB＝9﹣2＝7（米），在Rt△ADE中，AE＝AC＝15米，所以DE＝＝＝4（米），所以BF＝DE＝4米，所以CF＝BF﹣BC＝（4﹣12）（米），答：小迪需要后退（4﹣12）米．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，求出旗桿AB的長是解題的關(guān)鍵．24．（11分）已知，矩形ABCD中，E是AD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)F、G、H分別是BC、BE、CE的中點(diǎn)．（1）求證：△BGF≌△FHC．（2）若AD＝4，當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，求矩形ABCD的面積．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)．版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可；（2）由正方形的性質(zhì)可得GE＝EH，∠BEC＝90°，由“HL”可證Rt△ABE≌Rt△DCE，可得AE＝DE＝2，∠AEB＝∠CED，可求AB＝2，由矩形面積公式可求解．【解答】證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)F，G，H分別是BC，BE，CE的中點(diǎn)，所以BF＝CF，F(xiàn)H∥BE，F(xiàn)H＝BE＝BG，所以∠CFH＝∠FBG，在△BGF和△FHC中，，所以△BGF≌△FHC（SAS）；（2）因?yàn)樗倪呅蜤GFH是正方形，所以GE＝EH，∠BEC＝90°，因?yàn)辄c(diǎn)G、H分別是BE、CE的中點(diǎn)，所以BE＝2GE，EC＝2EH，所以BE＝CE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，所以Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），所以AE＝DE＝2，∠AEB＝∠CED，因?yàn)椤螦EB+∠BEC+∠CED＝180°，所以∠BEA＝45°，所以∠BEA＝∠ABE＝45°，所以AB＝AE＝2，所以矩形ABCD的面積＝4×2＝8．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．25．（13分）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AO上（不與A、O重合）的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥PB且交邊CD于點(diǎn)E．（1）求證：PB＝PE；（2）若正方形ABCD的邊長為6，①過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，如圖2，則在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，請直接寫出這