自動控制原理 課件 2.1 控制系統(tǒng)的微分方程

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是定量地描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，其建立方法一般有解析法和實驗法兩種。

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型不是唯一的，根據(jù)不同需要，往往具有不同的形式。在經(jīng)典控制理論中，對于連續(xù)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型有時域中的微分方程，復(fù)頻域中的傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、信號流圖，頻域中的頻率特性等；離散系統(tǒng)類似，有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖等。而在現(xiàn)代控制理論中，無論連續(xù)還是離散系統(tǒng)，普遍采用狀態(tài)空間方程來描述。

本章討論利用解析法建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖及信號流圖的方法。2.1控制系統(tǒng)的微分方程

控制系統(tǒng)的微分方程描述的是系統(tǒng)的輸出變量與輸入變量之間的數(shù)學(xué)運算關(guān)系，它中包含有輸出變量和輸入變量的時間函數(shù)以及它們對時間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)。微分方程中輸出變量導(dǎo)數(shù)的最高階次是微分方程的階數(shù)，也稱為系統(tǒng)的階數(shù)。建立步驟：

（1）分析系統(tǒng)的工作原理，將系統(tǒng)分解為若干環(huán)節(jié)或元部件，根據(jù)需要設(shè)定一些中間變量，確定系統(tǒng)和各環(huán)節(jié)或元部件的輸入、輸出變量。（2）從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各環(huán)節(jié)或元部件所遵循的基本定律建立相應(yīng)的微分方程。

（3）將各環(huán)節(jié)或元部件的微分方程聯(lián)立，消去中間變量，化簡得到僅包含系統(tǒng)輸入、輸出變量的微分方程。

（4）整理成標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程，即將輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)放在微分方程的左端，輸入變量及其各階導(dǎo)數(shù)放在微分方程的右端，并按降冪排列。2.1.1控制系統(tǒng)微分方程的建立解：例2-1如圖示

無源網(wǎng)絡(luò)，試建立以

為輸入、

為輸出的微分方程。設(shè)如圖所示電流

、

作為中間變量，根據(jù)電路理論中的伏安特性和基爾霍夫定律，可列出消去中間變量，整理得令

，則可見：

無源網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型是一個二階線性常微分方程。所以，該無源網(wǎng)絡(luò)是一個二階線性定常系統(tǒng)。解：分析這類系統(tǒng)時，首先要根據(jù)彈簧、阻尼器的物理意義對與其連接的質(zhì)量塊的受力情況進行分析，然后利用牛頓第二定律列寫質(zhì)量塊對應(yīng)的合力方程，從而得到系統(tǒng)的微分方程。例2-2由彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)如圖示，試建立質(zhì)量塊上所受外力

與其相對位移

之間的微分方程。圖中，

為質(zhì)量塊的質(zhì)量，

為彈簧的彈性系數(shù)，

為阻尼器的阻尼系數(shù)。設(shè)彈簧的彈力

和阻尼器的阻力

作為中間變量，根據(jù)牛頓第二定律，可得假設(shè)彈簧是線性的，則彈簧力與位移成正比，即阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦的阻尼裝置，其阻力與質(zhì)量塊的運動速度成正比，即可見：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也是一個二階線性常微分方程。所以，該系統(tǒng)也是一個二階線性定常系統(tǒng)。消去中間變量，整理得例2-3電樞控制直流電動機的原理圖如圖示，試建立以電樞電壓

為輸入、電動機轉(zhuǎn)速

為輸出的微分方程。圖中，

、

分別是電樞電路等效的電感和電阻；

分別是電動機與負載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)；

是折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)矩，為系統(tǒng)的擾動量；

為勵磁電流，在電樞控制方式下為常數(shù)。解：電樞控制的直流電動機是控制系統(tǒng)中常用的執(zhí)行機構(gòu)，其工作原理為：輸入的電樞電壓

在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流

，通電的電樞轉(zhuǎn)子繞組在磁場作用下產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩

，從而帶動負載轉(zhuǎn)動。同時，電樞旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生反電勢

，其與

極性相反。根據(jù)電路理論中伏安特性和基爾霍夫定律，可列出電樞回路電壓平衡方程設(shè)電樞電流

、電樞反電勢

、電磁轉(zhuǎn)矩

作為中間變量。式中，電樞反電勢

的大小與轉(zhuǎn)速成正比，即

為反電勢系數(shù)。根據(jù)安培定律，可列出電磁轉(zhuǎn)矩方程

為反電勢系數(shù)?？梢姡哼@是一個二階線性常微分方程。根據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動定律，可列出電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程消去中間變量，整理得在工程實際中，電樞電路的等效電感

通常很小，可忽略不計，因而上式可簡化為式中，

為電動機時間常數(shù)；

、

分別為電動機對有用輸入和擾動的傳遞系數(shù)。這是一個一階微分方程。因此，在工程中，為便于分析問題，常忽略一些次要因素而使系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型變得簡單。若電樞電路的等效電阻

和電動機的轉(zhuǎn)動慣量

都很小，可忽略不計，且只考慮有用輸入

的作用，則進一步可得即電動機轉(zhuǎn)速

與電樞電壓

成正比。這時，電動機可作為測速發(fā)電機使用。若以電動機的轉(zhuǎn)角

為輸出，可得這是一個二階微分方程。所以，對于同一系統(tǒng)，若分析和設(shè)計問題的角度不同，建立的數(shù)學(xué)模型也是不同的。解：例2-4試建立如圖示由運算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路的微分方程。設(shè)如圖所示電壓

、

作為中間變量，根據(jù)理想運放虛斷虛短的概念及電路理論中伏安特性和基爾霍夫定律，可列出消去中間變量，整理得可見:運算放大器控制系統(tǒng)模擬電路的數(shù)學(xué)模型仍是一個二階線性常微分方程。所以，此控制系統(tǒng)也是一個二階線性定常系統(tǒng)。

綜合以上例題可以看出，不同物理特性的系統(tǒng)可具有形式相同的數(shù)學(xué)模型。把這種具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)，它揭示了不同物理特性間的相似關(guān)系。當(dāng)研究一個復(fù)雜系統(tǒng)或不易進行實驗的系統(tǒng)時，可以用一個與它相似的簡單系統(tǒng)模型來代替，從而使問題的研究簡單化。

實際物理元部件或系統(tǒng)都是非線性的，只是非線性的程度不同。對于某些嚴(yán)重的非線性，不能作線性化處理，一般用第八章中介紹的分析非線性系統(tǒng)的方法來研究。而對于一些非線性程度較弱的元部件，工程上通常有兩種線性化的處理方法。一種是在一定條件下，忽略這些非線性因素的影響，把它們假定為線性元部件，建立的微分方程就是線性微分方程，這是微分方程線性化通常使用的一種方法；另一種稱為小偏差法或切線法，它是在一個很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替，這種方法特別適合于具有連續(xù)變化的非線性特性方程。2.1.2非線性微分方程的線性化

1.具有一個自變量的非線性方程設(shè)某元部件或系統(tǒng)的非線性方程為其非線性特性如圖示。若輸入

與輸出

在某平衡點

附近做微小變化，即當(dāng)

時

，且方程

在該點連續(xù)可微，則可將此非線性方程在點

處展開成泰勒級數(shù)由于

很小，所以高次冪項可忽略，因此有式中，

為曲線

在平衡點

的切線斜率。令

且略去增量符號

，即可得非線性方程

在平衡點

附近的線性化方程為設(shè)具有兩個自變量的非線性方程為2.具有兩個自變量的非線性方程在某平衡點

附近可展開為泰勒級數(shù)忽略高次冪項，并令

，

，

，

，

，可得非線性方程

在平衡點

附近的線性化增量方程為對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)，小偏差法都是可以應(yīng)用的。2.1.3微分方程的求解

拉普拉斯變換法求解線性常微分方程的步驟:（1）利用拉普拉斯變換的時域微積分性質(zhì)，考慮初始條件，對微分方程兩端進行拉普拉斯變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為

域的代數(shù)方程；（2）求解

域代數(shù)方程，得到系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換表達式；（3）取拉普拉斯逆變換，求出輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解析解，也是微分方程所描述系統(tǒng)的全響應(yīng)。解：在例2-1中已建立出微分方程為例2-5在例2-1中，若已知

，

，

，電感上的初始電流

，電容上的初始電壓

，輸入電壓

。試求輸出電壓

。兩端進行拉普拉斯變換，得式中解得代入給定的元件參數(shù)和初始條件，且

，整理可得對其進行部分分式分解可得取拉普拉斯逆變換，得2.1.4MATLAB實現(xiàn)MATLAB提供了

域表達式

的部分分式展開式和

分子、分母多項式系數(shù)之間轉(zhuǎn)換的函數(shù)residue()，其調(diào)用格式如下。[r,p,k]=residue(num,den)%由

分子、分母多項式系數(shù)求取

的部分分式展開式。其中，num、den分別為

分子、分母多項式按降冪排列的系數(shù)向量，r為部分分式展開式的系數(shù)，p為極點，k為多項式的系數(shù)，若

為真分式，則k為空向量。若r中有一對共軛復(fù)數(shù)，則也可以應(yīng)用cart2pol()函數(shù)把共軛復(fù)數(shù)表示成模和相角的形式，其調(diào)用格式為[TH,R]=cart2pol(X,Y)，其中X、Y為笛卡爾坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)，TH是極坐標(biāo)的相角，單位為弧度，R為極坐標(biāo)的模[num,den]=residue(r,p,k)%由

的部分分式展開式求取

分子、分母多項式系數(shù)解：系統(tǒng)零輸入響應(yīng)部分分式展開式的MATLAB程序如下：num=[12];den=[111];[r,p,k]=residue(num,den)例2-6利用MATLAB求例2-5系統(tǒng)響應(yīng)的部分分式展開式。運行結(jié)果為r=0.5000-0.8660i0.5000+0.8660ip=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660ik=[]所以，零輸入響應(yīng)部分分式展開式為取拉普拉斯逆變換，得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)部分分式展開式的MATLAB程序如下：