2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(八大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平面向量的數(shù)量積運算 2題型二：平面向量的夾角問題 2題型三：平面向量的模長 3題型四：平面向量的投影、投影向量 3題型五：平面向量的垂直問題 3題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題 4題型七：平面向量的實際應(yīng)用 4題型八：向量回路恒等式 502重難創(chuàng)新練 603真題實戰(zhàn)練 8題型一：平面向量的數(shù)量積運算1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知平行四邊形中，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則.3．（2024·重慶·三模）已知單位正方形ABCD，點E是BC邊上一點，若，則.題型二：平面向量的夾角問題4．（2024·陜西銅川·三模）已知點為外接圓的圓心，且，則.5．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為.6．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐標(biāo)為，則與的夾角為.7．（2024·福建莆田·三模）已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是.8．已知均為單位向量，且，則與的夾角的余弦值為.題型三：平面向量的模長9．已知向量，且，則.10．若向量滿足，，，則.11．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知向量，均為單位向量，且，，則實數(shù)．12．已知向量，，滿足，則．題型四：平面向量的投影、投影向量13．（2024·河北張家口·三模）已知向量，若，則在上的投影向量為．14．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．15．（2024·寧夏銀川·三模）已知是單位向量，且與垂直，與的夾角為135°，則在上的投影數(shù)量為.16．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．題型五：平面向量的垂直問題17．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．18．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知向量，若，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．219．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題20．如圖，在矩形ABCD中，，點E為BC的中點，若，則.21．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上（與B、C不重合），延長射線AD到P，使得AP＝9，若（m為常數(shù)），則DB的長度為．22．如圖在平面四邊形中，，點在線段上滿足，若，則．題型七：平面向量的實際應(yīng)用23．加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為350N，則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為m/s2，）A．55 B．61 C．66 D．7124．（2024·高三·福建廈門·期末）長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點在的正北方向，則游船正好到達處時，（

）A． B． C． D．25．（2024·江西南昌·二模）如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB=1km，水的流速為2，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的時間為6min，則客船在靜水中的速度為（

）A． B．8C． D．1026．質(zhì)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量(即點P的運動方向與相同，且每秒移動的距離為個單位).設(shè)開始時點P的坐標(biāo)為，則5秒后點P的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．27．點在平面上以速度作勻速直線運動，若4秒后點的坐標(biāo)為，則點的初始坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．題型八：向量回路恒等式28．如圖，在平面四邊形中，，，則．29．如圖，在平面四邊形中，若，，則．1．（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢·一模）已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．83．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B． C．6 D．84．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．5．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，，則線段的長為（

）A． B． C． D．6．（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量，則“”是“”的（

）15．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.16．已知向量，，，1．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．52．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．5．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．6．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．67．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．29．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（多選題）（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．11．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，，則；為線段上的動點，為中點，則的最小值為．12．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，，，記，用表示；若，則的最大值為．13．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，滿足，，則．14．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為15．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量．若，則．16．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平面向量的數(shù)量積運算 2題型二：平面向量的夾角問題 3題型三：平面向量的模長 5題型四：平面向量的投影、投影向量 6題型五：平面向量的垂直問題 7題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題 8題型七：平面向量的實際應(yīng)用 11題型八：向量回路恒等式 1402重難創(chuàng)新練 1503真題實戰(zhàn)練 24題型一：平面向量的數(shù)量積運算1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知平行四邊形中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】平行四邊形中，由，得，由，得，因此，整理得，即，所以.故選：B2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則.【答案】【解析】故答案為：3．（2024·重慶·三模）已知單位正方形ABCD，點E是BC邊上一點，若，則.【答案】【解析】因為在單位正方形ABCD，點E是BC邊上一點，又，所以，，所以，故答案為：題型二：平面向量的夾角問題4．（2024·陜西銅川·三模）已知點為外接圓的圓心，且，則.【答案】/【解析】由，得，由為外接圓的圓心，得，如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形為菱形，且，故.故.故答案為：5．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為.【答案】【解析】由題意可得，即，，則，故與的夾角為.故答案為：.6．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐標(biāo)為，則與的夾角為.【答案】/【解析】設(shè)與的夾角為，且，，則在上的投影向量為，即，所以，所以，故答案為：.7．（2024·福建莆田·三模）已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是.【答案】【解析】因為，所以，所以.因為，所以，所以，則.故答案為：8．已知均為單位向量，且，則與的夾角的余弦值為.【答案】/【解析】,則與的夾角的余弦值為.故答案為：.題型三：平面向量的模長9．已知向量，且，則.【答案】【解析】，因為，所以，解得，所以.故答案為：.10．若向量滿足，，，則.【答案】【解析】由，有，即，得.又，得.故答案為：.11．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知向量，均為單位向量，且，，則實數(shù)．【答案】【解析】由題意知，，故，且，即，故，故答案為：12．已知向量，，滿足，則．【答案】/或/或【解析】因為，，所以，，得．故答案為：題型四：平面向量的投影、投影向量13．（2024·河北張家口·三模）已知向量，若，則在上的投影向量為．【答案】【解析】因為，所以，又，所以，解得，因為，所以在上的投影向量為.故答案為：14．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B15．（2024·寧夏銀川·三模）已知是單位向量，且與垂直，與的夾角為135°，則在上的投影數(shù)量為.【答案】【解析】因為與垂直，所以，即，解得，又因為與的夾角為135°，所以，解得，所以在上的投影數(shù)量為，故答案為：16．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是單位向量，所以，由得，則，得，設(shè)與的夾角為，則在方向上的投影向量為.故選：A題型五：平面向量的垂直問題17．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，則，又，所以故選：B18．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知向量，若，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】,,由得：，則，所以，故選：B.19．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，即，因此，所以.故選：B題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題20．如圖，在矩形ABCD中，，點E為BC的中點，若，則.【答案】14【解析】以A為原點，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系則A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），因為點E為BC的中點，且，所以E（3，2），F(xiàn)（2，4），故，所以故答案為：.21．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上（與B、C不重合），延長射線AD到P，使得AP＝9，若（m為常數(shù)），則DB的長度為．【答案】/1.4【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（4，0），C（0，3），由若，得，整理得：．由AP＝9，得，解得或．當(dāng)時，可得，所以點的坐標(biāo)為，所以直線PA的方程為，直線BC的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得點D的坐標(biāo)為，，所以，當(dāng)時，此時，所以三點共線，點在直線上，所以三點共線，又三點共線，所以可知D與C重合（舍去），∴BD的長度是．故答案為：．22．如圖在平面四邊形中，，點在線段上滿足，若，則．【答案】/【解析】以A為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則有，，過D作軸于F，，，所以，，，，因為，所以，所以，，解得：，則的值為.故答案為：.題型七：平面向量的實際應(yīng)用23．加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為350N，則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為m/s2，）A．55 B．61 C．66 D．71【答案】B【解析】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：B．24．（2024·高三·福建廈門·期末）長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點在的正北方向，則游船正好到達處時，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)船的實際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，要使得游船正好到達處，則，即，又因為，所以，故選：D.25．（2024·江西南昌·二模）如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB=1km，水的流速為2，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的時間為6min，則客船在靜水中的速度為（

）A． B．8C． D．10【答案】A【解析】設(shè)客船在靜水中的速度大小為，水流速度為，則，則船實際航行的速度，，由題意得.把船在靜水中的速度正交分解為，即，∵km/h，而與同向，即，∴∴.故選：A.26．質(zhì)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量(即點P的運動方向與相同，且每秒移動的距離為個單位).設(shè)開始時點P的坐標(biāo)為，則5秒后點P的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，5秒后P點的坐標(biāo)為，則，由題意有.即所以解得故選:C27．點在平面上以速度作勻速直線運動，若4秒后點的坐標(biāo)為，則點的初始坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，列出方程組，即可求解.設(shè)點的初始坐標(biāo)為，因為點在平面上以速度作勻速直線運動，若4秒后點的坐標(biāo)為，可得，解得，即點的初始坐標(biāo)為.故選：B.題型八：向量回路恒等式28．如圖，在平面四邊形中，，，則．【答案】【解析】由題意得，，，因為，，從而.故答案為：.29．如圖，在平面四邊形中，若，，則．【答案】【解析】由題意可得：，故，則，即.故答案為：.1．（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，所以，因為為與的夾角，所以.故選：D2．（2024·湖北武漢·一模）已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．8【答案】A【解析】因為所以,所以,因為，所以.故選：A.3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B． C．6 D．8【答案】B【解析】由，，，得，則，因此，所以．故選：B4．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，解得，所以，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以.故選：A5．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，整理得，即，所以，所以故選：B.6．（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，，所以，，當(dāng)時，，即解得所以“”是的充分不必要條件.故選：A.7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)向量夾角為，兩邊平方得則，又，即，解得.故選：A.8．（2024·江西新余·二模）已知，，若與的夾角為，則（

）A．-1 B．1 C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，，，因為，又，所以，解得或，因為，所以，解得，所以.故選：.9．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為【答案】AB【解析】，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因為，所以，故C錯誤；在上的投影向量為，故D錯誤；故選：AB．10．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，則（

）A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【解析】延長交于點.因為是的重心，所以點是中點，，則.對于選項A：因為，故選項A正確；對于選項B：由得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.又因為，即，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項B正確；對于選項C：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，所以，故選項C正確；對于選項D：由，，得，所以由余弦定理可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值是，故選項D錯誤.故選：ABC.11．（多選題）（2024·江西鷹潭·三模）已知向量，，，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A，若，則，則，即，所以，故A正確；對于B，在方向上的投影向量為，故B錯誤；對于C，在方向上的投影向量的模為，若，則，即，其中，，所以，所以存在，使得在方向上的投影向量的模為1，故C正確.對于D，,因為所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12．（多選題）（2024·廣東廣州·二模）在梯形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】在中，，則，由正弦定理知，即，故A正確；，，，故B正確；，故C錯誤；，故，即，故D正確．故選：ABD13．（2024·天津南開·二模）已知在平行四邊形中，，，記，，用和表示；若，，則值為.【答案】/【解析】因為，所以，所以；因為，所以，所以，故，即，又，故，即，因為，，所以.故答案為：；.14．（2024·湖南長沙·三模）在，已知，.則.【答案】【解析】設(shè)，，，由得，所以.又，因此，.由，得；于是，所以，∴，即.∵，∴，∴，∴或，∴或.又∵，∴，，，則.故答案為：15．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.【答案】/【解析】，令，則，所以，當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為．故答案為：16．已知向量，，，【答案】【解析】因為向量，，，所以，因此，．故答案為：．1．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，則，，所以.故選：B.3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當(dāng)點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當(dāng)時，有最大值.當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當(dāng)時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.5．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．6．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因為，所以.故選：D8．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.9．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在