2024年浙江省嘉興“南中杯”數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競(jìng)賽試卷和答案

2024.11嘉興“南中杯”數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競(jìng)賽一、選擇題(每小題3分,共24分)1.已知xyA.2x=3yB.x+yy=522.若把拋物線y=3xA.y=3x2?3B.y=33.如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠AOC=140°A.100°B.110°C.120°4.從長(zhǎng)度為1?cm,A.12B.13C.145.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2?4axa>0.若PA.m<?1B.m>5C.m<?16.如圖,四邊形ABCD是菱形,邊長(zhǎng)為42,∠A=45°.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→D→C方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q沿射線BA的方向以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)Q也立刻停止運(yùn)動(dòng),連接PQ,△題3題6B.C.D.7.拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A?①2a+b=0；②2c<④方程cx2+⑤拋物線上有兩點(diǎn)Px1,y1和Qx2A.2B.3C.4D.5題7題8題118.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D在CAA.41111B.51111C.5二、填空題(每小題4分,共24分)9.有兩輛車按1,2編號(hào),洪、楊兩位老師可任意選坐一輛車,則兩位老師同坐2號(hào)車的概率為_(kāi)____.10.大自然是美的設(shè)計(jì)師,即使是一片小小的樹(shù)葉,也蘊(yùn)含著“黃金分割”,P為AB的黃金分割點(diǎn)AP>PB,如果AB的長(zhǎng)度為8?cm11.如圖,OA是⊙O的半徑,弦BC⊥OA于點(diǎn)D,連結(jié)OB.若⊙O的半徑為5?cm,BC的長(zhǎng)為812.已知,二次函數(shù)y=4x2?13.已知:如圖,二次函數(shù)y=?49x2+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P在以A點(diǎn)為圓心,2個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上,Q題13題14數(shù)學(xué)家菲爾貝提出借助圖形代替演算的觀點(diǎn),這類圖形稱為“諾模圖”.如圖是關(guān)于x,y,z三者關(guān)系的諾模圖,它是由點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA,OB,OC組成,每條射線上都有相同的刻度,且射線端點(diǎn)刻度為0,其中∠AOC(1)若x=20,(2)若x=2y,則三、解答題(共6題,第15-18題每題8分,第19、20題每題10分,共52分)15.已知拋物線y=x2(1)求該圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.(2)自變量在什么范圍內(nèi)時(shí),y隨x的增大而增大.16.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行,小聰和小明都是志愿者,他們被隨機(jī)分配到A、(1)小明被分配到D場(chǎng)館做志愿者的概率是多少?(2)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求小聰和小明被分配到同一場(chǎng)館做志愿者的概率.17.如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)如下:A?1(1)以原點(diǎn)O為位似中心,在x軸上方作與△ABC的位似比為2的位似圖形△(2)頂點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)____,△A′18.在如圖所示的方格紙中存在△ABC,其中,點(diǎn)A,B(1)用直尺作出△ABC的外接圓圓心O(2)若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,求△ABC外接圓半徑R(3)在(2)的條件下,求出弧AB的長(zhǎng)度.19.某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,已知購(gòu)進(jìn)3件甲商品和2件乙商品,需60元;購(gòu)進(jìn)2件甲商品和3件乙商品,需65元.(1)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少？(2)設(shè)甲商品的銷售單價(jià)為x(單位:元/件),在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),當(dāng)11≤x≤19時(shí),甲商品的日銷售量y(單位:件)與銷售單價(jià)銷售單價(jià)x(元/件)1119日銷售量y(件)182請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)11≤x≤19時(shí),在(2)的條件下,設(shè)甲商品的日銷售利潤(rùn)為w元,當(dāng)甲商品的銷售單價(jià)x(元/件)定為多少時(shí),日銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?20.如圖1,△ACE,△ACD均為直角三角形,∠ACE=90°,∠ADC=90°,AE與CD相交于點(diǎn)P,以CD(1)求證:∠ADF(2)如圖2,過(guò)O作OG//CE,交BC于點(diǎn)G,連接DE,若BC=(3)如圖3,在此圖情況下,若AEOC=x,AF圖1圖2圖3解析選C依據(jù)“左加右減”選D由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得∠ABC=12∠AOC=70°,又由圓內(nèi)接四邊形ABCD從四條線段中任意取三條等價(jià)于從四條線段中拿出一條作為沒(méi)被取的,故總共有4種取法,要滿足所取線段能構(gòu)成等腰三角形就需要所取的三條線段中有兩條1?cm的線段或兩條2?cm的線段,而取兩條1?cm的線段時(shí)所取的第三條線段一定是2?cm,而1+1=2,所以此時(shí)無(wú)法組成三角形,故所取的三條線段能組成等腰三角形的概率P=2由題意得:拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸x=??4a2a=2,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,當(dāng)n=b時(shí),m=?1或5,故當(dāng)n>b時(shí),m<?1顯然點(diǎn)D到AB的距離?=ADsin45°=4,①當(dāng)0≤x≤4時(shí),此時(shí)AP=2x,AQ=42?x,S△APQ=12AP?AQsin45°=?x由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)和(3,0),則其對(duì)稱軸為直線x=1,即b?2a=1,故2a+b=0,故①正確;由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1知其在x=1時(shí)取到最小值,故對(duì)任意m,a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤am2+bm,故③錯(cuò)誤;由兩點(diǎn)式得y=ax+1x?3=ax2?2ax?3a,故b=?2ac=?3a,故2c=?6a=3b,故②錯(cuò)誤,故cx2+bx+a=?ax+1(3x?1),即設(shè)BC=x,顯然tan∠BAC=x5,tan∠BDC=xtan∠BDC=tan∠BAC+2∠BAC=x1由黃金分割點(diǎn)定義知AP=53顯然,二次函數(shù)開(kāi)口向上,且對(duì)稱軸為x=a2,當(dāng)a2≤0時(shí),即a≤0,當(dāng)x=0時(shí),ymin=a2+2a+2=4,解得a=?1?3或?1+3(舍);當(dāng)0<a2當(dāng)x=2時(shí),ymin=a連結(jié)AP,AB,取AB中點(diǎn)C,連結(jié)CQ,CO,因?yàn)镺A=4,OB=3,因此AB=5,OC=52,CQ=12方法一:對(duì)于(1),過(guò)點(diǎn)B作AO的垂線交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,x=20,∵OC為∠∴BO∴BC由斯特瓦爾特定理,當(dāng)OC為∠AOBOC因此OC=對(duì)于(2),同(1)可得z=方法二:過(guò)點(diǎn)C作CD//OB交OA于點(diǎn)依題意得,∠BOC∵CD∴∠OCD∴△OCD∴CD∴AD∵CD∴△ACD∴AD即x?zx(1)當(dāng)x=20,(2)x=2y時(shí),即3yz=(1)2,?9分析:主要考察拋物線的基本知識(shí)和圖像.(1)14;(1)略；(2)(一2,2),4:1分析:主要考察位似三角形的基本定義.(1)略;(2)10;(3)分析:(1)(2)問(wèn)主要考察外心的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及勾股定理.(3)問(wèn)主要考察“一線三等角模型”發(fā)現(xiàn)弧AB所對(duì)圓心角為90°19.(1)10,15;(2)y=?(3)w=?2x20.(1)見(jiàn)解答；(2)400；(3)y分析:本題主要考察圓中角的關(guān)系,導(dǎo)角即可.(1)證明:∵∠ACE∴∠ADF∵∠PDF∴∠ADF(2)分析:本題主要考察相似關(guān)系,由題意把著眼點(diǎn)放在DE和AC上,不難發(fā)現(xiàn)包含這兩條邊的△CDE和△ACD具有相似關(guān)系,進(jìn)而可以得到DE?AC=CD∵OG∴∠CGO∴OG∵BC