湖北省襄陽市2024-2025學年高二數學下學期開學考試試題

Page1湖北省襄陽市2024-2025學年高二數學下學期開學考試試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A.B.C.D.或2.等比數列的前項和為，，，則為（

）A.B.C.D.28或-213.方程表示焦點在y軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A.B.C.D.4.過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A.B.C.D.5.設不同直線：，：，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.在等差數列中，其前項和為，若，，則中最大的是（

）A.B.C.D.7.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A.B.C.D.8.法國數學家、化學家和物理學家加斯帕爾·蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創(chuàng)立的畫法幾何學推動了空間解析幾何的發(fā)展，被廣泛應用于工程制圖當中．過橢圓外的一點作橢圓的兩條切線，若兩條切線相互垂直，則該點的軌跡是以橢圓的中心為圓心、以為半徑的圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過圓E上的動點M作橢圓C的兩條切線，分別與圓E交于P，Q兩點，直線PQ與橢圓C交于A，B兩點，則下列結論不正確的是（

）A.橢圓C的離心率為B.M到C的右焦點的距離的最大值為C.若動點N在C上，記直線AN，BN的斜率分別為，，則D.面積的最大值為二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數列為遞減數列，且，，則下列結論中正確的有（

）A.數列的公差為B.C.數列是公差為的等差數列D.10.已知圓，直線，則下列命題中正確的有（

）A.直線恒過定點B.圓被軸截得的弦長為C.直線與圓恒相離D.直線被圓截得最短弦長時，直線的方程為11.拋物線的焦點為，直線過點，斜率為，且交拋物線于、兩點點在軸的下方，拋物線的準線為，交于，交于，點，為拋物線上任一點，則下列結論中正確的有（

）A.若，則B.的最小值為C.若，則D.12.如圖，在正方體中，點在線段上運動，有下列推斷，其中正確的是（

）A.平面平面B.平面C.異面直線與所成角的取值范圍是D.三棱錐的體積不變三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.圓與圓的公切線共有__________條.14.設數列的前項和為，點均在函數的圖象上，則數列的通項公式________．15.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點、，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的最大值為__________．16.過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為E，延長FE交拋物線于點P，O為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為_________．四、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中，已知點，，．(1)求BC邊上中線的方程．(2)若某始終線過B點，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．18.已知圓的方程為．(1)求過點且與圓相切的直線的方程；(2)直線過點，且與圓交于兩點，當是等腰直角三角形時，求直線的方程．19.數列（）的前項和滿意.(1)求；(2)設（）的前項和為，求.20.已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B（－1，0），設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，x軸是∠PBQ的角平分線，為垂足，是否存在定點，使得為定值，說明理由．21.如圖①，已知矩形的長為4，寬為，點是邊上的點，且.如圖②，將沿折起到的位置，使得平面平面，平面平面.(1)求證：平面；(2)在線段（不包含端點）上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.22.已知分別是橢圓的左、右焦點，A是C的右頂點，，P是橢圓C上一點，M，N分別為線段的中點，O是坐標原點，四邊形OMPN的周長為4．(1)求橢圓C的標準方程(2)若不過點A的直線l與橢圓C交于D，E兩點，且，推斷直線l是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．數學答案1-8DACACCBD9-12ABCADABDABD414.6n－5（n∈N*）15.16.17.解：在中，已知點，，．（1）線段BC的中點為，即，故BC邊上中線的方程為，即；（2）直線過B點且x軸上截距是y軸上截距的2倍，(i)若直線過原點，則直線方程為，即；(ii)若直線不過原點，設y軸上截距為m，則直線方程為，代入B點解得，故直線方程為，即；故該直線的一般式方程為或.18.解：（1）當直線斜率不存在時，，明顯與相切；當直線斜率存在時，可設，由幾何關系可得，解得，故，即，故過點且與圓相切的直線的方程為或；（2）設，可設中點為，因為是等腰直角三角形，所以，即圓心到直線距離，解得或7，故直線或，即或.??????????19.解：（1）①當n=1時，a1=S1=1+2+1=4，②當n∈N*且n≥2時，，∴；（2）由（1）bn=an?2n，①當n=1時，T1=8；當n=2時，T2=28，②當n∈N*且n≥3時，Tn=，∴2?Tn=，-Tn=∴-Tn=8+22+2?23+2?24+…+2?2n-（2n+1）?2n+1=8+22+2?（23+24+…+2n）-（2n+1）?2n+1==12+2n+2-24-n?2n+2-2n+1，∴，由①②得，（n∈N*）20.解：(1)設動圓圓心為點P(x,y),則由勾股定理得+=+,化簡即得圓心的軌跡C的方程為=8x；(2)證明:由題意可設直線l的方程為y=kx+b(k0)，聯(lián)立得+2(kb-4)x+=0，?由=4->0,得kb<2，設點P(,),Q(,),則+=-,=，因為x軸是PBQ的角平分線,所以kPB+kQB=0,即kPB+kQB=+=???????==0,所以k+b=0,即b=-k,所以l的方程為y=k(x-1)，故直線l恒過定點D(1,0)，于是|BD|為定值且BND為直角三角形且|BD|為斜邊，所以BD中點R滿意|NR|為定值|NR|=|BD|=1此時點R的坐標為(0,0).21.(1)證明:BMCD,又BM平面A'CD,CD平面A'CD,BM平面A'CD.又BM平面A'MB,平面A'MB平面A'CD=l,lBM,l平面BMDC,BM平面BMDC,l平面BMDC.(2)解：假設存在點P,由題意知3AM=MB,AB=4,AM=1,MB=3,又BC=AD=,由勾股定理可得CM=2,MD=2,+=,CMMD，又平面A'MD平面BMDC,平面A'MD平面BMDC=MD,CM平面BMDC,CM平面A'MD,過點M作垂直于平面BMDC的直線MH,以M點為原點,分別以MC,MD,MH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則M(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),A'(0,,),則=(0,,),=(2,0,0),=(-2,2,0),設=(,,)為平面A'MC的法向量,=0,=0,,則=0,令=,則=-1,=(0,,-1)為平面A'MC的一個法向量，設=,由題意,知(0,1),則=+=+=(2-2,2,0),設=(,,)為平面A'MP的法向量,=0,=0,,令=,則=,=-1,則=(,,-1)為平面A'MP的一個法向量,由|<,>|=得=,解得=(0,1)，在線段DC(不包含端點)上存在一點P,使得平面A'MP與平面A'MC所成角的余弦值為,此時點P為線