適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測四十二事件的相互獨(dú)立性新人教A版必修第二冊

PAGE四十二事務(wù)的相互獨(dú)立性(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1．若A與B是相互獨(dú)立事務(wù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．A與B是對立事務(wù) B．A與B是互斥事務(wù)C．eq\x\to(A)與eq\x\to(B)不相互獨(dú)立 D．A與eq\x\to(B)是相互獨(dú)立事務(wù)【解析】選D.相互獨(dú)立與互斥、對立沒有必定聯(lián)系．2．(2024·張家口高一檢測)甲盒中有200個(gè)螺桿，其中有160個(gè)A型的，乙盒中有240個(gè)螺母，其中有180個(gè)A型的．今從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，則恰好可配成A型螺栓的概率為()A．eq\f(1,20)B．eq\f(15,16)C．eq\f(3,5)D．eq\f(19,20)【解析】選C.設(shè)“從甲盒中取一螺桿為A型螺桿”為事務(wù)A，“從乙盒中取一螺母為A型螺母”為事務(wù)B，則A與B相互獨(dú)立，P(A)＝eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，則從甲、乙兩盒中各任取一個(gè)，恰好可配成A型螺栓的概率為P＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).3．甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事務(wù)A：“甲擊中目標(biāo)”，事務(wù)B：“乙擊中目標(biāo)”，則事務(wù)A與事務(wù)B()A．相互獨(dú)立但不互斥 B．互斥但不相互獨(dú)立C．相互獨(dú)立且互斥 D．既不相互獨(dú)立也不互斥【解析】選A.對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事務(wù)A與B相互獨(dú)立；對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時(shí)擊中目標(biāo)，也就是說事務(wù)A與B可能同時(shí)發(fā)生，所以事務(wù)A與B不是互斥事務(wù)．4．兩名射手射擊同一目標(biāo)，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標(biāo)被擊中的概率是()A．0.56B．0.92C．0.94D．0.96【解析】選C.因?yàn)閮扇硕紱]有擊中的概率為0.2×0.3＝0.06，所以目標(biāo)被擊中的概率為1－0.06＝0.94.5．某同學(xué)做對某套試卷中每一個(gè)選擇題的概率都為0.9，則他連續(xù)做對第1題和第2題的概率是()A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99【解析】選C.Ai表示“第i題做對”，i＝1，2，則P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.【補(bǔ)償訓(xùn)練】假日期間，甲去黃山的概率是eq\f(1,4)，乙去黃山的概率是eq\f(1,5)，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在假日期間甲、乙兩人至少有一人去黃山的概率是()A．eq\f(3,20)B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(9,20)【解析】選C.設(shè)甲、乙去黃山分別為事務(wù)A，B，則P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,5)，所以甲、乙兩人至少有一人去黃山的概率是P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).6．如圖所示，在兩個(gè)圓盤中，指針落在圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A.eq\f(4,9)B．eq\f(2,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)【解析】選A.“左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，“右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(2,3)，事務(wù)A，B相互獨(dú)立，所以兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).二、填空題(每小題5分，共10分)7．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．【解析】加工出來的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，因此加工出來的零件的次品率為1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).答案：eq\f(3,70)8．甲袋中有8個(gè)白球、4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球、6個(gè)紅球，從每袋中任取一球，則取到相同顏色的球的概率是________．【解析】由題意知P＝eq\f(8,8＋4)×eq\f(6,6＋6)＋eq\f(4,8＋4)×eq\f(6,6＋6)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(每小題10分，共20分)9．某班甲、乙、丙三名同學(xué)競選班委，甲當(dāng)選的概率為eq\f(4,5)，乙當(dāng)選的概率為eq\f(3,5)，丙當(dāng)選的概率為eq\f(7,10).(1)求恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率；(2)求至多有兩人當(dāng)選的概率．【解析】設(shè)甲、乙、丙當(dāng)選的事務(wù)分別為A，B，C，則有P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(7,10).(1)因?yàn)槭聞?wù)A，B，C相互獨(dú)立，所以恰有一名同學(xué)當(dāng)選的概率為P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝P(A)·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))·P(B)·P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(C)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).(2)至多有兩人當(dāng)選的概率為1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(83,125).10．甲、乙兩名跳高運(yùn)動員在一次2米跳中學(xué)勝利的概率分別為0.7，0.6，且每次試跳勝利與否相互之間沒有影響，求：(1)甲試跳三次，第三次才勝利的概率；(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人勝利的概率．【解析】記“甲第i次試跳勝利”為事務(wù)Ai，“乙第i次試跳勝利”為事務(wù)Bi(i＝1，2，3)，依題意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互獨(dú)立．(1)“甲試跳三次，第三次才勝利”為事務(wù)eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，且這三次試跳相互獨(dú)立．所以P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人勝利”為事務(wù)C.P(C)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2024·南寧高一檢測)甲、乙兩人參與學(xué)問競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,7)D．eq\f(5,12)【解析】選D.依據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12).2．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)等于()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【解析】選D.由題意，P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))·P(B)＝P(A)·P(eq\x\to(B)).設(shè)P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－x）（1－y）＝\f(1,9)，,（1－x）y＝x（1－y），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y(tǒng).))所以x2－2x＋1＝eq\f(1,9)，所以x－1＝－eq\f(1,3)，或x－1＝eq\f(1,3)(舍去)，所以x＝eq\f(2,3).3.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時(shí)，均從一葉跳到另一葉)，而且逆時(shí)針方向跳的概率是順時(shí)針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9)D．eq\f(8,27)【解析】選A.青蛙跳三次要回到A只有兩條途徑：第一條：按A→B→C→A，P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).其次條，按A→C→B→A，P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A葉上的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).4.有一個(gè)電路，如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個(gè)開關(guān)，若其閉合的概率都是eq\f(1,2)，且每個(gè)開關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是()A．eq\f(1,64)B．eq\f(55,64)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,16)【解析】選B.設(shè)事務(wù)T為開關(guān)A，B中至少有一個(gè)不閉合，事務(wù)R為開關(guān)E，F(xiàn)中至少有一個(gè)不閉合，則P(T)＝P(R)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).設(shè)事務(wù)M，N分別為開關(guān)C，D不閉合，則P(M)＝P(N)＝eq\f(1,2).所以燈不亮的概率為eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(9,64).所以燈亮的概率為1－eq\f(9,64)＝eq\f(55,64).二、填空題(每小題5分，共20分)5．甲、乙、丙三位射擊手命中目標(biāo)的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，現(xiàn)在三人同時(shí)射擊，目標(biāo)被擊中的概率等于______．【解析】目標(biāo)沒有被擊中的概率就是甲、乙、丙三位射手都沒有擊中的概率，為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4).故目標(biāo)被擊中的概率是1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)6．某自助銀行共有A，B，C三臺ATM機(jī)，在某段時(shí)間內(nèi)，這三臺ATM機(jī)被占用的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)若一位顧客到自助銀行運(yùn)用ATM機(jī)，則其不須要等待的概率為________．【解析】設(shè)事務(wù)A，B，C分別為“ATM機(jī)A，B，C被占用”，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5).記事務(wù)D：“顧客不須要等待”，則eq\x\to(D)為“顧客須要等待”，由已知得eq\x\to(D)＝ABC，所以P(eq\x\to(D))＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,60)，于是P(D)＝1－P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(1,60)＝eq\f(59,60).答案：eq\f(59,60)7．某學(xué)校團(tuán)委在2024年春節(jié)前夕舉辦老師“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)問答題賽，其中高一年級的甲、乙兩名老師組隊(duì)參與答題賽，競賽共分兩輪，每輪競賽甲、乙兩人各答一題．已知甲答對每個(gè)題的概率為eq\f(2,3)，乙答對每個(gè)題的概率為eq\f(1,2).假定甲、乙兩人答題正確與否互不影響，則競賽結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人共答對三個(gè)題的概率為________．【解析】甲、乙兩人共答對三個(gè)題的基本領(lǐng)件有{甲答對2個(gè)乙答對1個(gè)，甲答對1個(gè)乙答對2個(gè)}，而甲答對每個(gè)題的概率為eq\f(2,3)，乙答對每個(gè)題的概率為eq\f(1,2).所以甲答對2個(gè)乙答對1個(gè)的概率為P1＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9)，甲答對1個(gè)乙答對2個(gè)的概率為P2＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,9)，所以甲、乙兩人共答對三個(gè)題的概率為P1＋P2＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多，某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)，有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別是eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，兩人租車時(shí)間都不會超過四小時(shí)．則甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為________．【解析】由題意可知，甲、乙在三小時(shí)以上且不超過四個(gè)小時(shí)還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為eq\f(5,16).答案：eq\f(5,16)三、解答題(每小題10分，共20分)9．在一個(gè)選拔項(xiàng)目中，每個(gè)選手都須要進(jìn)行四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為eq\f(5,6)，eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各輪問題能否正確回答互不影響．(1)求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率．【解析】記事務(wù)Ai(i＝1，2，3，4)表示“該選手能正確回答第i輪問題”，由已知得P(A1)＝eq\f(5,6)，P(A2)＝eq\f(4,5)，P(A3)＝eq\f(3,4)，P(A4)＝eq\f(1,3).(1)記事務(wù)B表示“該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰”，則P(B)＝P(A1A2eq\x\to(A)3)＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,6).(2)記事務(wù)C表示“該選手至多進(jìn)入第三輪考核”，則P(C)＝P(eq\x\to(A)1∪A1eq\x\to(A)2∪A1A2eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1eq\x\to(A)2)＋P(A1A2eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＋eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,2).10．已知在某次1500米體能測試中，甲、乙、丙3人各自通過測試的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3).求：(1)3人都通過體能測試的概率；(2)只有2人通過體能測試的概率；(3)只有1人通過體能測試的概率．【解析】設(shè)事務(wù)A＝“甲通過體能測試”，事務(wù)B＝“乙通過體能測試”，事務(wù)C＝“丙通過體能測試”，由題意有：P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)設(shè)事務(wù)M1＝“甲、乙、丙3人都通過體能測試”，即事務(wù)M1＝ABC，由事務(wù)A，B，C相互獨(dú)立可得P(M1)＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)設(shè)事務(wù)M2＝“甲、乙、丙3人中只有2人通過體能測試”，則M2＝ABeq\x\to(C)＋Aeq\x\to(B)C＋eq\x\to(A)BC，由于事務(wù)A，B，C，eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)均相互獨(dú)立，并且事務(wù)ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC兩兩互斥，因此P(M2)＝P(A)·P(B