統(tǒng)考版2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題小練習(xí)專練26平面向量基本定理及坐標(biāo)表示理

專練26平面對量基本定理及坐標(biāo)表示命題范圍：平面對量基本定理及坐標(biāo)表示，用坐標(biāo)表示平面對量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算，用坐標(biāo)表示的平面對量共線的條件．[基礎(chǔ)強(qiáng)化]一、選擇題1．假如e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2D．e1＋3e2與6e2＋2e12．已知平面對量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，則向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)3．已知a＝(2，1)，b＝(1，x)，c＝(－1，1).若(a＋b)∥(b－c)，且c＝ma＋nb，則m＋n等于()A．eq\f(1,4)B．1C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)4．設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是()A.2B．4C．6D．85．已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A.(2，0)B．(－3，6)C．(6，2)D．(－2，0)6．已知向量m＝(sinA，eq\f(1,2))與向量n＝(3，sinA＋eq\r(3)cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角，則角A的大小為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)7．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則xy的最大值是()A．2eq\r(6)B．eq\f(25,12)C．eq\f(25,24)D．eq\f(25,6)8．設(shè)向量a＝(－3，4)，向量b與向量a方向相反，且|b|＝10，則向量b的坐標(biāo)為()A．(－eq\f(6,5)，eq\f(8,5))B．(－6，8)C．(eq\f(6,5)，－eq\f(8,5))D．(6，－8)9．[2024·安徽省蚌埠市質(zhì)檢]如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC且AB＝2DC，點(diǎn)E為線段BC靠近點(diǎn)C的一個四等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)O，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，則x＋y的值為()A．1B．eq\f(5,7)C．eq\f(14,17)D．eq\f(5,6)二、填空題10．[2024·全國甲卷]已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝________．11．[2024·安徽省滁州市質(zhì)檢]已知a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，則|a－b|＋a·b＝________．12．已知△ABC和點(diǎn)M滿意eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在實(shí)數(shù)m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝________．[實(shí)力提升]13．已知在Rt△ABC中，A＝eq\f(π,2)，AB＝3，AC＝4，P為BC上隨意一點(diǎn)(含B，C)，以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上隨意一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AQ,\s\up6(→))＝aeq\o(AB,\s\up6(→))＋beq\o(AC,\s\up6(→))，則a＋b的最大值為()A．eq\f(13,12)B．eq\f(5,4)C．eq\f(17,12)D．eq\f(19,12)14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A．eq\f(6,5)B．eq\f(8,5)C．2D．eq\f(8,3)15．[2024·東北三省三校模擬]在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G為線段DF(含端點(diǎn))上的動點(diǎn)，若eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))＋μeq\o(CD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是________．16．如圖，已知平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________．專練26平面對量基本定理及坐標(biāo)表示1．D選項(xiàng)A中，設(shè)e1＋e2＝λe1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0))無解；選項(xiàng)B中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－2＝2λ))無解；選項(xiàng)C中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝－λ))無解；選項(xiàng)D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量，不能作為平面內(nèi)全部向量的一組基底．2．Deq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))－(eq\f(3,2)，－eq\f(3,2))＝(－1，2).3．C∵a＋b＝(3，1＋x)，b－c＝(2，x－1)，∵(a＋b)∥(b－c)，∴3(x－1)＝2(x＋1)，得x＝5，∴b＝(1，5)，又c＝ma＋nb，∴(－1，1)＝m(2，1)＋n(1，5)∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝－1，,m＋5n＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(2,3)，,n＝\f(1,3)，))∴m＋n＝－eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).4．D∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1，1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(a＋b，－1)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴(a－1)×(－1)＝1×(a＋b)，∴2a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(1,2)時等號成立)5．A設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)又eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a＝(－3，6)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))6．C∵m∥n，∴sinA(sinA＋eq\r(3)cosA)－eq\f(3,2)＝0，∴2sin2A＋2eq\r(3)sinAcosA＝3.可化為1－cos2A＋eq\r(3)sin2A＝3，∴sin(2A－eq\f(π,6))＝1.∵A∈(0，π)，∴(2A－eq\f(π,6))∈(－eq\f(π,6)，eq\f(11π,6)).因此2A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，解得A＝eq\f(π,3).故選C.7．C∵a∥b，∴3y－5＝－2x，∴2x＋3y＝5，又x，y均為正數(shù)，∴5＝2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，即：x＝eq\f(5,4)，y＝eq\f(5,6)時等號成立)，∴xy≤eq\f(25,24)，故選C.8．D由題意不妨設(shè)b＝(－3m，4m)(m<0)，則|b|＝eq\r(（－3m）2＋（4m）2)＝10，解得m＝－2或m＝2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故選D.9．C依據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋y(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋y·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋y·(2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(x－y)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－eq\f(y,2))eq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AF,\s\up6(→))，因?yàn)锽，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可得x－eq\f(y,2)＋2y＝1，即2x＋3y－2＝0；又由eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－xeq\o(BA,\s\up6(→))＋y·eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝(1－x)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(4y,3)eq\o(BE,\s\up6(→))，因?yàn)锳，O，E三點(diǎn)共線，可得1－x＋eq\f(4y,3)＝1，即3x－4y＝0，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－2＝0,3x－4y＝0))，解得x＝eq\f(8,17)，y＝eq\f(6,17)，所以x＋y＝eq\f(14,17).10．－eq\f(10,3)解析：c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－eq\f(10,3).11．0解析：a＝(1，3)，a＋b＝(－1，2)，b＝(－1，2)－(1，3)＝(－2，－1)，a－b＝(3，4)，|a－b|＋a·b＝eq\r(9＋16)＋(－2－3)＝0.12．3解析：∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴M為△ABC的重心，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.13．C依據(jù)題設(shè)條件建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0，4)，B(3，0)，易知點(diǎn)Q運(yùn)動的區(qū)域?yàn)閳D中的兩條線段DE，GF與兩個半圓圍成的區(qū)域(含邊界)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝aeq\o(AB,\s\up6(→))＋beq\o(AC,\s\up6(→))＝(3a，4b)，設(shè)z＝a＋b，則b＝z－a，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(3a，4z－4a).設(shè)Q(x，y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3a，,y＝4z－4a，))消去a，得y＝－eq\f(4,3)x＋4z，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，直線y＝－eq\f(4,3)x＋4z與圓相切時，直線的縱截距最大，即z取得最大值，不妨作AQ⊥BC于Q，并延長交每個圓的公切線于點(diǎn)R，則|AQ|＝eq\f(12,5)，|AR|＝eq\f(17,5)，所以點(diǎn)A到直線y＝－eq\f(4,3)x＋4z，即4x＋3y－12z＝0的距離為eq\f(17,5)，所以eq\f(|－12z|,\r(32＋42))＝eq\f(17,5)，解得z＝eq\f(17,12)，即a＋b的最大值為eq\f(17,12).14．B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0).不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2，1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得λ＝eq\f(6,5)，μ＝eq\f(2,5)，則λ＋μ＝eq\f(8,5).故選B.15．[1，4]解析：依據(jù)題意，不妨設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為2eq\r(3)，以中心O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則可得F(－2eq\r(3)，0)，D(eq\r(3)，3)，C(2eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，－3)，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m，n)，則eq\o(CG,\s\up6(→))＝(m－2eq\r(3)，n)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3)，由eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))＋μeq\o(CD,\s\up6(→))可得：m－2eq\r(3)＝－eq\r(3)λ－eq\r(3)μ，即λ＋μ＝－eq\f(\r(3),3)m＋2