遼寧省沈陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考

Page17考試時(shí)間：120分鐘試題滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以，故選：A2.某單位有職工人，其中青年職工人，中年職工人，老年職工人．為了了解該單位職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本．若樣本中的青年職工為人，則樣本容量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合分層抽樣方法求出青年職工的比例繼而求出樣本容量【詳解】由題意得樣本容量為故選：A3.一個(gè)袋中裝有大小、質(zhì)地相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，設(shè)事務(wù)“至少有2個(gè)黑球”，下列事務(wù)中，與事務(wù)互斥而不互為對(duì)立的是（）A.都是黑球 B.恰好有1個(gè)黑球 C.恰好有1個(gè)紅球 D.至少有2個(gè)紅球【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)立事務(wù)、互斥事務(wù)的定義干脆求解即可．【詳解】解：從裝有大小和質(zhì)地完全相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，在中，至少有2個(gè)黑球和都是黑球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故錯(cuò)誤，在中，至少有2個(gè)黑球和恰有1個(gè)黑球不能同時(shí)發(fā)生，是互斥而不對(duì)立事務(wù)，故正確，在中，至少有2個(gè)黑球和恰有1個(gè)紅球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故錯(cuò)誤，在中，至少有2個(gè)黑球和至少有2個(gè)紅球事務(wù)不能同時(shí)發(fā)生，是對(duì)立事務(wù)，故錯(cuò)誤．故選：．4.考古科學(xué)家在測(cè)定良渚古城遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而削減”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量隨時(shí)間（單位：年）的衰變規(guī)律滿意（表示碳14原有的質(zhì)量）.經(jīng)過(guò)測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的至，據(jù)此推想良渚古城存在的時(shí)期距今約在______年到5730年之間，則“______”為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.4011 B.3438 C.2865 D.2292【答案】A【解析】【分析】利用題目所給的衰變規(guī)律計(jì)算出的范圍即可.【詳解】由題可得，兩邊同取以2為底的對(duì)數(shù)，得，所以，則推想良渚古城存在的時(shí)期距今約在4011年到5730年之間.故選：A.5.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)潔題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時(shí)，要留意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).6.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的最大值為－1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得時(shí)的值域，當(dāng)時(shí)，依據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可得，依據(jù)題干條件，列出不等式，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-1的拋物線，所以當(dāng)x=-1時(shí)，有最大值，由題意得，解得，故選：D7.已知函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，如圖分析臨界直線，可得的取值范圍.【詳解】,即，函數(shù)表示恒過(guò)點(diǎn)的直線，如圖畫(huà)出函數(shù)，以及的圖象，如圖，有兩個(gè)臨界值，一個(gè)是直線過(guò)點(diǎn)，此時(shí)直線的斜率，另一個(gè)臨界值是直線與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，，解得：，或，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)是如圖，滿意條件，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)是不成立，所以，如圖，曲線與直線有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.故選：B8.已知函數(shù)，若不等式（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），對(duì)隨意的恒成立，則整數(shù)的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先推斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，再結(jié)合性質(zhì)解不等式得到，只須要求二次函數(shù)的最大值，即解得的范圍，再利用對(duì)數(shù)式比大小即得到整數(shù)的最小值.【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知和在R上是遞增函數(shù)，故在R上是遞增函數(shù).又，故是奇函數(shù).故不等式即轉(zhuǎn)化為：，即，故，所以，而對(duì)稱軸為，依據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性可知對(duì)隨意的上，當(dāng)時(shí)，，故，故，而，即，故整數(shù)的最小值是4.故選：C.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于先推斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，并結(jié)合性質(zhì)化簡(jiǎn)恒成立式，再解決恒成立問(wèn)題即可，解決恒成立問(wèn)題的常用方法：①數(shù)形結(jié)合法：畫(huà)圖像，對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)限制條件；②分別參數(shù)法：轉(zhuǎn)化成參數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系；③構(gòu)造函數(shù)法：轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值（含參數(shù)）的范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.某籃球運(yùn)動(dòng)員8場(chǎng)競(jìng)賽中罰球次數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為：2，6，8，3，3，4，6，8，關(guān)于該組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.中位數(shù)為3 B.眾數(shù)為3，6，8C.平均數(shù)為5 D.方差為4.8【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及方程的計(jì)算公式，即可簡(jiǎn)潔選擇.【詳解】對(duì)數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，4，6，8，依據(jù)從小到大排序即為，中間兩個(gè)數(shù)字為：，故其中位數(shù)是，故錯(cuò)誤；明顯數(shù)據(jù)均出現(xiàn)次，故眾數(shù)為，則正確；又其平均數(shù)為，故正確；則其方差為：，故錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差的求解，屬簡(jiǎn)潔題.10.下列所給函數(shù)中值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】A.利用冪函數(shù)的性質(zhì)推斷；B.令，轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)推斷；C.令，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)函數(shù)推斷；D.分和探討求解推斷.【詳解】A.因?yàn)榈亩x域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)且為偶函數(shù)，所以其值域是，故正確；B.令，則，故錯(cuò)誤；C.令，則，故錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：，故正確；故選：AD11.下列推斷不正確的是（）A.函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)B.的單調(diào)減區(qū)間為（4，＋∞）C.已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－4，1）D.已知在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、基本不等式、分段函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行推斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，明顯不符合減函數(shù)的性質(zhì)，所以A不正確；B：函數(shù)定義域滿意所以定義域?yàn)椋O(shè)在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的單調(diào)增區(qū)間為（4，＋∞），所以B不正確.C：因?yàn)?，所以有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要想恒成立，只需，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，即，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在R上是減函數(shù)，還須要滿意即，綜上a的取值范圍是，故D不正確.故選：ABD12.已知函數(shù)，使得“方程有6個(gè)相異實(shí)根”成立的充分條件是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】令.經(jīng)過(guò)分析可得，要使方程有6個(gè)相異實(shí)根，則應(yīng)滿意方程有兩個(gè)不同的解、，且滿意，.結(jié)合，.即可得到，構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)，依據(jù)單調(diào)性即可得到，即可得到的范圍，進(jìn)而得到答案.【詳解】令，方程可化為，該方程最多有兩個(gè)解.當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，設(shè)為、，則由韋達(dá)定理可得，.當(dāng)時(shí)，在處有最大值1.作出的圖象如下圖.由圖象可得，當(dāng)時(shí)，與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)解.要使方程有6個(gè)相異實(shí)根，則應(yīng)有，，且.又，.且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，則，即，所以.又，所以.所以，令，依據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，有恒成立，即.所以，即，則有.即“方程有6個(gè)相異實(shí)根”成立的充要條件是.所以，“方程有6個(gè)相異實(shí)根”成立的充分條件的范圍應(yīng)當(dāng)為上述范圍的子集.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，，則用“＜”連接這三個(gè)數(shù)應(yīng)為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】分別利用函數(shù)、、的單調(diào)性求出a、b、c的取值范圍，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即；因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，且-3.2<0，所以，即；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且6>1，所以，即，故.故答案為：14.已知四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.從中任選2個(gè)，則事務(wù)“所選2個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為_(kāi)_______【答案】【解析】【詳解】由四個(gè)函數(shù)①；②；③；④，從中任選個(gè)函數(shù)，共有種，其中“所選個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”共有①③、①④，共有種，所以“所選個(gè)函數(shù)的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.15.函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.所以答案應(yīng)填：.考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；2、二次函數(shù)的最值.16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若函數(shù)滿意條件：存在，使在上的值域是，則稱為“雙倍函數(shù)”，若函數(shù)為“雙倍函數(shù)”．則實(shí)數(shù)t的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題設(shè)條件可得的兩個(gè)不同的解，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元法可得在上有兩個(gè)不同的正數(shù)解，結(jié)合根分布可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，設(shè)此函數(shù)的值域?yàn)?，則，而在上為增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，由為“雙倍函數(shù)”，故，故為方程的兩個(gè)不同的解，故即方程有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則在上有兩個(gè)不同的正數(shù)解，故，解得.故答案為：.四、解答題：本大題共6道小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知．（1）若p為真命題，求此不等式的解集；（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)分式不等式的求解方法，可得答案；（2）依據(jù)充分條件的集合表示形式，利用分類探討，依據(jù)含參二次不等式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】已知P為真命題，由，，可得，所以．所以不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閜是q的充分條件，所以對(duì)應(yīng)的集合是所對(duì)應(yīng)集合的子集．q：，可得①當(dāng)時(shí)，q：；因?yàn)閷?duì)應(yīng)的集合是所對(duì)應(yīng)集合的子集，所以，可得．②當(dāng)時(shí)，q：，所以不符合題意；③當(dāng)時(shí)，q：；因?yàn)閷?duì)應(yīng)的集合是所對(duì)應(yīng)集合的子集，所以，無(wú)解．所以m的取值范圍為．18.（1）先后擲兩個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子，視察朝上的面的點(diǎn)數(shù)，記事務(wù)A：兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)相同，事務(wù)B：點(diǎn)數(shù)之和小于7.求，；（2）某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)在假期招收了A，B兩個(gè)數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)班，A班10人，B班30人，經(jīng)過(guò)一周的補(bǔ)習(xí)后進(jìn)行了一次測(cè)試，在該測(cè)試中，A班的平均成果為130分，方差為115，B班的平均成果為110分，方差為215.求在這次測(cè)試中全體學(xué)生的平均成果和方差．【答案】（1），；（2）平均分為115，方差為265.【解析】【分析】（1）求出試驗(yàn)樣本空間，寫(xiě)出各個(gè)事務(wù)包含的基本領(lǐng)件，依據(jù)古典概型公式即可求出；（2）依據(jù)各層的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)，將總數(shù)求出來(lái)除以總?cè)藬?shù)即可得出.在求總體方差時(shí)，首先推出總體方差與各層方差、平均數(shù)之間的關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)即可求得.【小問(wèn)1詳解】拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，第一枚骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與其次枚骰子的隨意一個(gè)結(jié)果配對(duì).用數(shù)字表示第一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是，數(shù)字表示第一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是，則數(shù)組表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn).因此該試驗(yàn)的樣本空間，其中共有36個(gè)樣本點(diǎn).由于骰子的質(zhì)地勻稱，所以各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所?【小問(wèn)2詳解】A班學(xué)生成果用來(lái)表示，B班學(xué)生成果用來(lái)表示.設(shè)A班平均成果為，方差為；B班平均成果為，方差為.則，，，.全體學(xué)生的平均成果為，全體學(xué)生的方差.由，可得.同理可得，.因此，.所以，全體學(xué)生的平均分為115，全體學(xué)生成果的方差為265.19.已知函數(shù)f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設(shè)g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，(1)求g(x)的解析式及定義域；(2)求函數(shù)g(x)的最大值和最小值．【答案】（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【詳解】（1）f(x)＝2x的定義域是[0,3]，設(shè)g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，因?yàn)閒(x)的定義域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是g(x)的定義域?yàn)閧x|0≤x≤1}．（2）設(shè)．∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴當(dāng)2x=2即x=1時(shí)，g(x)取得最小值-4；當(dāng)2x=1即x=0時(shí)，g(x)取得最大值-3．20.為了選擇奧賽培訓(xùn)對(duì)象，今年月我校進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從參與競(jìng)賽的同學(xué)中，選取名同學(xué)將其成果分成六組：第組，第組，第組，第組，第組，第組，得到頻率分布直方圖（如圖），視察圖形中的信息，回答下列問(wèn)題：（1）利用組中值估計(jì)本次考試成果的平均數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)第百分位數(shù)是多少；（3）已知學(xué)生成果評(píng)定等級(jí)有優(yōu)秀?良好?一般三個(gè)等級(jí)，其中成果不小于分時(shí)為優(yōu)秀等級(jí)，若從第組和第組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取人，求所抽取的人中至少人成果優(yōu)秀的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)的方法干脆計(jì)算可得結(jié)果；（2）首先確定第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，由可求得結(jié)果；（3）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出第五組和第六組的人數(shù)，利用列舉法列舉出全部可能的基本領(lǐng)件，并確定滿意題意的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，依據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知平均數(shù).【小問(wèn)2詳解】成果在的頻率為，成果在的頻率為，第百分位數(shù)位于，設(shè)其為，則，解得：，第百分位數(shù)為.【小問(wèn)3詳解】第組的人數(shù)為：人，可記為；第組的人數(shù)為：人，可記為；則從中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種狀況；其中至少人成果優(yōu)秀的狀況有：，，，，，，，，，，，，，，，共種狀況；至少人成果優(yōu)秀的概率.21.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且．（1）求值，并確定的解析式；（2）若(且)，求在上值域．【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?【解析】【詳解】試題分析：（1）因?yàn)?，所以由冪函?shù)的性質(zhì)得，，解得，因?yàn)?，所以或，?yàn)證后可知，；（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故按，兩類，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的值域.試題解析：（1）因?yàn)?，所以由冪函?shù)的