專題-物理-L25-火車彎道和拱橋問題

火車彎道和拱橋問題物理專題2021/6/271一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)中常用的物理量有：線速度、角速度、周期、轉(zhuǎn)速、向心加速度等，具體關(guān)系見下表：2021/6/272一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)中常用的物理量有：線速度、角速度、周期、轉(zhuǎn)速、向心加速度等，具體關(guān)系見下表：注意：向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供．向心力是效果力，受力分析時(shí)，不可在物體的相互作用力以外再添加一個(gè)向心力．2021/6/273二、火車轉(zhuǎn)彎模型(1)火車車輪的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：火車車輪有凸出的輪緣，且火車在軌道上運(yùn)行時(shí)，有凸出輪緣的一邊在兩軌道的內(nèi)側(cè)，這種結(jié)構(gòu)有助于固定火車運(yùn)動(dòng)的軌跡．2021/6/274二、火車轉(zhuǎn)彎模型(2)鐵路的彎道①如果鐵路彎道的內(nèi)外軌一樣高，外側(cè)車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發(fā)生彈性形變，外軌對(duì)輪緣的彈力就是火車轉(zhuǎn)彎的向心力，如圖甲所示．但是火車的質(zhì)量很大，靠這種辦法得到向心力，輪緣與外軌間的相互作用太大，鐵軌和車輪極易受損．②如果在彎道處使外軌略高于內(nèi)軌(如圖乙所示)，火車轉(zhuǎn)彎時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力FN的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，與重力的合力指向圓心，為火車轉(zhuǎn)彎提供了一部分向心力，減小了輪緣與外軌的擠壓．2021/6/275二、火車轉(zhuǎn)彎模型(3)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)的規(guī)定速度如圖丙所示，若火車內(nèi)、外軌間的距離為L(zhǎng)，兩軌高度差為h，轉(zhuǎn)彎半徑為R，火車的質(zhì)量為m.根據(jù)三角形邊角關(guān)系知，sinθ＝

，由圖丙火車的受力情況：tanθ＝

，當(dāng)θ很小時(shí)，近似認(rèn)為sinθ＝tanθ，即

＝

，所以F合＝mg，2021/6/276二、火車轉(zhuǎn)彎模型由向心力公式知F合＝m，所以mg＝m，即v0＝.由于鐵軌建成后，h、L、R各量是確定的，故火車軌彎時(shí)的車速應(yīng)是一個(gè)定值，即規(guī)定速度．①當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度v＝v0時(shí)，輪緣對(duì)內(nèi)、外軌均無側(cè)向壓力．②當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度v>v0時(shí)，外軌道對(duì)輪緣有向里的側(cè)壓力．③當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度v<v0時(shí)，內(nèi)軌道對(duì)輪緣有向外的側(cè)壓力．④向心力是水平的．(4)其他彎道特點(diǎn)：高速公路、賽車的彎道處也是外高內(nèi)低，使重力和支持力的合力能提供車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力，減少由于轉(zhuǎn)彎產(chǎn)生的摩擦力對(duì)車輪的損壞．2021/6/277例題1鐵路轉(zhuǎn)彎處的圓弧半徑R＝900m，火車質(zhì)量為8×105kg，規(guī)定火車通過這里的速度為30m/s，火車軌距l(xiāng)＝1.4m，要使火車通過彎道時(shí)僅受重力與軌道的支持力，那么軌道應(yīng)該墊的高度h為多少？(θ較小時(shí)tanθ＝sinθ，g取10m/s2)解題思路：(1)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)實(shí)際是在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，因而具有水平方向的向心力．(2)若火車在轉(zhuǎn)彎處以規(guī)定速度轉(zhuǎn)彎，其向心力是由重力和支持力的合力提供．

此時(shí)內(nèi)、外軌道與輪緣間沒有側(cè)向壓力．2021/6/278解析：受力分析如圖所示，則F合＝mgtanθ…①，此時(shí)合力提供向心力，又由向心力公式得F合＝m②，由幾何關(guān)系得

＝sinθ…③，當(dāng)θ較小時(shí)，tanθ＝sinθ…④，由①②③④得h＝

＝m＝0.14m.2021/6/279三、汽車過拱橋問題(1)汽車在過拱形橋時(shí)，受到的支持力是變力，因此，汽車受到的合力也是變力，且大小、方向均變化．(2)汽車在拱形橋的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，支持力和重力在同一豎直線上，故合力也在此豎直線上．①汽車過拱形橋的最高點(diǎn)時(shí)，汽車對(duì)橋的壓力小于其重力．2021/6/2710A．如右圖所示，此時(shí)重力mg和支持力FN的合力提供汽車在該點(diǎn)的向心力．由牛頓第二定律得F＝mg－FN＝m，橋面對(duì)其支持力FN＝mg－m<mg.由牛頓第三定律知：汽車對(duì)橋面的壓力F′N＝FN＝mg－m<mg，方向豎直向下．2021/6/2711B．由F′N＝mg－m可知，汽車的行駛速率越大，汽車對(duì)橋面的壓力越?。划?dāng)汽車的速率等于

時(shí)，汽車對(duì)橋面的壓力為零，這是汽車在橋頂運(yùn)動(dòng)的最大臨界速度，超過這個(gè)速度，汽車將飛越橋頂．2021/6/2712②汽車通過凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)，汽車對(duì)橋面的壓力大于自身重力．如圖所示，重力mg和支持力FN的合力提供汽車在該點(diǎn)的向心力，由牛頓第二定律得F＝FN－mg＝m，橋面對(duì)其支持力FN＝mg＋m>mg.由牛頓第三定律知：汽車對(duì)橋面的壓力F′N＝FN＝mg＋m>mg，方向豎直向下．可見，此位置汽車對(duì)橋面的壓力大于自身重力，且汽車行駛的速率越大，汽車對(duì)橋面的壓力就越大．2021/6/2713例題2一輛質(zhì)量為4t的汽車駛過一半徑為50m的凸形橋面時(shí)，始終保持5m/s的速率，汽車所受的阻力為車與橋面壓力的0.05倍，通過橋的最高點(diǎn)時(shí)汽車的牽引力是多大？(g取10m/s2)2021/6/2714解析：對(duì)汽車在拱橋的最高點(diǎn)受力分析如圖所示，由于車速不變，所以在運(yùn)動(dòng)方向上有F＝Fμ汽車在橋的最高點(diǎn)時(shí)，車的重力和橋?qū)嚨闹С至Φ暮狭κ鞘蛊囎鰣A周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律有mg－FN＝m.由題意知Fμ＝kFN聯(lián)立以上三式解得F＝k(mg－m)＝0.05×(4×103×10－4×103×)N＝1900N.2021/6/2715例題小結(jié)：對(duì)于汽車過橋問題的分析，關(guān)鍵要抓住汽車在凸形橋的最高點(diǎn)和凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)的受力特點(diǎn)，考慮到汽車的實(shí)際情況，在凸形橋的最高點(diǎn)汽車的速度不能超過，在凹形橋的最低點(diǎn)汽車速度也不能太大，以防止支持力過大而導(dǎo)致爆胎．2021/6/2716例題3如圖所示，質(zhì)量m＝2.0×104kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為20m．如果橋面承受的壓力不得超過3.0×105N，則：(1)汽車允許的最大速度是多少？(2)若以所求速度行駛，汽車對(duì)橋面的最小壓力是多少？(g取10m/s2)2021/6/2717解析：(1)汽車在凹形橋底部時(shí)，由牛頓第二定律得FN－mg＝m，代入數(shù)據(jù)解得v＝10m/s.(2)汽車在凸形橋頂部時(shí)，由牛頓第二定律得mg－F′N＝.代入數(shù)據(jù)解得F′N＝105N，由牛頓第三定律知汽車對(duì)橋面的最小壓力等于105N.2021/6/2718本課小結(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)律兩種模型典型例題2021/6/2719下節(jié)課再見2021/6/2720二、火車轉(zhuǎn)彎模型火車位于水平鐵軌上，所需向心力完全由外軌產(chǎn)生的支持力提供，會(huì)對(duì)外軌造成較大擠壓。當(dāng)設(shè)計(jì)為外軌高，內(nèi)軌低時(shí)，向心力可以恰好完全由重力G和支持力N的合力來提供，對(duì)內(nèi)外軌不產(chǎn)生任何擠壓。列公式求得轉(zhuǎn)彎臨界速率為GNFθ2021/6/2721二、火車轉(zhuǎn)彎模型轉(zhuǎn)彎臨界速率為a.當(dāng)v=vm

時(shí):合外力等于向心力，對(duì)內(nèi)外軌都不產(chǎn)生擠壓b.若v>vm

時(shí):合外力小于向心力，外側(cè)軌道受到擠壓，產(chǎn)生指向圓心的支持力，提供部分需要的向心力c.若v<vm時(shí):合外力大于向心力，內(nèi)側(cè)軌道受到擠壓，產(chǎn)生向外的支持力，抵消多余的合外力2021/6/2722（1）汽車轉(zhuǎn)彎模型受力分析如圖，重力G和支持力N抵消，靜摩擦力f提供向心力而最大靜摩擦力安全速率與m無關(guān)！即應(yīng)滿足（安全速率）Gf2021/6/2723水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（1）汽車轉(zhuǎn)彎模型受力分析如圖，重力G和支持力N抵消，靜摩擦力f提供向心力而最大靜摩擦力安全速率與m無關(guān)！即應(yīng)滿足（安全速率）Gf2021/6/2724（2）火車轉(zhuǎn)彎模型火車位于水平鐵軌上，所需向心力完全由外軌產(chǎn)生的支持力提供，會(huì)對(duì)外軌造成較大擠壓。當(dāng)設(shè)計(jì)為外軌高，內(nèi)軌低時(shí)，向心力可以恰好完全由重力G和支持力N的合力來提供，對(duì)內(nèi)外軌不產(chǎn)生任何擠壓。列公式求得轉(zhuǎn)彎臨界速率為當(dāng)v=vm

時(shí):合外力等于向心力，對(duì)內(nèi)外軌都不產(chǎn)生擠壓若v>vm:合外力小于向心力，外側(cè)軌道受到擠壓，產(chǎn)生指向圓心的支持力，提供部分需要的向心力若v<vm:合外力大于向心力，內(nèi)側(cè)軌道受到擠壓，產(chǎn)生向外的支持力，抵消多余的合外力GNFθ2021/6/2725例題1鐵路在彎道處的內(nèi)外軌道高低是不同的．己知內(nèi)外軌道對(duì)水平面傾角為θ，如圖所示，彎道處的軌道圓弧半徑為R，若質(zhì)量為m的火車轉(zhuǎn)彎時(shí)的速度小于則（）A．內(nèi)軌對(duì)內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓B．外軌對(duì)外側(cè)車輪輪緣有擠壓C．這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力等于D．這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力大于解題思路：本題關(guān)鍵抓住火車所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的臨界情況，計(jì)算出臨界速度，然后根據(jù)離心運(yùn)動(dòng)和向心運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行分析2021/6/2726解析：火車以某一速度v通過某彎道時(shí)，內(nèi)、外軌道均不受側(cè)壓力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力由圖可以得出F合=mgtanθ（θ為軌道平面與水平面的夾角）合力等于向心力，故當(dāng)速度小于，重力和支持力的合力大于向心力，對(duì)內(nèi)軌道有擠壓．內(nèi)軌道對(duì)火車有斜向上的彈力。

則鐵軌對(duì)火車的支持力小于故A正確，B、C、D錯(cuò)誤本題關(guān)鍵抓住火車所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的臨界情況，計(jì)算出臨界速度，然后根據(jù)離心運(yùn)動(dòng)和向心運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行分析2021/6/2727解析：火車以某一速度v通過某彎道時(shí)，內(nèi)、外軌道均不受側(cè)壓力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力由圖可以得出

F合=mgtanθ（θ為軌道平面與水平面的夾角）合力等于向心力，故當(dāng)速度小于，重力和支持力的合力大于向心力，對(duì)內(nèi)軌道有擠壓．內(nèi)軌道對(duì)火車有斜向上的彈力。

則鐵軌對(duì)火車的支持力小于故A正確，B、C、D錯(cuò)誤本題關(guān)鍵抓住火車所受重力和支持力的合力恰好提供向心力的臨界情況，計(jì)算出臨界速度，然后根據(jù)離心運(yùn)動(dòng)和向心運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行分析

2021/6/2728①當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度v＝v0時(shí)，輪緣對(duì)內(nèi)、外軌均無側(cè)向壓力．②當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度v>v0時(shí)，外軌道對(duì)輪緣有向里的側(cè)壓力．③當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度v<v0時(shí)，內(nèi)軌道對(duì)輪緣有向外的側(cè)壓力．④向心力是水平的．(4)其他彎道特點(diǎn)：高速公路、賽車的彎道處也是外高內(nèi)低，使重力和支持力的合力能提供車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力，減少由于轉(zhuǎn)彎產(chǎn)生的摩擦力對(duì)車輪的損壞．2021/6/27292021/6/2730汽車在橋的最高點(diǎn)時(shí)，車的重力和橋?qū)嚨闹С至Φ暮狭κ鞘蛊囎鰣A周運(yùn)動(dòng)的向心力，方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律有mg－FN＝m.由題意知Fμ＝kFN聯(lián)立以上三式解得F＝k(mg－m)＝0.05×(4×103×10－4×103×