數(shù)學(xué)課堂探究：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系剖析：平均數(shù)在度量一組數(shù)據(jù)的集中化趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量中是應(yīng)用最廣泛的．計(jì)算平均數(shù)時(shí)全部數(shù)據(jù)都參加運(yùn)算，因此，用它來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的集中化趨勢(shì)的代表性比較好．但是它也有缺點(diǎn)，主要的問(wèn)題是平均數(shù)是根據(jù)一組數(shù)據(jù)中的全部數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算的,會(huì)受到數(shù)據(jù)中那些沒(méi)有代表性的極端值的影響．因此，有時(shí)在計(jì)算平均數(shù)時(shí),先剔除個(gè)別缺乏代表性的特殊值，所得到的結(jié)果可能會(huì)更具有代表性．中位數(shù)主要受一組數(shù)據(jù)中的中間位置上的數(shù)值的影響，用中位數(shù)來(lái)反映一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)大小的一般水平并不很精確．但中位數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單，與平均數(shù)相比，中位數(shù)不受數(shù)據(jù)中極端值的影響．從這個(gè)意義出發(fā)，它可以作為數(shù)據(jù)平均指標(biāo)的代表值．眾數(shù)并沒(méi)有通常意義上的“平均”的含義．但眾數(shù)在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，說(shuō)明該數(shù)值在數(shù)據(jù)中最具有代表性．眾數(shù)不會(huì)受到數(shù)據(jù)中極端值的影響，但并不是每一組數(shù)據(jù)都是具有眾數(shù)的．對(duì)于分組數(shù)據(jù)而言,眾數(shù)常常依賴于分組的情況，分組數(shù)改變時(shí)，眾數(shù)可能就有較大的變化，穩(wěn)定性較差．同時(shí)眾數(shù)也可能是不唯一的．2．方差、極差和標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)剖析：方差、極差和標(biāo)準(zhǔn)差是從不同角度描述一組數(shù)據(jù)的離散趨勢(shì)的．它們各自的特點(diǎn)及應(yīng)用如下：雖然極差沒(méi)有充分利用數(shù)據(jù)，不能提供更確切的信息，但由于只涉及兩個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算非常簡(jiǎn)便，所以極差在實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)檢查時(shí)經(jīng)常利用，但極差沒(méi)有考慮各中間值．方差充分利用了所得到的數(shù)據(jù)，提供了更確切的信息．在統(tǒng)計(jì)中，方差能夠較好地區(qū)別出不同組數(shù)據(jù)的分散情況或程度，但方差的單位是原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位的平方．而標(biāo)準(zhǔn)差能夠和方差一樣區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)的分散情況，且其單位與原始觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位相同．(1）當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性．(2）數(shù)據(jù)組x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2,標(biāo)準(zhǔn)差為s,則數(shù)據(jù)組ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a，b為常數(shù)）的平均數(shù)為aeq\x\to(x）＋b，方差為a2s2，標(biāo)準(zhǔn)差為as．題型一用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計(jì)總體【例1】某工廠人員及工資構(gòu)成如下表:人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)周工資2200250220200100人數(shù)16510123（1)指出這個(gè)問(wèn)題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．(2）這個(gè)問(wèn)題中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的工資水平嗎？為什么？分析:本題著眼于眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各自的特點(diǎn)，以及適用對(duì)象．解：(1）由題中表格可知：眾數(shù)為200,中位數(shù)為220，平均數(shù)為(2200＋250×6＋220×5＋200×10＋100)÷23＝300(元/周）．（2)雖然平均數(shù)為300元/周，但從題中表格中所列出的數(shù)據(jù)可見(jiàn)，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該廠的工資水平．反思平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,降低了對(duì)總體估計(jì)的可靠性，這時(shí)平均數(shù)反而不如眾數(shù)、中位數(shù)更客觀．題型二用方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體【例2】（2013江蘇高考，6)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán)），結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為_(kāi)_________．解析：由題中數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)甲＝90，eq\x\to（x）乙＝90．于是seq\o\al(2，甲）＝eq\f（1,5）[（87－90）2＋(91－90）2＋（90－90）2＋(89－90）2＋(93－90)2]＝4,seq\o\al（2，乙）＝eq\f(1，5)[（89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90）2］＝2,由seq\o\al(2，甲)〉seq\o\al(2,乙），可知乙運(yùn)動(dòng)員成績(jī)穩(wěn)定．故應(yīng)填2．答案：2反思對(duì)于常用的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的公式要能夠熟練記憶，不能記錯(cuò)公式，造成計(jì)算上的失誤，使得統(tǒng)計(jì)的結(jié)果失去真實(shí)的意義．另外，應(yīng)用求得的標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)論時(shí)，要特別注意標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小,數(shù)據(jù)的離散程度較小．題型三樣本數(shù)字特征的應(yīng)用【例3】畫(huà)出下列四組數(shù)據(jù)的頻率分布條形圖，并說(shuō)明它們的異同點(diǎn)．(1)5，5,5，5,5，5，5,5，5；(2）4,4,4，5，5，5，6,6,6；（3）3,3,4，4,5，6，6,7，7；（4）2,2,2，2，5,8，8,8，8．分析：比較四組數(shù)據(jù)的異同可從它們的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差這些數(shù)字特征入手,分析它們的集中趨勢(shì)或離散程度．解：四組數(shù)據(jù)的頻率分布條形圖如圖所示．四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5，標(biāo)準(zhǔn)差分別是0．00，0．82,1．49,2．83．雖然它們有相同的平均數(shù)，但是它們的標(biāo)準(zhǔn)差不同,說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度是不一樣的．反思頻率分布條形圖可以將我們所要求的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等數(shù)據(jù)一一用圖形直觀顯示出來(lái)，幫助我們獲取有用的信息，特別是在對(duì)兩組數(shù)據(jù)間進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)用非常方便．題型四易錯(cuò)辨析【例4】若10個(gè)正整數(shù)的平方和是208，平均數(shù)是4,則這組數(shù)據(jù)的方差為多少?將這組數(shù)據(jù)同時(shí)減去3，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為多少？方差為多少?錯(cuò)解:s2＝eq\f(1,10)(xeq\o\al（2，1）＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,10）－10eq\x\to(x))＝16．8，這組數(shù)據(jù)都減去3后，平均數(shù)為4－3＝1,方差為16．8－9＝7．8．錯(cuò)因分析：對(duì)平均數(shù)、方差的公式不清楚，致使計(jì)算結(jié)果不正確．正解:由方差公式s2＝eq\f(1,n)［（x1－eq\x\to(x）)2＋（x2－eq\x\to(x））2＋…＋(xn－eq\x\to(x)）2］，展開(kāi)整理可得s2＝eq\f（1,n)[(xeq\o\al(2，1)＋xeq\o\al(2，2)＋…＋xeq\o\al（2，n))－n（eq\x\to（x))2],這里由題設(shè)n＝10，xeq\o\al(2，1)＋xeq\o