2025屆新高考數(shù)學復習系列模擬試卷新高考I卷專題7含解析

Page24數(shù)學試卷第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2024秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由補集的定義即可求解.【詳解】因為全集，集合，由補集的運算可得或，對應(yīng)區(qū)間為.故選：B.2．（2024秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中?？计谀┤魪蛿?shù)滿意，則的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)復數(shù)除法運算可求得，依據(jù)共軛復數(shù)定義可得結(jié)果.【詳解】，.故選：C.3．（2024·全國·高三專題練習）我國古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)覺并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學的圖騰，還被用做第24屆國際數(shù)學家大會的會徽．如圖，大正方形是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)向量數(shù)乘和加減法法則，結(jié)合幾何圖形即可求解.【詳解】，即，∴．故選：A．4．（2024·全國·模擬預料）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題中定義，結(jié)合圓錐的側(cè)面積和體積公式進行求解即可.【詳解】設(shè)直角圓角的底面半徑為，母線為，高為，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以有，因為直角圓錐的側(cè)面積為，所以有，即，因此，所以該直角圓錐的體積為，故選：D5．（2024秋·福建·高三校聯(lián)考階段練習）某學習小組八名學生在一次物理測驗中的得分（單位：分）如下：，這八人成果的第60百分位數(shù)是.若在該小組隨機選取兩名學生，則得分都比低的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先依據(jù)題意得到，再利用古典概型公式求解即可.【詳解】，故這8人成果的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個數(shù)，即，在該小組隨機選取兩名學生共有種狀況，其中得分都比低的有種，所以所求概率故選：C6．（2024秋·天津南開·高三南開中學?？茧A段練習）將函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．過點 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【分析】利用函數(shù)圖象變換可求得函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可推斷AB選項；計算出的值，可推斷C選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可推斷D選項.【詳解】將函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的，可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位，可得到函數(shù)的圖象，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，當時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，D對.故選：D.7．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，可推斷，再利用，即可得到答案.【詳解】，則，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則則，即由，∴，故同理可證又，∴，則故選：C.8．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預料）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，在等腰中，求得，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，由正弦定理得，設(shè)外接球球心是，可得是直角梯形，設(shè)可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半徑，利用三角恒等變換，換元法，變形后由基本不等式求得最小值，從而得球表面積的最小值．【詳解】設(shè)，在等腰中，，設(shè)的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設(shè)，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當且僅當，時等號成立，所以的最小值是．故選：D.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是用一個變量表示出球的表面積，前提是選定一個參數(shù)，由已知設(shè)，其他量都用表示，并利用三角函數(shù)恒等變換，換元法，基本不等式等求得最小值．考查了學生的運算求解實力，邏輯思維實力，屬于難題．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．平面 D．與所成的角是【答案】ABD【分析】A．利用三角形中位線進行證明；B．通過線面平行的定理證明；C．通過線面垂直的性質(zhì)進行推斷；D．通過平行的傳遞性找出即為與所成的角，即可求出答案．【詳解】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，明顯不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10．（2024秋·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的微小值是C．當時，對于隨意的，都有D．函數(shù)的圖像有條切線方程為【答案】AB【分析】對函數(shù)進行求導，對A令即可解決問題；B選項把增減區(qū)間求出來后即可得極值；C選項做差法證明即可；D由切線斜率為3動身反向分析即可得答案.【詳解】因為所以，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的微小值為，故選項B正確；由，若即沖突，故選項C錯誤．，解的或，當時切點不在上當時切點不在上，故選項D錯誤，故選：AB．11．（2024秋·湖南永州·高三永州市第一中學?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，過拋物線上一點作的垂線，垂足為，則下列說法正確的是（

）A．準線的方程為B．若過焦點的直線交拋物線于兩點，且，則C．若，則的最小值為3D．延長交拋物線于點，若，則【答案】BCD【分析】依據(jù)拋物線準線方程、拋物線的定義，結(jié)合兩點間線段最短、相像三角形的性質(zhì)逐一推斷即可.【詳解】因為拋物線的方程為，所以，所以準線的方程為錯誤；由題意可知，B正確；由拋物線上的點到焦點與到準線的距離相等可知，所以當三點共線時，取得最小值，即為點到準線的距離，所以最小值為正確；如圖所示，不妨設(shè)在第一象限，過作軸于點，過作軸于點，過作準線的垂線，垂足為，設(shè)準線與軸的交點為，則，易知，則有，即，解得，則，D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用相像三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12．（2024秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習）已知奇函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且恒成立，則下列選項正確的是（

）．A．為非奇非偶函數(shù)B．C．D．【答案】BCD【分析】由函數(shù)的奇偶性定義推斷出為奇函數(shù)，A錯誤；賦值法得到，結(jié)合奇偶性得到，聯(lián)立后求出，B正確；將變形為，令，則，結(jié)合是奇函數(shù)，得到是一個周期為4的周期函數(shù)，得到，求出，C正確；對求導，得到，賦值法得到，，結(jié)合的周期性與奇偶性得到的周期性和奇偶性，得到.【詳解】由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，故的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，故A選項錯誤；由已知有：恒成立，令時，①，因為為奇函數(shù)，故，令時，②，由①②解得：，，故B選項正確；由已知有：恒成立，即恒成立，令，則恒成立，由A選項知是奇函數(shù)，故，故，即，所以，所以是一個周期為4的周期函數(shù)，則，所以，故C選項正確；由已知有：在R上可導，對求導有：，即，令時，，則，因為，所以．又因為是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)，所以，因為是一個周期為4的周期函數(shù)，所以也是一個周期為4的周期函數(shù)，以下是證明過程：假設(shè)為周期為的函數(shù)，則，所以為周期為的函數(shù)，故，故D選項正確．故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為4a．第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）的綻開式中項的系數(shù)為______________________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由二項式綻開式的通項公式求解即可【詳解】的綻開式通項為，所以，．故所求的系數(shù)為．故答案為：14．（2024秋·吉林通化·高三梅河口市第五中學?？计谀┮阎獔A與圓相交于兩點，則_________.【答案】【分析】兩圓方程相減，即可求出直線AB的方程為，求出圓心到直線AB的距離d，進而依據(jù)幾何法得弦.【詳解】解：因為圓與圓相交于兩點，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.15．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知點在曲線上，該曲線過的切線交坐標軸于兩點，若，則△面積的取值范圍是____________________.（為坐標原點）【答案】【分析】依據(jù)切線方程的公式，得到切線為：，依據(jù)題意計算，，列出△面積為，再令，，利用導數(shù)探討△面積的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，得，，切線方程為：，設(shè)切線交軸于，交軸于，故可得，，則△面積為：，又，，令，，則，所以，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故，時，，所以，，則△面積的取值范圍是.故答案為：16．（2024秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強學校校考期末）以原點為對稱中心的橢圓C1，C2焦點分別在x軸，y軸，離心率分別為e1，e2，直線l交C1，C2所得的弦中點分別為，若，則直線l的斜率為__________．【答案】±1．【分析】利用點差法可得，，進而可得，然后結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)橢圓，橢圓，設(shè)直線l與C1的交點為，直線l的斜率為，則，∴，即，∴，同理可得，又，∴，，又，∴，即，∴，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2024·浙江·模擬預料）已知正項數(shù)列的前項和為，且，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和，求證：.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）依據(jù)與的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列即可得出答案；（2）利用裂項相消法求出，即可得證.【詳解】（1）解：當時，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，又，所以數(shù)列是以為首項為公差的等差數(shù)列，所以；（2）解：，則，所以，所以.18．（2024秋·河北·高三統(tǒng)考階段練習）在中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且．(1)求A的值；(2)若的面積為，求a的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）依據(jù)三角恒等變換可得，然后依據(jù)正弦定理及余弦定理結(jié)合條件即得；（2）依據(jù)三角形面積公式可得，然后依據(jù)余弦定理及基本不等式即得.【詳解】（1）由，可得所以整理得：，由正弦定理得：，∴，∵A為內(nèi)角，∴；（2）由，得，所以，∵，∴，當且僅當時，符號成立，∴，又，∴，即a的最小值為．19．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，且平面平面.(1)求證：；(2)若直線與平面所成的角為，E為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明平面來證得.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面所成銳二面角的大小.【詳解】（1）設(shè)，則中點為M，且∵平面平面且交線為，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，不妨設(shè)以B為原點，分別為x，y，z軸正向建立坐標系，，設(shè)平面的法向量為，故可設(shè)，設(shè)平面的法向量為，，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴.20．（2024秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）2024年，一場突如其來的新型冠狀病毒疫情席卷全球，時至今日，仍影響著人們的生產(chǎn)生活，為快速箭查出陽性患者，需按如下方案進行核酸檢測：隨機將10人分成一組，將10人樣本混合后檢測.若混合樣本呈陰性，說明10人全部陰性；若混合樣本呈陽性，說明其中至少一人呈陽性，則必需對這10人進行單人單檢.假設(shè)攜帶病毒（陽性）的人在人群中的占比為，且每個人是否攜帶病毒相互獨立.(1)現(xiàn)有10份單人單檢的樣本，其中有2份為陽性.求恰好經(jīng)過3次檢測就排查出全部陽性樣本的概率.(2)請結(jié)合離散型隨機變量及其分布列的有關(guān)學問，計算當值在什么范圍時，上述核酸檢測方案優(yōu)于單人單檢方案.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)；(2)【分析】（1）分析試驗過程，利用獨立重復試驗的概率公式即可求解；（2）計算出10人混采次數(shù)的數(shù)學期望，建立不等式，即可解得.【詳解】（1）記事務(wù)A：恰好經(jīng)過3次檢測就排查出全部陽性樣本.所以須要第三次檢測是陽性，前兩次中有一次是陽性..即恰好經(jīng)過3次檢測就排查出全部陽性樣本的概率為.（2）有10人參與核酸檢測.若采納單人單檢方案，10人須要采集10次；若采納上述核酸檢測方案，檢測次數(shù)為，則的可能取值為1，11.其中，.所以要使上述核酸檢測方案優(yōu)于單人單檢方案，只需，整理化簡得：，解得：.因為，所以，所以，所以.綜上所述：當時，上述核酸檢測方案優(yōu)于單人單檢方案21．（2024秋·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線的離心率為，經(jīng)過坐標原點O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點，點位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點，，設(shè)(1)求雙曲線Q的標準方程；(2)求證：C，D，B三點共線；(3)若面積為，求直線l的方程．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）依據(jù)離心率即可求解，（2）利用坐標運算，結(jié)合點差法以及向量共線的坐標表示即可求解，（3）依據(jù)三角形面積公式，利用聯(lián)立方程，韋達定理，代入化簡即可得到關(guān)于的方程，【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線Q的標準方程為（2）由得,又，所以,，由得①，由于，在雙曲線上，所以，相減得②由①②得③，由于，所以，將③代入得，所以，因此C，D，B三點共線（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程為：，故，所以，直線的方程為，聯(lián)立，所以由于軸，，所以，所以，由于，代入得，令，則，化簡得，由于，所以，因此，解得或由于，所以，故直線方程為【點睛】方法點睛：解析幾何中的弦長以及面積問題以及最值是常見的