2024-2025年高考數(shù)學真題分類匯編專題17計數(shù)原理填空題

專題17計數(shù)原理（填空題）近三年高考真題學問點1：利用二項式定理求項的系數(shù)1．（2024?天津）在的綻開式中，項的系數(shù)為．【答案】60．【解析】二項式的綻開式的通項為，令得，，項的系數(shù)為．故答案為：60．2．（2024?上海）二項式的綻開式中，項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則．【答案】10．【解析】二項式的綻開式中，項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，即，即，，故答案為：10．3．（2024?浙江）已知多項式，則．【答案】8，．【解析】，；令，則，令，則，．故答案為：8，．4．（2024?新高考Ⅰ）的綻開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】．【解析】的通項公式為，當時，，當時，，的綻開式中的系數(shù)為．故答案為：．5．（2024?天津）的綻開式中的常數(shù)項為．【答案】15．【解析】的綻開式的通項是要求綻開式中的常數(shù)項只要使得，即常數(shù)項是，故答案為：156．（2024?上海）在的綻開式中，則含項的系數(shù)為．【答案】66．【解析】綻開式的通項公式為，由，得，得，即，即含項的系數(shù)為66，故答案為：66．7．（2024?天津）在的綻開式中，的系數(shù)是．【答案】160．【解析】的綻開式的通項公式為，令，解得，所以的系數(shù)是．故答案為：160．8．（2024?浙江）已知多項式，則，．【答案】5；10．【解析】即為綻開式中的系數(shù)，所以；令，則有，所以．故答案為：5；10．9．（2024?上海）已知二項式綻開式中，的系數(shù)為80，則．【答案】2．【解析】的綻開式的通項公式為，所以的系數(shù)為，解得．故答案為：2．10．（2024?北京）在的綻開式中，常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）【答案】．【解析】設綻開式的通項為，則令得．綻開式中常數(shù)項為：．故答案為：．學問點2：利用二項式定理求系數(shù)和問題11．（2024?上海）已知的綻開式中，唯有的系數(shù)最大，則的系數(shù)和為．【答案】64．【解析】由題意，，且，所以，所以令，的系數(shù)和為．故答案為：64．12．（2024?上海）已知，若存在，1，2，，使得，則的最大值為．【答案】49．【解析】二項式的通項為，，1，2，，，二項式的通項為，，1，2，，，，，1，2，，，若，則為奇數(shù)，此時，，，，又為奇數(shù)，的最大值為49．故答案為：49．學問點3：排列組合綜合運用13．（2024?新高考Ⅰ）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64．【解析】若選2門，則只能各選1門，有種，如選3門，則分體育類選