新教材2025版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第2課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第2課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式【課標(biāo)解讀】1.能在詳細(xì)的問(wèn)題情境中，發(fā)覺(jué)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．2．能夠運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性【教材要點(diǎn)】要點(diǎn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1．解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．留意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn)．批注(1)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，肯定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算精確．(2)在數(shù)列類型不易辨別時(shí)，要留意歸納遞推關(guān)系．【夯實(shí)雙基】1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不犯難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是()A．86里 B．172里C．96里 D．192里2．某企業(yè)在今年年初貸款a萬(wàn)元，年利率為γ，從今年年末起先每年償還肯定金額，預(yù)料五年內(nèi)還清，則每年應(yīng)償還()A．a(chǎn)1+γ1+γ5C．a(chǎn)γ1+γ51+3．已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，若2a1＝a3a4，且a5是a4與2的等差中項(xiàng)，則q的值是()A．1B．2C．－1或1D．－2或24．若{an}是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1等比數(shù)列前n項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用例1侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種特別有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由多數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m，有人說(shuō)，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度也是無(wú)限的增大，那么，試問(wèn)，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度真的是無(wú)限長(zhǎng)的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度為Sn，則()A．Sn無(wú)限大 B．Sn<3(3＋5)mC．Sn＝3(3＋5)m D．Sn可以取100m[聽課記錄](méi)【方法總結(jié)】此類幾何問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)學(xué)問(wèn)解決，要留意步驟的規(guī)范性．鞏固訓(xùn)練1如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)A1，B1，C1，D1分別為正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別為正方形A1，B1，C1，D1各邊的中點(diǎn)，……，記正方形AnBnCnDn的面積為an，若數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和Sm＝6332，則m題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例2某制糖廠第一年制糖5萬(wàn)噸．假如平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第一年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸(保留到個(gè)位)？(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.6＝0.20，lg1.1＝0.041.)[聽課記錄](méi)【方法總結(jié)】解決數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，一是明確問(wèn)題屬于哪類應(yīng)用問(wèn)題，即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問(wèn)題，還是含有遞推關(guān)系的數(shù)列問(wèn)題；二是明確是求an，還是求Sn.鞏固訓(xùn)練2一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘內(nèi)，它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上上升度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎？題型3等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例3[2024·廣東汕尾高二期末]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝－3，S3＝9.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，推斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列并說(shuō)明理由．[聽課記錄](méi)【方法總結(jié)】解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，一般不能干脆套用公式，要先對(duì)已知條件轉(zhuǎn)化變形，使之符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，然后利用公式求解．同時(shí)，要留意在題設(shè)條件下，尋求等差數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系．鞏固訓(xùn)練3[2024·湖南師大附中高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿意a2＝4，a1＋a5＝14.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且b1＝a1，b32＝a6，bn＋1>bn，求滿意第2課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式新知初探·課前預(yù)習(xí)[夯實(shí)雙基]1．解析：設(shè)此人第n天走的路程為an里，n∈{1，2，3，4，5，6}，所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列{an}，依題可知，公比為12，所以378＝a11-故選D.答案：D2．解析：設(shè)每年償還x萬(wàn)元，則x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，所以x1-1+γ51-1+γ＝a(1＋故選B.答案：B3．解析：由2a1＝a3a4解得a6＝2.因?yàn)閍5是a4與2的等差中項(xiàng)，所以2a5＝a4＋2.把a(bǔ)6＝2代入得：2a5＝a4＋a6，消去a4得：2q＝1＋q2，解得q＝1.故選A.答案：A4．解析：明顯q≠1此時(shí)應(yīng)有Sn＝A(qn－1)又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－1答案：－1題型探究·課堂解透例1解析：由題意，從外到內(nèi)正方形的邊長(zhǎng)依次為a1＝m，a2＝2m32+m32＝5m3，a3＝25m3×32+5m3×Sn→3(3＋5)m.故選B.答案：B鞏固訓(xùn)練1解析：因?yàn)镾ABCD＝22SA1B1C依題意可得an＋1＝12an，且a1＝1，所以{an}是以1為首項(xiàng)，1所以Sn＝1·1-12n1-12所以6332＝2[1－(12)m]，即(12)m＝1答案：6例2解析：設(shè)該糖廠第n年的產(chǎn)量為an(n∈N*)萬(wàn)噸，由題意得a1＝5，an+1所以{an}是以5為首項(xiàng)，1.1為公比的等比數(shù)列，所以前n年總產(chǎn)量Sn＝51-1.1所以50(1.1n－1)＝30，即1.1n＝1.6，兩邊同取對(duì)數(shù)可得lg1.1n＝lg1.6，整理得n＝lg1.6lg1.1所以大約5年，可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬(wàn)噸．鞏固訓(xùn)練2解析：用an表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由題意，得an＋1＝45an；因此，數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1公比q＝45的等比數(shù)列，熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a11-qn1即這個(gè)熱氣球上升的高度不行能超過(guò)125m．例3解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)镾2＝－3，S3＝9，所以a1+a所以an＝a1qn－1＝3·(－2)n－1.(2)因?yàn)閝＝－2，所以Sn＝a1qn-1所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)镾n＋1＝1－(－2)n＋1，Sn＋2＝1－(－2)n＋2，所以Sn＋1＋Sn＋2－2Sn＝[1－(－2)n＋1]＋[1－(－2)n＋2]－2[1－(－2)n]＝1＋2·(－2)n＋1－22·(－2)n－2＋2·(－2)n＝0，即Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn，所以Sn＋1，Sn