新教材2025版高中數(shù)學第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式第2課時等比數(shù)列的前n項和公式學生用書新人教A版選擇性必修第二冊

第2課時等比數(shù)列的前n項和公式【課標解讀】1.能在詳細的問題情境中，發(fā)覺數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題．2．能夠運用所學學問解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用問題．新知初探·課前預習——突出基礎性【教材要點】要點等比數(shù)列前n項和的實際應用1．解應用問題的核心是建立數(shù)學模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關系、建立數(shù)學模型．3．留意問題是求什么(n，an，Sn)．批注(1)在歸納或求通項公式時，肯定要將項數(shù)n計算精確．(2)在數(shù)列類型不易辨別時，要留意歸納遞推關系．【夯實雙基】1．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不犯難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關．要見每朝行里數(shù)，請公細致算相還．”意思是：有一個人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是()A．86里 B．172里C．96里 D．192里2．某企業(yè)在今年年初貸款a萬元，年利率為γ，從今年年末起先每年償還肯定金額，預料五年內(nèi)還清，則每年應償還()A．a(chǎn)1+γ1+γ5C．a(chǎn)γ1+γ51+3．已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，若2a1＝a3a4，且a5是a4與2的等差中項，則q的值是()A．1B．2C．－1或1D．－2或24．若{an}是等比數(shù)列，且前n項和為Sn＝3n－1＋t，則t＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1等比數(shù)列前n項和在幾何中的應用例1侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種特別有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由多數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎？設侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度為Sn，則()A．Sn無限大 B．Sn<3(3＋5)mC．Sn＝3(3＋5)m D．Sn可以取100m[聽課記錄]【方法總結(jié)】此類幾何問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關學問解決，要留意步驟的規(guī)范性．鞏固訓練1如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點A1，B1，C1，D1分別為正方形ABCD各邊的中點，點A2，B2，C2，D2分別為正方形A1，B1，C1，D1各邊的中點，……，記正方形AnBnCnDn的面積為an，若數(shù)列{an}的前m項和Sm＝6332，則m題型2等比數(shù)列前n項和公式的實際應用例2某制糖廠第一年制糖5萬噸．假如平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從第一年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達到30萬噸(保留到個位)？(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.6＝0.20，lg1.1＝0.041.)[聽課記錄]【方法總結(jié)】解決數(shù)列應用題時，一是明確問題屬于哪類應用問題，即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關系的數(shù)列問題；二是明確是求an，還是求Sn.鞏固訓練2一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘內(nèi)，它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上上升度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？題型3等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題例3[2024·廣東汕尾高二期末]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝－3，S3＝9.(1)求{an}的通項公式；(2)求Sn，推斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列并說明理由．[聽課記錄]【方法總結(jié)】解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題，一般不能干脆套用公式，要先對已知條件轉(zhuǎn)化變形，使之符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，然后利用公式求解．同時，要留意在題設條件下，尋求等差數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系．鞏固訓練3[2024·湖南師大附中高二期末]已知等差數(shù)列{an}滿意a2＝4，a1＋a5＝14.(1)求{an}的通項公式；(2)若等比數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且b1＝a1，b32＝a6，bn＋1>bn，求滿意第2課時等比數(shù)列的前n項和公式新知初探·課前預習[夯實雙基]1．解析：設此人第n天走的路程為an里，n∈{1，2，3，4，5，6}，所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列{an}，依題可知，公比為12，所以378＝a11-故選D.答案：D2．解析：設每年償還x萬元，則x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，所以x1-1+γ51-1+γ＝a(1＋故選B.答案：B3．解析：由2a1＝a3a4解得a6＝2.因為a5是a4與2的等差中項，所以2a5＝a4＋2.把a6＝2代入得：2a5＝a4＋a6，消去a4得：2q＝1＋q2，解得q＝1.故選A.答案：A4．解析：明顯q≠1此時應有Sn＝A(qn－1)又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－1答案：－1題型探究·課堂解透例1解析：由題意，從外到內(nèi)正方形的邊長依次為a1＝m，a2＝2m32+m32＝5m3，a3＝25m3×32+5m3×Sn→3(3＋5)m.故選B.答案：B鞏固訓練1解析：因為SABCD＝22SA1B1C依題意可得an＋1＝12an，且a1＝1，所以{an}是以1為首項，1所以Sn＝1·1-12n1-12所以6332＝2[1－(12)m]，即(12)m＝1答案：6例2解析：設該糖廠第n年的產(chǎn)量為an(n∈N*)萬噸，由題意得a1＝5，an+1所以{an}是以5為首項，1.1為公比的等比數(shù)列，所以前n年總產(chǎn)量Sn＝51-1.1所以50(1.1n－1)＝30，即1.1n＝1.6，兩邊同取對數(shù)可得lg1.1n＝lg1.6，整理得n＝lg1.6lg1.1所以大約5年，可使總產(chǎn)量達到30萬噸．鞏固訓練2解析：用an表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由題意，得an＋1＝45an；因此，數(shù)列{an}是首項a1公比q＝45的等比數(shù)列，熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a11-qn1即這個熱氣球上升的高度不行能超過125m．例3解析：(1)設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，因為S2＝－3，S3＝9，所以a1+a所以an＝a1qn－1＝3·(－2)n－1.(2)因為q＝－2，所以Sn＝a1qn-1所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，理由如下：因為Sn＋1＝1－(－2)n＋1，Sn＋2＝1－(－2)n＋2，所以Sn＋1＋Sn＋2－2Sn＝[1－(－2)n＋1]＋[1－(－2)n＋2]－2[1－(－2)n]＝1＋2·(－2)n＋1－22·(－2)n－2＋2·(－2)n＝0，即Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn，所以Sn＋1，Sn