數(shù)列習(xí)題8（較難）

2015-2016學(xué)年度???學(xué)校3月月考卷

試卷副標(biāo)題

1.(2013?湖州二模)定義-------n--------為n個(gè)正數(shù)Pt,P2,…p”的”均倒數(shù)”.若

P1+p2+-+pn

已知數(shù)列'｝的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為-L-,又b二冤三，則

2n+l%4

---+—-—+…+——-——=()

blb2b2b3blCbll

A.AB.XC.衛(wèi)I).皂

11101112

【答案】C

【解析】

試題分析：由已知得ai+az+…+an=n(2n+l)=Sn,求出S”后，利用當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sn

即可求得通項(xiàng)演，最后利用裂項(xiàng)法，即可求和.

解:由己知得---------------

al+a2+"'+an2n+l

+，,

/.ai+a2*+an=n(2n+l)=Sn

當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sn-i=4n-1,驗(yàn)證知當(dāng)n=l時(shí)也成立，

an=4n-1,

?入an+1

?,bn=yf

?1=1_1

..bnA+Jnn+1

(i-A)+(1-_1)+(A--1)+???+

(W-A)

blb2b2b3b10bll2233411

1.10

1111

故選c.

考點(diǎn)：類比推理.

1

2.已知｛q｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S”是｛q｝的前〃項(xiàng)和，且9s③=§6,則數(shù)列，

的前5項(xiàng)和為()

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)公比為％則—「)二」■,」-是首項(xiàng)為1,公比為1

91所以q=2.

]_q\-q2

1-(-)

31

的等比數(shù)列；所以數(shù)列1的前5項(xiàng)和為二與■.故選c

16

考點(diǎn)：1.等比數(shù)列；2.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

3.數(shù)列m〃｝滿足：>2/(〃>￡N"),給出下述命題:

①若數(shù)列｛2｝滿足：生>q,則an>aH_i(n>GN")成立；

②存在常數(shù)c,使得%>c(〃wN*)成立；

③若p+"〃z+〃(其中p,q、m,〃wN\則與>禺>/+2；

④存在常數(shù)d,使得凡>?+(〃-1)4(〃sN')都成立.

上述命題正確的是—.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

【答案】①④.

【解析】

試題分析：對(duì)①；因?yàn)槌?gt;%,所以4,一%>0,由已知>4“一%_],

所以4+1-勺…>%-4>0，即正確

對(duì)②:假設(shè)存在在常數(shù)。，使得“c,則有(甘，所以%+%應(yīng)有

最大值，錯(cuò)，

對(duì)③，因?yàn)椤?q>m+〃，K土幺>絲土巴，所以假設(shè)%,+%>《“+%,則應(yīng)有

巴上>。也，即原數(shù)列應(yīng)為遞增數(shù)列，錯(cuò)，對(duì)④，不妨設(shè)q=l，4用一%=〃，則

%-1)+1,若存在常數(shù)d,使得〃>〃+(〃—1時(shí)，應(yīng)有“<一8=4,顯

2n-\2

然成立，正確，所以正確命題的序號(hào)為①@.

考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用.

In4Ina2In%Inan_3n+2

4.已知數(shù)列伍〃｝滿足2583〃-[2(〃￡”)，則修。二()

A.jB.e26C.e%I).ei2

【答案】D

【解析】

InaIna,InaIn的29

----x---y-????-=--

試題分析：〃=9時(shí)，2---5----8------26--2.

Inq\na2In%In%Inaw32

當(dāng)〃=10時(shí)，25826292

---^-^=16

所以229,解得ln%o=32,.?.40=e32.故D正確.

考點(diǎn)：數(shù)列.

5.已知函數(shù)/(〃)=〃2cos(〃/T),且?！?/5)+/5+1),則4]+4+。3+…+4100=

A.0B.-100C.100D.10200

【答案】B

【解析】

-1⑺為奇數(shù)）

試題分析：,//(n)=zi?cos(m)=<=(-l)n/r,由

〃2（n為偶數(shù)）

4=4)+/(〃+1)

=(-l)rt.n2+(-l)n+，+1)2=(-If[n2-(n+1)2]=(-l)，，+，42/2+1)得

4+生+%+―+%=

3+（-5）4-7+（-9）+...=50x（-2）=TOO,故選B.

考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的解析式求法及其圖象；2、數(shù)列求和.

6.已知數(shù)列｛g｝的前八項(xiàng)和為，，若數(shù)列｛%｝滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以（%,?；）（n

END為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線4y=3/+胃工+"為非o常數(shù)）上運(yùn)動(dòng)，則稱數(shù)列｛（,〃｝

為“拋物數(shù)列”.已知數(shù)列｛2｝為“拋物數(shù)列”，則（）

A.仇｝一定為等比數(shù)列

B.｛〃｝一定為等差數(shù)列

C.｛'｝只從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列

D.｛"｝只從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列

【答案】B

【解析】

試題分析：由已知條件可知，若數(shù)列｛2｝為“拋物數(shù)列”，設(shè)數(shù)列?”｝的前〃項(xiàng)和為?；，

則數(shù)列｛"｝滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以（2,7；）（neN-）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線

ay=^x2+暴+/?,（々為非0常數(shù)）上運(yùn)動(dòng)，即*=￡也2+/b“+b,當(dāng)〃=1時(shí)，

a工)ar.ai)at.a1>a*.八―

aT]=—-+—?Z?)+Z?=>wZ?!=—?+—?/?(+Z?=>—?Z?1--—?/?!+Z?=0=>tz?/?)*■-tz?Z?)+2Z?=0,

2

??.a+^Ja-Sab當(dāng)時(shí)，由也=二由:+二也+4及

即瓦=2an>2

皿1=彳也_：吟力0兩式相減得

a也=微,（V_b〃_；）+￡伍一^-i）=>|*,：_bn_；）'（"+%）=0,由各項(xiàng)

均為正項(xiàng)，可得％—%_1=1（〃之2）,由等差數(shù)列的定義可知｛4｝一定為等差數(shù)列

考點(diǎn)：新定義數(shù)列，等差數(shù)列的定義

7.若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線/+匕=1的離心率是（）

m

A.立B,石C.B或1D.立或&

2222

【答案】D

【解析】

試題分析：依題意可知m=土及彘二±4,當(dāng)m=4時(shí)，曲線為橢圓，a=2,b=l,則c=百，

c耶

e=—=——

a29

當(dāng)m二?4時(shí)，曲線為雙曲線，a=l,b=2,c=質(zhì)則，e二石.故選D.

考點(diǎn)：圓錐曲線的共同特征；等比中項(xiàng).

8.函數(shù)/（力=/+云的圖象在點(diǎn)處的切線與直線3工一>+2=0平行，若

數(shù)歹。的前〃項(xiàng)和為S“,則^2015=()

小

2013,20142015

A.1C.------D.------

201420152016

【答案】D

【解析】

試題分析：由題意知函數(shù)/（x）=f+法的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為

k(l)=2x+〃|y=2+人=3,所以〃=1,----=--------=-(--------),貝

f(nJn2+2n2nn+2

2015

故D為正確

2016

答案.

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：2、數(shù)列求和.

9.已知｛〃”｝為等差數(shù)列，S”為其前幾項(xiàng)和.若生+為=18,4=7,則號(hào)0二（）

A.55B.81C.90D.100

【答案】I）

【解析】

[2a+8片J=18，叫CL=I

試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意得1/3,，所以

d=2

1（）x9

S10=106Z,+-------1=10x1+45x2=100,故答案為D.

考點(diǎn)：1、數(shù)列的通項(xiàng)公式：2、數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

10.已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和工二/，等比數(shù)列出3bpa）,bi是a”與as的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛a｝,｛bj的通項(xiàng)公式;

（2）記Cn=an*bn,求數(shù)列&｝的前n項(xiàng)和L.

【答案】⑴arfn-l,L=2^7；⑵Tn=3+（2。-3）?2”

【解析】

試題分析：（1）求出數(shù)列｛a.,1的首項(xiàng)a,,利用侖2,

a二S-S^^n2-（n-l）2=2n-l，求出通項(xiàng)公式，然后求解人二2八一！

nnnin

（2）化簡(jiǎn)c產(chǎn)ajbn,利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的｛cj的前n項(xiàng)和Tn.

解：（1）數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和s所以a尸Si=l…（1分）

22

n22,an=Sn-Sn-^n-（n-l）=2n-l-（2分）

當(dāng)n=L也滿足aNn-I…（3分）

所以"二2n-l,n€N”…《分）

bi=ai=l,2bt=ai+a5=7+9,所以b‘=8,…（6分）

3,

b4=b1*q=8所以q=2，所以bn二2“一（7分）

⑵%二a/b；（2n7）”…，

%二1?2°+3?21+5?22+-+（211-1）?211-1（3>”（8分）

123

2Tn=l-2+3*2+5*2+-+（2n-1）?2嚙…（9分）

①式減去②式得：

123n1

-Tn=l-2°+2-2+2-2+2-2+-+2*2~-（2n-1）?2”…（10分）

o2（1一QH-1）

-T=14-^--——-------（2n-1）?2^-3-（2n-3）?2"…（11分）

n1-2

,Tn=3+（2n-3）?2”…（12分）

考點(diǎn)：數(shù)列的求和.

11.已知數(shù)列伍”｝中，對(duì)任怠的〃EN",若滿足4”+/+]+%+2=s（S為常數(shù)），則

稱該數(shù)列為3階等和數(shù)列，其中s為3階公和；若滿足向=f（，為常數(shù)），則稱該

數(shù)列為2階等積數(shù)列，其中，為2階公積，已知數(shù)列｛〃”｝為首項(xiàng)為1的3階等和數(shù)列，

且滿足％■=上=2；數(shù)列｛/｝為首項(xiàng)為-1,公積為2的2階等積數(shù)列，設(shè)S”為數(shù)列

PiP\

｛P??%｝的前〃項(xiàng)和，則52016=__________.

【答案】-7056.

【解析】

試題分析：由題意可知，Pl=1，〃2=2,“3=4,〃4=1，〃5=2,“6=4,

〃7=1，……，又???｛〃”）是3階等和數(shù)列，因此該數(shù)列將會(huì)照此規(guī)律循環(huán)下去，同理,

1=T，%=-2,%=-1，夕4=-2,%=-1,%=-2,%=-1,...,又：｛%｝

是2階等積數(shù)列，因此該數(shù)列將會(huì)照此規(guī)律循環(huán)下去，由此可知對(duì)于數(shù)列｛〃”?/｝,每

6項(xiàng)的和循環(huán)一次,易求出Plq+p2?%+…+〃6=-21,因此$2016中有336組循

環(huán)結(jié)構(gòu)，故S,0|6二-21x336=—7056,故填：-7056.

考點(diǎn)：1.新定義問(wèn)題；2.數(shù)列求和.

12.已知數(shù)列｛〃“｝中，對(duì)任意的nsN*,若滿足an+all+i+an+2+an+3=s（s為常數(shù)）,

則稱該數(shù)列為4階等和數(shù)列，其中s為4階公和：若滿足?！á怯?q+2=，（/為常數(shù)），

則稱該數(shù)列為3階等積數(shù)列，其中，為3階公積，已知數(shù)列｛〃“｝為首項(xiàng)為1的4階等和

數(shù)列，且滿足乙=2=4=2；數(shù)列｛%｝為公積為1的3階等積數(shù)列，且

〃3PlP1

設(shè)S”為數(shù)列（〃〃?%｝的前〃項(xiàng)和，則§2016=

【答案】-2520.

【解析】

試題分析：由題意可知，Pl=1，“2=2,“3=4,=8,〃5=1,“6=2,〃7=4,

Ps=8,P,）=1,Pio=2，P\\=4,P|2二8，p|3=1?...，乂、,｛P"｝是4階等和

數(shù)列，因此該數(shù)列將會(huì)照此規(guī)律循環(huán)下去，同理，1=-1,%=-1,%=1,知=-1,

%=-1，%=1，%=-1，/=-1，%=1，%0=T，%=-1，夕12=1，

03=-1，……,又???｛%｝是3階等積數(shù)列，因此該數(shù)列將會(huì)照此規(guī)律循環(huán)下去，由此

可知對(duì)于數(shù)列｛〃“?%｝,每12項(xiàng)的和循環(huán)一次，易求出

Pi4+〃2,%+…+Pi2-912=—15＞因此52016中有168組循環(huán)結(jié)構(gòu)，故

520I6=-15X168=-2520,故填：一2520.

考點(diǎn)：1.新定義問(wèn)題；2.數(shù)列求和.

b

(bj滿足a1=3,a+bn=L*產(chǎn)n/匚

13.（2015秋?如東縣明末）已知數(shù)列⑸｝,n—(nG

2

1-an

N*）,貝ijb2O15=

【答案】2015

2016

【解析】

b,=l,從而得到數(shù)列｛」^｝是以-2為

試題分析：由己知條件推導(dǎo)出壯片7r

2一12bn-l

首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，由此能求出片”.

b

b.l=——--

解：3n十b“=1,且bn+l=------------------n

La：2一、

/ai=~,且a】+bi=l,/.bi=—,

22

1_1

Vbn.F----=-1,

2一匕bn+l_1bn-1

又??'b產(chǎn)］，—_=-2.

2bl-1

???數(shù)歹心」^｝是以-2為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列,

%一1

]n-1,???、=」一.則b刈F型生

廉-1n+12016

故答案為：2015.

2016

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式.

14.（2015秋?如東縣期末）設(shè)?為數(shù)列｛叫的前n項(xiàng)之和,若不等式品/+4$/注入n%

對(duì)任何等差數(shù)列｛an｝及任何正整數(shù)n恒成立，則X的最大值為.

【答案】工

2

【解析】

試題分析：由于不等式r?冊(cè)2+4S；》入a/對(duì)任何等差數(shù)列a｝及任何正整數(shù)n恒成立，

當(dāng)

X22WO時(shí)

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得n2a2+2（.）2na1，

111nal

化為人“2(亙+工)2+工，利用二次函數(shù)的單調(diào)性卻可得出.

22

解：???不等式n凡2+4Sf2入n2a;對(duì)任何等差數(shù)列｛aj及任何正整數(shù)n恒成立,

n(ai+a)

S=--------——--，

n2

/.n2AOpn2\(a?+?a/)2產(chǎn)〉八入n「2aa?

當(dāng)如r0時(shí)，化為人<2(―)2+2—'1=2(―+i)2+工，

a】a?Sj22

當(dāng)氏-三時(shí)，上式等號(hào)成立.

2

,入號(hào),

故答案為：工

2

考點(diǎn)：數(shù)列的求和.

15.(2015秋?滑縣期末)數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為出，若5產(chǎn)2須?1,則前二.

【答案】2…

【解析】

試題分析：根據(jù)已知等式確定出1(n>l),已知等式與所得等式相減，利

用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列｛小｝為首項(xiàng)是1,公比是2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列性質(zhì)確

定出通項(xiàng)公式即可.

解：?.?Sn=2an-1①，

=

:.Sn-)2an-1"1②(n>1),

=

①-②得：Sn-Sn-i=2an■2an.1，即an2an-2a…,

a”

整理得：取二2拆7,即一空」

an-l

*.*St=ai=2ai-1,即ai=l,

???數(shù)列｛aj為首項(xiàng)是1,公比是2的等比數(shù)歹小

則a尸21.

故答案為：2n"

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式.

1

16.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為，其前〃項(xiàng)和Sn=3桓,,則n=

J〃+l+J〃+2

【答案】30

【解析】

1

試題分析：q—+2-5/〃+1，

\ln+\+\fn+2

Sn=a\+生+。3+…+〃”

=(^-V2)+(>/4->//3)+(X/5-V4)+...+(V^+2-5A?+T)=>A?+2->/2.

當(dāng)S〃=7^3-正=3夜時(shí)，解得〃=30.

考點(diǎn)：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列求和，難度一般.數(shù)列求和常用方法有：公式法，分組

求和法，倒序相加法，裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減法.本題采用裂項(xiàng)相消法求和，即將通項(xiàng)

公式先變形為兩式差的形式，再求和.

17.若數(shù)列｛4｝滿足q=lM,z=2%+3,則數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為.

fl+,

【答案】an=2-3

【解析】

試題分析：?.?〃“+[=2凡+3,/.an+i+3=2an+6,/.(7n+I+3=2(czn+3),

.%+3_t

"+3.

｛q+3｝是首相為4+3=4,公比為2的等比數(shù)列.

所以?！?3=4x2'i=22./.〃“=2w+,-3.

考點(diǎn)：1構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式：2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，難度稍大.求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法常

用的有:觀察法，公式法，累加法，累乘法，構(gòu)造法，取倒數(shù)法等.本題應(yīng)用構(gòu)造法求

數(shù)列的通項(xiàng)公式，即先構(gòu)造?個(gè)等比數(shù)列，先求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求所求數(shù)列

｛〃”｝的通項(xiàng)公式.

18.(2015秋?淄博校級(jí)期末)已知數(shù)列｛&,｝中.ai=La?=anH*a,1+antH則｛aj的通項(xiàng)公式

為.

【答案】

n

【解析】

試題分析：利用a5ama+a”可得確定｛2-｝是以1為首項(xiàng)，1為公差

an+lanan

的等差數(shù)列，即可求出｛aj的通項(xiàng)公式.

解：Van=an*i*an+an*i?

???｛」-｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

故答案為：&

11

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式.

19.（2011?安徽）已知AABC的一個(gè)內(nèi)角為120°,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)

列，則△ABC的面積為.

【答案】15加

【解析】

試題分析：因?yàn)槿切稳厴?gòu)成公差為4的等差數(shù)列，設(shè)中間的一條邊為x,則最大的

邊為x+4,最小的邊為x-4,根據(jù)余弦定理表示出cos120°的式子，將各自設(shè)出的值

代入即可得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的邊長(zhǎng)，然后利用三角形的

面積公式即可求出三角形ABC的面積.

解：設(shè)三角形的三邊分別為x?4,x,x+4,

(x-4)2-(x+4)2

則cosl20°—1,

2x(x-4)2

化簡(jiǎn)得：x-16=4-x,解得x=10,

所以三角形的三邊分別為：6,10,14

則AABC的面積S=」X6X10sinl20°=15^.

2

故答案為：15遭

考點(diǎn)：余弦定理；數(shù)列的應(yīng)用；正弦定理.

20.已知實(shí)數(shù)a、b、c、d成等比數(shù)列，且曲線y=3x—x，的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為（b,c）,

則ad等于.

【答案】2

【解析】

試題分析：因?yàn)橐詁、ad成等比數(shù)列，所以ad=bc,又了=3—令

y=3-3x2=0,解得瓦=-1,々=1,當(dāng)一1<%<1時(shí)，/>0,當(dāng)lv*時(shí)，/<0,

所以函數(shù)在x=l時(shí)取得極大值2.所以兒=2,所以答案應(yīng)填：2.

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列性質(zhì)；2、函數(shù)的極值；3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)和利月導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值，屬于中檔

題.研究函數(shù)極值時(shí)，首先要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再根據(jù)零點(diǎn)把定

義域分成幾個(gè)區(qū)間，分別研究導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)在各區(qū)間的增減性,

根據(jù)增減性寫出函數(shù)的極值，注意區(qū)分極值和極值點(diǎn)的差別.

21.已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)q=20,公差d=-2,則前〃項(xiàng)和S”的最大值為_(kāi)___.

【答案】110

【解析】

試題分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛凡｝的首項(xiàng)4=20,公差d=—2,代入求和公式

得，S“-20〃+“(,)x(一2)=一〃2+19〃,又因?yàn)椤ā闚*，所以〃=10或〃=11

時(shí)，S,t取得最大值，最大值為110.

考點(diǎn)：等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式.

22.如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1,由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6

的坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列｛q｝(〃￡9■)的前12項(xiàng)，如下表所示:

aiasS384?5asa?asa9aio?i1?12

XIyiX2y：X3Y3X4Y4X575?6ye

按如此規(guī)律下去，則O2.)13+^2014+?2015=-

【答案】1007

【解析】

試題分析：由題意得：

qa2%4%4%“8%a\o0

i1-1223-2435-36

因此,%_3+GT=°，〃WN"，從而

“2013+/014+^2015=“4x504-3+4x1007+“4x504-1=1007.

考點(diǎn)：數(shù)列規(guī)律

23.已知數(shù)列｛4｝中，q=1Q川=_%(〃￡*)

C1?D

(1)求證:，是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式

(2)數(shù)列也｝滿足"=(3〃—1).最嗎，求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為，

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；an=-=—x(2)7；=4--^

【解析】

試題分析：(1)本題給出條件式子較復(fù)雜，要把握好證明中式子的結(jié)構(gòu)，從等比數(shù)列的

定義出發(fā)，

合理對(duì)式子變形進(jìn)行證明.知公比和首項(xiàng)，可求出通項(xiàng)公式.

⑵給出新數(shù)列｛〃｝結(jié)合(1),對(duì)d=(3"-1)?二q化簡(jiǎn)，易發(fā)現(xiàn)為等差與等比商

式，

聯(lián)系錯(cuò)位相減法(注意第二個(gè)式子所乘的因數(shù)為公比1進(jìn)行求和，可得.

-^(〃WN*),得_!_=^^^^12=2_+1,

試題解析：（1）證明：由/+1

4+3-atla?

L+'=3（」-+L）所以數(shù)列]_!_+,是以3為公比，以（_L+_L）=3

向2q2[atl2]422

Ii72

為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而一+—=巳'3"7=4=——

n

alt223-1

n(二1''2'*3*/+-+(〃-1)><1+〃*￡

⑵b,二

2n

T11]1

=1X―-4-2X--4-???4-(/7-1)X----4-7?X—，兩式相減

22,22/2'12〃

^,711111c〃十2

22°2'222〃TTT

n+2

?

U=42〃T

考點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的定義及代數(shù)變形能力.（2）錯(cuò)位相減法.

24.已知數(shù)列｛凡）的前n項(xiàng)和5?=-n2+-n.

22

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（H）記<二歲旦，若對(duì)于一切的正整數(shù)〃，總有7；4加成立，求實(shí)數(shù)小的取值范

圍.

27

【答案】（I）凡=3〃（II）m>—

2

【解析】

試題分析：（I）由4=1S：〃=l.利用S.=2/+，能求出an=3n；（II）先求出

[Sn-Srt-P?>2。22

,二9〃（7）再求出伍｝中的最大值為（=（=孑，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍

試題解析：（I）當(dāng)〃22時(shí)，S?,=-（A?-1）2+-（A?-1）,

22

/.a=Sn-Sn.=3n,

又n=\時(shí)，ax=S｝=3滿足上式，

所以4”=3〃.

9（〃+1）（〃+2）

（H）T二一=2向二〃+2,

“一TTT“~9〃（〃+l）-2n，

T

當(dāng)〃=1,2時(shí)，Tit+]>Tn,

當(dāng)〃23時(shí)，〃+2<2〃=>Tn+l<Tn,

27

?，?〃=1時(shí)，7；=9,〃=2,3時(shí)，T2=T3=—,

〃之4時(shí)，U

77

，｛工｝中的最大值為［=（=&■.要使7；Wm對(duì)于一?切的正整數(shù)〃恒成立，只需

27,

—<m,

2

.、27

??mN—.

2

考點(diǎn)：1.數(shù)列的求和；2.數(shù)列遞推式

25.己知數(shù)列的前〃項(xiàng)和S,=-n2+-〃.

22

（I）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（H）記（=號(hào)叱，若對(duì)于一切的正整數(shù)〃，總有r“工，〃成立，求實(shí)數(shù)加的取值范

圍.

（in）設(shè)紇為數(shù)列物,｝的前〃項(xiàng)的和，其中a二2冊(cè)，若不等式q對(duì)任意

的恒成立，試求正實(shí)數(shù)/的取值范圍.

?78

【答案】（I）4=3〃（II）m>—（III）t>—

221

【解析】

試題分析：（I）由4=°'；c利用邑二3〃2+上〃能求出an=3n；（II）先求出

瓜-S,i，〃N222

方二"二”再求出｛1｝中的最大值為4=1=幺，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（III）由"=23"=8"=紇由此能求出正實(shí)數(shù)t的取值范圍

33

試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，=

4-S”-S"_1一3n,

又時(shí)，q=S1=3滿足上式，

所以an=3〃.

9（〃+1）（”+2）

（H）7=474，加_9，（〃+1）=*=2向二〃+2,

n

”~22“Tn-9〃（〃+1）-2n，

2"

當(dāng)〃=1,2時(shí)，Tn+l>T?,

當(dāng)〃23時(shí)，〃+2<2〃=>Tn+l<Tn,

27

?，?〃=1時(shí)，7；=9,〃=2,3時(shí)，T2=T3=—,

〃之4時(shí)，U

77

:.{Tn}中的最大值為7；=冤=&■.

77

要使7；W機(jī)對(duì)于一切的正整數(shù)〃恒成立，只需一工加,

2

.、27

??機(jī)2—.

2

(III)bit=2?”=8-8〃)=§⑻=1),

"〃1-87

乳8"-l)Tx8"]

將4代入J"t?化簡(jiǎn)得,---------<--(-*)

紇+i+也用16河8”,+i_816

-7

vr>0,/.f-+r|88

n+1>-,

(7J7

Q

所以(*)化為2r16x(8”-1)-8"由<3/x8n+l,

7L-

8[16x(8n-l)-8n+,+l]

整理得r>

21x8”

Q/1C\

/./>—1-一，對(duì)一切的正整數(shù)〃恒成立,

2118,,+|)

易知i—E隨〃的增大而增大，且Wh—Hcg,

8n+,2118,,+,)21

21

考點(diǎn)：1.數(shù)列的求和；2.數(shù)列遞推式

2

26.已知數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和Sn=-/2+-/z,

(1)求通項(xiàng)公式％;

(2)令々=%?2"T，求數(shù)列也｝前n項(xiàng)的和7；.

【答案】(1)an=n(2)4=(〃-1)2+1

【解析】

fS.（n=\]

試題分析；（1）由數(shù)列S“求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要采用1/7求解，最

區(qū)』（〃22）

后驗(yàn)證/是否滿足〃之2的通項(xiàng)公式；（2）由巴可得到數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式

hlt=〃?2"T,根據(jù)特點(diǎn)可采用錯(cuò)位相減法求和

試題解析：（1）當(dāng)n22時(shí)，a“=S“-S,i=〃

乂4=$=1,也滿足上式,所以％=〃（〃eN*）

（2）2=q27=〃21,所以7；=1乂1+2*2|+3x22+...+/?-2n-1,

27；,=1x2'+2x22+3x23+...+（/?-l）-2fl-1兩式相減，得

-7；=1+2+2?+…+2M一小2"=———---n-T=T-\-n-T

"1-2

所以，7；=（w-l）2rt+l

考點(diǎn)：1.數(shù)列求通項(xiàng)公式；2.錯(cuò)位相減法求和

27.Sn為數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和.已知an〉O,+2a”=4S〃+3

（I）求｛可｝的通項(xiàng)公式：

（II）設(shè)〃=—!—，求數(shù)列仇｝的前n項(xiàng)和7；

n

【答案】（I）a=2n+\（H）T.=--------

t"l"3（2〃+3）

【解析】

試題分析：（I）通過(guò)q2+2%=4工+3與%.「+2〃向=4SN+3作差可知

“=2,進(jìn)而可知數(shù)列｛%｝是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論;

1（11、

（H）通過(guò)（I）可知q=2〃+1,裂項(xiàng)可知/=--------------，并項(xiàng)相加即得

212〃+12/7+3）

結(jié)論

試題解析：（I）由/2+2/=4S〃+3,可知4j+2凡X=4S“H+3.

可得4用2—4：+2（4+-4）=4^“，即

2（%-。）=%2一《2=（4川+凡）（4用—4）

由于。”>0,可得%+「%=2.又a「+2q=4%+3,解得％=-1（舍去），4二3

所以｛4｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為?！?2〃+1.

1.11______

(II)由勺=2〃+1可知,

4,4+1(2〃+1)(2〃+3)2(2〃+12〃+3

設(shè)數(shù)列仇｝的前〃項(xiàng)和為小則

1

+-

2-

考點(diǎn)：1.數(shù)列求通項(xiàng)公式；2.數(shù)列求和

28.已知數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和S”=2一%,數(shù)列｛%｝滿足b】=l,b.i+b7=18,且

+%i=2"（心2）.

（1）求數(shù)列｛明｝和｛“｝的通項(xiàng)公式；

（2）若%=%,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和7；.

凡

n

【答案】（1）?！?上,么=2〃-1：（2）Tlt=（2n-3）-2+3.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)公式L\由S”=2-4可求得當(dāng)2時(shí)

%二工〃,“即，￡=]_,由等比數(shù)列的定義可知數(shù)列｛/｝為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列

24-2

的通項(xiàng)公式可求得%.因?yàn)?_|+2+|=22522）,由等差中項(xiàng)可知數(shù)列｛a｝是等差

數(shù)列，根據(jù)已知可求得其公差，從而可得其通項(xiàng)公式4.（2）分析可知應(yīng)用錯(cuò)位相減

法求數(shù)列｛%｝的和.

試題解析：解：（1）由題意S〃=2-凡，①

當(dāng)〃22時(shí)，S,“=2—4,1，②

?■②得%=5〃-Si=4-1一。…即

乂q=S]=2—q,q=1,

故數(shù)列｛為｝是以1為首項(xiàng)，工為公比的等比數(shù)列，所以〃“=與：

2

由匕1+2山二22522）知，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

則d二g(4+打)=9,所以c/=^^L=2,2=々+(〃-1)〃=2〃-1；

綜上，數(shù)列｛4｝和也」的通項(xiàng)公式為%=白力”=2〃一1.

(2)二二二-2〃-1).2"，

1=q+C2+G+…+?！á?/p>

=lx20+3x2l+5x22+..-+(2/7-l)x2n-1,

27；=lx21+3x22+...+(277-3)x2n-,+(2/?-])x2/,,④

③一④得：-7；=1+2(2'+22+23+..-+2,,_,)一(2〃-1)?2”，

2-2M

整理得：—7；=l+2x------(2〃-1)?2"=—(2〃-3),2”一3,

1—2

所以北二(2〃-3>2"+3.

考點(diǎn)：1求通項(xiàng)公式；2求數(shù)列的和.

29.設(shè)｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列,S”為數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和.已知S3=7且句+3,3M

創(chuàng)+4構(gòu)成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(II)令b“=ln&”n=l,2,--?,求數(shù)列(bj的前n項(xiàng)云口T”.

]

【答案】(I)an=2"~；(II)7；/5+%n2.

2

【解析】

試題分析：(I)由于｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，§3=7且4+3,3。2，%+4構(gòu)成等

差數(shù)列，不難構(gòu)造基本量4應(yīng)的方程組，通過(guò)解方程組求得卬國(guó)的值，進(jìn)而求出通項(xiàng)

公式；(II)把第(I)向求得％的代入?；?jiǎn)可得仇二(〃—l)ln2,顯然是等差數(shù)列,

通過(guò)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可得解.

試題解析：(I)設(shè)⑸｝是公比q大于1的等比數(shù)列，,?2+3,3a2,as+4構(gòu)成等差數(shù)列,

6d2=ci3+4+ai+3?化為6uiq=a[夕2+7+ui,X83=011(l+q+q")=7,

n

聯(lián)立解得a1=l,q=2..*.an=2''.6分

(II)b.Flna=(n-1)ln2,:.數(shù)列｛b,J的前n項(xiàng)和T產(chǎn)"丫)g2.12分

n乙

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

f

30.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且25.一4+=25,f_I+t/n-1(n>2,neN).

(1)證明：數(shù)列｛24-1｝為等差數(shù)列;

(2)若4=1,巴=3也=----------------，求數(shù)列｛或｝的前〃項(xiàng)和為T.

(2%+l)(2a〃+l)n

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

2/1+3

【解析】

試題分析：(1)由2S,,-^+1=25,,.,+(n>2,neN*),整理得

24-1=%+%一1，從而得到2(24-1)=(2*-1)+(24--1)，根據(jù)等差數(shù)列

的定義可證明此為等差數(shù)列；(2)求出數(shù)列數(shù)列的首項(xiàng)與公差，求得數(shù)列｛與｝

的通項(xiàng)公式，再得到數(shù)列?”｝的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和.

試題解析：⑴Q2\-?n+I=2\_,+(n>2,nGN,),

Q24-〃“+I=q-(n22,nwN‘)

???2a“7=%+%_[

2(2%-1)=(2g+]-1)+(2可_1-1)

所以數(shù)列｛2凡-1｝為等差數(shù)列.

(2)由(1)知數(shù)列｛2%-1｝為等差數(shù)列

Q%=1,%=3,.,.a2=2

所以數(shù)列｛24-1｝…的公差d=(2x2-l)-(2xl-l)=2

2^,-l=2xl-l+2(n-l)

?36

Qb=----------------------

n(2。e+1)(2%+1)

”,二一生一二取二一--L)

(2n+l)(2n+3)2〃+12〃+3

132〃+3j2/i+3

考點(diǎn)：等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式；數(shù)列求和.

31.已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列｛凡｝的前6項(xiàng)和為60,且。$為可和66的等比中項(xiàng)?

(1)求數(shù)列伍’的通項(xiàng)公式：

（2）若數(shù)列｛4｝滿足“+「包=/5￡叱）＞=〃（〃+2）,且）=3,求數(shù)列｛1｝的

a

前n項(xiàng)和Tn.

3/72+5〃

【答案】（1）勺=2〃+3；（2）T=

n4(〃+1)(〃+2)

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng)的概念聯(lián)立方程組，可建立首

項(xiàng)和公差的一元二次方程組，解出首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式；（2）因?yàn)?/p>

bn+i-bn=atl=2/?+3,故可采取累加法，求得b”=〃(〃+2),從而

—=—