新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 題型歸納演練專題8-1 立體幾何中外接球內(nèi)切球問題原卷版

專題8-1立體幾何中外接球內(nèi)切球問題目錄TOC\o"1-1"\h\u專題8-1立體幾何中外接球內(nèi)切球問題 1 1題型一：外接球公式法 1題型二：外接球補(bǔ)型法 4題型三：外接球單面定球心法 10題型四：外接球雙面定球心法 18題型五：內(nèi)切球問題 25 34一、單選題 34二、多選題 41三、填空題 45題型一：外接球公式法【典例分析】例題1．（2023·陜西西安·高三期末（理））長方體的三個(gè)相鄰面的面積分別是8，8，16，則該長方體外接球的體積為（

）A．24π B．32π C．36π D．48π例題2．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┮粋€(gè)棱長為2的正方體，其外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（理））若體積為12的長方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，且此長方體的高為2，則球SKIPIF1<0的表面積的最小值為___________.【提分秘籍】①長方體外接球：在長方體SKIPIF1<0中，設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則長方體外接球半徑SKIPIF1<0②正方體外接球：在正方體SKIPIF1<0中，設(shè)邊長為SKIPIF1<0，則正方體外接球半徑SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）長方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別是2，4，4，則該長方體外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·貴州·頂效開發(fā)區(qū)頂興學(xué)校高三期中（文））已知長方體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為__________．3．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知長方體的三條棱長分別為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該長方體外接球的表面積為___．（結(jié)果用含SKIPIF1<0的式子表示）題型二：外接球補(bǔ)型法【典例分析】例題1．（2022·廣東·佛山一中高三階段練習(xí)）在四面體SKIPIF1<0中，已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四面體外接球半徑為__________．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐的外接球的半徑為___________；若SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段SKIPIF1<0的長度的最大值為___________.【提分秘籍】①墻角型：由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩互相垂直，可補(bǔ)形為長方體或正方體，再利用公式法求解外接球問題；②對(duì)棱相等型：如果一個(gè)多面體的對(duì)棱都相等，可以補(bǔ)形為長方體，或正方體，再利用公式法求解外接球問題；【變式演練】1．（2022·天津市第二耀華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正方形SKIPIF1<0的邊長為2，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0三點(diǎn)重合于點(diǎn)SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·四川省樂山沫若中學(xué)高二期中（理））已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則三棱錐的外接球的體積為___________.4．（2022·湖北·高二期中）四面體A﹣BCD中，AB＝CD＝5，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為_____．題型三：外接球單面定球心法【典例分析】例題1．（2022·福建·高三階段練習(xí)）在正三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中心，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該正三棱錐的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·四川·瀘州市龍馬高中高二階段練習(xí)（文））在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的體積為______．例題3．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則該幾何體的外接球的體積為_________【提分秘籍】①第一步：選定一個(gè)底面（如圖底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0如圖：若SKIPIF1<0為直角三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在斜邊的中點(diǎn)上；若SKIPIF1<0為正三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0為普通三角形，則利用正弦定理SKIPIF1<0,確定出SKIPIF1<0的位置②第二步：過點(diǎn)SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂線，如圖為SKIPIF1<0，則球心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上；③計(jì)算：在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求出外接球半徑SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））設(shè)三棱錐SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·貴州·貴陽六中一模（理））已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則它的外接球的表面積為______.3．（2022·江蘇·常州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知空間四邊形SKIPIF1<0的各邊長及對(duì)角線SKIPIF1<0的長度均為6，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點(diǎn)M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0外接球的半徑為______；過點(diǎn)M作四邊形SKIPIF1<0外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為______.4．（2022·山西運(yùn)城·高三期中）已知正四棱錐SKIPIF1<0的底面是邊長為2的正方形，其內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的高為___________，外接球的表面積為___________.題型四：外接球雙面定球心法【典例分析】例題1．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0．如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·四川省敘永第一中學(xué)校高二期中（理））在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是邊長為6的正三角形，則該三棱錐的外接球的體積為________.【提分秘籍】①第一步：選定一個(gè)底面（如圖底面三角形SKIPIF1<0），求出三角形SKIPIF1<0外接圓圓心SKIPIF1<0如圖：若SKIPIF1<0為直角三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在斜邊的中點(diǎn)上；若SKIPIF1<0為正三角形，則外接圓圓心SKIPIF1<0在重心位置；若SKIPIF1<0為普通三角形，則利用正弦定理SKIPIF1<0,確定出SKIPIF1<0的位置②第二步：過點(diǎn)SKIPIF1<0作出平面SKIPIF1<0的垂線；③第三步：重復(fù)上述兩步，再做一條垂線；④第四步：兩條垂線的交點(diǎn)為球心SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0.如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡的周長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四邊形SKIPIF1<0是邊長為3的菱形且一個(gè)內(nèi)角為SKIPIF1<0，把等邊SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積最大時(shí)，其外接球半徑為______．3．（2022·福建·高二期中）已知菱形SKIPIF1<0的各邊長為SKIPIF1<0，如圖所示，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，得到三棱錐SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則三棱錐SKIPIF1<0的體積為___________，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡的周長為___________.題型五：內(nèi)切球問題【典例分析】例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)面與底面所成角的正切值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這個(gè)三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為SKIPIF1<0，則該圓錐的表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知正四面體SKIPIF1<0的棱長為12，球SKIPIF1<0內(nèi)切于正四面體SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上關(guān)于球心SKIPIF1<0對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為___________.【提分秘籍】①等體積法：將空間幾何體拆分為以內(nèi)切球球心SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的多個(gè)幾何體，再利用等體積法求出內(nèi)切球半徑SKIPIF1<0，主要用于多面體內(nèi)切球問題；例如：在四棱錐SKIPIF1<0中，內(nèi)切球?yàn)榍騍KIPIF1<0，求球半徑SKIPIF1<0.方法如下：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，可求出SKIPIF1<0.②獨(dú)立截面法：主要用于旋轉(zhuǎn)體中，通過獨(dú)立截面（過球心的截面），在截面中求出內(nèi)切球的半徑.【變式演練】1．（2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測）在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為1的等邊三角形，底面SKIPIF1<0為矩形.若四棱錐SKIPIF1<0存在一個(gè)內(nèi)切球（內(nèi)切球定義：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球），則內(nèi)切球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，其軸截面SKIPIF1<0是邊長為6的為正三角形，SKIPIF1<0為底面的圓心，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的一條直徑，球SKIPIF1<0內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點(diǎn)SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．圓錐的表面積是SKIPIF1<0 B．球SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0C．四棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<03．（2023·江西江西·高三階段練習(xí)（理））如今中國被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟wABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體ABCD棱長為SKIPIF1<0，則模型中九個(gè)球的體積和為__________.4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.一、單選題1．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高三期中）在三棱錐SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是（

）A．100π B．50π C．144π D．72π2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑，上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，即：圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積比為定值，則該定值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知球SKIPIF1<0是棱長為1的正方體SKIPIF1<0的內(nèi)切球，則平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0的截面面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一圓臺(tái)高為7，下底面半徑長4，此圓臺(tái)外接球的表面積為SKIPIF1<0，則此圓臺(tái)的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全國·高三專題練習(xí)）1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家Dandelin利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個(gè)常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓．這是由于光線形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個(gè)占SKIPIF1<0正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得SKIPIF1<0與小球相切．若SKIPIF1<0，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·廣東廣州·高三階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，上?下底面邊長分別為SKIPIF1<0，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，則該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·天津和平·二模）已知圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為SKIPIF1<0，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長為a的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長a為（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知圓錐SKIPIF1<0的底面半徑SKIPIF1<0，側(cè)面積為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的球心為SKIPIF1<0，外接球的球心為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．外接球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0B．設(shè)內(nèi)切球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，外接球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0截圓錐OP的截面面積的最大值為2D．設(shè)母線SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，從SKIPIF1<0點(diǎn)沿圓錐表面到SKIPIF1<0的最近路線長為SKIPIF1<010．（2022·福建