新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對點(diǎn)題型第16講橢圓（學(xué)生版）

第16講橢圓真題展示2022新高考一卷第16題已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，兩個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長是13．考查目標(biāo)直線、橢圓及相關(guān)幾何量的計(jì)算是中學(xué)數(shù)學(xué)的必備知識.試題巧妙地將直線與橢圓的位置關(guān)系及有關(guān)度量的計(jì)算結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)的問題既體現(xiàn)了基礎(chǔ)性又具有挑戰(zhàn)性.試題對考生的化歸與轉(zhuǎn)化、邏輯推理等方面的能力提出了較高的要求，有效地考查了考生的理性思維、數(shù)學(xué)探索等方面的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，考查了考生的運(yùn)算求解、邏輯思維等方面的關(guān)鍵能力.試題亮點(diǎn)試題對解析幾何知識綜合應(yīng)用的考查做了很好的設(shè)計(jì).從試題的簡單情景中應(yīng)用橢圓的定義去分析問題、解決問題，可以體現(xiàn)考生思維的靈活性.試題具有較好的創(chuàng)新性與開放性，有諸多亮點(diǎn).試題的題設(shè)條件簡潔，問題深入，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，又體現(xiàn)了邏輯推理的重要性.考生在判斷出△AF，F(xiàn)，為正三角形后進(jìn)一步選擇解題路徑，這對考生準(zhǔn)確靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合以及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法提出了較高要求．試題有效考查了考生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力，以及理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索等數(shù)學(xué)科素養(yǎng).試題具有較好的開放性，給不同思維層次的考生提供了發(fā)揮的空間.考生可以采用不同的解題路徑和方法.比如，考生可以利用對稱性解決。知識要點(diǎn)整理知識點(diǎn)一橢圓的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3．焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝(常數(shù))且2a|F1F2|.知識點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝a2－c2知識點(diǎn)三橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長短軸長＝2b，長軸長＝2a焦點(diǎn)(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)知識點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關(guān)系、對應(yīng)一元二次方程解的個(gè)數(shù)及Δ的取值的關(guān)系如表所示．直線與橢圓解的個(gè)數(shù)Δ的取值兩個(gè)不同的公共點(diǎn)兩解Δ>0一個(gè)公共點(diǎn)一解Δ＝0沒有公共點(diǎn)無解Δ<0三年真題一、單選題1．已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（

）A．3 B．6 C．8 D．12二、多選題2．已知曲線SKIPIF1<0.（

）A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為SKIPIF1<0C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為SKIPIF1<0D．若m=0，n>0，則C是兩條直線三、填空題3．已知SKIPIF1<0，B是圓SKIPIF1<0（F為圓心）上一動點(diǎn).線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為___________.4．已知橢圓SKIPIF1<0，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長是________________．四、解答題5．已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程：（2）點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為垂足．證明：存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值．6．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．7．已知橢圓C1：SKIPIF1<0(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=SKIPIF1<0|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．8．已知橢圓C1：SKIPIF1<0(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=SKIPIF1<0|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.三年模擬1．已知橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，雙曲線SKIPIF1<0的離心率等于______.2．如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面與截面都相切，設(shè)圖中球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的半徑分別為4和2，球心距離SKIPIF1<0，截面分別與球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于__________.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，A為SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0交于B，C兩點(diǎn)；若l垂直平分線段SKIPIF1<0，則△ABC的周長是___________.4．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的上?下頂點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0不在橢圓SKIPIF1<0上，則橢圓SKIPIF1<0的焦距為___________.5．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在橢圓上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線交橢圓于點(diǎn)Q，若橢圓的離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0___________.6．己知橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)SKIPIF1<0和上頂點(diǎn)B，若斜率為SKIPIF1<0的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為___________.7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且SKIPIF1<0的最大值是它的最小值的2倍，則橢圓的離心率為__________．8．已知橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有共同的焦點(diǎn)SKIPIF1<0，它們的離心率分別為SKIPIF1<0是它們的一個(gè)公共點(diǎn).若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________.9．已知SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為M，若SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為______.10．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上且在以SKIPIF1<0為直徑的圓上．線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的長軸長為_____．11．已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l的傾斜角為SKIPIF1<0，且直線l交該橢圓于A，B兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則該橢圓的離心率為______________.13．已知橢圓SKIPIF1<0左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓上，且SKIPIF1<0.則橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0__________.15．已知橢圓SKIPIF1<0的上、下頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓C上異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點(diǎn)，直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，寫出一個(gè)滿足SKIPIF1<0的橢圓C的方程是________________．16．如圖，己知是橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，M，N為橢圓上兩點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的余弦值為___________.17．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓C：SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，過SKIPIF1<0的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是______．（填序號）①橢圓C的離心率為SKIPIF1<0；

②存在點(diǎn)A使得SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；

④SKIPIF1<0面積的最大值為12．18．舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動．當(dāng)點(diǎn)D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)移動時(shí)，帶動點(diǎn)N繞O轉(zhuǎn)動，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動．記點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡為SKIPIF1<0，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0上的點(diǎn)P向SKIPIF1<0作切線，則切線長的最大值為______．19．已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0的另一個(gè)交點(diǎn)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.20．用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．已知某圓錐的軸截面是正三角形，平面SKIPIF1<0與該圓錐的底而所成的銳二面角為SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截該圓錐所得橢圓的離心率為_________．21．已知F是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦點(diǎn)，A為橢圓SKIPIF1<0的下頂點(diǎn)，雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）與橢圓SKIPIF1<0共焦點(diǎn)，若直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線平行，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的離心率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．22．已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓SKI