新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題綜合練專題06 立體幾何（解析版）

專題06立體幾何小題綜合一、單選題1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現(xiàn)存最早?規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個(gè)正四棱錐，已知正四棱錐的高為SKIPIF1<0，其側(cè)棱與底面的夾角為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的體積約為（

）SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0為側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角，結(jié)合SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角，因?yàn)閭?cè)棱與底面的夾角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得正四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，又因?yàn)檎睦忮F的高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知半徑為4的球SKIPIF1<0，被兩個(gè)平面截得圓SKIPIF1<0，記兩圓的公共弦為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)及球的截面的性質(zhì)，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱錐的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，依題意，可得如下圖形，由圓的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為二面角的平面角，故SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，由球的截面性質(zhì)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，則有外接圓直徑SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C3．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將一個(gè)體積為SKIPIF1<0的鐵球切割成正三棱錐的機(jī)床零件，則該零件體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設(shè)正三棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，球半徑為SKIPIF1<0，由球體積求得球半徑SKIPIF1<0，根據(jù)邊長、高、外接球半徑關(guān)系及棱錐體積公式得到零件體積關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求體積最大值.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，球半徑為SKIPIF1<0，由球的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正三棱錐的體積為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值為SKIPIF1<0.故選：D4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）建筑物的屋面在頂部交匯為一點(diǎn)，形成尖頂，這種建筑叫攢（cuán）尖建筑，其屋頂叫攢尖頂.其特點(diǎn)是屋頂為錐形，沒有正脊，頂部集中于一點(diǎn)，即寶頂，該頂常用于亭?榭?閣和塔等建筑.1981年溫州江心嶼的東西雙塔列為溫州市第一批文物保護(hù)單位.江心嶼東塔為六角攢尖頂，其檐平面呈正六邊形，它有著與其角數(shù)相同的垂脊和圍脊，如圖所示，它的輪廓可近似看作一個(gè)正六棱錐.假設(shè)東塔的圍脊為SKIPIF1<0，垂脊為SKIPIF1<0，則攢尖坡度（屋頂斜坡與檐平面所成二面角的正切值）為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】SKIPIF1<0為底面中心，連接SKIPIF1<0，確定SKIPIF1<0為屋頂斜坡與檐平面所成二面角的正切值，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖，SKIPIF1<0為底面中心，連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，三直線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為屋頂斜坡與檐平面所成二面角的正切值，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

故選：C5．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）在平行四邊形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，將三角形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到三角形SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.記線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，那么直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由余弦定理，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決線面角問題.【詳解】SKIPIF1<0，由余弦定理，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，平面SKIPIF1<0內(nèi)垂直于SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸，垂直于平面SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.故選：A6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)?商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑，”陽馬，是底面為長方形或正方形，有一條側(cè)棱垂直底面的四棱錐.在SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0為正方形的陽馬中，若SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0B．異面直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0C．四棱錐SKIPIF1<0的體積為1D．直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0【答案】B【分析】把陽馬補(bǔ)形成正方體，求出異面直線夾角判斷A；求出線面距離判斷B；求出四棱錐體積判斷C；求出線面角的余弦判斷D作答.【詳解】由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為正方形，而SKIPIF1<0，則陽馬可補(bǔ)形成正方體SKIPIF1<0，如圖，

對(duì)于A，由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而異面直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的距離等于直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，B正確；對(duì)于C，四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤.故選：B7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)著作，其中記載有幾何體“芻甍”．現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為兩個(gè)全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則此芻甍體積的最大值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在SKIPIF1<0上取兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，將芻甍分為兩個(gè)體積相等的四棱錐和一個(gè)三棱柱，進(jìn)而表示體積為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求解最大值即可求解.【詳解】在SKIPIF1<0上取兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0體積相同，取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

根據(jù)題意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，則等腰梯形SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以芻甍的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.8．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作與SKIPIF1<0平行的平面，與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由題意知平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可先令SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，再證明當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，滿足平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可輕易得出SKIPIF1<0的值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作與SKIPIF1<0平行的平面，與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.在正方體SKIPIF1<0中，如圖所示，取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0，假設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;又因?yàn)镾KIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，符合題意，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0.故選：D.9．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，對(duì)角線SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，將△SKIPIF1<0沿著對(duì)角線SKIPIF1<0翻折至△SKIPIF1<0，使得線段SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由題知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所先計(jì)算出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用公式SKIPIF1<0，算出兩向量的夾角的余弦值，從而得出異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0所以異面直線SKIPIF1<0與CD所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D10．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）牟合方蓋是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)并采用的，一種用于計(jì)算球體體積的方法，類似于現(xiàn)在的微元法.由于其采用的模型像一個(gè)牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋.本質(zhì)上來說，牟合方蓋是兩個(gè)半徑相等并且軸心互相垂直的圓柱體相交而成的三維圖形，如圖1所示.劉徽發(fā)現(xiàn)牟合方蓋后200多年，祖沖之及他的兒子祖暅，推導(dǎo)出牟合方蓋八分之一部分的體積計(jì)算公式為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為構(gòu)成牟合方蓋的圓柱底面半徑）.圖2為某牟合方蓋的SKIPIF1<0部分，且圖2正方體的棱長為1，則該牟合方蓋的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)“牟盒方蓋”的定義和體積公式計(jì)算可得.【詳解】由圖可知，牟合方蓋的圓柱底面半徑即為正方體的棱長，所以SKIPIF1<0，該牟合方蓋的體積為SKIPIF1<0.故選：C.11．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知三棱錐SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，頂點(diǎn)P到底面SKIPIF1<0的距離為2，其外接球半徑為5，則側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正切值的取值范圍為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題意分析知，分成兩種情況，討論SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，求解SKIPIF1<0即可得出答案.【詳解】正SKIPIF1<0外心為SKIPIF1<0，邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，外接球球心SKIPIF1<0必在過SKIPIF1<0垂直于底面的直線上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若P，SKIPIF1<0在平面ABC的同側(cè)；SKIPIF1<0到底面距離為2，故SKIPIF1<0在離底面SKIPIF1<0距離為2的平面上SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0軌跡為SKIPIF1<0上以SKIPIF1<0為圓心，5為半徑的圓，作SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0軌跡為以SKIPIF1<0為圓心，5為半徑的圓，SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0同理，若P與SKIPIF1<0在平面ABC的異側(cè)，則P的軌跡是半徑為3的圓，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；綜上SKIPIF1<0.故選：A.12．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線SKIPIF1<0平面ABC的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直線SKIPIF1<0平面ABC，能滿足；

對(duì)于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直線SKIPIF1<0平面ABC，能滿足；

對(duì)于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直線SKIPIF1<0平面ABC，能滿足；

對(duì)于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.

故選：D.13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與曲池的底面SKIPIF1<0垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為SKIPIF1<0，則圖中四面體SKIPIF1<0的體積為（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可求SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為全等的等腰三角形，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，構(gòu)造出平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，從而可求四面體SKIPIF1<0的體積.【詳解】依題意，根據(jù)勾股定理可求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為全等的等腰三角形，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由等腰三角形的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B14．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖1，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折（如圖2），記四面體SKIPIF1<0的外接球?yàn)榍騍KIPIF1<0（SKIPIF1<0為球心）.SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角最大時(shí)，四面體SKIPIF1<0體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先得到球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點(diǎn)，然后當(dāng)SKIPIF1<0與球SKIPIF1<0相切時(shí)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的最大，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)四面體SKIPIF1<0體積取得最大值，即可求出答案.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0均為等腰直角三角形，所以四面體SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0是球SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的最大，則SKIPIF1<0與球SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，此時(shí)，SKIPIF1<0最大，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).所以當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)四面體SKIPIF1<0的體積取得最大值.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D.15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）如圖，SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0.連SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折成三棱錐SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小值時(shí)，二面角SKIPIF1<0的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題可得SKIPIF1<0為等邊三角形，設(shè)SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，根據(jù)球的性質(zhì)可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時(shí)適合題意，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為直角三角形，設(shè)SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小,即外接球的半徑最小時(shí)，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，此時(shí)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，余弦值為0.故選：B.【點(diǎn)睛】方法定睛：多面體與球切、接問題的求解方法(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．(2)若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．(4)球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長．(5)利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．二、多選題16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、線面角的定義，結(jié)合異面直線所成的角定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，如圖，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，又易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以本選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，假設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正四棱柱的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而由正四棱柱的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此本選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，在矩形SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，本選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，又根據(jù)題意易知SKIPIF1<0，本選項(xiàng)正確，故選：ACD17．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）某學(xué)校課外社團(tuán)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了一次有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作，課題名稱“不用尺規(guī)等工具，探究水面高度”.如圖甲，SKIPIF1<0是一個(gè)水平放置的裝有一定量水的四棱錐密閉容器（容器材料厚度不計(jì)），底面SKIPIF1<0為平行四邊形，設(shè)棱錐高為SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0，現(xiàn)將容器以棱SKIPIF1<0為軸向左側(cè)傾斜，如圖乙，這時(shí)水面恰好經(jīng)過SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．水的體積為SKIPIF1<0B．水的體積為SKIPIF1<0C．圖甲中的水面高度為SKIPIF1<0D．圖甲中的水面高度為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】將四棱錐補(bǔ)成平行六面體，利用棱柱和棱錐的體積公式逐項(xiàng)分析即可.【詳解】如圖將四棱錐補(bǔ)成平行六面體，設(shè)平行四面體的體積為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，而三棱柱SKIPIF1<0與平行六面體的高相同，則SKIPIF1<0，根據(jù)四棱錐SKIPIF1<0與平行六面體底和高均相同，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A正確，B錯(cuò)誤，圖甲中上方的小四棱錐高為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故圖甲中的水面高度為SKIPIF1<0，故C正確,D錯(cuò)誤；故選：AC.18．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，多面體ABCDEF的8個(gè)面都是邊長為2的正三角形，則（

）A．SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面FABC．直線EA與平面ABCD所成的角為SKIPIF1<0 D．點(diǎn)E到平面ABF的距離為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個(gè)面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點(diǎn)，可判斷A選項(xiàng)，取SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性找到平面SKIPIF1<0的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項(xiàng)，求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如圖，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正三角形可得SKIPIF1<0為正方形，故SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，由正三角形的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由條件可知四棱錐SKIPIF1<0、四棱錐SKIPIF1<0均為正四棱柱，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交點(diǎn)為正方形SKIPIF1<0的中心，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，連接SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的高，設(shè)點(diǎn)E到平面ABF的距離為SKIPIF1<0，由幾何關(guān)系可求得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，代入數(shù)據(jù)解得SKIPIF1<0，故D正確．故選：ACD.19．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．對(duì)任意的點(diǎn)SKIPIF1<0C．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小是SKIPIF1<0D．對(duì)任意的點(diǎn)SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積是定值【答案】BD【分析】以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求解即可判斷A；驗(yàn)證SKIPIF1<0即可判斷B；平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由題意SKIPIF1<0,求解即可判斷C；可證得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等且為定值，結(jié)合SKIPIF1<0即可判斷D.【詳解】以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此方程組無解，故A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故B正確；平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由題意SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，均與SKIPIF1<0矛盾，故C錯(cuò)誤；SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等且為定值，設(shè)為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為定值，則SKIPIF1<0為定值，故D正確.故選：BD.20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）球面幾何是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．如圖，A,B,C是球面上不在同一大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧分別為SKIPIF1<0，由這三條劣弧圍成的球面部分稱為球面SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0為經(jīng)過SKIPIF1<0兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長度，已知地球半徑為SKIPIF1<0，北極為點(diǎn)N，點(diǎn)P，Q是地球表面上的兩點(diǎn)，則（

）

A．SKIPIF1<0B．若點(diǎn)SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，則SKIPIF1<0C．若點(diǎn)SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，則球面SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則球面SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求得SKIPIF1<0，可判定A錯(cuò)誤；求得SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，可判定B正確；由球心角SKIPIF1<0，結(jié)合球的表面積求得SKIPIF1<0的面積，可判定C錯(cuò)誤；由SKIPIF1<0時(shí)，構(gòu)造正四面體SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，結(jié)合對(duì)稱性，求得球面SKIPIF1<0的面積，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以A不正確；對(duì)于B中，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，可得球心角SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，可得球心角SKIPIF1<0，又由球的表面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，如圖所示，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0為等邊三角形，構(gòu)造一個(gè)球內(nèi)接正四面體SKIPIF1<0，其中心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正四面體SKIPIF1<0內(nèi)切球得到半徑，設(shè)正四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為高SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的四等分點(diǎn)，則SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據(jù)對(duì)稱性，可得球面SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以D正確.故選：BD.

21．（