新高考數(shù)學二輪復習 小題綜合練專題06 立體幾何（解析版）

專題06立體幾何小題綜合一、單選題1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）如圖位于西安大慈恩寺的大雁塔是我國現(xiàn)存最早?規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，其最高處的塔剎可以近似地看成一個正四棱錐，已知正四棱錐的高為SKIPIF1<0，其側(cè)棱與底面的夾角為SKIPIF1<0，則該正四棱錐的體積約為（

）SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0為側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角，結(jié)合SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)正四棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角，因為側(cè)棱與底面的夾角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得正四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，又因為正四棱錐的高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.2．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知半徑為4的球SKIPIF1<0，被兩個平面截得圓SKIPIF1<0，記兩圓的公共弦為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)及球的截面的性質(zhì)，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及三棱錐的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)弦SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，依題意，可得如下圖形，由圓的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為二面角的平面角，故SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，由球的截面性質(zhì)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四點共圓，則有外接圓直徑SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C3．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）將一個體積為SKIPIF1<0的鐵球切割成正三棱錐的機床零件，則該零件體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設(shè)正三棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，球半徑為SKIPIF1<0，由球體積求得球半徑SKIPIF1<0，根據(jù)邊長、高、外接球半徑關(guān)系及棱錐體積公式得到零件體積關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)，利用導數(shù)求體積最大值.【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，球半徑為SKIPIF1<0，由球的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正三棱錐的體積為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值為SKIPIF1<0.故選：D4．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）建筑物的屋面在頂部交匯為一點，形成尖頂，這種建筑叫攢（cuán）尖建筑，其屋頂叫攢尖頂.其特點是屋頂為錐形，沒有正脊，頂部集中于一點，即寶頂，該頂常用于亭?榭?閣和塔等建筑.1981年溫州江心嶼的東西雙塔列為溫州市第一批文物保護單位.江心嶼東塔為六角攢尖頂，其檐平面呈正六邊形，它有著與其角數(shù)相同的垂脊和圍脊，如圖所示，它的輪廓可近似看作一個正六棱錐.假設(shè)東塔的圍脊為SKIPIF1<0，垂脊為SKIPIF1<0，則攢尖坡度（屋頂斜坡與檐平面所成二面角的正切值）為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】SKIPIF1<0為底面中心，連接SKIPIF1<0，確定SKIPIF1<0為屋頂斜坡與檐平面所成二面角的正切值，計算得到答案.【詳解】如圖，SKIPIF1<0為底面中心，連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，三直線交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為屋頂斜坡與檐平面所成二面角的正切值，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

故選：C5．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）在平行四邊形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，將三角形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到三角形SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.記線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，那么直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由余弦定理，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點建立空間直角坐標系，利用向量法解決線面角問題.【詳解】SKIPIF1<0，由余弦定理，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，平面SKIPIF1<0內(nèi)垂直于SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸，垂直于平面SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.故選：A6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）《九章算術(shù)?商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑，”陽馬，是底面為長方形或正方形，有一條側(cè)棱垂直底面的四棱錐.在SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0為正方形的陽馬中，若SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0B．異面直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0C．四棱錐SKIPIF1<0的體積為1D．直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0【答案】B【分析】把陽馬補形成正方體，求出異面直線夾角判斷A；求出線面距離判斷B；求出四棱錐體積判斷C；求出線面角的余弦判斷D作答.【詳解】由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為正方形，而SKIPIF1<0，則陽馬可補形成正方體SKIPIF1<0，如圖，

對于A，由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，A錯誤；對于B，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而異面直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的距離等于直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，B正確；對于C，四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，C錯誤；對于D，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，D錯誤.故選：B7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學著作，其中記載有幾何體“芻甍”．現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為兩個全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則此芻甍體積的最大值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在SKIPIF1<0上取兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，將芻甍分為兩個體積相等的四棱錐和一個三棱柱，進而表示體積為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用導數(shù)分析單調(diào)性，進而求解最大值即可求解.【詳解】在SKIPIF1<0上取兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0體積相同，取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

根據(jù)題意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，則等腰梯形SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以芻甍的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.8．（2023·浙江·高三專題練習）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0為空間內(nèi)一點且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作與SKIPIF1<0平行的平面，與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由題意知平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可先令SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，再證明當點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點時，滿足平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可輕易得出SKIPIF1<0的值.【詳解】因為SKIPIF1<0為空間內(nèi)一點且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作與SKIPIF1<0平行的平面，與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.在正方體SKIPIF1<0中，如圖所示，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0，假設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;又因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，符合題意，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0.故選：D.9．（2023·浙江·高三專題練習）已知菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，將△SKIPIF1<0沿著對角線SKIPIF1<0翻折至△SKIPIF1<0，使得線段SKIPIF1<0長為SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由題知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所先計算出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用公式SKIPIF1<0，算出兩向量的夾角的余弦值，從而得出異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值.【詳解】因為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0所以異面直線SKIPIF1<0與CD所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D10．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）牟合方蓋是由我國古代數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)并采用的，一種用于計算球體體積的方法，類似于現(xiàn)在的微元法.由于其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱為牟合方蓋.本質(zhì)上來說，牟合方蓋是兩個半徑相等并且軸心互相垂直的圓柱體相交而成的三維圖形，如圖1所示.劉徽發(fā)現(xiàn)牟合方蓋后200多年，祖沖之及他的兒子祖暅，推導出牟合方蓋八分之一部分的體積計算公式為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為構(gòu)成牟合方蓋的圓柱底面半徑）.圖2為某牟合方蓋的SKIPIF1<0部分，且圖2正方體的棱長為1，則該牟合方蓋的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)“牟盒方蓋”的定義和體積公式計算可得.【詳解】由圖可知，牟合方蓋的圓柱底面半徑即為正方體的棱長，所以SKIPIF1<0，該牟合方蓋的體積為SKIPIF1<0.故選：C.11．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）已知三棱錐SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，頂點P到底面SKIPIF1<0的距離為2，其外接球半徑為5，則側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成角的正切值的取值范圍為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題意分析知，分成兩種情況，討論SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，求解SKIPIF1<0即可得出答案.【詳解】正SKIPIF1<0外心為SKIPIF1<0，邊長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，外接球球心SKIPIF1<0必在過SKIPIF1<0垂直于底面的直線上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若P，SKIPIF1<0在平面ABC的同側(cè)；SKIPIF1<0到底面距離為2，故SKIPIF1<0在離底面SKIPIF1<0距離為2的平面上SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0軌跡為SKIPIF1<0上以SKIPIF1<0為圓心，5為半徑的圓，作SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0軌跡為以SKIPIF1<0為圓心，5為半徑的圓，SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0同理，若P與SKIPIF1<0在平面ABC的異側(cè)，則P的軌跡是半徑為3的圓，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；綜上SKIPIF1<0.故選：A.12．（2023·浙江·高三專題練習）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線SKIPIF1<0平面ABC的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項.【詳解】對于A，由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直線SKIPIF1<0平面ABC，能滿足；

對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直線SKIPIF1<0平面ABC，能滿足；

對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以直線SKIPIF1<0平面ABC，能滿足；

對于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.

故選：D.13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與曲池的底面SKIPIF1<0垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為SKIPIF1<0，則圖中四面體SKIPIF1<0的體積為（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可求SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為全等的等腰三角形，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，構(gòu)造出平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，從而可求四面體SKIPIF1<0的體積.【詳解】依題意，根據(jù)勾股定理可求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為全等的等腰三角形，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由等腰三角形的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B14．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）如圖1，直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折（如圖2），記四面體SKIPIF1<0的外接球為球SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為球心）.SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上一動點，當直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角最大時，四面體SKIPIF1<0體積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先得到球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點，然后當SKIPIF1<0與球SKIPIF1<0相切時直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的最大，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時四面體SKIPIF1<0體積取得最大值，即可求出答案.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0均為等腰直角三角形，所以四面體SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點，因為SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0上的動點，若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的最大，則SKIPIF1<0與球SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0最大，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上運動.所以當SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時四面體SKIPIF1<0的體積取得最大值.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D.15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）如圖，SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0.連SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折成三棱錐SKIPIF1<0，當三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小值時，二面角SKIPIF1<0的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題可得SKIPIF1<0為等邊三角形，設(shè)SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，根據(jù)球的性質(zhì)可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時適合題意，進而即得.【詳解】因為SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為直角三角形，設(shè)SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小,即外接球的半徑最小時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，此時SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，余弦值為0.故選：B.【點睛】方法定睛：多面體與球切、接問題的求解方法(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．(2)若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．(4)球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長．(5)利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．二、多選題16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，則（

）A．SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、線面角的定義，結(jié)合異面直線所成的角定義逐一判斷即可.【詳解】對A選項，如圖，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，又易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以本選項正確；對B選項，假設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正四棱柱的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而由正四棱柱的性質(zhì)可知：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此本選項錯誤；對C選項，在矩形SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，本選項正確；對D選項，由A選項分析可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，又根據(jù)題意易知SKIPIF1<0，本選項正確，故選：ACD17．（2023·浙江·高三專題練習）某學校課外社團活動課上，數(shù)學興趣小組進行了一次有趣的數(shù)學實驗操作，課題名稱“不用尺規(guī)等工具，探究水面高度”.如圖甲，SKIPIF1<0是一個水平放置的裝有一定量水的四棱錐密閉容器（容器材料厚度不計），底面SKIPIF1<0為平行四邊形，設(shè)棱錐高為SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0，現(xiàn)將容器以棱SKIPIF1<0為軸向左側(cè)傾斜，如圖乙，這時水面恰好經(jīng)過SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點，則（

）A．水的體積為SKIPIF1<0B．水的體積為SKIPIF1<0C．圖甲中的水面高度為SKIPIF1<0D．圖甲中的水面高度為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】將四棱錐補成平行六面體，利用棱柱和棱錐的體積公式逐項分析即可.【詳解】如圖將四棱錐補成平行六面體，設(shè)平行四面體的體積為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，而三棱柱SKIPIF1<0與平行六面體的高相同，則SKIPIF1<0，根據(jù)四棱錐SKIPIF1<0與平行六面體底和高均相同，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A正確，B錯誤，圖甲中上方的小四棱錐高為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故圖甲中的水面高度為SKIPIF1<0，故C正確,D錯誤；故選：AC.18．（2023·浙江·高三專題練習）如圖，多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形，則（

）A．SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面FABC．直線EA與平面ABCD所成的角為SKIPIF1<0 D．點E到平面ABF的距離為SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點，可判斷A選項，取SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項，根據(jù)對稱性找到平面SKIPIF1<0的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項，求點到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，如圖，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正三角形可得SKIPIF1<0為正方形，故SKIPIF1<0，故A正確；對于B選項，取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，由正三角形的性質(zhì)可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C選項，由條件可知四棱錐SKIPIF1<0、四棱錐SKIPIF1<0均為正四棱柱，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交點為正方形SKIPIF1<0的中心，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故C正確；對于D選項，連接SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的高，設(shè)點E到平面ABF的距離為SKIPIF1<0，由幾何關(guān)系可求得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，代入數(shù)據(jù)解得SKIPIF1<0，故D正確．故選：ACD.19．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的一動點，則（

）A．存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．對任意的點SKIPIF1<0C．存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小是SKIPIF1<0D．對任意的點SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積是定值【答案】BD【分析】以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求解即可判斷A；驗證SKIPIF1<0即可判斷B；平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由題意SKIPIF1<0,求解即可判斷C；可證得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等且為定值，結(jié)合SKIPIF1<0即可判斷D.【詳解】以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，如圖，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此方程組無解，故A錯誤；SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故B正確；平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由題意SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，均與SKIPIF1<0矛盾，故C錯誤；SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等且為定值，設(shè)為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為定值，則SKIPIF1<0為定值，故D正確.故選：BD.20．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校聯(lián)考階段練習）球面幾何是幾何學的一個重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．如圖，A,B,C是球面上不在同一大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點，經(jīng)過這三點中任意兩點的大圓的劣弧分別為SKIPIF1<0，由這三條劣弧圍成的球面部分稱為球面SKIPIF1<0，定義SKIPIF1<0為經(jīng)過SKIPIF1<0兩點的大圓在這兩點間的劣弧的長度，已知地球半徑為SKIPIF1<0，北極為點N，點P，Q是地球表面上的兩點，則（

）

A．SKIPIF1<0B．若點SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，則SKIPIF1<0C．若點SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，則球面SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則球面SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】當SKIPIF1<0時，求得SKIPIF1<0，可判定A錯誤；求得SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，可判定B正確；由球心角SKIPIF1<0，結(jié)合球的表面積求得SKIPIF1<0的面積，可判定C錯誤；由SKIPIF1<0時，構(gòu)造正四面體SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，結(jié)合對稱性，求得球面SKIPIF1<0的面積，可判定D正確.【詳解】對于A中，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以A不正確；對于B中，當點SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，可得球心角SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以B正確；對于C中，當點SKIPIF1<0在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，可得球心角SKIPIF1<0，又由球的表面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以C錯誤；對于D中，如圖所示，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0為等邊三角形，構(gòu)造一個球內(nèi)接正四面體SKIPIF1<0，其中心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正四面體SKIPIF1<0內(nèi)切球得到半徑，設(shè)正四面體SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為高SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的四等分點，則SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性，可得球面SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以D正確.故選：BD.

21．（