建筑力學(xué)課件：桿件的應(yīng)力計(jì)算

§5-1概述§5-2軸向拉（壓）桿件橫截面及斜截面上的應(yīng)力§5-3材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)§5-4圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力§5-5平面彎曲的概念§5-6梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力及其應(yīng)用§5-7梁彎曲時(shí)的剪應(yīng)力

桿件的應(yīng)力計(jì)算1.應(yīng)力定義：由外力引起的內(nèi)力集度。工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)椤捌茐摹被颉笆А蓖鶑膬?nèi)力集度最大處開始。①平均應(yīng)力：②應(yīng)力（總應(yīng)力）：

F

AMFp4Fp32.應(yīng)力的表示：§5-1概述③應(yīng)力分解為：a.垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”

(NormalStress)；b.位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”(ShearingStress)。單位：Pa1Pa=1N/m2、

1MPa=106Pap

M

Fp3Fp43.應(yīng)力與內(nèi)力分量之間的關(guān)系：p

M

Fp3Fp4xyzzy4.應(yīng)變定義：形變：

形狀的改變。物體的形狀總可用它各部分的長度和角度來表示。因此物體的形變總可以歸結(jié)為長度的改變和角度的改變。

彈性體受力后發(fā)生的變形不是任意，必須滿足變形協(xié)調(diào)一致的要求。應(yīng)變：

應(yīng)變又可分為正應(yīng)變（線應(yīng)變）和切應(yīng)變兩種。每單位長度的伸縮稱為正應(yīng)變（線應(yīng)變），用表示；各線段之間的直角的改變稱為切應(yīng)變（角應(yīng)變），用表示。注意應(yīng)變的正負(fù)號(hào)規(guī)定。

x

xdx

xdx

xuu+du

αβ5、線彈性材料是指彈性范圍內(nèi)加載時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變滿足線性關(guān)系的材料E為彈性模量G為切變模量變形前變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。縱向纖維變形相同。abcd受載后FFd′a′c′b′一、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布。5-2軸向拉（壓）桿件橫截面及斜截面上的應(yīng)力拉伸應(yīng)力：軸力引起的正應(yīng)力——

：在橫截面上均布。sFN(x)F二、拉(壓)桿斜截面上的應(yīng)力設(shè)有一等直桿受拉力P作用。求：斜截面k-k上的應(yīng)力。PPkka解：采用截面法由平衡方程：Fa=P則：Aa：斜截面面積；Fa：斜截面上內(nèi)力。由幾何關(guān)系：代入上式，得：斜截面上全應(yīng)力：PkkaFaPPkka斜截面上全應(yīng)力：PkkaPa分解：pa=反映：通過構(gòu)件上一點(diǎn)不同截面上應(yīng)力變化情況。當(dāng)

=90時(shí)，當(dāng)

=0,90時(shí)，當(dāng)

=0時(shí)，(橫截面上存在最大正應(yīng)力)當(dāng)

=±45時(shí)，(45°斜截面上剪應(yīng)力達(dá)到最大)tasaa三、拉壓桿件的強(qiáng)度計(jì)算

其中：[

]—許用應(yīng)力，

max—危險(xiǎn)點(diǎn)的最大工作應(yīng)力。②設(shè)計(jì)截面尺寸：依強(qiáng)度條件可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：

為了保證構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)度破壞，并有一定安全余量，于是得到拉（壓）桿的強(qiáng)度條件。①校核強(qiáng)度：③許可載荷：

n>11、許用應(yīng)力：3、極限應(yīng)力：2、安全系數(shù)：許用應(yīng)力·

安全因數(shù)·

極限應(yīng)力[例]已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，許用應(yīng)力[

]=170MPa，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度要求。解：①軸力：FN

=F=25kN②應(yīng)力：③強(qiáng)度校核：④結(jié)論：此桿滿足強(qiáng)度要求，能夠正常工作。一、拉伸時(shí)材料的力學(xué)性能1、試驗(yàn)條件：常溫(20℃)；靜載（極其緩慢地加載）；標(biāo)準(zhǔn)試件。力學(xué)性能：材料在外力作用下表現(xiàn)的有關(guān)強(qiáng)度、變形方面的特性。圓截面：矩形截面：§5-3材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)2、試驗(yàn)儀器：萬能材料試驗(yàn)機(jī)；變形儀（常用引伸儀）。3、低碳鋼試件的拉伸圖(F--

L圖)4、低碳鋼試件的應(yīng)力--應(yīng)變曲線(

--

圖)1、op–比例段:2、pe--曲線段:(一)低碳鋼拉伸的彈性階段(oe段)

p--比例極限

e--彈性極限(二)低碳鋼拉伸的屈服(流動(dòng)）階段(es

段)es--屈服段:

s---屈服極限滑移線：塑性材料的失效應(yīng)力:

s

。

ｂ---強(qiáng)度極限(三)、低碳鋼拉伸的強(qiáng)化階段(ｓｂ段)２、卸載定律：３、冷作硬化：1、延伸率:

2、面縮率：

3、脆性、韌性及相對(duì)性(四)、低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂）階段(bf段)5、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料0.2s0.2名義屈服應(yīng)力:

0.2

，即此類材料的失效應(yīng)力。6、鑄鐵拉伸時(shí)的機(jī)械性能

ｂL---鑄鐵拉伸強(qiáng)度極限（失效應(yīng)力）dh二、壓縮時(shí)材料的力學(xué)性能

ｂy---鑄鐵壓縮強(qiáng)度極限；

ｂy

（4～6）

ｂL

切應(yīng)力互等定理

MMacddxb

dy′′z

§5-4圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力上式稱為切應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。等直圓桿橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無伸縮；

3.縱向線變形后仍為平行。等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：MMMMMM1.變形協(xié)調(diào)方程：距圓心為

任一點(diǎn)處的

與該點(diǎn)到圓心的距離

成正比?！獑挝婚L度相對(duì)轉(zhuǎn)角。Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：剪切胡克定律：代入上式得：3.靜力學(xué)關(guān)系：令代入物理關(guān)系式得：TOτ

dA橫截面上距圓心為

處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。

Ip—截面極慣性矩，純幾何量，無物理意義。單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是IP值不同。a.對(duì)于實(shí)心圓截面：D

d

Ob.對(duì)于空心圓截面：dDO

d

④

應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）

工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。⑤

確定最大切應(yīng)力：由知：當(dāng)WP—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于空心圓截面：扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。5、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：([

]稱為許用切應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：

[例]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用切應(yīng)力[

]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。TM解：①求扭矩及扭矩圖②計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度③此軸滿足強(qiáng)度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCMMx

1、彎曲變形：在軸線平面內(nèi)受到外力偶或垂直于軸線方向的力，其變形特點(diǎn)是：桿的軸線彎曲成曲線。這種形式的變形稱為彎曲變形。

2、梁：主要發(fā)生彎曲變形的桿件通常稱為梁。

3、平面彎曲：當(dāng)作用于梁上所有的外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，則梁變形后的軸線也將在這個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲成一條平面曲線。梁彎曲時(shí)，若梁變形后的軸線所在的平面與外力所在的平面相重合，這種彎曲稱為平面彎曲。

§5-5平面彎曲的概念

某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。某段梁的內(nèi)力既有彎矩又有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為橫向彎曲。純彎曲(PureBending):aaABQxPPMxPa§5-6梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力及其應(yīng)用1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)

橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：

一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力分析中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM

平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。橫截面上只有正應(yīng)力。

3.推論2.兩個(gè)概念

中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。4.幾何方程：)))OO1)A1B1O1OabcdABdqrxyOO1

（二）物理關(guān)系：

假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。sxsx（三）靜力學(xué)關(guān)系：

zxy對(duì)稱面……(3)曲率計(jì)算公式EIz

桿的彎曲剛度。zxy正應(yīng)力計(jì)算公式

梁在橫彎曲作用下，其橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有切應(yīng)力。由于存在切應(yīng)力，橫截面不再保持平面，而發(fā)生“翹曲”現(xiàn)象。進(jìn)一步的分析表明，對(duì)于細(xì)長梁（例如矩形截面梁，，為梁長，為截面高度），切應(yīng)力對(duì)正應(yīng)力和彎曲變形的影響很小，可以忽略不計(jì)，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式仍然適用。

橫力彎曲時(shí),彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng)力發(fā)生于彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處，則………..(5)二、橫向彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力最大正應(yīng)力：……(6)DdDd=abBhHzxy1.強(qiáng)度條件：2.強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③設(shè)計(jì)載荷：[例]矩形截面懸臂梁如圖7.6所示，F(xiàn)P＝lkN。試計(jì)算1-1截面上A、B、C各點(diǎn)的正應(yīng)力，并指明是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。解(1)求1-1截面的彎矩由截面法得

N·m計(jì)算截面慣性矩

mm4計(jì)算應(yīng)力A點(diǎn)

MPaB點(diǎn)

MPaC點(diǎn)

MPa求得的A點(diǎn)的應(yīng)力為正值，表明該點(diǎn)為拉應(yīng)力，B點(diǎn)的應(yīng)力為負(fù)值，表明該點(diǎn)為壓應(yīng)力，C點(diǎn)無應(yīng)力。當(dāng)然，求得的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，也可根據(jù)梁的變形情況來判別。

[例]受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（1）1—1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy

求應(yīng)力18030

求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030

[例]矩形截面外伸梁受力如圖a)所示，已知l＝4m，b＝160mm，h＝220mm，F(xiàn)P＝4kN，q＝8kN/m，材料的許用應(yīng)力＝10MPa，試校核梁的強(qiáng)度。

解

(1)作彎矩圖

作出的彎矩圖如圖

b)所示。由圖中可知Mmax＝4.1kN·m。

(2) 校核強(qiáng)度≤故梁的強(qiáng)度足夠。

一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)：

①切應(yīng)力與剪力平行；

②距中性軸等距離處，切應(yīng)力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

①在梁上取微段如圖b；

②在微段上取一塊如圖c,平衡dxxFQ(x)+dFQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)FQ(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c§5-7梁彎曲時(shí)的剪應(yīng)力dxxFQ(x)+dFQ

(x)M(x)yM(x)+dM(x)FQ(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由切應(yīng)力互等FQt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;切應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz*為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。鉛垂切應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大切應(yīng)力;?maxAF