2025年高考數(shù)學一輪復習講義：空間點、直線、平面之間的位置關系（解析版）

專題37空間點、直線、平面之間的位置關系（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................4

【考點突破】...............................................................13

【考點1］基本事實的應用....................................................13

【考點2］空間位置關系的判斷................................................21

【考點3】異面直線所成的角..................................................28

【分層檢測】...............................................................35

【基礎篇】.................................................................35

【能力篇】.................................................................47

【培優(yōu)篇】.................................................................52

考試要求：

1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上抽象出空間點、直線、平

面的位置關系的定義.

2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

知識梳理

L與平面有關的基本事實及推論

(1)與平面有關的三個基本事實

基本事實內(nèi)容圖形符號

A,B,。三點不共

基本過不在一條直線上的三

線=存在唯一的a

事實1個點，有且只有一個平面/J'/

使A,B,C^a

如果一條直線上的西仝

基本AC/,5?/,且Ada,

點在一個平面內(nèi)，那么這

事實2/BGan/ua

條直線在這個平面內(nèi)

如果兩個不重合的平面

基本有一個公共點，那么它們P^a,且尸?夕今a

事實3有且只有一條過該點的nj3=i,且pc/

公共直線

(2)基本事實1的三個推論

推論內(nèi)容圖形作用

經(jīng)過一條直線和這條直線外

推論1

一點，有且只有一個平面

經(jīng)過兩條相交直線，有且只確定平面的

推論2

有一個平面依據(jù)

經(jīng)過兩條平行直線，有且只

推論3

有一個平面/7/

2.空間點、直線'平面之間的位置關系

2

圖形

7

相交語言Xy

關系符號

aAa=AaC0=l

語言

圖形

7^7

獨有語言

關系符號a,b是

〃ua

語言異面直線

3.基本事實4和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4.異面直線所成的角

⑴定義：已知a,》是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線"〃a,b'//b,把優(yōu)與加所

成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：fo,?.

|常用結論

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異

面直線所成的角，也可能等于其補角.

；■真題自測

一、單選題

1.（2024?全國,高考真題）設辦￡為兩個平面，5、〃為兩條直線，且a6=根.下述四個命題:

①若則"http://?；?〃分②若則“_1_<7或"，力

③若〃〃a且〃///,貝|加/“④若”與心,△所成的角相等，則利，〃

其中所有真命題的編號是（）

3

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024?天津,高考真題）若私〃為兩條不同的直線，a為一個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若mlla,nila,貝B.若貝!J加〃〃

C.若，7〃/a,〃_La,則D.若加〃a,〃_La,則機與〃相交

3.（2022?浙江?高考真題）如圖，己知正三棱柱ABC-A百G，AC=明，E,尸分別是棱3C,AG上的點.記

防與Ad所成的角為a,E尸與平面ABC所成的角為夕，二面角歹-3C-A的平面角為/,貝U（）

A.a<P<yB.(3<a<yC.P<y<aD.a<y</3

4.（2021?全國?高考真題）在正方體ABCD-ABCQ中，P為8a的中點，則直線尸8與A，所成的角為（）

二、多選題

5.（2022?全國?高考真題）已知正方體ABCD-AgG。，貝U（）

A.直線BG與D4,所成的角為90。B.直線8。與C4所成的角為90。

C.直線BG與平面班離。所成的角為45。D.直線Bq與平面ABC。所成的角為45。

6.（2021?全國?高考真題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的中點，M,N為正方體的頂

點.則滿足的是（）

4

N

三、解答題

7.（2021?北京?高考真題）如圖：在正方體ABC。-4月04中，E為AR中點，Bg與平面CDE交于點尸.

（1）求證：尸為用G的中點；

（2）點M是棱44上一點，且二面角FC-E的余弦值為好，求整的值.

3A?i

8.（2021?浙江?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是平行四邊形，

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=415,M,N分別為BC,PC的中點，PDLDC,PMLMD.

B

（1）證明：AB±PM；

（2）求直線AN與平面尸DM所成角的正弦值.

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

【詳解】對①，當"ua,因為加〃“，機u￡,則“〃￡,

當“u尸，因為〃"/〃，根ua,則〃//0,

當〃既不在a也不在用內(nèi)，因為根〃"，mua,mu0,則“〃a且"http:///?,故①正確；

5

對②，若〃?，〃，則”與a,"不一定垂直，故②錯誤；

對③，過直線n分別作兩平面與a,4分別相交于直線s和直線t,

因為〃〃a,過直線〃的平面與平面a的交線為直線s,則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知〃〃s,

同理可得〃/〃，貝Us/〃，因為SU平面廣，/u平面/，貝心//平面/，

因為su平面a,a/3=m,貝!!$//根，又因為“〃s,則"z〃〃，故③正確;

對④，若=與a和尸所成的角相等，如果〃///〃//￡,則機〃〃，故④錯誤;

綜上只有①③正確,

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,若m"a,nila,則孤〃平行或異面或相交，故A錯誤.

對于B,若mlla,n]la,則八〃平行或異面或相交，故B錯誤.

對于C,mlla,nLa,過加作平面夕，使得月ia=s,

因為機u￡,故而sua,故〃J_s,故相_L〃，故C正確.

對于D,若能〃則機與〃相交或異面，故D錯誤.

故選：C.

3.A

【分析】先用幾何法表示出a,P，/,再根據(jù)邊長關系即可比較大小.

【詳解】如圖所示，過點/作FP_LAC于尸，過尸作PMIBC于連接PE,

則（z=/瓦P,。=ZFEP,y=ZFMP,

PEPE八八FPAB、iFP、FP

tana-----=-----<1,tanp=---=----->1,tan/=----->----t-anB，

FPABPEPEPMPE

6

所以a<夕

故選：A.

4.D

【分析】平移直線4,至BG，將直線尸3與A?所成的角轉化為尸3與BG所成的角，解三角形即可.

如圖，連接8G，尸G，尸2,因為團BG，

所以NBBG或其補角為直線PB與A1所成的角，

因為8月，平面4BGR,所以又PCJBR,BBQBR=B-

所以尸平面所以尸￡，尸3,

設正方體棱長為2,則BC]=2忘,PQ=g=應，

sinNPBC|=r=；,所以NMCyg.

故選：D

5.ABD

【分析】數(shù)形結合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】如圖，連接8。、BC「因為￡>A//月C,所以直線Bq與BC所成的角即為直線與。4所成的

角，

因為四邊形BBCC為正方形，則用CJ_BC「故直線BG與。A所成的角為90。，A正確；

7

連接A]C,因為44,平面BBCC，2C]U平面BBC。，則44_LBC1,

因為4CJ.BC],4耳Bg=B],所以BC]_L平面A4C,

又4Cu平面48,c,所以BG^CA，故B正確；

連接AG，設AGBR=o,連接BO,

因為8氐，平面a耳GR,GOu平面A與G2，則G。，耳2,

因為GO_LB12，BRcB]B=Bi,所以G。，平面BBQ。，

所以NC0O為直線BC]與平面B8QD所成的角,

設正方體棱長為1,則6。=變，BG=0，sinNC避。=5，=：,

所以，直線與平面所成的角為30,故C錯誤；

因為GCL平面ABCD,所以NGBC為直線BG與平面ABCD所成的角，易得/QBC=45,故D正確.

故選:ABD

6.BC

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線MN構造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】設正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接AC,則M7V/ZAC,

故ZPOC（或其補角）為異面直線ORMN所成的角，

故tanN尸0C=3="，

在直角三角形OPC,OC=0，CP=1

V22

故MN_LOP不成立，故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取AT的中點為2,連接PQ,OQ,則OQJ.NT,PQ1MN,

8

由正方體S8CM-N4DT可得SN_L平面而OQu平面AAOT,

故SNLOQ,而SNMN=N,故。。，平面SN77W,

又建Vu平面SN7M,OQLMN,而OQPQ=Q,

所以ACV_L平面OPQ,而尸Ou平面。PQ,故MN_LOP,故B正確.

對于C,如圖(3),連接則39/MN,由B的判斷可得OPL3D,

故0PlMN,故C正確.

對于D,如圖(4),取AD的中點。，A3的中點K,連接AC,PQ,OQ,PK,OK,

則AC//MN,

因為DP=PC,故尸?！ˋC,椒PQHMN,

所以/QPO或其補角為異面直線PQMN所成的角，

9

sM

圖⑷

因為正方體的棱長為2,故尸。=gac=3,OQ=^AO2+AQ1=71+2=^,

PO=4PK2+OK2=74+1=75>QO2<PQ2+OP2,故N0尸。不是直角，

故尸O,故V不垂直，故D錯誤.

故選：BC.

7.(1)證明見解析；(2)瞿=；.

【分析】(1)首先將平面CDE進行擴展，然后結合所得的平面與直線4G的交點即可證得題中的結論；

(2)建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求得相應平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)X的值.

【詳解】⑴如圖所示，取4a的中點尸，連結DE,EF',F'C,

由于ABC。-A冉GA為正方體，E,尸為中點，故EFPCO,

從而E,F\C,D四點共面，即平面CDE即平面CDEF',

據(jù)此可得：直線4Q交平面CDE于點廣,

當直線與平面相交時只有唯一的交點，故點尸與點尸重合，

即點尸為中點.

⑵以點。為坐標原點，D4,￡>C,DQ方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系。-孫z,

10

不妨設正方體的棱長為2,設黑斗1川

則：M（2,242）,C（0,2,0）,F（l,2,2）,E（l,0,2）,

從而：MC=（-2,2-2%—2）,b=（1,0,2）,FE=（0,-2,0）,

設平面MCF的法向量為：（占,％,zj,貝ij：

ITI,MC——2玉+（2—22）%—2Z]—0

mCF=玉+2Z]=0

令馬=-1可得：m=2,JpT

設平面CFE的法向量為：”=（%,%，z?），貝！I：

n-FE=-2y2=0

n-CF=%+2Z2=0

令Z=T可得：〃=（2,0,-l）,

,113

整理可得：u-iy=-,故％=—（2=e舍去）.

v7422

【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關系和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推

理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的

夾角公式求解.

11

8.（1）證明見解析；（2）姮.

6

【分析】（1）要證可證由題意可得，PDA.DC,易證DM1DC,從而OCL平面

PDM,即有。從而得證；

（2）取AT＞中點E,根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點”為坐標原點，建立空間直角坐標

系，再分別求出向量4V和平面PZ）暇的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出.

【詳解】（1）在△DCM中，DC=1,CM=2,ZDCM=60,由余弦定理可得。M=VL

所以Oir+OC?=C"2，，由題意。且BDcDW=。，；.DC_L平面PDM,而PMu平

面PDM,所以DCLPM,又AB//DC,所以

（2）由PM_LMD,AB_L尸河，而A3與DW相交，所以PM_L平面ABCD,因為AM=夕，所以尸河=20,

取AD中點E,連接ME,則尸河兩兩垂直，以點M為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,

則A（-6,2,0）,尸（0,0,2忘）,D（百,0,0）,M（0,0,0）,C（瓜-1,0）

又N為PC中點，所以N］?,-［，應］,AN=|手廠|,女.

由（1）得CD_L平面PDM,所以平面PDM的一個法向量〃=（。/,0）

5

.|AN-n\2

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為sm6==卜”

IANWnI/2725

4I?I-/

V44

【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉化，要證明ABLPM,可以考慮。CLPM,

題中與OC有垂直關系的直線較多，易證OCJ_平面PDM,從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第

一間的垂直關系可以建立空間直角坐標系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出.

考點突破

【考點11基本事實的應用

一、單選題

1.（2002?全國?高考真題）已知機，〃為異面直線，機u平面a,wu平面夕，修〕￡=/,貝I"（）

12

A.與加，〃都相交B.與〃?，"中至少一條相交

C.與機，〃都不相交D.至多與小，〃中的一條相交

2.（2024?四川綿陽?模擬預測）如圖所示，在正方體ABC。-481GA中，M是棱4月上一點，平面根犯與

棱CG交于點N.給出下面幾個結論，其中所有正確的結論是（）

①四邊形"BAR是平行四邊形；②四邊形MBNA可能是正方形；③存在平面"BNQ與直線B片垂直;

④任意平面MBNR都與平面ACBt垂直.

A,①②B.③④C.①④D.①②④

二、多選題

3.（2023?河北?模擬預測）如圖，已知正方體4BCD-A耳GR的棱長為1，。為底面ABCZ）的中心，交

平面于點E,點P為棱C。的中點，則（）

A.4，及。三點共線B.異面直線8。與AG所成的角為60°

C點C閏平面A加的距離為半9

D.過點A，反廠的平面截該正方體所得截面的面積為5

O

4.（2022?全國?模擬預測）如圖，在正方體AB8-EFHG中，M,N貨別為FH,FE的中點，則（）

13

A.AN,BF,CM三條直線不可能交于一點，平面ACW_L平面3DG尸

B.AN,BF,CM三條直線一定交于一點，平面ACMV_L平面

C.直線AE與直線CM異面，平面AEHC_L平面A3CD

D.直線AE與直線CM相交，平面ACMV_L平面ABCD

三、填空題

5.（2024?山東濟南?三模）在正四棱柱ABC。-44GA中，AB=4,朋=6,M,N分別是AB,AD的中

點，則平面MNG截該四棱柱所得截面的周長為.

6.（2021?全國?模擬預測）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AAt=AB=BC=2,D,E分別為8月，AG

分如中點，則過點A,D,E的截面與三棱柱的側面BCC中的交線的長為

參考答案:

1.B

【分析】由題意畫出滿足條件的圖象，結合圖象得到正確選項.

【詳解】若/與私〃都不相交，則”/加，llln,則加〃"，這與"〃是異面直線矛盾;

故C不正確；

如圖，/與加，〃中的一條相交，另一條不相交，

14

也可以與兩條都相交，但不交于同一點，如圖

綜上：/與加，〃中的至少一條相交.

故選:B

2.C

【分析】通過幾何性質(zhì)得出四邊形的形狀，由線線、線面垂直即可得出直線8月和平面與平面

M2N2的關系.

【詳解】對于①，因為平面M2,與棱CG交于點N,所以四點共面，

在正方體ABCO-AAG，中，由平面BCC由〃平面ADRA，

又平面MB。1平面平面MBRA平面BCC4=BN,所以MR//BN,

同理可得人份〃朋3,故四邊形一定是平行四邊形，故①正確

對于②，在正方體ABC。-481GA中，44，面ABBA，

因為面所以

若MBND,是正方形，有MDJBM,MR=BM,

若4,M不重合，則AW—與A.矛盾，

若A，M重合，則不成立，故②錯誤；

對于③，因為BRu平面/48。＜90。，

若直線B片與平面M8NR垂直，則直線顯然矛盾，

所以平面M8NR與直線B耳不可能垂直，故③錯誤

對于④，因為3片，平面ABC。，ACc^ABCD,所以B與LAC,

又BD_LAC,BBicBD=B,BB”BDu平面BBRD,所以AC_L平面BBQQ,

又RBu平面B5QD,所以RBLAC,

同理：D,B±ABt,又ACu平面AC%AB|U平面ACB-ACnAB,=A,

所以RB,平面ACB-因為RBu平面所以平面MBNR，平面ACB1,故④正確.

15

綜上所述，正確的有①④.

故選：C.

3.ACD

【分析】由題意可證得4,2。三點都在平面43。與平面ACGA的交線上，可判斷A；由題意可證得3m

平面ACG4,從而2DLAG，可判斷B；由題意可證得AC平面48。，則GE的長度就是點G到平面

\BD的距離，求解可判斷C；取。。的中點G,因為尸G〃CR〃A8，所以等腰梯形AB尸G就是過點4,8，尸

的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.

【詳解】因為。為底面ABCZ）的中心，所以。為2D和AC的中點，則OeBROeAC,

因為8￡>u平面ABRACu平面ACGA,所以。?平面ABD,。e平面ACG4,

所以點。是平面48。與平面ACGA的公共點；

顯然A1是平面AB。與平面ACGA的公共點；

因為AC］交平面A3。于點E,AGU平面ACQA,

所以E也是平面A0。與平面ACCW的公共點，

所以A，E,。三點都在平面AB。與平面ACGA的交線上，即A，E，。三點共線，故A正確；

因為C|C，平面ABCD,BDU平面ABCD,所以3。，QC,

又BO_LAC,ACGC=C,AC,C|Cu平面ACGA，

所以班>/平面ACGA,又AGU平面ACCA,

所以8。LAG，即異面直線2。與AG所成的角為90。，故B不正確;

根據(jù)證明1AG的方法，同理可得AG1A.B,

16

因為BZ）\B=B,BD,A{BcA}BD,

所以AG，平面AtBD,則GE的長度就是點G到平面的距離,

顯然E為正三角形48。的中心，因為正方體ABCO-ABCiP的棱長為1,

所以正三角形48。的邊長為0,所以AE=gx[x后=?，

又AG=忘，所以GE==^=寺，

即點C1到平面48D的距離為亞，故C正確；

3

取的中點G,連FG,GA，BRAB,因為尸G〃CQ〃AB,

所以等腰梯形ABFG就是過點\,B,F的平面截該正方體所得截面，如圖：

因為AB=0,PG=曰，AG=BF=4,

所以等腰梯形ABEG的高為，=JAQ2r笞型：=乎，

所以等腰梯形ABbG的面積為1（42+尸6）?//=:1血+坐[羋="

2.21zJ4o

即過點A，民方的平面截該正方體所得截面的面積為59,故D正確.

o

故選：ACD.

4.BC

【分析】證明出面ACMVL面3DGF,判斷出多面體ABCWNF為三棱臺，由棱臺的結構特征得到AN,BF,

CM三條直線一定交于一點.判斷A,B；先證明出平面AEHC_L平面ABCD,由平面ACMV與平面AEHC不

平行，得到平面ACMV與平面ABC。不垂直，判斷C,D.

17

【詳解】在正方體ABCD-EFf/G中，斯，平面ABCD,

則3P上AC.又BFcBD=B,所以AC_L平面BOGb,

又ACu平面ACMV,所以平面ACMVJ_平面3DG產(chǎn).

因為M,N分別為FH,FE的中點，所以MN〃AC,

MN=-AC,NF//AB,NF=-AB,

22

MF//BC,MF=LjBC,所以多面體ABCVCVF為三棱臺，

2

所以A7V,BF,CM三條直線一定交于一點，故A錯誤，B正確；

由題意知AE〃C”與CM相交，所以AE與CM異面，

因為平面ABCD,AEu平面AEHC,

所以平面AEHC1,平面ABCD,又平面AOW7V與平面AEHC不平行，

所以平面ACAW與平面A3CD不垂直，故C正確，D錯誤.

故選：BC.

5.1472

【分析】作出輔助線，得到平面WG截該四棱柱所得截面為五邊形NMGGQ,求出各邊邊長，相加得到答

案.

【詳解】延長NM，CB相交于點H,連接交B用于點G,連接MG,

因為正四棱柱4BC￡>-AB|GR中，AB=4,胴=6,M,N分別是AB,A￡>的中點，

所以MNNAM、AN?=20,BH=AN,CCX=6,

GBBH1_________「

因為HBG?HCC[,-=—=故BG=2,GH=y/BG2+BH2=242^

在。2上取點2,連接NQ，G。，則NQ=[DN2+DQ2=2應,

同理可知GQ=N",所以四邊形GQNH為平行四邊形，

故G,H,N,Q四點共面，

則平面MNC、截該四棱柱所得的截面為五邊形NMGCQ,

MG=yjMB^BG2=272，C]G=琢+*=742+42=40，

同理GQ=40,

故截面周長為ACV+MG+C]G+GQ+NQ=20+20+40+40+20=140.

18

【分析】首先根據(jù)平行線將平面進行擴展得到過點A,D,￡的截面與三棱柱的側面3CG瓦的交線為DG,

確定點G為線段8C的三等分點靠近用的點，最后在直角三角形D耳G中求得線段。G的長度即可.

【詳解】由題意將直三棱柱ABC-AqC補成一個直四棱柱A3NC-AAMG,

取用M中點連接8”,顯然

取用”中點尸，連接。尸，班DFIIBHIIAE,

所以A,D,F,E四點共平面，連接口與用G的交點為G,連接。G

所以過點A,D,F,E的截面與三棱柱的側面BCC4的交線為。G,

因為B、FGGEG,且耳產(chǎn)=(EG，

所以點G為線段的三等分點靠近Bi的點，

2

因為為。=2,所以4G=§,

又。為8片中點，所以￡?4=1,

因為8月，面44G，所以BB\±瓦G，

則2G="$2=半.

故答案為：巫.

3

19

【點睛】本題主要考查截面問題，如需要將平面進行擴展，一般有兩種方法，一是通過做平行線進行擴展，

一種是找相交直線確定交線上的點進行擴展，在備考中注意多總結.

反思提升：

共面、共線、共點問題的證明

（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi).

（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

（3）證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

【考點21空間位置關系的判斷

一、單選題

1.（2023?浙江嘉興?二模）己知正方體43。-4與￡〃的棱長為2,P為空間內(nèi)一點且滿足AP工平面A0。，

過作與AP平行的平面，與與G交于點。，則CQ=（）

A.1B.y/2C.也D.V5

2.（2021?全國?模擬預測）已知機，〃，/是三條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，則下列結論一定

正確的是（）

A.若"ua,Iua,mLn,m±l,則機_La

B.若”z/〃，Illa,則m//cr

C.若小_1_〃，〃_!_/,/_L/，則7*_L

D.mlla,nS-[3,alI（3,則〃

二、多選題

JT

3.（2024?浙江?三模）已知平面a,（3,直線a,b,若a_L/7,ac/3=a,6與a所成的角為:，則下列結

6

論中正確的有（）

A.a內(nèi)垂直。的直線必垂直于夕

B.a內(nèi)的任意直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線

C.6與4所成的角為:

D.6與a內(nèi)的任意一條直線所成的角大于等于B

4.（23-24高二上?湖北恩施,期中）在棱長為2的正方體中，E,產(chǎn)分別為A3,3C的中

點，貝U（）

A.異面直線與8/所成角的余弦值為半

B.點尸為正方形44G2內(nèi)一點，當。p〃平面用￡廠時，〃尸的最大值為述

2

20

C.過點2，E,歹的平面截正方體ABC。-AgGR所得的截面周長為2屈+應

D.當三棱錐旦-3跖的所有頂點都在球。的表面上時，球。的表面積為6兀

三、填空題

5.（2023?全國?模擬預測）已知以夕是兩個不同的平面，以〃是平面圓￡外兩條不同的直線，給出四個條件：

?m±n；②a〃尸；③〃〃尸；@mla,以下四個推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與

證明的序號）

（1）已知②③④，則①成立

（2）已知①③④，則②成立

（3）已知①②④，則③成立

（4）已知①②③，則④成立

6.（2022?北京平谷?模擬預測）設棱長為2的正方體ABC。-A4GR,E是AD中點，點M、N分別是棱A3、

G2上的動點，給出以下四個結論：

①存在硒〃M&；

②存在ACV_L平面ECCt；

③存在無數(shù)個等腰三角形;

"24~

④三棱錐C-肱VE的體積的取值范圍是.

則所有結論正確的序號是.

參考答案：

1.D

【分析】由題意知平面ABQ1平面42。，可先令。為BC中點，再證明當點2為片G中點時，滿足平面

48。，平面42。，即可輕易得出C。的值.

【詳解】因為尸為空間內(nèi)一點且滿足API平面AB。，過AB作與AP平行的平面，與4G交于點2,

所以AP回平面ABQ,而AP2平面48。，故平面42。1平面41。.

在正方體ABCO-ABGA中，如圖所示，取A耳中點為尸,42中點為E,連接QE,。尸,AG，

假設。為qG中點，則△ABQ為等腰三角形，48中點為瓦所以

又因為BO尸。46,所以3。，尸。，

4用中點為中點為E,所以斯BB-而BBJB。,所以EFLBD,EFcFQ=F,所,FQu平面EFQ,

所以3￡>工平面EB。，EQu平面EP。,所以3￡>_LEQ；

21

因為BD1EQ,BDAB=平面人田。,

所以EQ_L平面ABO,EQu平面4BQ,所以平面，平面,符合題意,

故。為4G中點，CQ=Jccj+GO?=也?+F=6

2.D

【分析】根據(jù)空間中的線線，線面，面面關系一一分析即可.

【詳解】對于A項，需要加上”與/相交才符合線面垂直的判定定理，故A錯誤；

對于B項，有可能機ua,故8錯誤；

對于C項，加與夕沒有關系，斜交、垂直平行都有可能，故C錯誤；

對于D項，若〃_L￡,all/3,則〃_La,而相〃<z,故小_!_〃，故D正確.

故選：D.

3.ABD

【分析】由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可判斷AB；線面位置關系可判斷C；由最小角定理可判斷D.

【詳解】對于A選項，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，a內(nèi)垂直。的直線必垂直于yA正確；

對于B選項，在戶內(nèi)作。的垂線，則此垂線必垂直于a,

自然也就垂直a內(nèi)的任意直線，這種垂線可以作無數(shù)條，所以B正確；

JT

對于C選項，b與a所成的角為7，但。與夕的位置關系不確定，不能確定b與B所成的角，

0

特殊情況下可以是萬//,所以C錯誤；

對于D選項，由最小角定理可知，線面角是線與面內(nèi)的任意直線所成角中的最小的角，故D正確.

故選：ABD.

4.ACD

【分析】對于A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在Rt85尸中/班?尸即為異面直線D2與所成的角，即可判

定；對于B：取42的中點M，2G的中點N,連接〃N,DM,DN,得到DM〃片廠，DNIIByE,即可證

22

明面DAW〃面旦EF,則根據(jù)已知得出尸軌跡為線段肱V,則過。作DPJLMV,此時。尸取得最小值，即可

判定；對于C：過點口、E、下的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形RMEAV,得出

DtM//NF,D.NHME,設CN=n,以。為原點，分別以DAOGDR方向為x軸、y軸、z軸正方

向建立空間直角坐標系。-孫z,得出ME，D、N,DXM,NF的坐標，則可根據(jù)AM//NF,RN//ME列式

得出AM,CN,即可得出A",CjN,在RtRAM中得出RM,同理得出jN,在Rt&WAE中得出ME,

同理得出NV,在RtAEB尸中得出所，即可得出五邊形AMEFN的周長，即過點2、艮廠的平面截正方

體ABC。-AgG2所得的截面周長，即可判定；對于D：取所的中點。一則?！?。尸=。田，過。|作

OOJ/BB,,且使得oa=；34=l,則。為三棱錐4-8跖的外接球的球心，則0E為外接球的半徑，計算

得出半徑即可求出球。的表面積，即可判定.

【詳解】對于A選項，DDJ/BB,,

.?.在RtBB、F中2337即為異面直線與8/所成的角,

??.cos??嶇=；=拽

B.F廬35

異面直線叫與BF所成的角的余弦值為竿.故A正確;

對于B選項，取42的中點2G的中點N,取A。的中點S,連接MN,DM,DN,\S,SF,

SF//AB//A,B、,SF=AB=AB\,

四邊形A耳尸S為平行四邊形，SA〃男/，\SHDM,.-.MDIIB.F,

同理可得。N//B￡,

23

又面與￡尸，4Fu面及DNe面B#,B^Eu面B】EF,

.-.DM//面耳￡尸，DN//面BlEF,

又?.DMcDN=D,DM,DNu而DMN,

面DMN//面B[EF,

又iDP〃面B]EF,pe面,

；.尸軌跡為線段腦V,

.,.在DMN中，過。作DP_LMN,此時。尸取得最小值，

在中，D,M=1,D、D=2,：,DM=5

在RtDQN中，D、N=1,D、D=2,：,DN=B

在RtM'N中，D、N=1,D、M=l,.;=口

如圖，在RtDPN中，。尸=Jrw2—J=J"＞乎，

對于C選項，過點2、E、尸的平面截正方體ABC。-4與百R,

,平面〃平面BBCC，則過點2、E、尸的平面必與AA與CG交于兩點，

設過點2、E、歹的平面必與AA與CG分別交于M、N,

過點DpE、F的平面與平面A41Ao和平面BB￡C分別交于D、M與FN,，D^MIINF,同理可得DXNHME,

如圖過點2、E、F的平面截正方體ABCD-ABCP所得的截面圖形為五邊形D'MEFN,

如圖以。為原點，分別以DADCg方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系。-沖z,

24

則M（2,0,m）,N（0,2,〃）,E（2,l,0）,F（l,2,0）,M（0,0,2）,

=〃N=（O,2,〃—2）,=（2,0,m-2）,NF=（1,0,TI）,

D}M//NF,DXNHME,

2

m=-

-2m=n-23

一2…一2,解得

2

n=一

3

2944

AM=—,CN=—,A^M=—,C1N=—,

.?.在RtAAM中，24=2,=同理：D[N=^/Il,

在RtaM4E中，AM=1,AE=1,;.ME=g,同理：FN=—

3