2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（解析版）

專題58分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................5

【考點(diǎn)1】分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用............................................5

【考點(diǎn)2】分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用............................................8

【考點(diǎn)3］兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用............................................13

【分層檢測】...............................................................17

【基礎(chǔ)篇】.................................................................17

【能力篇】.................................................................22

考試要求：

1.通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.

2.能解決簡單的實際問題.

.知識梳理

1.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機(jī)種不同的方法，在第2類方案中有〃種不

同的方法.那么完成這件事共有N=m+”種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有機(jī)種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么

完成這件事共有N=/nX〃種不同的方法.

3.分類加法和分步乘法計數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種

方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,

各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.

|常用結(jié)論

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.

（1）分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

（2）分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.

等真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從

這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

2.（2023?全國?高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

3.（2023?全國,高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.CQC短種B.C黑°C鼠種

C.OC2種D.C黑°C鼠種

4.（2023?全國?高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2

名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

2

二、填空題

5.（2024?上海?高考真題）設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個不同元素之

積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值____.

6.（2023?全國?高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修

2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

參考答案:

題號1234

答案BCDD

1.B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為a,b,Gd,e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有A；=12

種方法，

同理：6,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

2.C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有C2A；=120種，

故選：C.

3.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x黑=40人，高中部共抽取60x型=20,

600oOO

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C%c禽種.

3

故選：D.

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有Cj=6件，

其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有C；C；=4,

42

所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為：=工.

63

故選：D.

5.329

【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個位是0和個位不是0討論即可.

【詳解】由題意知集合中且至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù).

首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，

①當(dāng)個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有以=72個；

②當(dāng)個位不為。時，則個位有C；個數(shù)字可選，百位有C；=256個數(shù)字可選，十位有C；個數(shù)字可選，

根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有C；C；C；=256,

最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個數(shù)的最大值為72+256+1=329個.

故答案為：329.

6.64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有=16種；

（2）當(dāng)從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

4

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用

一、單選題

1.（2023?湖南?模擬預(yù)測）第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲、乙等4名杭

州亞運(yùn)會志愿者到游泳、射擊、體操三個場地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名

志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

2.（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣"村超"

足球場，伴隨平地村足球隊在對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州"村超”總決賽階段

的比賽正式拉開帷幕.某校足球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口

寨村、忠誠村，已知每個村至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個

村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選同一個村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

二、多選題

3.（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，16枚釘子釘成4x4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的

有（不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點(diǎn)不同）（）

A.可以圍成20個不同的正方形

B.可以圍成24個不同的長方形（鄰邊不相等）

C.可以圍成516個不同的三角形

D.可以圍成16個不同的等邊三角形

三、填空題

4.（22-23高三下?浙江杭州?階段練習(xí)）在一個圓周上有8個點(diǎn)，用四條既無公共點(diǎn)又無交點(diǎn)的弦連結(jié)它們，

則連結(jié)方式有種.

5.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）有序?qū)崝?shù)組國孫…，*（〃eN*）稱為"維向量，㈤+岡+.??+.為該向量的

范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長度和大小方面有著重要的作用.已知"維向量M=（人,尤2,…,龍”），其中

5

龍”{0,1,2},力=1,2,「”.記范數(shù)為奇數(shù)的6的個數(shù)為A“，則4=；4?+i=.（用含力的式子表示）

6.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）第33屆奧運(yùn)會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校

需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該?，F(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有

2名女生的選法有種（用數(shù)字作答）.

參考答案:

題號123

答案CBABC

1.C

【分析】本題只需考慮游泳場有2名志愿者和1名志愿者兩種情況即可.

【詳解】①游泳場地安排2人，則不同的安排方法有C；A；=6種，

②游泳場地只安排1人，則不同的安排方法有C；C；A；=18種，

所以不同的安排方法有6+18=24種.

故選：C

2.B

【分析】分3,1,1和2,2,1兩種情況，分別求出不同的選法再相加即可.

【詳解】若五位同學(xué)最終選擇為3,1,1,先選擇一位同學(xué)和學(xué)生甲和學(xué)生乙組成3人小組，

剩余兩人各去一個村，進(jìn)行全排列，此時有C；A；=18種選擇，

若五位同學(xué)最終選擇為2,2,1,將除了甲乙外的三位同學(xué)分為兩組，再進(jìn)行全排列，

此時有C；C；A；=18種選擇，

綜上，共有18+18=36種選擇.

故選：B

3.ABC

【分析】利用分類計算原理及組合，結(jié)合圖形，對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】不妨設(shè)兩個釘子間的距離為1,

對于選項A,由圖知，邊長為1的正方形有3x3=9個，邊長為2的正方形有2x2=4個，

邊長為3的正方形有1個，邊長為0的正方形有2x2=4個，邊長為石的有2個，共有20個，所以選項A

正確，

對于選項B,由圖知，寬為1的長方形有3x3=9個，寬為2的長方形有4x2=8個，

6

寬為3的長方形有5個，寬為亞的有2個，共有24個，所以選項B正確，

對于選項C,由圖知，可以圍成C：6-：10C；-4C；=516個不同的三角形，所以選項C正確,

對于選項D,由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項D錯誤，

故選：ABC.

4.14

【分析】根據(jù)加法分類計數(shù)原理求解即可.

【詳解】不妨設(shè)圓周上的點(diǎn)依次為A氏C,2E,￡G,”，

要使得四條弦既無公共點(diǎn)又無交點(diǎn)，如圖所示：

AAA

Gy)DG\

FEFE

①②

符合圖①的連結(jié)方式有2種；符合圖②的連結(jié)方式有4種；符合圖③的連結(jié)方式有8種;

共計2+4+8=14種.

故答案為：14.

【分析】根據(jù)乘法原理和加法原理即可求解4；根據(jù)(2+1)2向和(2-1)22的展開式相減得到4.M的通項公

式.

［詳解】根據(jù)乘法原理和加法原理得到4=C：?23+C?2=40.

奇數(shù)維向量，范數(shù)為奇數(shù)，則%=1的個數(shù)為奇數(shù)，即1的個數(shù)為1,3,5,....2〃+1,

2,2fl224

根據(jù)乘法原理和加法原理得到A?+1=CL+12'+CL+12-+Cl?+12-+L+C猾2。,

1=(2_1廣+|=以+21+d"T-C誓2。

o2n+li

兩式相減得到4“+l=^~—

故答案為：40；---------.

2

6.105

【分析】分別求出恰有兩名女生人選、恰有3名女生人選、恰有4名女生人選的選法種數(shù)，根據(jù)分類加法

7

計數(shù)原理，即可求得答案.

【詳解】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有c；XC：=60種，

恰有3名女生人選的選法有C；xC；=40種，

恰有4名女生人選的選法有C；xC：=5種，

所以至少有兩名女生人選的選法有60+40+5=105（種），

故答案為：105

反思提升：

分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.

（1）根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn).

（2）分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩

種方法才是不同的方法，不能重復(fù).

（3）分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.

【考點(diǎn)2】分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用

一、單選題

1.（23-24高二上?遼寧?期末）某校高三年級有8名同學(xué)計劃高考后前往武當(dāng)山、黃山、廬山三個景點(diǎn)旅游.已

知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男

生甲與女生A不去同一處景點(diǎn)游玩，女生2與女生C去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為

（）

A.564B.484C.386D.640

2.（2023?河南開封?模擬預(yù)測）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到A,民C三個工廠實習(xí)，每人必須去一

個工廠且每個工廠至少去1人，且A工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.36D.72

二、多選題

3.（23-24高二上?四川?階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六、周天兩天，每天從中任選兩人

參加服務(wù)，則（）

A.只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種

B.恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種

C.只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種

D.恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種

4.（2024?甘肅?一模）下列說法正確的有（）

A.數(shù)據(jù)29,30,39,25,37,41,42,32的第75百分位數(shù)是40

8

B.若J~N（25,4）,則P（2O4J425）+尸（230）=J

C.4名學(xué)生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為C；種

D.（l-x）8展開式中/項的二項式系數(shù)為56

三、填空題

5.（2024?福建廈門?一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名

同學(xué)計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.

6.（2024?山東濰坊?一模）第40屆濰坊國際風(fēng)箏會期間，某學(xué)校派5人參加連續(xù)6天的志愿服務(wù)活動，其中

甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

一、單選題

1.（23-24高二上?遼寧?期末）某校高三年級有8名同學(xué)計劃高考后前往武當(dāng)山、黃山、廬山三個景點(diǎn)旅游.已

知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男

生甲與女生A不去同一處景點(diǎn)游玩，女生8與女生C去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為

（）

A.564B.484C.386D.640

2.（2023?河南開封?模擬預(yù)測）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到A,民C三個工廠實習(xí)，每人必須去一

個工廠且每個工廠至少去1人，且A工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）

A.12B.14C.36D.72

二、多選題

3.（23-24高二上?四川?階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六、周天兩天，每天從中任選兩人

參加服務(wù)，則（）

A.只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種

B.恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種

C.只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種

D.恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種

4.（2024?甘肅?一模）下列說法正確的有（）

A.數(shù)據(jù)29,30,39,25,37,41,42,32的第75百分位數(shù)是40

B.若J~N（25,4）,則尸（204JW25）+尸偌230）=g

C.4名學(xué)生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為C；種

D.（l-x）8展開式中X3項的二項式系數(shù)為56

三、填空題

9

5.（2024?福建廈門?一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名

同學(xué)計劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.

6.（2024?山東濰坊?一模）第40屆濰坊國際風(fēng)箏會期間，某學(xué)校派5人參加連續(xù)6天的志愿服務(wù)活動，其中

甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

參考答案:

題號1234

答案ABADABD

1.A

【分析】先將不平均分組問題分成兩大類，然后由排列組合知識結(jié)合加法、乘法計數(shù)原理即可得解.

【詳解】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.

第一種情況分成2人，2人，4人：女生氏C去同一處景點(diǎn)，當(dāng)成2人組時，

其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生A不同組，有C：A；=8種方法；

當(dāng)民C在4人組時，有華"+C；A；=36種方法.

第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)反C成2人組時，有C；=6種方法；

當(dāng)良。在3人組時，有C'Cf+C；C；A；=44種方法.

故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（8+36+6+44）xA；=564.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)題意，分A廠只接受1個女生和A廠接受2個女生兩類情況，結(jié)合民C廠的分派方案，利用

分類、分步計數(shù)原理，即可求解.

【詳解】由題意，可分為兩種情況：

①若A廠只接受1個女生，有C；=2種分派方案，

則B,C廠分派人數(shù)可以為1,2或2,1,則有C；+C；=6種分派方案，

由分步計數(shù)原理可得，共有2x6=12種不同的分派方案；

②若A廠接受2個女生，只有1種分派方案，

則氏C廠分派人數(shù)為1,1,則有C；=2種分派方案，

此時共有1x2=2種不同的分派方案，

綜上，由分類計數(shù)原理可得，共有12+2=14種不同的分派方案.

10

故選：B.

3.AD

【分析】

有1人未參加服務(wù)或恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)都要先從5人中選出1人，再從余下的人中選取服務(wù)于周

六周日，根據(jù)分步乘法原理，即可求得答案.

【詳解】由題意得只有1人未參加服務(wù)，先從5人中選1人，未參加服務(wù)，有C；=5種選法，

再從余下4人中選2人參加周六服務(wù)，剩余2人參加周日服務(wù)，有C；=6種選法，

故只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是5x6=30種，A正確，C錯誤；

恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)，先從5人中選工人，服務(wù)周六、周天兩天，有C；=5種選法，

再從余下4人中選1人參加周六服務(wù)，剩余3人選1人參加周日服務(wù)，有C：C；=12種選法，

故恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是5x12=60種，B錯誤，D正確，

故選：AD

4.ABD

【分析】

由百分位數(shù)的定義計算結(jié)果判斷選項A；由正態(tài)分布的對稱性判斷選項B；由分步計數(shù)原理判斷選項C；由

二項式定理求指定項的二項式系數(shù)判斷選項D.

【詳解】數(shù)據(jù)29,30,39,25,37,41,42,32,共8個數(shù)據(jù)，

從小到大排列為25,29,30,32,37,39,41,42,8x75%=6,

所以第75百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)與第7個數(shù)據(jù)的平均值，即也產(chǎn)=40,A選項正確；

若自?N（25,4）,則正態(tài)密度曲線的對稱軸為4=25,

所以「（2OVJV25）+產(chǎn)仁230）=尸（25VJ<3O）+P偌230）=尸仁N25）=g,B選項正確；

4名學(xué)生選報3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為r種，C選項錯誤；

由二項式定理可知，（1-尤甘展開式中尤3項的二項式系數(shù)為C；=56,D選項正確.

故選：ABD.

5.24

【分析】先求出三人選書沒有要求的選法，再排除三人選擇的書完全相同的選法即可.

【詳解】若三人選書沒有要求，則有33=27種，

若三人選擇的書完全相同，則有3種，

11

所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有27-3=24種.

故答案為：24.

6.120

【分析】首先考慮甲連續(xù)2天的情況，再其余4人全排列，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.

【詳解】在6天里，連續(xù)2天的情況，一共有5種，

則剩下的4人全排列有A：種排法，

故一共有5xA：=120種排法.

故答案為：120.

反思提升：

1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題栗按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并

且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這

件事.

2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.

【考點(diǎn)3】兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.（23-24高三上?江西南昌?階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹

供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有（）種不同的方法.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）"142857"這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當(dāng)142857

與1至6中任意1個數(shù)字相乘時，乘積仍然由1,4,2,8,5,7這6個數(shù)字組成.若從1,4,2,8,5,7

這6個數(shù)字中任選4個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個數(shù)是

（）

A.87B.129C.132D.138

二、多選題

3.（22-23高二下?貴州貴陽?階段練習(xí)）甲、乙、丙、丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開始，等可能地隨機(jī)傳

向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的工人，如此不停地傳下去，假設(shè)

傳出的球都能接住.記第”次傳球之前球在甲手中的概率為匕，易知4=1，巴=。.下列選項正確的是（）

12

B.卜-；，為等比數(shù)列

C.設(shè)第"次傳球之前球在乙手中的概率為凡,，％＜凡2

D.第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種

4.（22-23高二下?山東棗莊?階段練習(xí)）現(xiàn)有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、

9人，則下列說法正確的是（）

A.選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30

B.每組選1名組長的選法種數(shù)為3024

C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335

D.若另有3名學(xué)生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種

三、填空題

5.（22-23高二下?湖北?期中）用0~9十個數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個位、十位、百位的數(shù)字之和

等于9的三位數(shù)稱為“長久數(shù)”，貝V長久數(shù)”一共有個.

6.（2023?陜西寶雞?一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5

個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色,

其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.

參考答案:

題號1234

答案CABCDABC

1.C

【分析】利用分類計數(shù)原理求解，按2與4兩區(qū)域種植果樹是否相同進(jìn)行分類即可.

【詳解】分兩類情況：

第一類：2與4種同一種果樹，

第一步種1區(qū)域，有5種方法；

第二步種2與4區(qū)域，有4種方法；

第三步種3區(qū)域，有3種方法；

13

最后一步種5區(qū)域，有3種方法，

由分步計數(shù)原理共有5x4x3x3=180種方法;

第二類：2與4種不同果樹，

第一步在1234四個區(qū)域，從5種不同的果樹中選出4種果樹種上，是排列問題，共有A；=120種方法；

第二步種5號區(qū)域，有2種方法，

由分步計數(shù)原理共有120x2=240種方法.

再由分類計數(shù)原理，共有180+240=420種不同的方法.

故選：C.

2.A

【分析】按千位數(shù)分別是5,7,8進(jìn)行分類討論即可.

【詳解】若千位數(shù)字是5,則百位數(shù)字不能是1,故共有C；C；C；=27（個）；

（①一個四位數(shù)為偶數(shù)，則其個位上的數(shù)字一定是偶數(shù)；②組成的四位數(shù)要大于5200,則其千位上的數(shù)字

是5,7或8）

若干位數(shù)字是7,則共有C；A：=36（個）；

若干位數(shù)字是8,則共有C；A；=24（個）.

故符合條件的四位數(shù)共有27+36+24=87（個）.

故選：A

3.BCD

【分析】對于A,求得△=；,可判斷A錯誤；對于B,依題意可得匕=匕_「0+（1-匕-）+=-3匕1+；,

從而可證明，即可判斷B選項；對于C,由B選項求得q=^]-3]+；＜；,乜2=；（1-￡2）＞；，從而可判

斷；對于D,列舉法可判斷.

【詳解】對于A,因為第2次傳球之前球不在甲手中，所以A錯誤；

對于B,因為第"次傳球之前球在甲手中的概率為4,則當(dāng)〃22時，第”-1次傳球之前球在甲手中的概率

為P-,第次傳球之前球不在甲手中的概率為1-￡T，

則匕=匕一「。+（1_匕一）：=一:七|+:,從而匕一:（匕一又44=:

..?卜-?是以|■為首項，公比為一;的等比數(shù)列，故B正確；

14

對于C,由B選項可得月一gj+：〈:典2=；。一&）＞:，故心＜?12,故C正確；

對于D,第3次傳球后球在甲手中有：甲乙丙甲，甲乙丁甲，甲丙乙甲，甲丙丁甲，甲丁乙甲，甲丁丙甲，

共6種傳法，

第3次傳球后球在丙手中有：甲乙甲丙，甲乙丁丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，甲丙丁丙，甲丁甲丙，甲丁乙

丙，共7種傳法，

第3次傳球后球在丁手中有：甲乙甲丁，甲乙丙丁，甲丙甲丁，甲丙乙丁，甲丁甲丁，甲丁乙丁，甲丁丙

丁，共7種傳法，

所以第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式共20種，故D正確.

故選：BCD.

4.ABC

【分析】利用加法計數(shù)原理判斷選項A；利用乘法計數(shù)原理判斷選項B；利用乘法及加法計數(shù)原理判斷選項

C；利用間接法并結(jié)合乘法計數(shù)原理判斷選項D.

【詳解】對于A,選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)：6+7+8+9=30,故A正確；

對于B,每組選1名組長的選法：6x7x8x9=3024,故B正確；

對于C,2人需來自不同的小組的選法：6x7+6x8+6x9+7x8+7x9+8x9=335,故C正確；

對于D,依題意：若不考慮限制，每個人有4種選擇，共有43種選擇，若第一組沒有人選，每個人有3種

選擇，共有J種選擇，

所以不同的選法有：43-33=37,故D錯誤；

故選：ABC.

5.45

【分析】將“長久數(shù)”的排列轉(zhuǎn)化為將9個表示1的球與2個表示0的球排成一排，利用隔板法即可求解.

【詳解】設(shè)01M2，%對應(yīng)個位到百位上的數(shù)字，則/€曠,生€?^（，=1,2）旦4+4+。3=9,相當(dāng)于將9個表

示1的球與2個表示0的球排成一排，如圖，

11111111100,

這個數(shù)有10個空，用2個隔板隔開分為3組，左起第一組數(shù)的和作為。3,第二組數(shù)的和作為出，第三

組數(shù)的和作為q,

故共C：°=45種，

故答案為：45.

6.72

15

【分析】畫圖分析其中四板塊必涂上不同顏色，再根據(jù)分類分步計數(shù)原理計算剩下的部分即可.

【詳解】由題意，一共4種顏色，板塊A需單獨(dú)一色，剩下6個板塊中每2個區(qū)域涂同一種顏色.

又板塊B,C,D兩兩有公共邊不能同色，故板塊AB,C,。必定涂不同顏色.

①當(dāng)板塊E與板塊C同色時，則板塊EG與板塊良?；虬鍓K3分別同色，共2種情況；

②當(dāng)板塊E與板塊B同色時，則板塊廠只能與。同色，板塊G只能與C同色，共1種情況.

又板塊AB,C,D顏色可排列，故共（2+1）xA：=72種.

故答案為：72

反思提升：

1.在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時應(yīng)注意：

⑴一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理.（2）對于較復(fù)雜的兩個原理綜

合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.

2.解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2023?廣東廣州?模擬預(yù)測）小明在某一天中有七個課間休息時段，為準(zhǔn)備"小歌手"比賽他想要選出至少

一個課間休息時段來練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個練習(xí)的時間段之間都有至少兩個課間不唱歌讓他休息，

則小明一共有（）種練習(xí)的方案.

A.31B.18C.21D.33

2.（2023?河北唐山?一模）將英文單詞歷""中的6個字母重新排列，其中字母6不相鄰的排列方法共有

（）

A.120種B.240種C.480種D.960種

3.（2022?遼寧?二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了"底同

火不同，湯通油不通"它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象

成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：

16

“中間格"火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；

"十字格"火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；

“四角格"屬文火，火力溫和，適合婀菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放

入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同

時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）

4.（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）如圖所示某城區(qū)的一個街心花園，共有五個區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計為代

表城市特點(diǎn)的一個標(biāo)志性塑像，要求在周圍A8C。四個區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個品種的鮮花可供選擇，

要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（）

二、多選題

5.（2023?湖南?三模）已知一組數(shù)據(jù)：0,1,2,4,則下列各選項正確的是（）

A.該組數(shù)據(jù)的極差，中位數(shù)，平均數(shù)之積為10

B.該組數(shù)據(jù)的方差為2.1875

C.從這4個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字可以組成8個兩位數(shù)

D.在這4個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一數(shù)，取得偶數(shù)的概率為（

三、填空題

6.（2023?河北保定?一模）某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個學(xué)科競賽

課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報名競賽課程，由于精力和時間限制，每人只能選擇其中一個學(xué)科

的競賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程的報名方法數(shù)為.

7.（22-23高三?廣東汕頭?階段練習(xí)）如果一個四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10,則稱

此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036）,則由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個

17

數(shù)為—.

8.（2023?安徽?模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中有一個3乘3

方格圖（小正方形邊長為1）,一共有十六個紅色的格點(diǎn)，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個點(diǎn)的顏色（只

能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個點(diǎn)由紅色改成綠色，則這個點(diǎn)周圍與之相鄰的點(diǎn)也要從原來的顏

色變成另外一種顏色，比如選擇（L1）變成綠色，則與之相鄰的（0,1）,。,0）,（1,2）,（2,1）四個點(diǎn)也要變成

綠色，那么最少需要步，才能使得位于直線y=-x+3上的四個點(diǎn)變成綠色，而其他點(diǎn)都是紅色.

參考答案:

題號12345

答案BBCDBD

1.B

【分析】根據(jù)練習(xí)唱歌的課間個數(shù)進(jìn)行分類討論，利用列舉法來求得正確答案.

【詳解】七個課間編號為1,2,3,4,5,6,7,

如果僅有一個課間練習(xí)，則每個課間都可以，有7種方案，

若有兩個課間練習(xí)，選法有{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,5},{2,6},{2,7},{3,6},{3,7},{4,7},

共10種方案，

三個課間練習(xí),選法為{1,4,7},共1種，

故總數(shù)為7+10+1=18種.

故選:B

2.B

【分析】先排除6之外的其余四個字母，再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b即可.

【詳解】由題意可先排除匕之外的其余四個字母，有A：種排法，

再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b,有C；種放法，

故字母b不相鄰的排列方法共有A：C；=24x10=240（種），

18

故選：B

3.C

【分析】利用分步計數(shù)原理及分類計數(shù)原理即得.

【詳解】由題可知中間格只有一種放法；

十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；

四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有兩種放法，或每種都放

兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；

所以不同放法共有1X3X3=9種.

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)四個區(qū)域所種植鮮花的種類進(jìn)行分類：種植兩種鮮花，種植三種鮮花，種植四種鮮花，然后

相加即可求解.

【詳解】由題意可知：四個區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：

當(dāng)種植的鮮花為兩種時：A和C相同，B和。相同，共有A；=12種種植方法；

當(dāng)種植鮮花為三種時：A和C相同或3和。相同，此時共有2C：A；=2x4x6=48種種植方法；

當(dāng)種植鮮花為四種時：四個區(qū)域各種一種，此時共有A：=4x3x2x1=24種種植方法，

綜上：貝IJ不同的種植方法的種數(shù)為12+48+24=84種，

故選：D.

5.BD

【分析】對于AB選項，根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的求法計算即可；對于C選項，利用分步計數(shù)原

理計算即可；對于D項，根據(jù)古典概型計算即可.

【詳解】由數(shù)據(jù)計算可得：該組數(shù)據(jù)的極差為4-0=4,中位數(shù)為（1+2）+2=1.5,平均數(shù)為（0+1+2+4）+4=1.75,

它們之積為4x1.5x1.75=10.5,故A錯誤；

方差為（0-1對+（1-1.75）2+（2-1.75）2+（4-1.75）2=2]875,故B正確；

4

先排十位數(shù)，有三種排法，再排個位數(shù)也是三種派發(fā)，故可以組成9個兩位數(shù)，即C錯誤；

7

而組成的9個兩位數(shù)其中只有21,41兩個奇數(shù)，從中隨機(jī)抽一數(shù)，抽到偶數(shù)的概率為x，故D正確.

9

故選：BD.

6.96

【分析】利用分步加法和分類乘法原理，先安排4名同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競賽，在安排剩下的2名同學(xué)到

19

其他競賽課程中即可.

【詳解】由題知先安排甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的2名選擇數(shù)學(xué)競賽課程，

貝U有：C=6種情況，

剩下2名同學(xué)在選擇物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)四個學(xué)科競賽課程時有：

①2名同學(xué)選擇1個學(xué)科競賽則有：C：=4種情況，

②2名同學(xué)各選擇1個學(xué)科競賽則有C；C；=12種情況，

所以恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程的報名方法數(shù)為：

6x02+4)=96種情況，

故答案為：96.

7.44

【分析】分尾數(shù)為1，3,5,7,四種情況，每種情況下考慮有0,無。的情況，結(jié)合排列組合知識進(jìn)行求

解，最后相加得到答案.

【詳解】若尾數(shù)為工，前三位的數(shù)字為2,7,0,或0,3,6,或0,4,5時，0放在百位或十位上，剩余兩個數(shù)進(jìn)行

全排列，故共有3C；A；=12個完美四位數(shù)，

若前三位數(shù)字為2,3,4時，則有A；=6個完美四位數(shù)；

若尾數(shù)為3,前三位的數(shù)字為0,1,6,或0,2,5時，0放在百位或十位上，剩余兩個數(shù)進(jìn)行全排列，故共有

2c困=8個完美四位數(shù)，

若前三位數(shù)字為1,2,4時，有A；=6個完美四位數(shù)；

若尾數(shù)為5,若前三位數(shù)字為0」,4或0,2,3時，0放在百位或十位上，剩余兩個數(shù)進(jìn)行全排列，共有2C；A；=8

個完美四位數(shù)，

若尾數(shù)為7,若前三位數(shù)字為0,1,2時，0放在百位或十位上，剩余兩個數(shù)進(jìn)行全排列，有C；A；=4個完美四

位數(shù)；

綜上所述：共有12+6+8+6+8+4=44個完美四位數(shù).

故答案為：44

8.4

【分析】先確定點(diǎn)的顏色，再根據(jù)題意分步求解即得結(jié)果.

20

【詳解】由題意可知，需要使（0,3）,（1,2）,（2,1）,（3,0）變成綠色，其他點(diǎn)都是紅色，

第一步：（0,3）變成綠色,則（0,2）,（1,3）也變成綠色;

第二步：（1,2）變成綠色，則（0,2）,（1,3）變成紅色，（1,1）,（2,2）變成綠色；

第三步：（2,1）變成綠色，則（1,1）,（2,2）變成紅色,（2,0）,（3,1）變成綠色;

第四步：（3,0）變成綠色,則（2,0）,（3,1）變成紅色.

故答案為：4.

【能力篇】

一、單選題

1.（23-24高三上?山西?期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生

不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（）

A.48種B.32種C.24種D.16種

2.（2023?四川雅安?一模）甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有A,B,C,￡）,E五

個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇

種數(shù)共有（）

A.420B.460C.480D.520

3.（2024?福建泉州?二模）2024年"花開刺桐城"閩南風(fēng)情系列活動在泉州舉辦，包含美術(shù)、書法、攝影民間

文藝作品展覽，書畫筆會，文藝晚會等內(nèi)容.假如在美術(shù)、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某