2025高考數(shù)學復習必刷題：圓的方程（學生版）

第59講圓的方程

知識梳理

知識點一：基本概念

平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.

知識點二：基本性質(zhì)、定理與公式

1、圓的四種方程

（1）圓的標準方程：（x-a）2+（y-b）2=r2,圓心坐標為（a,b）,半徑為r（r>0）

（2）圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（。?+嚴一4/>0）,圓心坐標為[一,，一

半徑一也三三

2

（3）圓的直徑式方程：若4（占,％）,85,%），則以線段48為直徑的圓的方程是

0-%）。一々）+（〉-%）0-%）=0

（4）圓的參數(shù)方程：

①尤2+9=產(chǎn)。>0）的參數(shù)方程為P=rCOSf（。為參數(shù)）；

[y=rsin”

②（…）2+（—A=/（r>0）的參數(shù)方程為（無=：+/cos’（?為參數(shù)）.

[y=Z?+rsin〃

注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為

（a+rcos6?,6+rsin。）（夕為參數(shù)，（a,6）為圓心，廠為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角

函數(shù)式,從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題,然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.

2、點與圓的位置關(guān)系判斷

（1）點尸（七,%）與圓（x-a）?+（y-6）2=產(chǎn)的位置關(guān)系：

①（x-a）?+（>-。）2>/o點尸在圓外；

?（x-a）2+（y-Z?）2=-0點尸在圓上；

③（X-“）2+（,-6）2〈產(chǎn)0點尸在圓內(nèi).

(2)點P5,%)與圓/+丁+m+硝+/=。的位置關(guān)系：

①片+y；+。/0+60+/〉00點尸在圓外；

②片+y；+￡>/+或0+/=0<=>點尸在圓上；

③％；+y；+Dx0+Ey0+F<0<=>點P在圓內(nèi).

必考題型全歸納

題型一：求圓多種方程的形式

例1.(2024?貴州銅仁?統(tǒng)考模擬預(yù)測)過4(0,1)、8(0,3)兩點，且與直線y=x-l相切

的圓的方程可以是()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y-2)2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(x+2)2+(y-2)2=5

例2.(2024?全國?高三專題練習)已知圓的圓心為(-2,1),其一條直徑的兩個端點恰好

在兩坐標軸上，則這個圓的方程是()

A.+J+4尤—2y=0B.x2+-4.x+2y—5=0

C.x~+y?+4x-2y—5=0D.x2+y~—4x+2y=0

例3.(2024?全國?高三專題練習)已知圓心為(-2,3)的圓與直線彳_、+1=。相切，則該

圓的標準方程是()

A.(x+2)2+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(j+3)2=18

變式1.(2024?河北邢臺?高三統(tǒng)考期末)已知圓C:Y+y=25與直線

/:3x-4y+m=0(機>0)相切，則圓C關(guān)于直線/對稱的圓的方程為()

A.(尤+3>+(y-4>=16B.(x+3)2+"-4)2=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(x+6)2+(y—8)z=25

變式2.(2024?山東東營?高三廣饒一中?？茧A段練習)過拋物線V=4x的焦點尸的直

線交拋物線于A、B兩點，分別過48兩點作準線的垂線，垂足分別為4,左兩點，以線

段44為直徑的圓C過點(-2,3),則圓C的方程為()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(x+1)?+(y+2)2=26

變式3.(2024?全國?高三專題練習)求過兩點A(0,4),3(4,6),且圓心在直線

x-2y-2=0上的圓的標準方程是()

A.(尤+4)2+(y+iy=25B.(x+4)2+(y-l)2=25

C.(尤-4)2+(,+1)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

變式4.(2024?吉林四平?高三四平市第一高級中學校考階段練習)已知直線

(3+2X)尤+(3彳-2萬+5-彳=0恒過定點尸，則與圓C：(x-2)?+(y+3)2=16有公共的圓心

且過點尸的圓的標準方程為()

A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=18口.(x-2)2+(y+3)2=9

變式5.(2024?全國?高三專題練習)圓C：(彳-1)2+(丫-2)2=2關(guān)于直線》-丫=。對稱

的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y+2)2=2B.(%+1)2+(y+2)2=2

C.(%-2)2+(y-l)2=2D.(%+2)2+(j+l)2=2

變式6.(2024?重慶?高三重慶一中校考階段練習)德國數(shù)學家米勒曾提出過如下的“最

大視角定理”(也稱“米勒定理”)：若點是NMON的邊上的兩個定點，C是OW邊

上的一個動點，當且僅當AABC的外接圓與邊0V相切于點C時，NACB最大.在平面直

角坐標系中，已知點0(2,0),E(4,0),點尸是y軸負半軸的一個動點，當NDFE最大

時，ADEF的外接圓的方程是().

A.(X-3)2+(^+2A/2)2=9B.(x-3『+(y-2收『=9

C.(x+2可+—3)2=8D.(x-2&『+(y_3『=8

變式7.(2024?陜西西安?高三?？茧A段練習)過點P(4,2)作圓d+V=4的兩條切線，

切點分別為A,B,則的外接圓方程是()

A.(%-2)2+(y-l)2=5B.(%-4)2+(y-2)2=20

C.(.x+2)2+(y+l)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20

變式8.(2024?四川成都?高三成都七中?？奸_學考試)已知4(-6O),B(6O),C(O,3),

則AABC外接圓的方程為()

A.(x-l)2+j2=2B.(x-l)2+y2=4C.%2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

【解題方法總結(jié)】

(1)求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓

心坐標(a,b)和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點.因此，待定系數(shù)

法是求圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂

直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.

題型二：直線系方程和圓系方程

例4.(2024?全國?高三專題練習)圓心在直線x-j-4=0上，且經(jīng)過兩圓x2+^+6x-4=0

和N+y2+6y-28=0的交點的圓的方程為()

A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+7y-16=0

C.N+y2-4x+4y+9=0D.x2+y2-4x+4y-8=0

例5.（2024?高二課時練習）過圓Y+y2-2y-4=0與爐+;/-4苫+2'=0的交點，且圓

心在直線/：2x+4y—1=。上的圓的方程是.

例6.（2024?江蘇?高二專題練習）曲線3/-丁=3與y=f-2x-8的四個交點所在圓的

方程是.

變式9.（2024?安徽銅陵?高二銅陵一中?？计谥校┙?jīng)過直線x-2y=0與圓

/+,2一?+2,一4=0的交點，且過點（1,0）的圓的方程為.

變式10.（2024?高二校考課時練習）過兩圓f+;/-x-y-2=0與Y+y2+4x-4y-8=0

的交點和點（3,1）的圓的方程是.

變式11.（2024?浙江杭州?高二?？计谀┮阎粋€圓經(jīng)過直線，：2元+y+4=。與圓

C:/+y2+2x_4y=0的兩個交點，并且有最小面積，則此圓的方程為.

變式12.（2024?江西九江?高一統(tǒng)考期中）經(jīng)過兩圓Y+y2+6x-4=0和

尤2+/+6y-28=0的交點，且圓心在直線尤-'-4=0上的圓的方程為

變式13.（2024?浙江紹興?高二統(tǒng)考期中）已知圓C過直線2x+y+4=0和圓

x2+；/+2x-4y+l=0的交點，且原點在圓C上.則圓C的方程為.

【解題方法總結(jié)】

求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交

點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）.

(1)直線系方程：若直線4：A%+耳>+G=o與直線6：4%+與丫+c?=o相交于點P,

則過點P的直線系方程為：4(A*+4y+cj+4(&*+與〉+。2)=o(膘+在工。)

簡記為：陽+縱=o(A2+石片。)

當4片。時，簡記為：n(不含乙)

(2)圓系方程：若圓G：尤2+/+R龍+gy+月=0與圓CziJ+V+Ax+Ezy+E=0

相交于A,2兩點，則過A,B兩點的圓系方程為：

x?+y~+D[X+E^y+￡+4(x~+y~+D?x+E2y+居)=0(AN-1)

簡記為：G+2G=0U*T)，不含C2

當4=-1時，該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)l:(.Dl-D2)x+(E,-E2)y+F1-F2=0

注意：與圓C共根軸/的圓系Q:C+與=0

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題

例7.(2024?全國?高三專題練習)點P。,。)，點。是圓尤?+y=4上的一個動點，則線

段PQ的中點/的軌跡方程是()

A.+/=1B.犬+卜一鼻=4

C.尤?+卜-1)=1D.+/=4

例8.(2024?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知A,8是。C：(x-2)?+('-4)?=25上的兩

個動點，P是線段的中點，若|A邳=6,則點尸的軌跡方程為()

A.(%-4)2+(y-2)2=16B.(%-2)2+()；-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(%-4)2+(y-2)2=11

例9.(2024?全國?高三專題練習)古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線

論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點距離之比值為常數(shù)〃2>0，4/1)的點的

軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓.已知點P到4-2,0)的距離是點尸到8(1,0)的距離

的2倍.求點尸的軌跡方程；

變式14.(2024?全國?高三專題練習)已知P(4.0)是圓/+丁=36內(nèi)的一點,是圓上

兩動點，且滿足ZAPS=90°，求矩形APBQ頂點。的軌跡方程.

變式15.(1977.福建?高考真題)動點尸(x,y)到兩定點A(-3,0)和8(3,0)的距離的比等于

2,求動點P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形.

變式16.(2024?安徽合肥?高三合肥一中?？茧A段練習)己知圓C：

x2+y2+2x-4y+3=0.

(1)若不過原點的直線/與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線/的一般式方

程；

(2)從圓C外一點P(x,y)向圓引一條切線，切點為M,O為坐標原點，且有1PMi=|尸。］,求

點P的軌跡方程.

變式17.(2024?全國?高三專題練習)由圓f+V=9外一點P(5,12)引圓的割線交圓于

A3兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.

變式18.(2024?全國?高三專題練習)已知圓6:爐+丁-4犬=0,平面上一動點尸滿足:

尸”+「解=6且M(T，。)，N(l,0).求動點P的軌跡方程；

變式19.(2024?全國?高三專題練習)在邊長為1的正方形ABC。中，邊AB、BC上分

別有一個動點Q、R,且怛。卜|CR|.求直線AR與。。的交點尸的軌跡方程.

變式20.(2024?全國?高三專題練習)已知Rt^MC的斜邊為A8,且A(-1,0),8(3,0).

求：

(1)直角頂點C的軌跡方程；

(2)直角邊的中點/的軌跡方程.

變式21.(2024?高二課時練習)如圖，已知點4(-1,0)與點8(1,0),C是圓N+y2=i上

異于A,8兩點的動點，連接BC并延長至。，使得|C0=|8C|,求線段AC與。。的交點尸

的軌跡方程.

變式22.（2024?高二課時練習）已知點4（2,0）是圓V+y2=4上的定點，點3（1,1）是圓內(nèi)

一點，尸、Q為圓上的動點.

⑴求線段AP的中點”的軌跡方程.

⑵若NPBQ=90°,求線段PQ中點N的軌跡方程.

【解題方法總結(jié)】

要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x,y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條

件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

例10.（2024?河南?高三階段練習）“a<1”是“方程2/+2;/+2G:+6y+5。=0表示圓”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例11.（2024?上海奉賢?高三?？茧A段練習）已知：圓C的方程為f（x,y）=。，點

尸（X。，%）不在圓C上，也不在圓C的圓心上，方程。:/（x,y）-=0,則下面判斷正

確的是（）

A.方程。表示的曲線不存在

B.方程。表示與C同心且半徑不同的圓

C.方程C，表示與C相交的圓

D.當點尸在圓C外時，方程。表示與C相離的圓

例12.（2024?高三課時練習）關(guān)于尤、y的方程孫+Cy2+Dx+Ey+尸=0表示一個

圓的充要條件是（）.

A.B=Q,JELA=0

B.B=l,MD2+￡2-4AF>0

C.B=0,SLA=C^Q,D2+E2-4AF>0

D.B=0,S.A=C^O,D2+E2-4AF>0

變式23.（2024?全國?高三專題練習）若方程尤2+丁+。％+2丁+2=0表示圓，則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.a4—2B.a>2

C.av-2或〃>2D.a<-2^a>2

變式24.（2024?全國-高三專題練習）已知方程d+V+J嬴+2y+2=0表示圓，則實

數(shù)機的取值范圍為（）

A.（1,-Hx）B.（2,+oo）C.（3,+00）D.（4,+00）

變式25.（2024?四川綿陽?高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）若圓C：

12+9一2（機—1卜+2（機一1）丁+2川一6根+4=0過坐標原點，則實數(shù)加的值為（）

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

變式26.（2024?全國?高三專題練習）若方程/+產(chǎn)+2&+2現(xiàn)+2M—丸+1=0表示圓,

則力的取值范圍是（）

11

A.(1,+oo)B.-J

C.(1,+oo)U(-s,g)D.R

變式27.(2024?高二課時練習)若ae(O,2%),使曲線

Kcosa+Vsina+xcosa+ysina+luO是圓，貝|()

,54-n-?一54cn

A.ex,——B.(X——C.ex——a=—D.ex.——

44442

【解題方法總結(jié)】

方程V+y2+.+與+尸=0表示圓的充要條件是￡）2+￡一4尸＞0,故在解決圓的一般

式方程的有關(guān)問題時，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為-1），半

^r=-y/D2+E2-4F

2

題型五：點與圓的位置關(guān)系判斷

例13.（2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若點（2,1）在圓f+/一了+'+“二。的外部，貝?

a的取值范圍是（）

例14.（2024?全國?高三專題練習）己知點P。,—2）在圓C：x2+y2+kx+4y+k2+1^0

的外部，則上的取值范圍是（）

A.—2vkvlB.lv左v2C.左v—2D.-2V左v2

例15.（2024?四川自貢?高一統(tǒng)考期中）點尸在單位圓。。上（O為坐標原點），點

A（—1,—1）,AP=/nAO+AAB,則4+4的最大值為（）

B.上C.2D.3

A.1

變式28.（2024?全國?高二專題練習）點尸（5,旭）與圓尤2+尸=24的位置關(guān)系是（）

A.點在圓上B.點在圓內(nèi)C.點在圓外D.不確定

變式29.（2024?全國?高二專題練習）若點在圓/+產(chǎn)一2砂一4=0的內(nèi)部,

則。的取值范圍是（）.

A.a>lB.0<?<1C.—1<Q<一D.a<1

5

變式30.（2024?全國?高二專題練習）已知圓O:尤2+必2,直線/：3x+4y=/，若/

與圓。相交，則（）.

A.點*3,4）在/上B.點*3,4）在圓。上

C.點尸（3,4）在圓。內(nèi)D.點尸（3,4）在圓。外

【解題方法總結(jié)】

在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應(yīng)注意圓的不同方程形式對應(yīng)的不同判斷方法，另外

還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.

題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

例16.（2024?高二?？紗卧獪y試）若直線/：質(zhì)-y-2=0與曲線c：g7萬=*-1有兩

個不同的交點，則實數(shù)%的取值范圍是（）

44

A.B.C.一2,一D.—,+oo

*33

例17.（2024?遼寧營口?高二?？茧A段練習）已知曲線y=J—f+4x-3與直線

質(zhì)-y+左-1=0有兩個不同的交點，則實數(shù)%的取值范圍是（）

J_2J_3J_2

A.B.C.D.

2'3254453

例18.（2024?山西晉城?高二晉城市第一中學校?？奸_學考試）直線y=x+6與曲線

丫=1_"二/有兩個不同的交點，則實數(shù)b的取值范圍是（）

A.（1-2A/2,1+272）B.（l-2x/2.-l]

C.[-1,1+272）D.[3,1+2夜）

變式31.（2024?全國?高二專題練習）直線2尤+y-2=0與曲線（x+y_l）1==。

的交點個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

變式32.（2024?高二單元測試）若兩條直線4：y=x+m,l2：y=與圓

/+/一2x-2y+f=0的四個交點能構(gòu)成矩形，則〃?+"=（）

A.0B.1C.2D.3

變式33.（2024?寧夏銀川?銀川一中?？级＃┣€「｛：_^_11'尤2+『_9=0,要

使直線y=M（MeR）與曲線「有四個不同的交點，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.卜3,-⑹U卜后百）U（后3）B.（-3,一⑹U（后3）

C.（3,3）D.（->/3,73）

變式34.（2024?吉林白山?統(tǒng)考二模）若過點P（2,4）且斜率為4的直線/與曲線

y=石二，有且只有一個交點，則實數(shù)人的值不可能是（）

344

A.—B.—C.—D.2

453

變式35.（2024?全國?高三專題練習）若直線/：x+”?（y-4）=0與曲線尤=“T手有兩個

交點，則實數(shù)加的取值范圍是（）

變式36.（2024?安徽合肥?合肥市第七中學?？既＃┮阎嵌x在R上的奇函

數(shù)，其圖象關(guān)于點（2,0）對稱，當xe［0,2］時，=,若方程

/（x）—左（十-2）=0的所有根的和為6,則實數(shù)上的取值范圍是（）

［-孝卜，TD.［一孝卜］一1+3

變式37.（2024?湖北?高三校聯(lián)考期末）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在

一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是

一個圓形區(qū)域/+其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓.已知符

l,x>0

號函數(shù)sgn（x）=，0,x=。，則當必+/<4時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是

—1,x<0

A.+(y-sgn(%))2-1)<0y((x-sgn(y))2+9_1)<0

M+(y-sgn(x))2-1)>0D.y((x-sgn(j；))2+y2-1)>0

【解題方法總結(jié)】

研究曲線的交點個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中,

尤其要注意需對代數(shù)式進行等價變形，以防出現(xiàn)錯誤.

題型七：與圓有關(guān)的對稱問題

例19.（2024?高二單元測試）圓x2+y2+2x_4y+l=0關(guān)于直線<2X+y+l=O對稱，貝U

a-.

例20.（2024?西藏日喀則?統(tǒng)考一模）已知圓C:/+y2-4x+2ay+3=0關(guān)于直線

尤+2>—6=0對稱，圓C交y于A、8兩點，貝=

例21.（2024?全國?高三專題練習）已知圓（x+iy+（y-2）2=9上存在兩點關(guān)于直線

依一加+2=0（。>0力>0）對稱，貝1」“2+462的最小值是.

變式38.（2024?北京?高三人大附中?？茧A段練習）已知圓C與圓。：

W+/一4x-2y+3=0關(guān)于直線4x+2y—5=0對稱，貝U圓C的方程為.

變式39.（2024?全國?高三專題練習）已知圓（無+仔+（丫-3）2=9上存在兩點關(guān)于直線

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依-by+l=0（a>0,b>0）對稱，貝IJ—+7的最小值是____________.