2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：雙曲線及其性質(zhì)（學(xué)生版）

第65講雙曲線及其性質(zhì)

知識梳理

知識點(diǎn)一：雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)與用的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于但瑞|）的點(diǎn)的

軌跡叫做雙曲線（這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為

{M四居|一|崢||=2。（0<2.<陽詞）}

注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當(dāng)2a=|耳用時，點(diǎn)的軌跡是以耳和名為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2°=0時，點(diǎn)的軌

跡是線段耳&的垂直平分線.

（3）2a>|耳引時，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點(diǎn)：

2

①條件"閨鳥|>2a”是否成立；②要先定型（焦點(diǎn)在哪個軸上），再定量（確定b

的值），注意4+62=02的應(yīng)用.

知識點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程號一｝=l(a>O,b>0)斗一a=1(。>0,?！?)

s_b

圖形

“a

焦點(diǎn)坐標(biāo)耳(一c,0),居(c,0)耳(0,-c),F2(0,C)

對稱性關(guān)于X,y軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)4（一。,0）,&（。,0）Aj(0,a),4((),—〃)

范圍\x\>a14

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b

l+，（e>l）

離心率

人y2f

令二一5=0=y=±，，

令二—7T=0=》=±尸，

漸近線方程abaabb

焦點(diǎn)到漸近線的距離為。焦點(diǎn)到漸近線的距離為。

>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)

點(diǎn)和雙曲線（含焦點(diǎn)部分）￡（含焦點(diǎn)部分）

a2b2=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線上a2b2=1,點(diǎn)（七,％）在雙曲線上

的位置關(guān)系

<1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線外點(diǎn)（%,%）在雙曲線外

共焦點(diǎn)的雙2222

-----Y—=1（一/（上〈廿）------——=1（一/<k<b2）

2222

曲線方程a+kb-ka+kb-k

共漸近線的2222

--^=2（2^0）斗一白=〃2w0）

雙曲線方程abab

切線方程一*-宇二L（%（）,%）為切點(diǎn)24一償-=i，a）,為）為切點(diǎn)

abab

對于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中V換為X/,V換成

切線方程

便得?

一號一^^=1,（X0，%）為雙曲線

ab誓-誓=L（x。,%）為雙曲線外一點(diǎn)

切點(diǎn)弦所在ab

外一點(diǎn)

直線方程

點(diǎn)（升,％）為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為A（X],%）,3（尤2，%），kAB^k.

則弦長MM=J1+k2-%2=J1+，,|%-乃|伏片。）,

弦長公式

2

,一%I="玉+x2）-4X|X2=?

其中是消“y”后關(guān)于“x”的一元二次方程的

11x2”系數(shù).

2b2

通徑通徑(過焦點(diǎn)且垂直于耳鳥的弦)是同支中的最短弦，其長為絲

a

為(曲線上一點(diǎn)尸(%,％)與兩焦點(diǎn)耳，鳥構(gòu)成的"耳耳成為焦點(diǎn)三角形，

2〃2

話lAF.PF^e,\PF\=rx,\PF2\=r2,則cos6=l----,

AG

fyoly

焦點(diǎn)三角形

2

1.八sin。,2bfc%，焦點(diǎn)在洋由上

PFF

^\X212

21-cos。tanf[c%,焦點(diǎn)在y軸上

2

隹J?二點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是

^PF^-\PF^=2a{2a>2c)

<SA叼=T尸￡HP用sin4時

耳周「耳『+|尸研一2附便局cosN用譙

等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線。a=/o離心率e=0=

等軸雙曲線

兩漸近線互相垂直。漸近線方程為y=±xO方程可設(shè)為f-V=2(2*0).

【解題方法總結(jié)】

(1)雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通

徑.通徑長為2生".

a

(2)點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對于雙曲線點(diǎn)尸(尤。，為)在雙曲線內(nèi)部，等價于空-百>1.

abab

點(diǎn)尸(七，為)在雙曲線外部，等價于區(qū)■-%<1結(jié)合線性規(guī)劃的知識點(diǎn)來分析.

ab

(3)雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1:雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)6;頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常

數(shù)叱

C

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)

a2b2

c2

A2

（4）雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為上萬（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越

V

tan—

2

小，面積越大）

（5）雙曲線的切線

22

點(diǎn)在雙曲線二-七=l（a>0,6>0）上，過點(diǎn)M作雙曲線的切線方程為

ab

22

誓-理=1.若點(diǎn)在雙曲線二一與=l（a>0,6>0）外，則點(diǎn)M對應(yīng)切點(diǎn)弦方

abab

程為警-浮=1

ab

必考題型全歸納

題型一：雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知月，居分別是離心率為2的雙曲線

22

E：5+斗=1（。>0力>0）的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)工的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)

ab

C,D,且|C4|=|CD|,|。制=4,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

例2.（2024?山東臨沂?高二?？计谀┮阎p曲線E：「-2=1（a>0,6>0）,矩

ab

形ABC。的四個頂點(diǎn)在E上，AB,。的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn)，且21ABi=3忸。=6,貝|

雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是

例3.（2024?高二課時練習(xí)）設(shè)橢圓Ci的離心率為卷，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26,若

曲線C2上的點(diǎn)到橢圓Ci的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

變式1.（2024?貴州貴陽?高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）漸近線方程為〉=±；x且經(jīng)過點(diǎn)

（4,1）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

變式2.（2024?遼寧朝陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線上-匕=1有相同

1612

的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)R血,后），則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

變式3.（2024?上海黃浦?高二上海市向明中學(xué)?？计谥校╇p曲線「經(jīng)過兩點(diǎn)

A（-垃「⑹,彳半，后，則雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

22

變式4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知6，B分別是雙曲線C：1-2=l（a>0,b>0）的

ab

左、右焦點(diǎn)，M是雙曲線C的右支上一點(diǎn)，雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,耳M與

M鳥的夾角為:，（MFl-3MF>）L（MFx+3MF^,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

變式5.（2024?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線「工-與=1（。>0,6>0）,四點(diǎn)

ab

A（6,V3）24,*、C（5,2）、。（-5,-2）中恰有三點(diǎn)在r上，則雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程

為________

變式6.（2024?高二課時練習(xí)）（1）若雙曲線過點(diǎn)（3,9a）,離心率e=粵，則其標(biāo)準(zhǔn)方

程為一.

（2）若雙曲線過點(diǎn)漸近線方程是y=±3尤，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

22

（3）若雙曲線與雙曲線乙-三=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)M（3,-2）,則其標(biāo)準(zhǔn)方程

43

為一,

【解題方法總結(jié)】

求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑:

（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a,b,c,即

利用待定系數(shù)法求方程.

（2）根據(jù)動點(diǎn)軌跡滿足的條件，來確定動點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參

數(shù)，即利用定義法求方程.

題型二：雙曲線方程的充要條件

22

例4.（2024?全國?高三對口高考）若曲線—+二二=1表示雙曲線，那么實(shí)數(shù)左的取

3+k2-k

值范圍是（）

A.（-3,2）B.（-00,-3）u（2,+oo）

C.（—2,3）D.（―oo,—2）D（3,+OO）

例5.（2024?湖南岳陽?高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知上ER,則

22

"-2＜左＜3”是“方程-----匚=1表示雙曲線”的（）

2—k2+%

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既

不充分也不必要條件

22

例6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若方程」一+^^=1表示雙曲線，則機(jī)的取值范圍

m-2m-6

是（）

A.機(jī)＜2或加＞6B.2＜m＜6

C.袱v-6或加＞一2D.-6<m<-2

變式7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知方程E:（m-1）尤2+（3-祖）_/=（祖_1）（3_m）,

則E表示的曲線形狀是（）

A.若1<m<3,則E表示橢圓

B.若E表示雙曲線，貝或加>3

C.若￡表示雙曲線，則焦距是定值

D.若E的離心率為巫，則根=:

23

22

變式8.（2024?四川南充?統(tǒng)考三模）設(shè)2兀），貝『方程土+二^=1表示雙曲線

34sin6

的必要不充分條件為（）

A.<9G（0,7i）B.9e

C.［兀，弓）D.夕￡

【解題方法總結(jié)】

22

土+匕=1表示橢圓的充要條件為：相相w九；

mn

22

上+乙=1表示雙曲線方程的充要條件為：“mvO；

mn

22

匕+二=1表示圓方程的充要條件為：m=n>0.

mn

題型三：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題

22

例7.（2024?廣東揭陽?高三校考開學(xué)考試）已知雙曲線C:與-5=1（.>0,6>0）,。為坐

ab

標(biāo)原點(diǎn)，用名為雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線上一點(diǎn)，若4|=3|尸囚,|0尸|=。,

則雙曲線。的方程可以為（）

A.--%2=1B.匚

4

C.匚*

D.-一

34

22

例8.（2024?安徽六安?六安一中校考模擬預(yù)測）己知雙曲線C:工-匕=1的左、右焦點(diǎn)

169

分別為耳、居，直線尸質(zhì)與雙曲線C交于A,8兩點(diǎn)，若|/山|=|耳引，貝上A他的面積

等于（）

A.18B.10C.9D.6

22

例9.（2024?福建漳州?高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線廠:工-工=1的左右焦

42

點(diǎn)分別為斗且，過1的直線分別交雙曲線r的左右兩支于AB兩點(diǎn)，且

=ZFBA,則忸（）

ZF2AB2E|=

A.75+4B.2石+4C.2小D.小

變式9.（2024?湖北恩施??？寄M預(yù)測）己知片，B分別為雙曲線C：

22

亍一三=1色＞0）的左右焦點(diǎn)，且1到漸近線的距離為1,過F?的直線/與C的左、右兩支

曲線分別交于A3兩點(diǎn)，且/，AG，則下列說法正確的為（）

A.△AGE的面積為2B.雙曲線C的離心率為0

11

C.時?班;=10+4指D.--1--=>/6+2

I阿\BF2\

變式10.（2024.全國?高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為[，F(xiàn)],且焦距為

2回,尸是C上一點(diǎn)，滿足\PFt\^2\PF2\,則△尸的周長為.

22

變式11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）雙曲線工-2=1的左、右焦點(diǎn)分別是《、尸,，過

ab

居的弦A8與其右支交于兩點(diǎn)，|AB|=加，貝ijA8月的周長為（）

A.4。B.4a—mC.4Q+2根D.4?+m

變式12.（2024?云南保山?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知與工是離心率等于正的雙曲線

3

22

C:工-工=1的左右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F?的直線/與雙曲線C的右支相交于A,B兩點(diǎn)，若

m4

的周長20,則|A3|等于（）

A.10B.8C.6D.4

22

變式13.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)《，工分別是雙曲線土-匕=1的左、右焦點(diǎn),

445

P是該雙曲線上的一點(diǎn)，且3|尸耳|=目%則但的面積等于（）

A.14&B.7厲C.1573D.5而'

2

變式14.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線V-工=1的左、右焦點(diǎn)分別為

3

居，點(diǎn)尸在雙曲線上，下列說法正確的是（）

A.若g為直角三角形，則△耳尸乙的周長是2夕+4

B.若△白尸乙為直角三角形，則△片尸居的面積是6

C.若△片尸乙為銳角三角形，則「聞+歸局的取值范圍是（2曲,8）

D.若月為鈍角三角形，則戶耳|+|尸閶的取值范圍是（8,+8）

變式15.（2024?吉林四平?高三雙遼市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)雙曲線

22

「-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別片、工，點(diǎn)P（x,y）為雙曲線右支上一點(diǎn),

ab

△PKB的內(nèi)切圓圓心為“（2,2）,則APM耳的面積與VPA伍的面積之差為（）

A.1B.2C.4D.6

22

變式16.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線土-乙=1的左右焦點(diǎn)分別為片,8,

97

若雙曲線上一點(diǎn)尸使得/耳尸工=60,求△月尸鳥的面積（）

A.乎B.當(dāng)^C.773D.14百

丫2

變式17.（2024?上海浦東新?統(tǒng)考三模）設(shè)尸為雙曲線二-9=1（。＞0）的上一點(diǎn),

a

ZF\PF[=（27r（耳耳為左、右焦點(diǎn)），則AKP8的面積等于（）

A.乖1aiB.且/c.叵D.也

333

【解題方法總結(jié)】

對于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問題常用定義，即

\PF\-\PF^=2a,在焦點(diǎn)三角形面積問題中若已知角,則用

SAP6G=（戶片卜仔閭sin。,仍劇—?dú)wq=2。及余弦定理等知識；若未知角,則用

SAPRF]=5,2cJJ7。].

題型四：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問題

例10.（2024?全國?高三專題練習(xí)）己知雙曲線C:1-產(chǎn)=1的左右焦點(diǎn)為耳，尸?，點(diǎn)

M為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則|孫卜|加/^的最小值為（）

A.1B.V2C.2D.3

2

例11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）己知A是雙曲線?-丁=1上一點(diǎn)，耳是左

焦點(diǎn)，B是右支上一點(diǎn)，A耳與，相耳的內(nèi)切圓切于點(diǎn)尸，則閨尸|的最小值為

A.73B.2耶＞C.36-0D.66-20

22

例12.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)M（—5,0）,點(diǎn)P在曲線左=1（冗＞0）上運(yùn)

\PM?

動，點(diǎn)。在曲線（x-5y+y2=i上運(yùn)動,則房I的最小值是

\r丫1

22

變式18.（2024?河北衡水?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線土—&=1,其右焦點(diǎn)為尸，P

916

為其上一點(diǎn)，點(diǎn)V滿足|腮1=1,MFMP=：0,貝1Jl■尸I的最小值為（）

A.3B.6C.2D.V2

2

變式19.（2024?高二課時練習(xí)）已知直線/與雙曲線——匕=1交于A,B兩點(diǎn)，且

2

AB=WB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），若M是直線X-3"3=0上的一個動點(diǎn)，^lj|MA|2+|MB|2

的最小值為（）

A.12B.6C.16D.8

2

變式20.（2024?廣東韶關(guān)?高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)百，尸,是雙曲線C:x2-L=l的左、

3

右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)F?向/與尸鳥的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)

Q,則點(diǎn)A（-石,1）和點(diǎn)。距離的最大值為（）

A.2B.77C.3D.4

【解題方法總結(jié)】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題

例13.（2024?江蘇徐州?高二統(tǒng)考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8,左、右焦點(diǎn)耳，&

在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,右），尸為雙曲線右支上一動點(diǎn)，則

|尸耳H例的最大值為（）

A.20+2B.40+2C.20+4D.40+4

例14.（2024?全國?高二專題練習(xí)）己知雙曲線C:吞-￡=l（a>0,b>0）,其一條漸近

線方程為x+括y=0,右頂點(diǎn)為A,左，右焦點(diǎn)分別為片，工，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)

3（3,1）,三角形與鉆的面積為1+孝，則當(dāng)|咫日必|取得最大值時點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

2

例15.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知尸是雙曲線C：/-匕=1的右焦點(diǎn)，尸是C的

8

左支上一點(diǎn)，人（0,6），貝U|R4|+|尸耳的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

變式21.（2024?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）已知拋物線9=16尤上一點(diǎn)A（m,"）到準(zhǔn)線的距

22

離為5,尸是雙曲線上-匕=1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一動點(diǎn)，則阿|+照的最小值

412

為（）

A.12B.11C.10D.9

22

變式22.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)4（0,3e），雙曲線E：上-匕=1的左焦點(diǎn)

27

為尸，點(diǎn)P在雙曲線E的右支上運(yùn)動.當(dāng)APb的周長最小時，|AP|+|尸耳=（）

A.6五B.7A/2C.872D.9A/2

22

變式23.（2024?福建寧德?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:上-乙=1,點(diǎn)/是C的

124

右焦點(diǎn)，若點(diǎn)尸為C左支上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到C的一條漸近線的距離為d,則4+1尸產(chǎn)I的

最小值為（）

A.2+4百B.6后C.8D.10

,V.2

變式24.（2024?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)居，F(xiàn),為雙曲線C：二一丫？=］的左、右焦點(diǎn),

3

0為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)尸（0,2）.當(dāng)|Q耳|+|PQ|取最小值時，的值為（）

A.?_屈B.73+72C.76-2D.76+2

22

變式25.（2024?全國?高二專題練習(xí)）設(shè)P是雙曲線上-匕=1上一點(diǎn)，M、N分別是兩

916

圓0-5）2=4和0+5）2+）=1上的點(diǎn),則|尸網(wǎng)_|尸陷的最大值為（）

A.6B.9C.12D.14

變式26.（2024?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是右焦點(diǎn)為歹的雙曲線

22

^一言=1（C）上一點(diǎn)，點(diǎn)。是圓（x-8）2+y2=i上一點(diǎn)，貝IJ附+間|的最小值

是

22

變式27.（2024?全國?高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:上-匕=1的左焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P是

44

雙曲線C右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是圓￡:爐+（、-2正）2=1上的一點(diǎn)，則|尸耳+戶閭的最小值

為（）

A.5B.5+20C.7D.8

22

變式28.（2024?全國?高一專題練習(xí)）已知雙曲線C:、■-、=1,片，區(qū)是其左右焦點(diǎn).圓

￡:X2+/-4J+3=0,點(diǎn)尸為雙曲線C右支上的動點(diǎn)，點(diǎn)。為圓E上的動點(diǎn)，貝U

1尸（21+|尸制的最小值是（）

A.5+2石B.5+2后C.7D.8

變式29.（2024?四川眉山?高二四川省眉山第一中學(xué)?？计谥校┮阎な请p曲線

C:三-t=1的右焦點(diǎn)，動點(diǎn)A在雙曲線左支上，點(diǎn)B為圓E:/+（y+2）2=l上一點(diǎn)，則

93

|AB|+|A閶的最小值為（）

A.9B.8C.5石D.6#)

2

變式30.（2024?陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）過雙曲線犬-氣=1的右

支上一點(diǎn)尸,分別向圓G：（尤+4了+^=4和圓C?：（了-4）2+^=1作切線，切點(diǎn)分別為

M,N,則歸初2-|小『的最小值為

A.16B.15C.14D.13

【解題方法總結(jié)】

在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義.求解最值問題

的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)P在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃

而解.

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換

例16.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知瑪，瑞分別為雙曲線及

22

=-3=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)。的直線/與￡交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第

ab

一象限），延長A工交片于點(diǎn)C,若怛閭=|AC|,NRBF2=g則雙曲線片的離心率為

（）

A.6B.2C.75D.近

例17.（2024?陜西西安?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）己知耳，F(xiàn)?分別為雙曲線

E:二-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)。的直線/與E交于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在

ab

第一象限），延長AK交E于點(diǎn)C,若忸國=|AC|,/62工=；,則雙曲線E的離心率為

（）

A.73B.2C.6D.1

例18.（2024?江西南昌?南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎p曲線

22

C:[-1=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,若在C上存在點(diǎn)P（不是頂點(diǎn)）,

ab

使得NP8月=3/尸片/，則C的離心率的取值范圍為（）

A.（V2,2）B.（右,+8）

C.（1,73]D.（1,V2]

變式31.（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線

22

C:2-》=l（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用工，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線/與C相交

于4,3兩點(diǎn)，出q=2|A0,四邊形時8月的面積等于02,則C的離心率等于（）

A.近B.73C.2D.75

變式32.（2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知雙曲線

22

。:3-}=1,>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是《，B，點(diǎn)尸在c上且位于第一象限，圓。1

與線段耳尸的延長線，線段PK以及X軸均相切，△尸片乙的內(nèi)切圓為圓。2.若圓。|與圓。2

外切，且圓。I與圓。2的面積之比為4,則C的離心率為（）

方向2:建立關(guān)于4和C的一次或二次方程與不等式

變式33.（2024?四川成都?四川省成都列五中學(xué)校考三模）已知雙曲線

C：E-1=l（a>08>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用月，過點(diǎn)后的直線與雙曲線在第二象限的交

ab

點(diǎn)為A,若（礫+啊豆1=0仍+利=|稻,則雙曲線C的離心率是（）

A.&B.也+1C.V2+1D.正擔(dān)

22

變式34.（2024?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，耳、鳥是雙曲線

22

后:鼻-2=1（。>0,。>0）的左、右焦點(diǎn)，過片的直線交雙曲線的左、右兩支于A3兩點(diǎn),

ab

且忸片|=4|A周,|?；?八2+萬,則雙曲線C的離心率為（）

A/58D.孚

R.---

3

變式35.（2024?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測）已知產(chǎn)是雙曲線C:二-今=1（°>0,10）的一

ab

個焦點(diǎn)，A為C的虛軸的一個端點(diǎn)，208=04（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線垂直于C的一

條漸近線，則C的離心率為（）

A.72+1B.C.^±1D.巫

242

22

變式36.（2024?陜西商洛?鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C:==13>a>0）

ab

的左焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為A,一條漸近線與圓4（%-。）2+丁=62在第一象限交于點(diǎn)加，

交y軸于點(diǎn)N,且/皿4=90。，則C的離心率為（）

A.^/3B.2

C.1+72D.2+72

變式37.（2024?福建福州?福州四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線

22

C:之-2=l（a>0,b>0）,P為左焦點(diǎn)，A，&分別為左、左頂點(diǎn)，P為C右支上的點(diǎn)，且

ab

\OP\=\OF\（o為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線尸尸與以線段A4為直徑的圓相交，則c的離心率的取

值范圍為（）

A.（L@B.（"+8）C.（>/5,+oo）D.（1，百）

變式38.（2024?河南信陽?信陽高中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線

22

C:與-1=1（°>0,10）的上下焦點(diǎn)分別為月，工，點(diǎn)”在C的下支上，過點(diǎn)/作C的一

ab

條漸近線的垂線，垂足為D,若耳閭-四瑪恒成立，則C的離心率的取值范圍為

（）

A.卜,|）B.QC.（1,2）D.[|T

方向3：利用e=||,其中2c為焦距長，2°=|也卜閡

變式39.（2024?海南省直轄縣級單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知可，工分別是雙曲線

2

尤21

。：^-方v=1（4>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，斜率為g的直線/過耳，交c的右支于點(diǎn)B,交y

軸于點(diǎn)A,且/民則C的離心率為（）

A.還B.至C.V3D.75

33

r22

變式40.（2024?四川巴中?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C:1-2=l（a>0,“0）的

ab

3

左、右焦點(diǎn)分別為4,過及斜率為;的直線與c的右支交于點(diǎn)尸，若線段P片恰被y軸

平分，則c的離心率為（）

A.1B.型C.2D.3

23

22

變式41.（2024?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)尸是雙曲線。號-}=1（°>0,。>0）右支上

一點(diǎn)，耳（-c,0）,8（c,0）分別是C的左、右焦點(diǎn)，若/耳尸耳的角平分線與直線x=a交于點(diǎn)

I，且S/=—s+s,則c的離心率為（）

Irry2〃IF1斤F2/產(chǎn)I/1P2F

A.2B.V2C.3D.G

變式42.（2024?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知耳（—0），&（G。）分

22

別是雙曲線C：，-斗=1（a>0，b>0）的兩個焦點(diǎn)，尸為雙曲線C上一點(diǎn),

ab

TT

尸耳，尸工且NP8居=§,那么雙曲線C的離心率為（）

A.1B.73C.2D.73+1

方向4：坐標(biāo)法

22

變式43.（2024?上海嘉定??？既＃┮阎p曲線「二-2=1（4>0/>0）的離心率為

ab

e,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0力），若r上的任意一點(diǎn)P都滿足1PBi乂，貝|（）

八，1+百n1+A/3

A.l<e<——B.e>——

22

P11+非